第5章 函数概念与性质 知识点-2025-2026学年高一上学期数学苏教版必修第一册

第五章 函数
一、基础知识
(一)函数及其表示
1.函数的基本概念
(1)函数的定义
设是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系，使对于集合中的任意一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作。
(2)函数的定义域、值域
在函数中，叫作自变量，的取值范围叫作函数的定义域；与的值相对应的值叫作函数值，函数值的集合叫作函数的值域。显然，值域是集合的子集。
(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域。
如果两个函数的对应关系相同,定义域相同,那么这两个函数就是同一个函数。
2.函数的表示法
（1）表示函数的常用方法有解析法、图象法、列表法。
（2）在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式的函数叫作分段函数。
知识辨析：
1.函数中的对应关系是“一对一”或“多对一”,不能“一对多”。
2.任何函数都可以用解析法、列表法、图象法这三种方法表示吗
答：不是.如函数无法用列表法表示,也无法用图象法表示。
3.常见函数定义域的求法
(1)分式函数中分母不等于零，
(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0。
(3)一次函数、二次函数的定义域为R。
(4)(且),，定义域均为。
(5)的定义域为且。
(6)函数的定义域为且。
(7)对数函数定义域为(0，+∞)。
4.求抽象函数的定义域
(1)求抽象函数的定义域的注意点
①无论什么样的函数,定义域指的永远是自变量的取值范围.
②相同的对应关系所作用对象的范围是一致的,即函数中的在对应关系下的取值集合相同。
(2)抽象函数定义域的求解类型及方法
①已知的定义域为,求的定义域,实质是已知的取值范围为,求的取值范围。
②已知的定义域为,求的定义域,实质是已知的取值范围为,求的取值范围,此范围就是的定义域。
③已知的定义域为求的定义域,实质是已知中的的取值范围为C,求出的取值范围D,再令的取值范围为,求出的取值范围,此范围就是的定义域。
5.函数值域的求法
(1)已知函数的解析式时,只需用常数替换解析式中的进行计算即可。
(2)已知函数与,求的值,应遵循由内到外的原则。
　　注意:用来替换解析式中的常数必须是函数定义域内的值,否则求值无意义。
6. 求函数值域的常用方法
(1)观察法:对于一些比较简单的函数,可根据其解析式的结构特征通过直接观察得到值域。
(2)图象法:画出函数的图象,利用函数图象的“最高点”和“最低点”直观得到函数的值域。
(3)配方法:此方法是求二次函数值域的基本方法,通常把函数式通过配方转化为完全平方式与常量和差的形式。例如。
(4)换元法：对于一些无理函数(如),通过换元把它们转化为熟悉的函数,间接求出原函数的值域,注意换元后新元的取值范围。
(5)分离常数法:主要针对形如的函数,常把分子分离成不含自变量的形式,即,其值域是。
(6)判别式法:将函数转化为关于自变量的二次方程,利用判别式求因变量的范围,常用于“分式函数”等,注意自变量的取值范围.
(7)反表示法:将函数中的自变量用因变量表示,结合原函数的定义域解不等式,从而求出函数的值域。
(8)单调性法：先判断函数在定义域内的单调区间（递增 / 递减），再找到区间端点（或极限值），通过代入端点计算函数的最值（最大值 / 最小值），最终确定函数的值域范围。
7.函数解析式的求法
(1)当函数类型已知时,可采用“先设后求,待定系数”法来求其解析式.解题步骤如下:
①设出含有待定系数的解析式.
②把已知条件代入解析式,列出含待定系数的方程(组).
③解方程(组),得到待定系数的值.
④将所求待定系数的值代回原式并化简整理.
(2)当函数类型未知时,可根据条件选择以下方法求其解析式.
①代入法：已知的解析式,求的解析式,通常把作为一个整体替换中的。
②换元法：已知是关于的函数,求的解析式,通常令,由此能解出,将代入中,求得的解析式,再用替换,便可得到的解析式。
③配凑法：将所给函数的解析式通过配方、凑项等方法,使之变形为关于的函数解析式,然后以代替,即得所求函数解析式,这里的可以是多项式、分式、根式等。
④消元法(方程组法)：已知与或的解析式,可根据已知条件用或替换,再构造出另外一个等式,组成方程组,通过解方程组求出。
⑤赋值法：依题目的特征,可对变量赋特殊值,由特殊到一般寻找普遍规律,从而根据找出的一般规律求出函数解析式,此法一般适用于求抽象函数的解析式。
8.分段函数
1.对分段函数的理解
(1)分段函数是一个函数,而不是几个函数,只是根据自变量的不同范围分成了几段而已.
(2)画分段函数图象时,应分别画出每一段函数的图象.
(3)研究分段函数时,先分段考虑,再整体把握,注意各段的自变量在区间端点处的取值情况.
2.分段函数的求值策略
(1)已知自变量的值求函数值的步骤
①确定自变量属于哪一个区间;
②代入该区间所对应的解析式求值,直到求出值为止.当出现f(f(x0))的形式时,应从内到外依次求值.
(2)已知函数值求对应的自变量的值:可分段利用函数解析式求得自变量的值,但应注意检验函数解析式的适用范围,也可先判断每一段上的函数值的范围,确定解析式再求解.
(二)函数的单调性
1.单调函数的定义
增函数 减函数
定 义 一般地，设函数的定义域为，如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量
当 时，都有，那就说函数在区间上是增函数 当时，都有，那就说函数在区间上是减函数
图 像 描 述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
2.单调区间的定义
若函数在区间上是增函数或减函数，则称函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间叫作函数的单调区间。
易错警示
(1)某函数有两个或两个以上的单调递增(减)区间时,单调递增(减)区间之间用“,”或者“和”连接,不用“∪”“或”“且”连接。
(2)函数在区间端点处无意义时要写成开区间,有意义时开闭均可。
(3)复合函数单调性判断方法：同增异减。
3.函数的最值
前提 设函数的定义域为，如果存在实数满足
条件 (1)对于任意，都有; (2)存在，使得。 (3)对于任意，都有; (4)存在，使得。
结论 为最大值 为最小值
知识辨析：
1.已知的定义域为,若,都有,则一定是函数的最大值吗
答：不一定。还需要满足,使得,才能说是的最大值。
2.函数取最大值时,对应的值是否唯一
答：不一定。如函数其最大值为1,取最大值时,,有无数个值。
4. 判断函数单调性的方法
(1)图象法:根据函数图象的升降情况进行判断。
(2)直接法:运用已知结论,直接得到函数的单调性,如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接得出。
(3)性质法:①在公共区间上的单调性如表所示:
增 增 增
增 减 增
减 减 减
减 增 减
②复合函数单调性的判断依据:（同增异减、注意函数定义域）
由函数与函数复合,得到函数,其单调性的判断方法如表所示:
增 增 增
增 减 减
减 增 减
减 减 增
5.利用定义证明函数单调性的步骤
(1)取值:设是所给区间内的任意两个值,且;
(2)作差、变形:计算并通过因式分解、通分、配方、有理化等手段,转化为易判断正负的关系式;
(3)判断符号:确定的符号;
(4)下结论:根据的符号与增函数、减函数的定义确定单调性.
6. 函数单调性的应用
(1)利用函数的单调性求解最大(小)值
　　若函数在区间上单调递增(减),则函数在时取得最小(大)值,在时取得最大(小)值。
　　若函数有多个单调区间,则先求出各区间上的最值,再从各区间的最值中决定出最大(小)值。
(2)利用函数的单调性解不等式
　　利用函数的单调性解不等式主要依据函数单调性的定义,将符号“”脱掉,列出关于未知量的不等式(组),然后求解,此时注意函数的定义域.
（3）利用函数的单调性求参数的取值范围
①利用单调性的定义:
在单调区间内任取,且,由(或)恒成立求参数的取值范围。
②利用具体函数本身所具有的特征:
如根据二次函数的图象的对称轴相对于所给单调区间的位置建立关于参数的不等式(组),解不等式(组)求参数的取值范围。
注意:
①若某个函数在区间[a,b]上是单调的,则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的。
②根据分段函数的单调性求参数的取值范围时,一般从两方面考虑：
一方面,每个分段区间上的函数具有相同的单调性,由此列出相关式子;
另一方面,要考虑分界点处函数值之间的大小关系。
若是增函数,则分界点左侧值小于或等于右侧值;
若是减函数,则分界点左侧值大于或等于右侧值,由此列出另外的式子,从而解得参数的取值范围。
（三）奇、偶函数
1、函数的奇偶性概念
一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有,那么函数就叫作偶函数。
一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫作奇函数。
奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。
知识拓展
1.函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数,即。
2.函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数,即。
1.奇函数的图象一定过原点吗
答：不一定.若函数时有意义,则,即,所以, 的图象过原点;若函数在时没有意义,则的图象不过原点.
2.如果函数的定义域关于原点对称,那么函数一定是奇函数和偶函数中的一种吗
答：不一定。如是关于原点对称的实数集,函数既是奇函数又是偶函数;如,函数既不是奇函数也不是偶函数。
3.若对定义域内任意的都有,则的图象具有怎样的对称性
答：的图象关于直线对称。
2.判断函数的奇偶性
（1）定义法
(2)图象法
(3)函数奇偶性的运算性质
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反。
(2)在公共定义域内，
①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；
②两个偶函数的和、积都是偶函数；
③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
(3)奇偶函数的定义域都关于原点对称。
（4）分段函数奇偶性的判断
　　判断分段函数奇偶性的一般方法是在一个区间上任取自变量,再向对称区间转化,并进行双向验证.若函数在处有定义,则还要验证,即判断分段函数的奇偶性时必须判断每一段上函数是否都具有或的特征,也可以作出函数图象,结合对称性判断。
3.函数奇偶性的应用
（1）利用函数的奇偶性求参数的值
　　若函数解析式中含参数,则根据或,利用待定系数法求参数;若定义域中含参数,则根据定义域关于原点对称,利用区间的端点值之和为0求参数。
（2）利用函数的奇偶性求函数值
　　由函数的奇偶性求函数值时,若所给的函数具有奇偶性,则直接利用或求解；若所给的函数不具有奇偶性,一般需利用所给的函数来构造一个奇函数或偶函数,然后利用其奇偶性求值。
（3）利用函数的奇偶性求函数的解析式
①求哪个区间上的解析式,就设在哪个区间上。
②把-x对称转化到已知区间上,代入已知区间的解析式得。
③利用函数的奇偶性把改写成或,从而求出。
4.函数奇偶性与单调性的综合应用
(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反。
(2)奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值。
(3)利用函数的奇偶性与单调性比较大小
　　利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小,关键是利用图象的对称性把自变量转化到同一个单调区间上,再根据函数的单调性比较函数值的大小。
4.利用函数的奇偶性与单调性解不等式
　　利用已知条件,结合函数的奇偶性,把已知不等式转化成或的形式,再根据函数的单调性列出不等式(组),要注意函数定义域对参数的影响。
(四)周期性
(1)周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称为这个函数的周期。
(2)最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫作的最小正周期。
（五）对称性
(1)函数关于原点对称，即奇函数。
(2)函数关于y轴对称，即偶函数。
(3)函数关于直线对称，则满足：
或或
(4)函数关于点对称，则满足：f
(六)反函数
1.定义：
设函数的值域是，用把表示出。若对于在中的任何一个值，通过，在中都有唯一的值和它对应，那么，函数叫做函数的反函数，反函数的定义域、值域分别是的值域、定义域。
2.求反函数
(1)求原函数的值域确定反函数的定义域；
(2)反解，交换位置确定反函数的对应法则;
(3)写出反函数及其定义域。