第9节 函数与方程
[学习目标]
1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系.2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理,并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解的步骤.
1.函数的零点
(1)函数零点的定义:使 f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x)有零点 函数y=f(x)的图象与x轴有公共点.
函数的零点不是一个点,而是一个实数.该实数是函数图象与x轴交点的横坐标.
2.函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的解.
函数f(x)在[a,b]上连续且单调,而且f(a)f(b)<0,则f(x)在(a,b)上有且仅有一个零点.
3.二分法
对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
用二分法求方程的近似解应具备两个条件:一是方程对应的函数在零点附近连续不断;二是该零点左、右的函数值异号.
4.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象
与x轴的交点 (x1,0),(x2,0) (x1,0) 无交点
零点个数 2 1 0
1.若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)一定有零点.特别是当y=f(x)在[a,b]上单调时,它有且仅有一个零点.
2.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( )
(2)连续函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,则f(a)·f(b)<0.( )
(3)函数y=f(x)为R上的单调函数,则f(x)有且仅有一个零点.( )
(4)用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点.( )
【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
2.(人教A版必修第一册P155习题4.5 T1改编)下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求其零点的是( )
A B
C D
【答案】 B
【解析】 二分法所求零点要求函数连续不断且零点左右函数值异号.故选B.
3.(人教A版必修第一册P146练习T2改编)在用二分法求方程3x+2x-10=0在[1,2]上的近似解时,构造函数f(x)=3x+2x-10,依次计算得f(1)=-5<0,f(2)=3>0,f(1.5)<0,f(1.75)>0,f(1.625)<0,则该近似解所在的区间是( )
A.(1,1.5) B.(1.5,1.625)
C.(1.625,1.75) D.(1.75,2)
【答案】 C
【解析】 根据f(1)=-5<0,f(1.5)<0,f(1.625)<0,f(1.75)>0,f(2)=3>0,则由二分法可得近似解所在的区间为(1.625,1.75).故选C.
4.(人教A版必修第一册P156习题4.5 T13改编)若函数f(x)=2x3+x-a在(1,2]内有零点,则实数a的取值范围是( )
A.[3,18) B.(3,18)
C.[3,18] D.(3,18]
【答案】 D
【解析】 函数f(x)=2x3+x-a在R上单调递增,由函数f(x)在(1,2]内有零点,得解得3
考点一 判断函数零点所在的区间
[例1] (1)已知函数f(x)=ln x+x-,则f(x)的零点所在的区间为( )
A.(,1) B.(1,2)
C.(2,e) D.(e,3)
(2)(多选题)下列区间内,函数f(x)=9lg x-x2+9有零点的是( )
A.(0,1) B.(2,3)
C.(3,4) D.(4,5)
[溯源探本] 本例(1)源于人教A版必修第一册P144练习T2.
【答案】 (1)B (2)AC
【解析】 (1)函数f(x)=ln x+x-的定义域为(0,+∞),又函数y=ln x,y=x,y=-在(0,+∞)上均单调递增,所以函数f(x)=ln x+x-在(0,+∞)上单调递增,又f(1)=ln 1+1-2=-1<0,f(2)=ln 2+2-1=ln 2+1>0,所以f(1)f(2)<0,所以函数f(x)的零点所在的大致区间为(1,2).故选B.
(2)因为f(x)的定义域为(0,+∞),分别画出函数y=9lg x与y=x2-9的图象,如图所示,
结合图象可知两函数图象的交点有2个,显然f(x)在(0,1)内有零点,又因为f(3)=9lg 3-9+9=9lg 3>0,f(4)=9lg 4-16+9=3lg 64-7<3lg 100-7=-1<0,所以f(3)f(4)<0,所以f(x)在(3,4)内有零点.故选AC.
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否满足f(a)·f(b)<0.若满足,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
[针对训练]
(1)函数f(x)=2x+2x-40的零点所在的一个区间是( )
A.(2,3) B.(3,4)
C.(4,5) D.(5,6)
(2)(多选题)函数y=lg x-x+1的零点所在的区间为( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
【答案】 (1)C (2)AC
【解析】 (1)因为f(2)=4+4-40=-32<0,f(3)=6+8-40=-26<0,f(4)=8+16-40=-16<0,f(5)=10+32-40=2>0,f(6)=12+64-40=36>0,可知f(4)f(5)<0,又f(x)在R上单调递增,所以函数f(x)的唯一零点所在的区间是(4,5).故选C.
(2)令lg x-x+1=0,即lg x=x-1,分别画出函数y1=lg x(x>0)与函数y2=x-1的图象,如图所示,
由图象可知,f(x)有两个零点,分别在区间(0,1)和区间(2,+∞)上,令f(x)=lg x-x+1,则f(2)=
lg 2-×2+1=lg 2>0,f(3)=lg 3-×3+1=lg 3-<0,所以f(2)f(3)<0,根据函数零点存在定理,f(x)在(2,3)内存在零点.故选AC.
考点二 确定函数零点的个数
[例2] (1)函数f(x)=(x2-x)ln|2x-3|在区间[-2,2]上的零点个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
(2)已知f(x)=则函数g(x)=f(x)-e-x的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 (1)A (2)B
【解析】 (1)令f(x)=0,得x2-x=0或ln |2x-3|=0,解得x=0或x=1或x=2,所以函数f(x)在区间[-2,2]上的零点个数为3.故选A.
(2)函数g(x)=f(x)-e-x的零点,即方程f(x)-e-x=0的解,即方程f(x)=e-x的解,即y=f(x)与y=e-x图象的交点的横坐标,由题知f(x)=在同一平面直角坐标系中画出两个函数图象如图所示,
由函数图象可知y=f(x)与y=e-x有两个交点,故函数g(x)=f(x)-e-x有2个零点.故选B.
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法:令f(x)=0,方程有多少个解,则f(x)就有多少个零点.
(2)定理法:利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.
(3)图象法:一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.
[针对训练]
(1)函数f(x)=ex|ln x|-2的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)函数f(x)=的零点个数为 .
【答案】 (1)B (2)2
【解析】 (1)函数f(x)=ex|ln x|-2的零点个数可以转化为方程|ln x|=的根的个数,也就是两函数y=|ln x|与y=的图象的交点个数,在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图象如图所示,根据图象可得有两个交点,故原函数有两个零点.故选B.
(2)当x≤0时,令x3+2=0,解得x=-,-<0,此时有1个零点;当x>0时,f(x)=x-3+ex,显然f(x)单调递增,又f()=-+<0,f(1)=-2+e>0,由函数零点存在定理知此时有1个零点.综上,共有2个零点.
考点三 函数零点的应用
角度一 根据零点的个数(或范围)求参数
[例3] (1)(2025·山西阳泉模拟)函数f(x)=log2x+x2+m在区间(1,2)上存在零点,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,-5) B.(-5,-1)
C.(1,5) D.(5,+∞)
(2)已知函数f(x)=(a∈R),若函数f(x)在R上有两个零点,则实数a的取值范围是( )
A.(0,1] B.[1,+∞)
C.(0,1) D.(-∞,1]
【答案】 (1)B (2)A
【解析】 (1)由y1=log2x在(0,+∞)上单调递增,y2=x2+m在(0,+∞)上单调递增,得函数f(x)=log2x+x2+m在区间(0,+∞)上单调递增,
因为函数f(x)=log2x+x2+m在区间(1,2)上存在零点,所以即
解得-5所以实数m的取值范围是(-5,-1).故选B.
(2)画出函数f(x)的大致图象如图所示.因为函数f(x)在R上有两个零点,所以f(x)在(-∞,0]和(0,+∞)上各有一个零点.当x≤0时,f(x)有一个零点,需a≤1;当x>0时,f(x)有一个零点,需-a<0,即a>0.综上,0根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值
范围.
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题,再加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形,再在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.
角度二 研究函数零点性质
[例4] 函数f(x)=-2sin(πx)(-1≤x≤3)的所有零点之和为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
【答案】 B
【解析】 法一 令f(x)=-2sin(πx)=0,即=2sin(πx).由于函数y==-的图象是由函数y=-的图象向右平移1个单位长度而得到的,因此函数图象关于点(1,0)对称,由于点(1,0)是函数y=2sin(πx)图象的对称点,在同一平面直角坐标系下作出两个函数的图象,如图所示,两个函数的图象有四个交点,根据对称性可知函数f(x)=-2sin(πx)(-1≤x≤3)的所有零点之和为2×2=4.故选B.
法二 令1-x=t,则2sin(πx)=2sin[π(1-t)]=2sin(π-πt)=2sin(πt),
由x=1-t以及-1≤x≤3可知-1≤1-t≤3,所以-2≤t≤2.
如图作出两函数y=,y=2sin(πt)在区间[-2,2]内的图象,可知两函数图象有四个交点,结合两函数均为奇函数可知,t1+t2+t3+t4=0,即(1-x1)+(1-x2)+(1-x3)+(1-x4)=0,因此x1+x2+x3+x4=4.故选B.
求函数的多个零点(或方程的根以及直线y=m与函数图象的多个交点横坐标)的和时,常借助函数的性质(如函数图象本身关于点的对称、直线的对称等)求和.
[针对训练]
1.(角度一)(2025·山东潍坊模拟)已知函数f(x)=若函数y=f(x)-4有3个零点,则实数a的值为( )
A.-2 B.0 C.4 D.2
【答案】 C
【解析】 由题意得,当=4时,可得x1=,x2=,有两个零点,那么另一个零点在f(x)=a上,即a=4.故选C.
2.(角度二)已知函数f(x)=若存在x1A.(0,) B.(,)
C.(0,] D.(,]
【答案】 D
【解析】 设f(x1)=f(x2)=f(x3)=t,作出函数f(x)与y=t的图象如图所示,
由图可知,当0由图可知,点(x1,t),(x2,t)关于直线x=-1对称,则x1+x2=-2,
因为函数f(x)在(2,+∞)上单调递增,
由f(x3)=-4x3+1∈(0,3],x3>2,解得2+所以x1+x2+x3=x3-2∈(,].故选D.
微点提能3 二次函数的零点分布
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)
根的分布 图象 条件转化
x1≤x2mx1mm在区间 (m,n)上 有且仅有 一个根 — f(m)·f(n)<0或 或 或
(1)具体问题需要讨论二次项系数.
(2)两根位于不同区间,只看端点函数值.
(3)两根位于同一个区间,须三看:一看判别式,二看对称轴,三看区间端点函数值.
(4)有些题目需要讨论区间的端点函数值为零的情况.
[典例] (1)(2025·云南昆明模拟)设x1,x2是关于x的方程x2+(a-1)x+a+2=0的根,若-1A.(-,-1) B.(-,)
C.(-2,1) D.(-2,-1)
(2)已知关于x的方程2x2-mx+1=0,x∈[,4]存在两个不相等的实数根,则实数m的取值范围为( )
A.(2,3] B.(2,]
C.[3,] D.(2,3]
【答案】 (1)A (2)D
【解析】 (1)由题意知,令函数f(x)=x2+(a-1)x+a+2,则函数f(x)=x2+(a-1)x+a+2的图象开口向上,若-1即
解得-(2)法一 设g(x)=2x2-mx+1,
若x∈[,4],方程2x2-mx+1=0存在两个不相等的实数根,则应有
即
解得2法二 由题意可得,2x2-mx+1=0,即m=2x+在x∈[,4]上有2个不同的解,
设f(x)=2x+,根据对勾函数的性质可知,
f(x)在[,)上单调递减,在[,4]上单调递增,且f()=3,f()=2,f(4)=,
要使m=2x+在x∈[,4]上有2个不同的解,则2解决零点分布问题的步骤
(1)根据题意画出可能的图象(数形结合).
(2)根据图象列出代数式.
(3)解出所求范围.
[拓展演练] (1)关于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根x1,x2,且x1<1A.(-,) B.(,+∞)
C.(-∞,-) D.(-,0)
(2)若函数f(x)=x2-mx-m+3在区间(-∞,5)上有两个不相等的实根,则实数m的取值范围为 .
【答案】 (1)D (2)(-∞,-6)∪(2,)
【解析】 (1)由题意可知a≠0,令f(x)=ax2+(a+2)x+9a,则只需或
即af(1)<0,
即a(11a+2)<0,解得-(2)因为f(x)在(-∞,5)上有两个不相等的实根,
所以
解得m<-6或2[学习目标]
1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系.2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理,并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解的步骤.
1.函数的零点
(1)函数零点的定义:使 的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
(2)三个等价关系:方程f(x)=0有实数解 函数y=f(x) 函数y=f(x)的图象与x轴 .
函数的零点不是一个点,而是一个实数.该实数是函数图象与x轴交点的横坐标.
2.函数零点存在定理
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有 ,那么,函数y=f(x)在区间 内至少有一个零点,即存在c∈(a,b),使得 ,这个c也就是方程f(x)=0的解.
函数f(x)在[a,b]上连续且单调,而且f(a)f(b)<0,则f(x)在(a,b)上有且仅有一个零点.
3.二分法
对于在区间[a,b]上图象连续不断且 的函数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间 ,使所得区间的两个端点逐步逼近 ,进而得到零点近似值的方法叫做二分法.
用二分法求方程的近似解应具备两个条件:一是方程对应的函数在零点附近连续不断;二是该零点左、右的函数值异号.
4.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
项目 Δ>0 Δ=0 Δ<0
二次函数 y=ax2+bx+c (a>0)的图象
与x轴的交点 (x1,0),(x2,0) (x1,0) 无交点
零点个数 2 1 0
1.若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,并且有f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)一定有零点.特别是当y=f(x)在[a,b]上单调时,它有且仅有一个零点.
2.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( )
(2)连续函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,则f(a)·f(b)<0.( )
(3)函数y=f(x)为R上的单调函数,则f(x)有且仅有一个零点.( )
(4)用二分法求函数零点的近似值适合于变号零点.( )
2.(人教A版必修第一册P155习题4.5 T1改编)下列函数图象与x轴均有交点,其中不能用二分法求其零点的是( )
A B
C D
3.(人教A版必修第一册P146练习T2改编)在用二分法求方程3x+2x-10=0在[1,2]上的近似解时,构造函数f(x)=3x+2x-10,依次计算得f(1)=-5<0,f(2)=3>0,f(1.5)<0,f(1.75)>0,f(1.625)<0,则该近似解所在的区间是( )
A.(1,1.5) B.(1.5,1.625)
C.(1.625,1.75) D.(1.75,2)
4.(人教A版必修第一册P156习题4.5 T13改编)若函数f(x)=2x3+x-a在(1,2]内有零点,则实数a的取值范围是( )
A.[3,18) B.(3,18)
C.[3,18] D.(3,18]
考点一 判断函数零点所在的区间
[例1] (1)已知函数f(x)=ln x+x-,则f(x)的零点所在的区间为( )
A.(,1) B.(1,2)
C.(2,e) D.(e,3)
(2)(多选题)下列区间内,函数f(x)=9lg x-x2+9有零点的是( )
A.(0,1) B.(2,3)
C.(3,4) D.(4,5)
[溯源探本] 本例(1)源于人教A版必修第一册P144练习T2.
确定函数零点所在区间的常用方法
(1)利用函数零点存在定理:首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续,再看是否满足f(a)·f(b)<0.若满足,则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点.
(2)数形结合法:通过画函数图象,观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.
[针对训练]
(1)函数f(x)=2x+2x-40的零点所在的一个区间是( )
A.(2,3) B.(3,4)
C.(4,5) D.(5,6)
(2)(多选题)函数y=lg x-x+1的零点所在的区间为( )
A.(0,1) B.(1,2)
C.(2,3) D.(3,4)
考点二 确定函数零点的个数
[例2] (1)函数f(x)=(x2-x)ln|2x-3|在区间[-2,2]上的零点个数为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
(2)已知f(x)=则函数g(x)=f(x)-e-x的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
求解函数零点个数的基本方法
(1)直接法:令f(x)=0,方程有多少个解,则f(x)就有多少个零点.
(2)定理法:利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.
(3)图象法:一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.
[针对训练]
(1)函数f(x)=ex|ln x|-2的零点个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
(2)函数f(x)=的零点个数为 .
考点三 函数零点的应用
角度一 根据零点的个数(或范围)求参数
[例3] (1)(2025·山西阳泉模拟)函数f(x)=log2x+x2+m在区间(1,2)上存在零点,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,-5) B.(-5,-1)
C.(1,5) D.(5,+∞)
(2)已知函数f(x)=(a∈R),若函数f(x)在R上有两个零点,则实数a的取值范围是( )
A.(0,1] B.[1,+∞)
C.(0,1) D.(-∞,1]
根据函数零点的情况求参数的三种常用方法
(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数的取值
范围.
(2)分离参数法:先将参数分离,转化成求函数值域问题,再加以解决.
(3)数形结合法:先对解析式变形,再在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解.
角度二 研究函数零点性质
[例4] 函数f(x)=-2sin(πx)(-1≤x≤3)的所有零点之和为( )
A.2 B.4 C.6 D.8
求函数的多个零点(或方程的根以及直线y=m与函数图象的多个交点横坐标)的和时,常借助函数的性质(如函数图象本身关于点的对称、直线的对称等)求和.
[针对训练]
1.(角度一)(2025·山东潍坊模拟)已知函数f(x)=若函数y=f(x)-4有3个零点,则实数a的值为( )
A.-2 B.0 C.4 D.2
2.(角度二)已知函数f(x)=若存在x1A.(0,) B.(,)
C.(0,] D.(,]
微点提能3 二次函数的零点分布
一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)
根的分布 图象 条件转化
x1≤x2mx1mm在区间 (m,n)上 有且仅有 一个根 — f(m)·f(n)<0或 或 或
(1)具体问题需要讨论二次项系数.
(2)两根位于不同区间,只看端点函数值.
(3)两根位于同一个区间,须三看:一看判别式,二看对称轴,三看区间端点函数值.
(4)有些题目需要讨论区间的端点函数值为零的情况.
[典例] (1)(2025·云南昆明模拟)设x1,x2是关于x的方程x2+(a-1)x+a+2=0的根,若-1A.(-,-1) B.(-,)
C.(-2,1) D.(-2,-1)
(2)已知关于x的方程2x2-mx+1=0,x∈[,4]存在两个不相等的实数根,则实数m的取值范围为( )
A.(2,3] B.(2,]
C.[3,] D.(2,3]
解决零点分布问题的步骤
(1)根据题意画出可能的图象(数形结合).
(2)根据图象列出代数式.
(3)解出所求范围.
[拓展演练] (1)关于x的方程ax2+(a+2)x+9a=0有两个不相等的实数根x1,x2,且x1<1A.(-,) B.(,+∞)
C.(-∞,-) D.(-,0)
(2)若函数f(x)=x2-mx-m+3在区间(-∞,5)上有两个不相等的实根,则实数m的取值范围为 .