第5章 函数概念与性质专项练习
一、函数的概念
1.(多选题)下列各组函数中,表示同一个函数的是( )
A.y=与y=x+3
B.y=-1与y=x-1
C.y=x0与y=1(x≠0)
D.y=x2-3x与y=t2-3t
解析：CD 对于A,函数y=的定义域为{x|x≠3},函数y=x+3的定义域为R,两函数的定义域不相同,所以不是同一个函数;对于B,两函数的定义域均为R,而y=-1=|x|-1,则两函数的对应关系不相同,所以不是同一个函数;对于C,两函数的定义域均为{x|x≠0},而y=x0=1,所以两函数是同一个函数;对于D,两函数的定义域均是R,对应关系相同,所以是同一个函数.
解题模板 判断两个函数是不是同一个函数,要从两方面进行判断,一是两个函数的定义域是否相同,二是两个函数的对应关系是否相同,与自变量用什么字母表示无关.
2.(2025江苏无锡锡东高级中学月考)已知集合
M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},则下列图形能表示以集合M为定义域,集合N为值域的函数关系的是( )
解析：B 对于A,当0
二 函数的定义域
3.(2025江苏淮安高中校协作体期中)函数y=的定义域是( )
A.[-4,0)∪(0,4] B.(-2,2)
C.[-2,0)∪(0,2] D.[-4,4]
解析：A 要使函数有意义,需满足解得-4≤x≤4且x≠0,故函数的定义域是[-4,0)∪(0,4].
方法总结 常见的求函数定义域的类型
(1)分式的分母不为0;
(2)偶次根式的被开方数大于或等于0;
(3)零次幂的底数不为0;
(4)实际问题对自变量的限制;
(5)若函数由几个式子构成,求其定义域时要满足各个式子都有意义,即取其交集.
4.(2025江苏苏大附中期中)函数f(x)=+(3-x)0的定义域是( )
A.[1,3) B.(1,+∞)
C.(1,3)∪(3,+∞) D.[1,3)∪(3,+∞)
解析：C 要使函数有意义,需满足解得13,故函数的定义域是(1,3)∪(3,+∞).
5.(2025江苏连云港海州高级中学质量检测)已知函数f(x+2)的定义域为(-3,4),则函数g(x)=的定义域为( )
A.(1,6) B.(1,2) C.(-1,6) D.(1,4)
解析：A 因为函数f(x+2)的定义域为(-3,4),所以-30,所以x>1,故函数g(x)=的定义域为(1,6).
方法总结 已知f(φ(x))的定义域为A,求函数f(x)的定义域,即已知x∈A,求φ(x),φ(x)的范围即为f(x)的定义域.
6.(2025江苏无锡梅村高级中学检测)已知函数y=的定义域为R,则实数k的取值范围为( )
A.(-∞,0)∪(1,+∞)
B.(-∞,0]∪[1,+∞)
C.(0,1)
D.[0,1)
解析：D 因为函数y=的定义域为R,
所以关于x的方程kx2+2kx+1=0无实数解.
当k=0时,显然成立.
当k≠0时,需满足Δ=4k2-4k<0,解得0综上,实数k的取值范围为[0,1).
三 函数的值及值域
7.(多选题)(2025江苏常州金坛期中)下列函数中,值域为[0,+∞)的是( )
A.y=
B.y=x2+-2
C.y=,x∈(0,+∞)
D.y=
解析：AB 对于A,易知x2-4x+4=(x-2)2≥0,所以y=≥0,故A符合题意.
对于B,y=x2+-2≥2-2=2-2=0,当且仅当x2=,即x=±1时取等号,所以函数的值域为[0,+∞),故B符合题意.
对于C,=1+≠1,即值域不含1,故C不符合题意.
对于D,因为|x-1|>0,所以y=>0,故D不符合题意.
8.(2025江苏盐城第一中学月考)已知函数f(x)的定义域为R,对于任意实数x,y,满足f(x+y)=f(x)f(y),且f(1)=2,则 ++…+=( )
A.1 012 B.2 023 C.2 024 D.4 046
解析：C 对于f(x+y)=f(x)f(y),令y=1,得f(x+1)=f(x)·f(1)=2f(x),所以=2,所以++…+=2×1 012=2 024.
9.(2025江苏南京励志高级中学月考)已知函数f(x)=(x≠0).
(1)分别计算f(2)+f, f(3)+f的值;
(2)计算f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 022)+f+f+…+f的值.
解析 (1)f(2)+f=+=+=1, f(3)+f=+=+=1.
(2)由f(x)=,可得f(1)=,f(x)+f=+=+==1(x≠0),
故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 022)+f+f+…+f=f(1)++f(3)+f+…+=+2 021=.
10.(2024江苏启东汇龙中学阶段检测)求下列函数的值域.
(1)f(x)=x++1;
(2)f(x)=;
(3)y=.
解析 (1)设t=(t≥0),则x=-,则g(t)=-+t+1=-+t+,t≥0,
由二次函数的性质可知g(t)≤g(1)=3,故f(x)的值域为(-∞,3].
(2)f(x)=====-,其中x≠1,且x≠-,
因为≠0,所以f(x)=≠.
当x=1时,==-. 故函数f(x)的值域为∪∪.
(3)解法一:y==2+,令t=x2-x+1,则t=+≥,
所以0<≤4,所以2<2+≤6,即2故函数y=的值域为(2,6].
解法二:易知函数的定义域为R.
由y=得(y-2)x2-(y-2)x+y-5=0,此方程必有实数解,则Δ=[-(y-2)]2-4(y-2)(y-5)≥0,
整理,得(y-2)(y-6)≤0,所以2≤y≤6,
当y=2时,方程为-3=0,不成立,故y≠2,故函数y=的值域为(2,6].
四 函数的表示方法
1.(2025江苏苏州期中)如图,正方体容器内放了一个圆柱形烧杯,向放在容器底部的烧杯注水(流量一定),注满烧杯后,继续注水,直至注满正方体容器,则正方体容器中水面上升高度h与注水时间t之间的函数图象可能是( )
解析：D 开始注水时,水注入烧杯中,正方体内无水,高度不变;烧杯内注满水后,继续注水,正方体内水面开始上升,且上升速度较快;当正方体内水面和烧杯内的水面持平时,继续注水,正方体内水面继续上升,且上升速度减慢.
故正方体容器中水面上升高度h与注水时间t之间的函数图象可能是D.
五 函数解析式的求法
2.(2024江苏盐城阜宁中学期中)已知函数f(-2)=x-4+5,则f(x)的解析式为( )
A.f(x)=x2+1(x≥0) B.f(x)=x2+1(x≥-2)
C.f(x)=x2(x≥0) D.f(x)=x2(x≥-2)
解析：B 解法一(配凑法):f(-2)=(-2)2+1,所以f(x)=x2+1(x≥-2).
解法二(换元法):令t=-2,则t≥-2,x=(t+2)2,
所以f(t)=(t+2)2-4(t+2)+5=t2+1,
所以f(x)=x2+1(x≥-2).
3.(2025江苏无锡第一中学质检)已知f(x)是二次函数,且f(0)=3,若f(x+1)-f(x)=2x+3,则f(x)的解析式为 .
解析：f(x)=x2+2x+3 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
因为f(0)=3,所以c=3,所以f(x)=ax2+bx+3,
所以f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+3-(ax2+bx+3)=2ax+a+b=2x+3,
所以解得所以f(x)=x2+2x+3.
4.(2025江苏扬州高邮开学考试)写出满足f(x-y)=f(x)+f(y)-2xy的函数的解析式: .
解析： f(x)=x2
对于f(x-y)=f(x)+f(y)-2xy,令x=y=0,得f(0)=0;令y=x,得f(x-x)=f(x)+f(x)-2x2,所以f(x)+f(x)=2x2,所以f(x)=x2.
三 分段函数
5.(2025江苏南京师范大学附属中学期中)已知函数f(x)=则f(-4)=( )
A.-4 B.-2 C.0 D.2
解析：B f(-4)=f(-2)=f(0)=f(2)=22-3×2=-2.
6.(2024江苏镇江期中)已知函数f(x)=若f(f(0))=-2,则实数a=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
解析：B 由题知f(0)=1, f(1)=1-a,∵f(f(0))=-2,∴f(1)=1-a=-2,∴a=3.
7.(2024江苏句容高级中学阶段检测)已知f(x)=若f(a)<-3,则a的取值范围为( )
A.(-3,+∞) B.[-3,+∞)
C.(-∞,-3) D.(-∞,-3]
解析：C ①当a≤-2时, f(a)=a,由f(a)<-3,得a<-3;
②当-2③当a≥4时, f(a)=3a,由f(a)<-3,得3a<-3,解得a<-1,此时不等式无解.
综上,a的取值范围是(-∞,-3).
六 函数单调性的应用
1.(2025江苏启东中学月考)已知函数f(x)=x2-4kx-8在区间[2,4]上具有单调性,则实数k的取值范围为( )
A.[1,2] B.(-∞,1]
C.[2,+∞) D.(-∞,1]∪[2,+∞)
解析：D 易得函数f(x)的图象的对称轴方程为x=2k.
若函数f(x)在区间[2,4]上单调递增,则2k≤2,解得k≤1;
若函数f(x)在区间[2,4]上单调递减,则2k≥4,解得k≥2.
综上,实数k的取值范围为(-∞,1]∪[2,+∞).
解题模板 解决二次函数的单调性问题,其关键是确定二次函数图象的对称轴,确定单调区间与对称轴之间的位置关系是解题的突破口.
2.(2025江苏盐城东台期中)已知函数f(x)=若对任意的x1,x2且x1≠x2,都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0,则实数a的取值范围是 .
解析：
由题意得, f(x)在R上单调递减,
所以解得a∈.
(由分段函数的单调性确定参数的取值范围时,不仅要分别利用每段函数的单调性列出不等式,还要根据在分界点处的函数值的大小关系列出不等式)
知识总结 函数单调性的等价形式
增函数 (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 >0.
减函数 (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0 <0.
3..(2025江苏苏州常熟期中)已知函数f(x)=则不等式f(2x-4)>f(x2-3x)的解集为 .
解析： (1,4)
当x<0时, f(x)=-,其在(-∞,0)上单调递增,所以f(x)<2;
当x≥0时, f(x)=x+2,其在[0,+∞)上单调递增,所以f(x)≥2,
所以f(x)在R上单调递增,所以由f(2x-4)>f(x2-3x),得2x-4>x2-3x,即x2-5x+4<0,解得14.(2024江苏镇江期中)设f(x)是定义在R上的函数,且对任意实数x,有f(1-x)=x2-3x+3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=|f(x)-ax+3|在[1,3]上单调递增,求实数a的取值范围.
解析：(1)令1-x=t,则x=1-t,
所以f(t)=(1-t)2-3(1-t)+3=t2+t+1,所以f(x)=x2+x+1.
(2)由(1)知, f(x)=x2+x+1,
所以g(x)=|f(x)-ax+3|=|x2+(1-a)x+4|,
设h(x)=x2+(1-a)x+4,
当Δ=(1-a)2-16≤0,即-3≤a≤5时,h(x)≥0恒成立,
此时g(x)=x2+(1-a)x+4,其图象的对称轴为直线x=,则≤1,即a≤3,所以-3≤a≤3;
当Δ=(1-a)2-16>0,即a<-3或a>5时,
或
解得a≥7或a<3,所以a<-3或a≥7.
综上,实数a的取值范围为(-∞,3]∪[7,+∞).
七 函数的单调性与最值
5.(2025江苏南京外国语学校期中)函数f(x)=在区间[2,6]上的最大值为( )
A.3 B. C.2 D.
解析：A 易知f(x)===1+,所以函数f(x)在区间[2,6]上单调递减,
所以f(x)在[2,6]上的最大值为f(2)=3.
6.(2024江苏盐城滨海中学期中)函数f(x)=2x2-2ax+3在区间[-1,1]上的最小值记为g(a).
(1)当a=2时,求函数f(x)在区间[-1,2]上的值域;
(2)求f(x)的最小值g(a).
解析：(1)当a=2时, f(x)=2x2-4x+3,其图象的对称轴为直线x=1,故f(x)=2x2-4x+3在区间[-1,1]上单调递减,在区间[1,2]上单调递增,
则f(x)min=f(1)=1, f(x)max=f(-1)=9,
故函数f(x)在区间[-1,2]上的值域为[1,9].
(2)函数f(x)=2x2-2ax+3的图象的对称轴为直线x=,
当<-1,即a<-2时, f(x)在区间[-1,1]上单调递增,故g(a)=f(-1)=5+2a;
当-1≤≤1,即-2≤a≤2时,
f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,故g(a)=f =-+3;
当>1,即a>2时, f(x)在区间[-1,1]上单调递减,故g(a)=f(1)=5-2a.
综上所述,g(a)=
八 函数最值的应用
8.(2024江苏南通曲塘中学阶段检测)二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3,则a=( )
A.-1 B.1 C.-2 D.-
解析：A 因为二次函数有最大值,所以a<0,
又二次函数y=ax2+4x+a的最大值为=,
所以=3,所以a2-3a-4=0,解得a=4或a=-1,因为a<0,所以a=-1.
9.(2024江苏仪征中学期中)已知函数f(x)=-x2-2x+3在区间[a,2]上的最大值为,则a等于( )
A. B. C.- D.或-
解析：C 函数f(x)=-x2-2x+3=-(x+1)2+4的图象的对称轴为直线x=-1,
若a≤-1,则当x=-1时,函数f(x)取得最大值,且最大值为4,不满足题意;
若-1所以当x=a时,函数f(x)取得最大值,且最大值为f(a)=-a2-2a+3=,
解得a=-或a=-(舍去).
故a的值为-.
10.(多选题)(2025江苏淮安七校联盟期中)已知函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值可以为( )
A.0 B.-1 C.1 D.
解析：AB 当x≥1时, f(x)=x-,易知其在[1,+∞)上单调递增,所以f(x)≥0.
要使函数f(x)的值域为R,则需满足解得-1≤a<.
结合选项,实数a的取值可以为0,-1.
九 函数奇偶性的概念及判断
1.(2024江苏宿迁青华中学月考)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,则下列结论错误的是( )
A.f(x)+f(-x)=0 B.f(0)=0
C.f(x)·f(-x)≤0 D.=1
解析：D 对于A,B,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(x)+f(-x)=0,且f(0)=0,故A,B中说法正确;
对于C,因为f(-x)=-f(x),所以f(x)·f(-x)=-[f(x)]2≤0,当x=0时,等号成立,故C中说法正确;
对于D,当x=0时, f(-x)=0,此时无意义,故D中说法错误.
十 函数奇偶性的应用
2.(多选题)(2025江苏连云港期中)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(0,+∞)时, f(x)=x2+x,则下列说法正确的是( )
A.f(-2)=-6
B.当x∈(-∞,0)时, f(x)=-x2+x
C.f(x)在定义域R上为减函数
D.不等式f(x-1)<6的解集为(-∞,3)
解析：ABD 由题意可知f(-2)=-f(2)=-(22+2)=-6,故A正确;
令-x>0,则x<0,f(-x)=(-x)2+(-x)=x2-x=-f(x),
∴x∈(-∞,0)时,f(x)=-x2+x,故B正确;
易知y=x2+x=-在(0,+∞)上单调递增,
由奇函数的性质可知f(x)在定义域R上为增函数,故C错误;
由A,C的结论可知, f(x-1)<6=f(2),∴x-1<2,∴x<3,故D正确.
3.(2025江苏扬州高邮期中)已知函数f(x)=为[-b-1,2b]上的偶函数.
(1)求实数a,b的值;
(2)判断f(x)在[0,2]上的单调性,并用定义证明;
(3)若f(1-2m)>,求实数m的取值范围.
解析 (1)因为函数f(x)为[-b-1,2b]上的偶函数,
所以-b-1+2b=0,解得b=1,所以f(x)=.
因为函数f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即=,解得a=0.
综上,a=0,b=1.
(2)f(x)在[0,2]上单调递增.证明如下:
由(1)知,当x∈[0,2]时, f(x)==.
任取x1,x2∈[0,2],且x1==.
因为0≤x10,x1x2-4<0,+4>0,+4>0,所以<0,即f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)(3)令=,得x2-5|x|+4=0.
当x≥0时,x2-5x+4=0,解得x=1或x=4.
当x<0时,x2+5x+4=0,解得x=-1或x=-4.
因为x∈[-2,2],所以x=±1.
所以由f(1-2m)>得f(1-2m)>f(1)或f(1-2m)>f(-1).
因为f(x)是[-2,2]上的偶函数,所以f(|1-2m|)>f(1),
又f(x)在[0,2]上单调递增,所以
解得-≤m<0或1故实数m的取值范围为∪.第5章 函数概念与性质专项练习
一、函数的概念
1.(多选题)下列各组函数中,表示同一个函数的是( )
A.y=与y=x+3
B.y=-1与y=x-1
C.y=x0与y=1(x≠0)
D.y=x2-3x与y=t2-3t
2.(2025江苏无锡锡东高级中学月考)已知集合
M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},则下列图形能表示以集合M为定义域,集合N为值域的函数关系的是( )
二 函数的定义域
3.(2025江苏淮安高中校协作体期中)函数y=的定义域是( )
A.[-4,0)∪(0,4] B.(-2,2)
C.[-2,0)∪(0,2] D.[-4,4]
4.(2025江苏苏大附中期中)函数f(x)=+(3-x)0的定义域是( )
A.[1,3) B.(1,+∞)
C.(1,3)∪(3,+∞) D.[1,3)∪(3,+∞)
5.(2025江苏连云港海州高级中学质量检测)已知函数f(x+2)的定义域为(-3,4),则函数g(x)=的定义域为( )
A.(1,6) B.(1,2) C.(-1,6) D.(1,4)
6.(2025江苏无锡梅村高级中学检测)已知函数y=的定义域为R,则实数k的取值范围为( )
A.(-∞,0)∪(1,+∞)
B.(-∞,0]∪[1,+∞)
C.(0,1)
D.[0,1)
三 函数的值及值域
7.(多选题)(2025江苏常州金坛期中)下列函数中,值域为[0,+∞)的是( )
A.y=
B.y=x2+-2
C.y=,x∈(0,+∞)
D.y=
8.(2025江苏盐城第一中学月考)已知函数f(x)的定义域为R,对于任意实数x,y,满足f(x+y)=f(x)f(y),且f(1)=2,则 ++…+=( )
A.1 012 B.2 023 C.2 024 D.4 046
9.(2025江苏南京励志高级中学月考)已知函数f(x)=(x≠0).
(1)分别计算f(2)+f, f(3)+f的值;
(2)计算f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 022)+f+f+…+f的值.
10.(2024江苏启东汇龙中学阶段检测)求下列函数的值域.
(1)f(x)=x++1;
(2)f(x)=;
(3)y=.
四 函数的表示方法
1.(2025江苏苏州期中)如图,正方体容器内放了一个圆柱形烧杯,向放在容器底部的烧杯注水(流量一定),注满烧杯后,继续注水,直至注满正方体容器,则正方体容器中水面上升高度h与注水时间t之间的函数图象可能是( )
五 函数解析式的求法
2.(2024江苏盐城阜宁中学期中)已知函数f(-2)=x-4+5,则f(x)的解析式为( )
A.f(x)=x2+1(x≥0) B.f(x)=x2+1(x≥-2)
C.f(x)=x2(x≥0) D.f(x)=x2(x≥-2)
3.(2025江苏无锡第一中学质检)已知f(x)是二次函数,且f(0)=3,若f(x+1)-f(x)=2x+3,则f(x)的解析式为 .
4.(2025江苏扬州高邮开学考试)写出满足f(x-y)=f(x)+f(y)-2xy的函数的解析式: .
三 分段函数
5.(2025江苏南京师范大学附属中学期中)已知函数f(x)=则f(-4)=( )
A.-4 B.-2 C.0 D.2
6.(2024江苏镇江期中)已知函数f(x)=若f(f(0))=-2,则实数a=( )
A.2 B.3 C.4 D.5
7.(2024江苏句容高级中学阶段检测)已知f(x)=若f(a)<-3,则a的取值范围为( )
A.(-3,+∞) B.[-3,+∞)
C.(-∞,-3) D.(-∞,-3]
六 函数单调性的应用
1.(2025江苏启东中学月考)已知函数f(x)=x2-4kx-8在区间[2,4]上具有单调性,则实数k的取值范围为( )
A.[1,2] B.(-∞,1]
C.[2,+∞) D.(-∞,1]∪[2,+∞)
2.(2025江苏盐城东台期中)已知函数f(x)=若对任意的x1,x2且x1≠x2,都有[f(x1)-f(x2)](x1-x2)<0,则实数a的取值范围是 .
3..(2025江苏苏州常熟期中)已知函数f(x)=则不等式f(2x-4)>f(x2-3x)的解集为 .
4.(2024江苏镇江期中)设f(x)是定义在R上的函数,且对任意实数x,有f(1-x)=x2-3x+3.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若函数g(x)=|f(x)-ax+3|在[1,3]上单调递增,求实数a的取值范围.
七 函数的单调性与最值
5.(2025江苏南京外国语学校期中)函数f(x)=在区间[2,6]上的最大值为( )
A.3 B. C.2 D.
6.(2024江苏盐城滨海中学期中)函数f(x)=2x2-2ax+3在区间[-1,1]上的最小值记为g(a).
(1)当a=2时,求函数f(x)在区间[-1,2]上的值域;
(2)求f(x)的最小值g(a).
八 函数最值的应用
8.(2024江苏南通曲塘中学阶段检测)二次函数y=ax2+4x+a的最大值是3,则a=( )
A.-1 B.1 C.-2 D.-
9.(2024江苏仪征中学期中)已知函数f(x)=-x2-2x+3在区间[a,2]上的最大值为,则a等于( )
A. B. C.- D.或-
10.(多选题)(2025江苏淮安七校联盟期中)已知函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值可以为( )
A.0 B.-1 C.1 D.
九 函数奇偶性的概念及判断
1.(2024江苏宿迁青华中学月考)若函数f(x)是定义在R上的奇函数,则下列结论错误的是( )
A.f(x)+f(-x)=0 B.f(0)=0
C.f(x)·f(-x)≤0 D.=1
十 函数奇偶性的应用
2.(多选题)(2025江苏连云港期中)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(0,+∞)时, f(x)=x2+x,则下列说法正确的是( )
A.f(-2)=-6
B.当x∈(-∞,0)时, f(x)=-x2+x
C.f(x)在定义域R上为减函数
D.不等式f(x-1)<6的解集为(-∞,3)
3.(2025江苏扬州高邮期中)已知函数f(x)=为[-b-1,2b]上的偶函数.
(1)求实数a,b的值;
(2)判断f(x)在[0,2]上的单调性,并用定义证明;
(3)若f(1-2m)>,求实数m的取值范围.