6.2.1 向量基本定理 同步练习（含答案）-2025-2026学年高一上学期数学人教B版必修第二册

6.2　向量基本定理与向量的坐标
6.2.1　向量基本定理
一、选择题
1.设e1,e2是不共线的两个非零向量,则下列四组向量不能作为一组基底的是 (　 )
A.e1与e1+2e2
B.e1+2e2与3e1-e2
C.e1+2e2与-2e1-4e2
D.3e1-e2与4e2-e1
2.[2024·辽宁大连高一期末] 在平行四边形ABCD中,=,=3,则 (　 )
A.=+
B.=+
C.=-
D.=-
3.已知O,A,B,C为同一平面内的四个点,若2+=0,则向量= (　 )
A.- B.-+
C.2- D.--2
4.如图所示,已知AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,设=a,=b,则= (　 )
A.a-b B.a-b
C.a+b D.a+b
5.在矩形ABCD中,AB=3,AC=5,e1=,e2=,若=xe1+ye2,则x+y的值为　　 (　 )
A.2 B. 8 C.7 D. 4
6.在△ABC中,点D在CB的延长线上,且=4=r-s,则s+r等于 (　 )
A.1 B. C. D.3
7.如图,在△ABC中,D是AB的中点,O是CD上一点,且=2,过点O作一条直线与边AC,BC分别相交于点E,F,若=,=μ,则实数μ的值为(　 )
A. 　　　B.
C. 　　　D.
8.(多选题)[2023·广东佛山高一期末] 如图,在平行四边形ABCD中,E为CD的中点,=,则 (　 )
A.=-
B.=+
C.=+
D.+=2
9.(多选题)在梯形ABCD中,=2,=2,则下列结论正确的是 (　 )
A.=+
B.=+
C.若=2-,则点M在CB的延长线上
D.若=m+n,且m+n=,则△ABC的面积是△MBC面积的倍
二、填空题
10.已知a=e1+e2,b=2e1-e2,c=-2e1+4e2(e1,e2是同一平面内的两个不共线向量),则c=　　　　(用a,b表示).
11.如图, 在△ABC中,点D,E分别在BC,AC上,且BD=DC,AE=2EC.若=x+y,则x= 　　　,y=　　　　.
12.在△ABC中,点O是BC的中点,过点O的直线分别交直线AB,AC于不同的两点M,N.若=m,=n,则m+n=　　　　.
三、解答题
13.如图,在△ABC中,AD是BC边上的中线.
(1)取BD的中点M,试用和表示;
(2)若G是AD上一点,且=2,直线EF过点G,交AB于点E,交AC于点F,若=λ,=μ(λ,μ>0),求λ+μ的最小值.
14.已知△ABC内一点P满足=λ+μ,若△PAB的面积与△ABC的面积之比为1∶3,△PAC的面积与△ABC的面积之比为1∶4,求实数λ,μ的值.
15.已知点A,B,C不共线,λ,μ为实数,=λ+μ,则“0<λ+μ<1”是“点P在△ABC内(不含边界)”的 (　 )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
★16.[2023·宁夏银川高一期末] 如图所示,在△ABC中,=a,=b,=2,=3.
(1)试用向量a,b表示,;
(2)若AE交BD于点O,求及的值.
6.2　向量基本定理与向量的坐标
6.2.1　向量基本定理
1.C　[解析] 对于C,-2e1-4e2=-2(e1+2e2),则向量e1+2e2与-2e1-4e2共线,不能作为一组基底.故选C.
2.B　[解析] 如图,由题得=+=+=+,故选B.
3.C　[解析] ∵2+=0,∴2(-)+-=0,∴=2-.故选C.
4.D　[解析] 连接OD,OC,DC,因为AB是圆O的直径,点C,D是半圆弧的两个三等分点,所以∠AOC=∠COD=∠BOD=60°.因为OA=OC=OD=AB,所以△AOC,△COD是等边三角形,所以四边形AODC是菱形,所以=+=+=a+b.故选D.
5.C　[解析] 在矩形ABCD中,AB=3,AC=5,利用勾股定理可得AD=4.∵e1=,e2=,∴=3e1,==4e2,∴=+=3e1+4e2,∴x=3,y=4,故x+y=7.故选C.
6.C　[解析] ∵=4,∴=,又=-,∴=(-)=-,∴r=s=,∴s+r=.故选C.
7.B　[解析] ∵D是AB的中点,∴=(+),又=2,∴=-(+),∴=+=-(+)+=-,=+=-(+)+μ=-+.∵E,O,F三点共线,∴=λ,即解得故选B.
8.BCD　[解析] 对于A,由题意得=+=++=++=-++=-+,故A错误;对于B,=+=-+=+,故B正确;对于C,=+=+=+=+,故C正确;对于D,+=-+++=2,故D正确.故选BCD.
9.BCD　[解析] 在A中,=(+)==+,故A错误;在B中,=+=+,故B正确;在C中,∵=2-,∴-=-,即=,
∴点M在CB的延长线上,故C正确;在D中,设=,=,则=4m+4n,∵m+n=,∴4m+4n=1,∴M,G,F三点共线,又=,∴点M到BC的距离为点A到BC的距离的,∴△ABC的面积是△MBC面积的倍.故选BCD.
10.2a-2b　[解析] 设c=λa+μb,则-2e1+4e2=λ(e1+e2)+μ(2e1-e2)=(λ+2μ)e1+(λ-μ)e2,所以解得故c=2a-2b.
11.-　　[解析] 因为BD=DC,AE=2EC,所以=+=-=(-)-=-+,所以x=-,y=.
12.2　[解析] 由题知,=(+)=(m+n),∵O,M,N三点共线,∴m+n=1,∴m+n=2.
13.解:(1)因为D为BC的中点,所以=+,又M为BD的中点,所以=+=+=+.
(2)由=2,=λ,=μ(λ,μ>0),得=,=,所以===+=+,因为E,F,G三点共线,所以+=1,则λ+μ=(λ+μ)=++≥+2=,当且仅当=,即λ=μ=时取等号,所以λ+μ的最小值为.
14.解:如图,
过点P作PM∥AC与AB交于M,过点P作PN∥AB与AC交于N,则=+,所以=λ,=μ.
过点P作PG⊥AC于点G,过点B作BH⊥AC于点H.因为=,所以=,
又因为△PNG∽△BAH,所以==,即=,所以λ=.过点P作PD⊥AB于点D,过点C作CE⊥AB于点E.因为=,所以=,又因为△DMP∽△EAC,所以==,即=,所以μ=.
15.B　[解析] 若=λ+μ,且点P在△ABC内部(不含边界),则0<λ+μ<1.反之不成立,例如当λ=-,μ=时,P在△ABC外部.故“0<λ+μ<1”是“点P在△ABC内(不含边界)”的必要不充分条件,故选B.
16.解:(1)由=a,=b,=2,=3,可得=-=-=b-a,=+=+=+(-)=+=a+b.
(2)因为A,O,E三点共线,所以存在实数λ,使得=λ=λ=a+b.因为B,O,D三点共线,所以存在实数μ,使得=μ,所以-=μ,则=+μ=a+μ=(1-μ)a+b,所以a+b=(1-μ)a+b,因为a,b不共线,所以解得所以=,=,所以=,=6.
[点拨] 求解线段比值问题,通常将线段写成向量的形式,再将不同线段用同一组基底进行线性表示,然后讨论各线性表达式之间的倍数关系,进而获得线段之间的比值.