第8节 函数的图象
[学习目标]
1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用.2.借助函数图象,理解和研究函数的性质.
1.利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线.首先,确定函数的定义域,化简函数解析式,讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);其次,列表(尤其注意特殊点:零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线.
2.图象变换
(1)平移变换.
(1)左右平移仅仅是相对x而言的,即发生变化的只是x本身,利用“左加右减”进行操作.如果x的系数不是1,需要把系数提出来,再进行变换.
(2)上下平移仅仅是相对y而言的,即发生变化的只是y本身,利用“上减下加”进行操作.但平时我们是对y=f(x)中的f(x)进行操作,满足“上加下减”.
(2)对称变换.
①y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称;
②y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称;
③y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称;
④y=ax(a>0,且a≠1)与y=logax(a>0,且a≠1)的图象关于直线y=x对称.
(3)翻折变换.
①y=f(x) y=|f(x)|;
②y=f(x) y=f(|x|).
(4)伸缩变换.
①y=f(x) y=f(ax);
②y=f(x) y=af(x).
1.函数图象自身的对称性.
(1)对于函数y=f(x)定义域内任意一个x的值,若f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=对称.
(2)对于函数y=f(x)定义域内任意一个x的值,若f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图象关于点(,0)中心对称.
2.两个函数图象之间的对称性(相互对称).
(1)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线(a+x)-(b-x)=0(即x=)对称.
(2)函数y=f(x-a)与y=-f(b-x)的图象关于点(,0)中心对称.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)函数y=|f(x)|为偶函数.( )
(2)函数y=f(1-x)的图象,可由y=f(-x)的图象向左平移1个单位长度得到.( )
(3)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.( )
(4)函数y=f(x)的图象关于y轴对称即函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称.( )
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(人教A版必修第一册P73习题3.1 T5改编)函数y=的图象是( )
A B
C D
【答案】 B
【解析】当x=0时,函数值为2,排除A,D;当x=3时,函数值为,排除C.故选B.
3.(人教A版必修第一册P72习题3.1 T3改编)如图是函数f(x)的图象,则下列说法错误的是( )
A.f(0)=-2
B.f(x)的定义域为[-3,2]
C.f(x)的值域为[-2,2]
D.若f(x)=0,则x=或2
【答案】 C
【解析】 由题图知f(0)=-2,故A正确;函数的定义域为[-3,2],故B正确;函数的最小值为-3,即函数的值域为[-3,2],故C错误;若f(x)=0,则x=或2,故D正确.故选C.
4.(湘教版必修第一册P92复习题三 T19改编)将函数f(x)=x3的图象向右平移2个单位长度后,得到函数g(x)的图象,则g(2)= .
【答案】 0
【解析】 将函数f(x)=x3的图象向右平移2个单位长度后,得到函数g(x)的图象,即g(x)=(x-2)3,则g(2)=0.
考点一 函数图象的作法
[例1] 作出下列函数的图象:
(1)y=()|x|;
(2)y=|log2(x+1)|;
(3)y=x2-2|x|-1.
【解】 (1)先作出y=()x的图象,保留图象中x≥0的部分,再作出y=()x的图象中x>0部分关于y轴的对称部分,即得y=()|x|的图象,如图(1)实线部分.
(2)将函数y=log2x的图象向左平移1个单位长度,再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去,即可得到函数y=|log2(x+1)|的图象,如图(2).
(3)因为y=且函数为偶函数,先用描点法作出[0,+∞)上的图象,再根据对称性作出(-∞,0)上的图象,如图(3).
作函数图象的一般方法
直接法 当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时,就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象
转化法 含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数来画图象
图象 变换法 若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称、伸缩得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序;对不能直接找到熟悉的基本初等函数的要先变形,应注意伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响
[针对训练]
作出下列函数的图象:
(1)y=;
(2)y=|x+1|(x-3).
【解】 (1)因为y==2+,故该函数图象可由y=的图象向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度得到,如图所示.
(2)令f(x)=|x+1|(x-3),则f(x)=该函数图象如图所示.
考点二 函数图象的识别
[例2] (1)(2025·山西晋中模拟)函数f(x)=的部分图象大致为( )
A B
C D
(2)已知函数y=f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能为( )
A. B.
C. D.
【答案】 (1)C (2)A
【解析】 (1)因为f(-x)==-=-f(x),且其定义域关于原点对称,所以函数f(x)为奇函数,可排除D;当00,3x3-3x<0,<0,可排除B;
当x>1时,x2+cos x>0,3x3-3x>0,>0,可排除A.故选C.
(2)y=有x≠0,而由函数y=f(x)的部分图象得出定义域内有0,不符合题意,排除D选项;函数y=f(x)的部分图象关于y轴对称,是偶函数,而f(-x)=≠f(x),不符合题意,排除B选项;当x>0时,x3>0,2x>20=1,2x+1>0,2x-1>0, >0,由题图可知当x>0时,f(x)有正有负,不符合题意,排除C选项.故选A.
函数图象的辨识可从以下方面入手:
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.
(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.
(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.
(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复.
(5)从函数的特殊点,排除不符合要求的图象.
[针对训练]
(1)函数f(x)=ln·cos x的图象大致为( )
A B
C D
(2)如图是函数f(x)的图象,f(x)的解析式可能是( )
A.f(x)=ln||
B.f(x)=ln||
C.f(x)=+
D.f(x)=-
【答案】 (1)A (2)C
【解析】 (1)由函数f(x)=ln ·cos x可知,>0,解得-2(2)由题图可知f(0)=0,若f(x)=-,f(0)=-=2,故可排除D;
当x=2时,f(2)>0,若f(x)=ln||,f(2)=ln||=ln<0,故可排除B;
当x=-时,f(-)>0,若f(x)=ln||,f(-)=ln||=ln <0,故可排除A.故选C.
考点三 函数图象的应用
角度一 利用函数的图象研究函数的性质
[例3] 对于函数f(x)=x|x|+x+1,下列结论正确的是( )
A.f(x)为奇函数
B.f(x)在定义域内是减函数
C.f(x)的图象关于点(0,1)对称
D.f(x)在区间(0,+∞)上存在零点
【答案】 C
【解析】作出f(x)=x|x|+x+1=的图象,如图所示.
由图可知,图象关于点(0,1)对称,因此函数f(x)不是奇函数,在定义域内函数f(x)为增函数,函数f(x)在区间(-∞,0)上存在零点.故选C.
利用函数的图象研究函数的性质
对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数,其性质常借助图象研究:
(1)从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值.
(2)从图象的对称性,分析函数的奇偶性.
(3)从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性.
角度二 确定零点个数、解不等式
[例4] (1)(2025·广东湛江模拟)已知函数f(x)=|2x-1|-a,g(x)=x2-4|x|+2-a,则( )
A.当g(x)有2个零点时,f(x)只有1个零点
B.当g(x)有3个零点时,f(x)有2个零点
C.当f(x)有2个零点时,g(x)有2个零点
D.当f(x)有2个零点时,g(x)有4个零点
(2)已知函数f(x)=则f(x)≤x的解集为( )
A.(-∞,0]
B.(-1,0]
C.(-1,0]∪[1,+∞)
D.[1,+∞)
[溯源探本] 本例(2)源于人教A版必修第一册P160复习参考题4 T4.
【答案】 (1)D (2)C
【解析】 (1)函数f(x),g(x)的零点个数可分别转化为函数y1=|2x-1|,y2=x2-4|x|+2的图象与直线y=a的交点的个数,作出y1=|2x-1|,y2=x2-4|x|+2的大致图象,如图所示.由图可知,当直线y=a与函数y=y2的图象有2个交点时,直线y=a与函数y=y1的图象无交点或只有1个交点;当直线y=a与函数y=y2的图象有3个交点时,直线y=a与函数y=y1的图象只有1个交点;当直线y=a与函数y=y1的图象有2个交点时,直线y=a与函数y=y2的图象有4个交点.故选D.
(2)作出函数y=f(x)与y=x的图象,如图.结合图象知不等式f(x)≤x的解集为(-1,0]∪[1,+∞).故选C.
(1)利用函数的图象研究方程根的个数:当方程与基本初等函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程f(x)=0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标.
(2)利用函数的图象研究不等式:当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.
角度三 求参数的取值范围
[例5] 已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2+m=(m+)f(x)恰有5个不同的实根,则m的取值范围为( )
A.(0,1) B.(1,+∞)
C.[1,2) D.[2,+∞)
【答案】 D
【解析】 由[f(x)]2+m=(m+)f(x),整理得[f(x)-][f(x)-m]=0,所以f(x)=或f(x)=m.作出函数f(x)的图象如图所示,由图知f(x)的图象与直线y=有两个交点,若关于x的方程[f(x)]2+m=(m+)f(x)恰有5个不同的实根,则f(x)的图象与直线y=m有三个交点,所以m的取值范围为[2,+∞).故选D.
利用函数图象求参数问题,一般先准确地作出函数图象,利用函数图象的直观性,结合其性质,求解参数问题.
[针对训练]
1.(角度一)已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是( )
A.f(x)是偶函数,单调递增区间是(0,+∞)
B.f(x)是偶函数,单调递减区间是(-∞,1)
C.f(x)是奇函数,单调递减区间是(-1,1)
D.f(x)是奇函数,单调递增区间是(-∞,0)
【答案】 C
【解析】将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对值得f(x)=画出函数f(x)的图象,如图,观察图象可知,函数f(x)的图象关于原点对称,故函数f(x)为奇函数,且在区间(-1,1)上单调递减.故选C.
2.(角度二)使log2 (-x)【答案】 (-1,0)
【解析】 在同一平面直角坐标系内作出y=log2 (-x),y=x+1的图象,由图象知满足条件的x∈(-1,0).
3.(角度三)若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则实数a的取值范围是 .
【答案】 (0,+∞)
【解析】 在同一个平面直角坐标系中画出函数y=|x|与y=a-x的图象,如图所示.由图象知当a>0时,方程|x|=a-x只有一个解.第8节 函数的图象
[学习目标]
1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数,理解函数图象的作用.2.借助函数图象,理解和研究函数的性质.
1.利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线.首先,确定函数的定义域,化简函数解析式,讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);其次,列表(尤其注意特殊点:零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线.
2.图象变换
(1)平移变换.
(1)左右平移仅仅是相对x而言的,即发生变化的只是x本身,利用“左加右减”进行操作.如果x的系数不是1,需要把系数提出来,再进行变换.
(2)上下平移仅仅是相对y而言的,即发生变化的只是y本身,利用“上减下加”进行操作.但平时我们是对y=f(x)中的f(x)进行操作,满足“上加下减”.
(2)对称变换.
①y=f(x)与y=-f(x)的图象关于x轴对称;
②y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称;
③y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称;
④y=ax(a>0,且a≠1)与y=logax(a>0,且a≠1)的图象关于直线y=x对称.
(3)翻折变换.
①y=f(x) y=|f(x)|;
②y=f(x) y=f(|x|).
(4)伸缩变换.
①y=f(x) y= ;
②y=f(x) y= .
1.函数图象自身的对称性.
(1)对于函数y=f(x)定义域内任意一个x的值,若f(a+x)=f(b-x),则函数f(x)的图象关于直线x=对称.
(2)对于函数y=f(x)定义域内任意一个x的值,若f(a+x)=-f(b-x),则函数f(x)的图象关于点(,0)中心对称.
2.两个函数图象之间的对称性(相互对称).
(1)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线(a+x)-(b-x)=0(即x=)对称.
(2)函数y=f(x-a)与y=-f(b-x)的图象关于点(,0)中心对称.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)函数y=|f(x)|为偶函数.( )
(2)函数y=f(1-x)的图象,可由y=f(-x)的图象向左平移1个单位长度得到.( )
(3)当x∈(0,+∞)时,函数y=|f(x)|与y=f(|x|)的图象相同.( )
(4)函数y=f(x)的图象关于y轴对称即函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称.( )
2.(人教A版必修第一册P73习题3.1 T5改编)函数y=的图象是( )
A B
C D
3.(人教A版必修第一册P72习题3.1 T3改编)如图是函数f(x)的图象,则下列说法错误的是( )
A.f(0)=-2
B.f(x)的定义域为[-3,2]
C.f(x)的值域为[-2,2]
D.若f(x)=0,则x=或2
4.(湘教版必修第一册P92复习题三 T19改编)将函数f(x)=x3的图象向右平移2个单位长度后,得到函数g(x)的图象,则g(2)= .
考点一 函数图象的作法
[例1] 作出下列函数的图象:
(1)y=()|x|;
(2)y=|log2(x+1)|;
(3)y=x2-2|x|-1.
作函数图象的一般方法
直接法 当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时,就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象
转化法 含有绝对值符号的函数,可脱掉绝对值符号,转化为分段函数来画图象
图象 变换法 若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称、伸缩得到,可利用图象变换作出,但要注意变换顺序;对不能直接找到熟悉的基本初等函数的要先变形,应注意伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响
[针对训练]
作出下列函数的图象:
(1)y=;
(2)y=|x+1|(x-3).
考点二 函数图象的识别
[例2] (1)(2025·山西晋中模拟)函数f(x)=的部分图象大致为( )
A B
C D
(2)已知函数y=f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可能为( )
A. B.
C. D.
函数图象的辨识可从以下方面入手:
(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.
(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势.
(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性.
(4)从函数的周期性,判断图象的循环往复.
(5)从函数的特殊点,排除不符合要求的图象.
[针对训练]
(1)函数f(x)=ln·cos x的图象大致为( )
A B
C D
(2)如图是函数f(x)的图象,f(x)的解析式可能是( )
A.f(x)=ln||
B.f(x)=ln||
C.f(x)=+
D.f(x)=-
考点三 函数图象的应用
角度一 利用函数的图象研究函数的性质
[例3] 对于函数f(x)=x|x|+x+1,下列结论正确的是( )
A.f(x)为奇函数
B.f(x)在定义域内是减函数
C.f(x)的图象关于点(0,1)对称
D.f(x)在区间(0,+∞)上存在零点
利用函数的图象研究函数的性质
对于已知解析式易画出其在给定区间上图象的函数,其性质常借助图象研究:
(1)从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值.
(2)从图象的对称性,分析函数的奇偶性.
(3)从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性.
角度二 确定零点个数、解不等式
[例4] (1)(2025·广东湛江模拟)已知函数f(x)=|2x-1|-a,g(x)=x2-4|x|+2-a,则( )
A.当g(x)有2个零点时,f(x)只有1个零点
B.当g(x)有3个零点时,f(x)有2个零点
C.当f(x)有2个零点时,g(x)有2个零点
D.当f(x)有2个零点时,g(x)有4个零点
(2)已知函数f(x)=则f(x)≤x的解集为( )
A.(-∞,0]
B.(-1,0]
C.(-1,0]∪[1,+∞)
D.[1,+∞)
[溯源探本] 本例(2)源于人教A版必修第一册P160复习参考题4 T4.
(1)利用函数的图象研究方程根的个数:当方程与基本初等函数有关时,可以通过函数图象来研究方程的根,方程f(x)=0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标,方程f(x)=g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标.
(2)利用函数的图象研究不等式:当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时,常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题,从而利用数形结合求解.
角度三 求参数的取值范围
[例5] 已知函数f(x)=若关于x的方程[f(x)]2+m=(m+)f(x)恰有5个不同的实根,则m的取值范围为( )
A.(0,1) B.(1,+∞)
C.[1,2) D.[2,+∞)
利用函数图象求参数问题,一般先准确地作出函数图象,利用函数图象的直观性,结合其性质,求解参数问题.
[针对训练]
1.(角度一)已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是( )
A.f(x)是偶函数,单调递增区间是(0,+∞)
B.f(x)是偶函数,单调递减区间是(-∞,1)
C.f(x)是奇函数,单调递减区间是(-1,1)
D.f(x)是奇函数,单调递增区间是(-∞,0)
2.(角度二)使log2 (-x)3.(角度三)若关于x的方程|x|=a-x只有一个解,则实数a的取值范围是 .
