第一～三章综合质量检测
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第I卷（选择题58分）
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
已知集合且，集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
命题“，”否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
已知，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
若，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．7
已知幂函数的图象过点，下列说法中正确的是（ ）
A. 是奇函数 B. 的定义域是
C. 的值域是 D. 在定义域上单调递减
已知是上的偶函数，且，当时，，则等于（ ）
A. B. C. D.
已知，且，则的最小值为（ ）
A. 12 B. 10 C. 9 D. 8
对实数a和b，定义运算“◎”：，设函数（），若函数的图象与x轴恰有1个公共点，则实数m的取值范围是（ ）
B.
C. D.
二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
已知，且，则（ ）
B.
C. D.
关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为或
已知函数（），则（ ）
A. 函数为奇函数
B. 函数的值域是
C. 函数在上单调递减
D. 若对任意的，恒成立，则当时，或或
第II卷（非选择题92分）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
已知函数，则______.
已知是上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为 ．
若对，使得成立，则实数的取值范围为______．
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
（1）已知关于x的不等式的解集为.求实数a，b的值；
（2）关于x的不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.
某农村合作社为了提高蔬菜产量，增加农民收入，计划建造一批蔬菜大棚.经过调研得知，初期需投入固定成本20万元，除此之外，建造个蔬菜大棚需另投入成本万元，且初步估计每个蔬菜大棚未来能带来30万元收入.
（1）求蔬菜大棚带来利润（万元）关于大棚个数的函数关系式；
（2）建造多少个蔬菜大棚时，带来的利润最大 并求最大利润.
已知函数.
（1）判断在上的单调性，并求其在上的最大值与最小值；
（2）若对任意的，总存在，满足，求的取值范围.
定义：为函数在上的平均变化率．
（1）若函数在上的平均变化率为3，证明：．
（2）设，a，，且．
①证明：．
②求的取值范围．
参考公式：．第一～三章综合质量检测
参考答案
选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D B C D D B A D BD ACD ABD
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
已知集合且，集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】D ，.
命题“，”否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【解析】B 由特称命题的否定为全称命题，则原命题的否定为，.
已知，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】C 令，则，
所以，
所以.
所以.
若，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．7
【解析】D 因为，所以，故，
当且仅当，即时等号成立，故的最小值为7．
已知幂函数的图象过点，下列说法中正确的是（ ）
A. 是奇函数 B. 的定义域是
C. 的值域是 D. 在定义域上单调递减
【解析】D ∵幂函数的图象过点，设，
∴，即，得，
∴，其定义域为，故B错误；
∵定义域关于原点不对称，∴为非奇非偶函数，故A错误；
∵定义域为，，∴的值域是，故C错误；
∵，∴在定义域上单调递减，故D正确.
已知是上的偶函数，且，当时，，则等于（ ）
A. B. C. D.
【解析】B 由条件得.
已知，且，则的最小值为（ ）
A. 12 B. 10 C. 9 D. 8
【解析】A 因为，所以，
由，得，
则
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为12.
对实数a和b，定义运算“◎”：，设函数（），若函数的图象与x轴恰有1个公共点，则实数m的取值范围是（ ）
B.
C. D.
【解析】D 因为，，
所以：当，即：，解得：，此时：；
当时，在区间上有最小值：，
当时，在区间上有最大值：
所以：当时，
当，即：，解得：或，此时，
当时，单调递增，所以：，
当时，单调递减，所以：，
所以：当或，
作出的图象，如图所示：
函数的图象与轴恰有1个公共点，转化为函数的图象与直线恰有1个交点，
由图象并结合各分段区间上的的值，可得：或，
则实数m的取值范围是.故D项正确.
二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
已知，且，则（ ）
B.
C. D.
【解析】BD 对于 A ，由 ，得 ，所以 ，故 A 错误；
对于 B，由 ，得 ，故 B 正确；
对于 C ，由 ，得 ，当 时， ，故 C 错误；
对于 D，由 ，可得 ，得 ，故 D 正确．
关于的不等式的解集为或，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为或
【解析】ACD 由一元二次不等式得解集结构可得：
且和是的两个根，
故，，得，，
A选项：由可判断A正确；
B选项：，故B错误；
C选项：由得得，故C正确；
D选项：由得，得，得或，故D正确.
已知函数（），则（ ）
A. 函数为奇函数
B. 函数的值域是
C. 函数在上单调递减
D. 若对任意的，恒成立，则当时，或或
【解析】ABD 选项A，由题意得，，
所以函数是奇函数，故A正确；
选项BC，由函数解析式可得，函数图象如图所示，
所以的值域是，在上单调递增，故B正确，C错误；
选项D，由函数在上单调递增，
则当时，，
恒成立，则恒成立，
即恒成立，
令，即时恒成立，
则，解得：或或，故D正确．
第II卷（非选择题92分）
填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
已知函数，则______.
【解析】已知函数，
则，所以．
已知是上的偶函数，且当时，，则不等式的解集为 ．
【解析】当时，，解得，
因为是上的偶函数，故图象关于轴对称，
所以当时，，
令，解得，
综上，的解集为.
若对，使得成立，则实数的取值范围为______．
【解析】由，得．
由题意可得，使得成立，
即，使得成立．
，当且仅当时等号成立，故．
解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
已知集合，集合.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【解析】（1），即且，
解得，所以，
当时，，
所以.
（2）由题意得，
当时，符合题意，此时，解得；
当时，应满足，解得；
故的取值范围是.
（1）已知关于x的不等式的解集为.求实数a，b的值；
（2）关于x的不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.
【解析】（1）不等式的解集为，
所以1和b是方程的解，且,
即得，解得，；
（2）当时，不等式化为，对任意实数x恒成立；
当时，应满足，解得，
综上，a的取值范围是
某农村合作社为了提高蔬菜产量，增加农民收入，计划建造一批蔬菜大棚.经过调研得知，初期需投入固定成本20万元，除此之外，建造个蔬菜大棚需另投入成本万元，且初步估计每个蔬菜大棚未来能带来30万元收入.
（1）求蔬菜大棚带来利润（万元）关于大棚个数的函数关系式；
（2）建造多少个蔬菜大棚时，带来的利润最大 并求最大利润.
【解析】（1）根据题意得
当时，，
当时，，
所以
（2）当时，，
在内单调递增，所以当时，的最大值为80，
当时，，
因为，当且仅当，
即时，等号成立，
所以，
因为，所以当时，的最大值为120，
所以建造12个生态农场获得的利润最大，最大利润为120万元.
已知函数.
（1）判断在上的单调性，并求其在上的最大值与最小值；
（2）若对任意的，总存在，满足，求的取值范围.
【解析】（1）因为，可知在上单调递增，
证明如下：任取，且，则，
可得，即，则，
即，可知函数在上单调递增，
所以在上的最大值为，最小值为.
（2）若存在，满足，则，
因为函数在上单调递增，则，
可得对任意，满足，得恒成立，
又因为函数在单调递减，在单调递增，
且，可知的最大值为5，即，解得，
所以实数的取值范围.
定义：为函数在上的平均变化率．
（1）若函数在上的平均变化率为3，证明：．
（2）设，a，，且．
①证明：．
②求的取值范围．
参考公式：．
【解析】（1）证明：因为在上的平均变化率为3，
所以．
由，得，
从而，则．
（2）①证明：因为，
所以，
又，所以，
则，从而．
，
因为a，，所以，，则，即．
又，所以，即．
②解：任取，
则，
即，所以在上单调递减，
由，得．
因，所以，解得，
则，
则，
故的取值范围为．
