圆锥曲线小题训练
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1. 经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2. “”是“点在圆内”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
3. 已知抛物线上的点P到其焦点的距离为4，若点P在第一象限，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
4. M是抛物线上一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
5.椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
6. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点为中点，若，且，则直线的斜率＝（ ）
A． B．或 C． D．或
7. 已知分别为双曲线的左、右焦点，点是上一动点，为坐标原点，则的取值范围是（ ）
A．［0，6］ B． C． D．
8.已知各项都不相等的数列，圆，圆，若圆平分圆的周长，则的所有项的和为（ ）
A．2024 B．2025 C．4048 D．4050
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足.若直线的斜率，则下列结论正确的是（ ）
A．准线方程为 B．焦点坐标
C．点的坐标为 D．的长为3
10. 已知椭圆的左 右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，下列结论正确的是（ ）
A．若，则的离心率为 B．若，则的离心率为
C．若，则的离心率为 D．若，则的离心率为
11.我们把双曲线过焦点的弦称为焦点弦，垂直于双曲线的实轴的焦点弦称为通径.在如图所示的平面直角坐标系中，双曲线（，且为常数）的左 右焦点分别为，通径长为为的右支上任意一点，作在点处的切线分别交两浙近线于点，则（ ）
A．的离心率 B．线段长度的最小值是
C．一定是线段的中点 D．面积的最小值是
第Ⅱ卷非选择题
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的左焦点，则 .
13.已知点A，B，C是离心率为的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点D，E，F分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则 ．
14.如图，双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，，若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为,则菱形的面积与矩形的面积的比值 ．
18．已知双曲线的离心率为2，过点的直线与相交于两点，且当的斜率为0时，．
(1)求的方程；
(2)是否存在，使得两点关于直线对称？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由；
(3)与直线交于点，设，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
19. 已知点是双曲线的图象上第一象限的任意一点，、分别为的左右焦点.直线，直线交轴于点.
(1)已知轴，求直线方程；
(2)求证：直线为的角平分线；
(3)若直线交于另一点，且，求直线和直线斜率之积.圆锥曲线小题训练小题训练（2025.10.24）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1. 经过点作直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
由题意得，
因为直线与连接两点的线段总有公共点，
所以由图可知，即，
即斜率的取值范围为，故选：B.
2. “”是“点在圆内”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【详解】点在圆内，
所以“”是“点在圆内”的充分不必要条件.
故选：A.
3. 已知抛物线上的点P到其焦点的距离为4，若点P在第一象限，则点P的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】将抛物线化为标准方程为，则抛物线的焦点坐标为，准线方程为.
设抛物线上一点，，由抛物线的定义可知，解得，所以点P的坐标为.故选：C.
4. M是抛物线上一点，F是抛物线的焦点，O是坐标原点，若，则（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
【答案】A
【详解】由抛物线的方程可得焦点，准线方程为，
过M作准线的垂线，垂足为，过F作的垂线，垂足为N，设，
因为，则可得，
由抛物线的定义可得，而，
所以，
整理可得：，解得，
所以M的横坐标为，
由抛物线的性质可得.故选：A
5.椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（ ）
A．3 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【分析】先根据题意求出的关系，然后根据几何关系列出等式，求出，进而求出的周长.
【详解】由光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为，得，即．
延长交于点，如图，由光的反射定律知垂直平分线段（关键点），连接OH，
则OH是的中位线，于是，
而点在圆上，则的周长等于．
故选：D.
6. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点为中点，若，且，则直线的斜率＝（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【详解】设，因为，所以，
根据双曲线的定义，可得，即，
解得，所以，，
又，
因为为中点，且，所以，
那么，
所以，则，
则，
，
设直线的倾斜角为，则，
则，
所以直线的斜率.故选：.
7. 已知分别为双曲线的左、右焦点，点是上一动点，为坐标原点，则的取值范围是（ ）
A．［0，6］ B． C． D．
【答案】B
【分析】设是双曲线右支上的一点，则有
， ，所以，再根据，即可求得范围.
【详解】解：如图所示，,
不妨设是双曲线右支上的一点，
由焦半径公式可得
，
所以，同理可得，
所以，
又因为，，
所以原式，
又因为，所以，
所以，，
所以
故选：B.
8.已知各项都不相等的数列，圆，圆，若圆平分圆的周长，则的所有项的和为（ ）
A．2024 B．2025 C．4048 D．4050
【答案】D
【分析】先求出两圆的公共弦方程，由题意，公共弦过圆C的圆心，代入圆心，可得，写出所求的表达式，利用倒序相加求和法，即可得答案.
【详解】由题意，联立，两式相减可得公共弦所在直线方程为：
，即，
因为圆平分圆的周长，
所以公共弦过圆C的圆心，
圆C的标准方程为，则圆心为，
所以，即，
又的所有项的和为，
则，
两式相加得，
因为，
所以，则.
故选：D
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足.若直线的斜率，则下列结论正确的是（ ）
A．准线方程为 B．焦点坐标
C．点的坐标为 D．的长为3
【答案】BC
【分析】由抛物线方程判断AB，先求出A点坐标再求P点坐标，从而求出的长，进而可判断CD.
【详解】由抛物线方程为，
焦点坐标，准线方程为，A错B对；
直线的斜率为，
直线的方程为，
当时，，
，
，为垂足，
点的纵坐标为，可得点的坐标为，C对；
根据抛物线的定义可知，D错.
故选:BC.
10. 已知椭圆的左 右焦点分别为，上顶点为，直线与的另一个交点为，下列结论正确的是（ ）
A．若，则的离心率为
B．若，则的离心率为
C．若，则的离心率为
D．若，则的离心率为
【答案】ABD
【分析】根据题意，利用椭圆的标准方程，以及几何性质，结合余弦定理，列出关于的方程，进而求得椭圆的离心率.
【详解】由椭圆，可得，且，则，
对于A中，若，可得，
又由椭圆的定义，可得，所以，
在中，由余弦定理得，
在中，可得，
因为，所以，整理得，
所以椭圆的离心率为，所以A正确；
对于B中，若，因为，可得，
在和中，由余弦定理得， ，
因为，所以，整理得，
所以椭圆的离心率为，所以B正确；
对于C中，若，可得
由椭圆的定义， 且，
所以，可得，所以，
在和中，由余弦定理得， ，
因为，所以，整理得，
所以椭圆的离心率为，所以C不正确；
对于D中，若，设，则，
由勾股定理，可得，即，
解得，即，，
由，且三点共线，可得，
代入椭圆的方程，可得，整理得，
所以椭圆的离心率为，所以D正确.
故选：ABD.
11.我们把双曲线过焦点的弦称为焦点弦，垂直于双曲线的实轴的焦点弦称为通径.在如图所示的平面直角坐标系中，双曲线（，且为常数）的左 右焦点分别为，通径长为为的右支上任意一点，作在点处的切线分别交两浙近线于点，则（ ）
A．的离心率
B．线段长度的最小值是
C．一定是线段的中点
D．面积的最小值是
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，求得，进而求出离心率判断A；再设出切点坐标并写出切线方程，联立切线与双曲线方程，借助判别式求出切线方程，然后逐一判断BCD.
【详解】设双曲线的半焦距为，当时，，解得，
由双曲线的通径为，得，解得，双曲线，
对于A，，因此的离心率，A正确；
设点，直线不垂直于轴，设直线方程为，
由消去得，
，
化简可得,
又，故，
切线的方程为，即，渐近线方程为，
对于C，由，得，设，
则，一定是线段的中点，C正确；
对于B，，则
，当且仅当时取等号，B错误；
对于D，直线交轴于点，的面积，
因此面积的最小值是，D正确.
故选：ACD
第Ⅱ卷非选择题
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12. 如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的左焦点，则 .
【答案】35
【分析】根据椭圆的对称性，结合椭圆定义即可求解.
【详解】设椭圆的右焦点为，连接，
根据椭圆的对称性，可知，，，
又根据椭圆的定义，得，，，，
所以，
又由椭圆，可知，
所以.
故答案为：.
13.已知点A，B，C是离心率为的双曲线上的三点，直线的斜率分别是，点D，E，F分别是线段的中点，为坐标原点，直线的斜率分别是，若，则 ．
【答案】3
【分析】由题意首先得，进一步由点差法得，由同理思想即可得解.
【详解】因为双曲线的离心率为，
所以，不妨设，
因为点A，B在上，所以，两式相减，得，
因为点是的中点，所以，，
所以，即，
所以，同理，．
因为，所以．
故答案为：3.
14.如图，双曲线的两顶点为，，虚轴两端点为，，两焦点为，，若以为直径的圆内切于菱形，切点分别为,则菱形的面积与矩形的面积的比值 ．
【答案】
【分析】根据题意得到，求得，设，可得，进而求得和，即可求得的值.
【详解】因为以为直径的圆内切于菱形，可得点到直线的距离为，
又因为虚轴的两端点为，所以，
在中，由三角形的面积公式值，即，
因为，可得，即，
又因为，解得，
设，可得，所以，
在中，可得，
所以，
菱形的面积，
所以.
故答案为：.
18．已知双曲线的离心率为2，过点的直线与相交于两点，且当的斜率为0时，．
(1)求的方程；
(2)是否存在，使得两点关于直线对称？若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由；
(3)与直线交于点，设，问：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
(3)为定值0
【分析】（1）由双曲线的离心率为2，得到，再由直线的方程为，代入双曲线的方程，求得，结合，进而得到竖曲线的方程；
（2）设直线的方程为，联立方程组，由，且，求得的范围，以及和，假设存在，使得两点关于直线对称，得到，进而得到线段的中点坐标为，结合中点不在直线上，得出结论；
（3）解：设，求得和，根据题意，求得和，化简得到，即可得到答案.
【详解】（1）解：设双曲线的焦距为，
因为的离心率为2，所以，即，所以，
当直线的斜率为0时，直线的方程为，代入，得，
所以，解得，所以的方程为．
（2）解：显然直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
联立方程组，整理得，
设，
可得，且，
解得，且，
又由，，①
假设存在，使得两点关于直线对称，则与直线垂直，所以，
所以，且，则，
因此线段的中点坐标为，
又因为，即点不在直线上，
所以不存在，使得两点关于直线对称．
（3）解：设，
由在直线上，可得，即；②
又由在直线上，可得，③
因为，可得，
即，解得，
同理：由，可得，
结合①②③，得
，
所以为定值0．
19. 已知点是双曲线的图象上第一象限的任意一点，、分别为的左右焦点.直线，直线交轴于点.
(1)已知轴，求直线方程；
(2)求证：直线为的角平分线；
(3)若直线交于另一点，且，求直线和直线斜率之积.
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）由题知，
因为轴，在第一象限，所以，将代入双曲线方程可得，
所以直线方程为，整理可得，
（2）因为，
，
，
又直线，所以，则，，
所以，，所以，
在中，①，
在中，②，
又，联立①②可得，
因为，
所以，所以直线为的角平分线.
（3）
设点，则，设直线方程为，
联立直线与双曲线方程可得，消去可得，
由韦达定理可得，
则，则，
所以，
由已知，
即，解得（舍）或，
代入双曲线，则，
由可得，
所以.
