第5节 数列的综合应用
[学习目标]
1.了解数列是一种特殊的函数,能在具体问题情境中,发现等差、等比关系,并解决相应的问题.2.掌握数列与函数、不等式相结合的综合问题,提升逻辑推理的核心素养.
数列应用的常见模型
(1)等差模型:当增加(或减少)的量是一个固定量时,该模型是等差模型,增加(或减少)的量就是公差.
(2)等比模型:当后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等比模型,这个固定的数就是公比.
(3)递推模型:找到数列中任一项与它前面项之间的递推关系式,可由递推关系入手解决实际问题,该模型是递推模型.等差模型、等比模型是该模型的两个特例.
1.(人教A版选择性必修第二册P30例3改编)已知等比数列{an}满足a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则数列{an}的公比等于( )
A.1 B.-1 C.-2 D.2
2.(人教A版选择性必修第二册P55复习参考题4T4(1)改编)已知公差不为0的等差数列{an}的第2,3,6项依次构成一个等比数列,则该等比数列的公比q为( )
A. B.3
C.± D.±3
3.(人教A版选择性必修第二册P16例4改编)已知数列{an}为首项为1,公差为4的等差数列,若在数列{an}中每相邻两项之间都插入3个数,使得新数列也是一个等差数列,则新数列的第2 024项为 .
4.(人教A版选择性必修第二册P6例4改编)如图(1)至图(4),作一个正三角形,挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形),然后在剩下的每一个小三角形中又挖去一个“中心三角形”,以此类推,如果我们用着色三角形代表挖去的部分,那么剩下的白三角形则称为谢尔宾斯基三角形,该概念由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.下列4个图形中,若着色三角形的个数依次构成数列{an}的前4项,则a6= .
考点一 等差数列与等比数列的综合问题
[例1](2025·四川绵阳模拟)已知首项为1的等差数列{an}满足a1,a2,a3+1成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足a1bn+a2bn-1+…+anb1=3n-1,求数列{bn}的前n项和Tn.
数列的综合问题常将等差、等比数列结合,两者相互联系、相互转化,解答这类问题的方法:寻找通项公式,利用性质进行转化.
[针对训练]
(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和.已知+n=2an+1.
(1)证明:{an}是等差数列;
(2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值.
考点二 数列的新定义问题
[例2] (多选题)(2025·河北承德模拟)对于给定的数列{an},如果存在实数p,q,使得an+1=pan+q对任意n∈N*成立,我们称数列{an}是“线性数列”,则下列说法正确的是( )
A.等差数列是“线性数列”
B.等比数列是“线性数列”
C.若p≠1且a1=q,则an=
D.若p≠1,且a1=q,则an是等比数列{qpn-1}的前n项和
遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、运算、验证,使问题得以解决.
[针对训练]
(2025·黑龙江大庆模拟)意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样的一列数,1,1,2,3,5,8,…,该数列的特点:从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”,则是“斐波那契数列”中的第 项.
考点三 数列与不等式的综合问题
[例3](2025·河北秦皇岛模拟)已知数列{an}的首项为a1=,且满足an+1=.
(1)求证:数列{-1}为等比数列;
(2)若++…+<2 024,求满足条件的最大整数n.
[溯源探本] 本例源于人教A版选择性必修第二册P41习题4.3 T11.
解决数列与函数、不等式的综合问题时,若是证明题,则要灵活选择不等式的证明方法,如比较法、综合法、分析法、放缩法等;若是含参数的不等式恒成立问题,则可分离参数,转化为研究最值问题来解决.
[针对训练]
已知{an}是各项都为正数的等比数列,数列{bn}满足bn=2log2an+1,且b1=1,b4=7.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)若对任意的n∈N*,都有2λan≥bn-2,求实数λ的取值范围.第5节 数列的综合应用
[学习目标]
1.了解数列是一种特殊的函数,能在具体问题情境中,发现等差、等比关系,并解决相应的问题.2.掌握数列与函数、不等式相结合的综合问题,提升逻辑推理的核心素养.
数列应用的常见模型
(1)等差模型:当增加(或减少)的量是一个固定量时,该模型是等差模型,增加(或减少)的量就是公差.
(2)等比模型:当后一个量与前一个量的比是一个固定的数时,该模型是等比模型,这个固定的数就是公比.
(3)递推模型:找到数列中任一项与它前面项之间的递推关系式,可由递推关系入手解决实际问题,该模型是递推模型.等差模型、等比模型是该模型的两个特例.
1.(人教A版选择性必修第二册P30例3改编)已知等比数列{an}满足a1=3,且4a1,2a2,a3成等差数列,则数列{an}的公比等于( )
A.1 B.-1 C.-2 D.2
【答案】 D
【解析】 设{an}的公比为q(q≠0),因为4a1,2a2,a3成等差数列,所以4a1+a1q2=4a1q,即q2-4q+4=0,解得q=2.故选D.
2.(人教A版选择性必修第二册P55复习参考题4T4(1)改编)已知公差不为0的等差数列{an}的第2,3,6项依次构成一个等比数列,则该等比数列的公比q为( )
A. B.3
C.± D.±3
【答案】 B
【解析】 设等差数列{an}的公差为d(d≠0),首项为a1,则a2=a1+d,a3=a1+2d,a6=a1+5d,由题意得(a1+2d)2=(a1+d)(a1+5d),化简可得d=-2a1.所以a2=-a1,a3=-3a1,所以q=3.故选B.
3.(人教A版选择性必修第二册P16例4改编)已知数列{an}为首项为1,公差为4的等差数列,若在数列{an}中每相邻两项之间都插入3个数,使得新数列也是一个等差数列,则新数列的第2 024项为 .
【答案】 2 024
【解析】 设在数列{an}中每相邻两项之间都插入3个数,得到新的等差数列{bn},则{bn}的首项为1,公差为1,所以新数列的第2 024项为b2 024=1+2 023×1=2 024.
4.(人教A版选择性必修第二册P6例4改编)如图(1)至图(4),作一个正三角形,挖去一个“中心三角形”(即以原三角形各边的中点为顶点的三角形),然后在剩下的每一个小三角形中又挖去一个“中心三角形”,以此类推,如果我们用着色三角形代表挖去的部分,那么剩下的白三角形则称为谢尔宾斯基三角形,该概念由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出.下列4个图形中,若着色三角形的个数依次构成数列{an}的前4项,则a6= .
【答案】 364
【解析】 依题意可知a1=1,a2=4,a3=13,a4=40,且an+1=3an+1,
所以a5=3a4+1=3×40+1=121,a6=3a5+1=3×121+1=364.
考点一 等差数列与等比数列的综合问题
[例1](2025·四川绵阳模拟)已知首项为1的等差数列{an}满足a1,a2,a3+1成等比数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足a1bn+a2bn-1+…+anb1=3n-1,求数列{bn}的前n项和Tn.
【解】(1)设{an}的公差为d,又a1,a2,a3+1成等比数列,所以=a1·(a3+1),所以=
a1(a1+2d+1),又a1=1,即(1+d)2=2+2d,解得d=1或d=-1,而当d=-1时,不满足a1,a2,a3+1成等比数列,所以d=1,所以an=1+(n-1)×1=n.
(2)令Dn=a1bn+a2bn-1+…+anb1=3n-1,则Dn+1=a1bn+1+a2bn+…+an+1b1=3n+1-1,两式相减有Dn+1-Dn=a1bn+1+(bn+bn-1+…+b1)=2·3n,所以数列{bn}的前n+1项和为2·3n,即Tn+1=2·3n,又D1=a1b1=2,所以b1=2,所以b1+b2+…+bn=2·3n-1,所以Tn=2·3n-1.
数列的综合问题常将等差、等比数列结合,两者相互联系、相互转化,解答这类问题的方法:寻找通项公式,利用性质进行转化.
[针对训练]
(2022·全国甲卷)记Sn为数列{an}的前n项和.已知+n=2an+1.
(1)证明:{an}是等差数列;
(2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值.
(1)【证明】 由+n=2an+1,
得2Sn+n2=2ann+n,①
所以2Sn+1+(n+1)2=2an+1(n+1)+(n+1),②
②-①,得2an+1+2n+1=2an+1(n+1)-2ann+1,
化简得an+1-an=1,
所以数列{an}是公差为1的等差数列.
(2)【解】 由(1)知数列{an}的公差为1.
由=a4a9,得(a1+6)2=(a1+3)(a1+8),
解得a1=-12.
所以Sn=-12n+==(n-)2-,所以当n=12或13时,Sn取得最小值,最小值为-78.
考点二 数列的新定义问题
[例2] (多选题)(2025·河北承德模拟)对于给定的数列{an},如果存在实数p,q,使得an+1=pan+q对任意n∈N*成立,我们称数列{an}是“线性数列”,则下列说法正确的是( )
A.等差数列是“线性数列”
B.等比数列是“线性数列”
C.若p≠1且a1=q,则an=
D.若p≠1,且a1=q,则an是等比数列{qpn-1}的前n项和
【答案】 AB
【解析】 若数列{an}为等差数列,则an+1-an=d,即an+1=an+d,满足“线性数列”的定义,故A正确;若数列{an}为等比数列,则=q,即an+1=qan,满足“线性数列”的定义,故B正确;
设an+1-k=p(an-k),k∈R,则k-pk=q,解出k=,则an-=pn-1(a1-),因此an=,故C错误;
由C选项的分析知,若p=0且q≠0,则an=q,数列{qpn-1}的前n项和为0,显然D错误.故选AB.
遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、运算、验证,使问题得以解决.
[针对训练]
(2025·黑龙江大庆模拟)意大利数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样的一列数,1,1,2,3,5,8,…,该数列的特点:从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数所组成的数列{an}称为“斐波那契数列”,则是“斐波那契数列”中的第 项.
【答案】 2 025
【解析】 依题意有an+2=an+1+an,所以a2 024a2 025=a2 024(a2 024+a2 023)=+a2 023(a2 023+
a2 022)=++a2 022(a2 022+a2 021)=+++…++a2a1=++
+…++,
所以==a2 025.
考点三 数列与不等式的综合问题
[例3](2025·河北秦皇岛模拟)已知数列{an}的首项为a1=,且满足an+1=.
(1)求证:数列{-1}为等比数列;
(2)若++…+<2 024,求满足条件的最大整数n.
[溯源探本] 本例源于人教A版选择性必修第二册P41习题4.3 T11.
(1)【证明】an+1=两边取倒数得,==-1,即-1=-2=2(-1),
又-1=2,故{-1}是首项为2,公比为2的等比数列.
(2)【解】由(1)得-1=2×2n-1=2n,故=2n+1,
所以++…+=21+1+22+1+…+2n+1=(21+22+…+2n)+n=+n=2n+1-2+n,故2n+1-2+n<
2 024,则2n+1+n-2 026<0,由于f(n)=2n+1+n-2 026单调递增,且f(9)=210+9-2 026=-993<0,
f(10)=211+10-
2 026=32>0,故满足条件的最大整数n为9.
解决数列与函数、不等式的综合问题时,若是证明题,则要灵活选择不等式的证明方法,如比较法、综合法、分析法、放缩法等;若是含参数的不等式恒成立问题,则可分离参数,转化为研究最值问题来解决.
[针对训练]
已知{an}是各项都为正数的等比数列,数列{bn}满足bn=2log2an+1,且b1=1,b4=7.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)若对任意的n∈N*,都有2λan≥bn-2,求实数λ的取值范围.
【解】(1)因为bn=2log2an+1,b1=1,b4=7,所以b1=1=2log2a1+1,则a1=1,b4=7=2log2a4+1,则a4=8,因为{an}是各项都为正数的等比数列,所以q3==8,即q=2,所以an=2n-1,则bn=2log2an+1=
2(n-1)+1=2n-1.
(2)因为2λan≥bn-2恒成立,所以λ≥=恒成立,设f(n)=(n∈N*),则f(n+1)-f(n)=-=,当n≤2时,f(n+1)-f(n)>0,则f(3)>f(2)>f(1);
当n≥3时,f(n+1)-f(n)<0,则f(3)>f(4)>f(5)>….
所以f(n)max=f(3)=,则λ≥.故实数λ的取值范围是[,+∞).
