一元二次方程、不等式
【基础回顾】
知识点1．
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系
方程的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数 的图象
方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1
不等式 的解集 {x|xx2} R
知识点2.分式不等式与整式不等式
(1) >0(<0) f(x)g(x)>0(<0)；
(2) ≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
知识点3．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|0)的解集为(－a，a)．
【必备知识】
1．一元二次不等式恒成立问题
(1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立 a>0且Δ<0；
(2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立 a<0且Δ<0；
(3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形．
2．对于不等式ax2＋bx＋c>0，需要讨论a＝0时的情形．
题型一 求解一元二次不等式
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
【例题精讲】
1．集合A＝{x|﹣2≤x＜3}，B＝{x|x2﹣5x+6≤0}，则A∩B＝（ ）
A．{x|﹣2≤x＜3} B．{x|﹣2≤x≤3} C．{x|2≤x＜3} D．{x|2＜x≤3}
【答案】C
【解答】解：已知集合A＝{x|﹣2≤x＜3}，B＝{x|x2﹣5x+6≤0}＝{x|2≤x≤3}，
故A∩B＝{x|﹣2≤x＜3}∩{x|2≤x≤3}＝{x|2≤x＜3}．
故选：C．
2．已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则（ RA）∩B＝（ ）
A．{﹣3，﹣2，﹣1} B．{﹣3，﹣2} C．{1，2，3} D．{2，3}
【答案】A
【解答】解：因为集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}＝{x|﹣1＜x＜6}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，
所以 RA＝{x|x≤﹣1或x≥6}，
则（ RA）∩B＝{﹣3，﹣2，﹣1}．
故选：A．
3．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣1，+∞） B．[﹣1，+∞） C．[0，3] D．[﹣1，3]
【答案】B
【解答】解：集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}，
所以A∪B＝{x|x≥﹣1}＝[﹣1，+∞）．
故选：B．
4．不等式x2﹣ax+b＜0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，则bx2﹣ax+1＞0的解集是（ ）
A．{x|﹣3＜x＜﹣1} B．
C．{x|x＜﹣3或x＞﹣1} D．
【答案】B
【解答】解：已知不等式x2﹣ax+b＜0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，
即﹣1，3是方程x2﹣ax+b＝0的两根，则，
则bx2﹣ax+1＝﹣3x2﹣2x+1＞0，得﹣1，
则bx2﹣ax+1＞0的解集是{x|﹣1}．
故选：B．
5．关于x的不等式2x2+（1﹣2a）x﹣a＜0的解集中整数有且只有2个，则正数a的取值范围为（ ）
A．[1，2） B．（1，2] C．（1，2） D．[1，2]
【答案】B
【解答】解：关于x的不等式2x2+（1﹣2a）x﹣a＜0的解集中整数有且只有2个，
因为a＞0，由2x2+（1﹣2a）x﹣a＜0得（2x+1）（x﹣a）＜0，解得，
所以0、，，故1＜a≤2．
因此正数a的取值范围是（1，2]．
故选：B．
题型二 一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布
解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解．
(1)判别式Δ的符号．
(2)对称轴x＝－与所给区间的位置关系．
(3)区间端点处函数值的符号．
【例题精讲】
1．若关于x的方程x2﹣ax+4＝0有两相异实根x1，x2，且0＜x1＜x2＜4，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） B．（0，5）
C．（4，5） D．（4，8）
【答案】C
【解答】解：根据题意，方程x2﹣ax+4＝0有两相异实根x1，x2，且0＜x1＜x2＜4，
则，
得4＜a＜5，
则a的取值范围为（4，5）．
故选：C．
2．若关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两个实数根的平方和等于11，则k等于（ ）
A．k＝﹣3或k＝1 B．k＝﹣3 C．k＝1 D．k＝3
【答案】C
【解答】解：设方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两个实数根为x1，x2，
则Δ＝（2k+1）2﹣4（k2﹣2）≥0，即，
由方程根与系数关系可得，，
因为方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两个实数根的平方和等于11，
则，
则（2k+1）2﹣2（k2﹣2）＝11，解得k＝﹣3（舍去）或k＝1．
故选：C．
3．若关于x的方程ax2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则的取值范围为（ ）
A．[1，+∞） B．[2，+∞） C．（1，+∞） D．（2，+∞）
【答案】D
【解答】解：若关于x的方程ax2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，
则a≠0，且Δ＝4﹣4a2＞0，
解得a∈（﹣1，0）∪（0，1），
由韦达定理，
则，
因为a∈（﹣1，0）∪（0，1），
所以a2∈（0，1），，，
则的取值范围为（2，+∞）．
故选：D．
（多选）4．下列说法正确的是（ ）
A．方程组的解集是{4，2}
B．若集合A＝{x|ax2+x+1＝0}中只有一个元素，则
C．“ac＜0”是“一元二次方程ax2+bx+c＝0有一正一负根”的充要条件
D．已知集合M＝{0，4}，则满足条件M∪N＝M的集合N的个数为4
【答案】CD
【解答】解：对于A，因为，解得，所以解集为{（4，2）}，故A错误；
对于B，当a＝0时，x+1＝0，解得x＝﹣1，此时集合A＝{﹣1}，满足题意；
当a≠0时，需满足Δ＝1﹣4a＝0，可得，因此a＝0或，故B错误；
对于C，若一元二次方程ax2+bx+c＝0有一正一负根，可知两根之积为负，
即，也即ac＜0，所以必要性成立，
由ac＜0可知一元二次方程ax2+bx+c＝0的判别式Δ＝b2﹣4ac＞0，
即该方程有两根，且两根之积，即两根异号，所以充分性成立；
故C正确；
对于D，由M∪N＝M可知N是集合M＝{0，4}的子集，
所以集合N可以是 ，{0}，{4}，{0，4}共4个，故D正确．
故选：CD．
（多选）5．下列说法正确的是（ ）
A．命题： x∈R，x2＞﹣1的否定是： x∈R，x2≤﹣1
B．一元二次不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是（﹣3，0]
C．x2＞y2是x＞y的必要而不充分条件
D．m＜0是关于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正一负根的充要条件
【答案】AD
【解答】解：对于A，命题“ x∈R，x2＞﹣1”的否定是“ x∈R，x2≤﹣1”，故A正确；
对于B，因为是一元二次不等式，故k≠0，
因为一元二次不等式对一切实数x都成立，
所以，解得﹣3＜k＜0，故B错误；
对于C，由x2＞y2，可得|x|＞|y|，例如（﹣2）2＞（﹣1）2，但﹣2＜﹣1；
x＞y也不能推出x2＞y2，例如1＞﹣2，而12＜（﹣2）2；
所以“x2＞y2”是“x＞y”的既不充分也不必要条件，故C错误；
对于D，关于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正一负根，则两根之积m＜0，
所以“m＜0”是“关于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正一负根”的充要条件，故D正确．
故选：AD．
题型三 二次函数（含参）单调性值域最值
画图像，根据定义域，画图像。如果有参数，则分别讨论“轴定区间动”还是“轴动区间定”。二次项如果有参数，需要讨论参数是否为0。
【例题精讲】
1．若函数y＝﹣x2+（m+3）x+1在区间（2，3）内存在最大值，则m的取值范围是（ ）
A．（﹣2，0） B．（﹣3，﹣1） C．（0，2） D．（1，3）
【答案】D
【解答】解：因为函数y＝﹣x2+（m+3）x+1图象的对称轴为直线，开口向下，
由函数在区间（2，3）内存在最大值，
得，解得1＜m＜3．
故选：D．
2．已知函数y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）
A．[1，+∞） B．[0，2] C．（﹣∞，2] D．[1，2]
【答案】D
【解答】解：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，作函数图象如图所示，
由图可得，若y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，
则m的取值范围是[1，2]．
故选：D．
3．若函数f（x）＝x2﹣4x+8，x∈[1，a]，它的最大值为f（a），则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，2] B．（1，3） C．（3，+∞） D．[3，+∞）
【答案】D
【解答】解：函数f（x）＝x2﹣4x+8，对称轴为x＝2，
x∈[1，a]，它的最大值为f（a），
则|a﹣2|≥|1﹣2|且a＞1，解得a≥3，
故实数a的取值范围是[3，+∞）．
故选：D．
（多选）4．函数f（x）＝x2﹣ax+2在（﹣2，4）上是单调函数，则实数a的取值范围可以是（ ）
A．a≥8 B．a＝9 C．a≥﹣4 D．a≤﹣4
【答案】ABD
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x2﹣ax+2开口向上，对称轴为，
因为函数f（x）＝x2﹣ax+2在（﹣2，4）上是单调函数，
所以或，解得a≤﹣4或a≥8．
故选：ABD．
（多选）5．已知函数f（x）＝x2+2x+1在区间[﹣2，a）上既有最大值又有最小值，则实数a的值可以是（ ）
A．﹣1 B． C．0 D．1
【答案】BC
【解答】解：f（x）＝（x+1）2，结合函数f（x）的图象可知，f（0）＝f（﹣2），
当a∈（﹣1，0]时，f（x）有最大值f（﹣2），有最小值f（﹣1）．
故选：BC．
题型四 一元二次不等式恒成立问题
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
【例题精讲】
1． x∈R，都有x2+4x+2k≥0恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．k≤2 B．k≥2 C．k＜2 D．k＞2
【答案】B
【解答】解：根据题意，二次方程x2+4x+2k＝0至多有一个实数解，
则Δ＝42﹣4×1×2k＝8（2﹣k）≤0，解不等式得k≥2．
故选：B．
2．若关于x的不等式mx2﹣5x+m≤0的解集为R，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，] B．（﹣∞，） C．[，0） D．（，0）
【答案】A
【解答】解：当m＝0时，不等式﹣5x≤0，解得x≥0，显然解集不是R，不符合题意；
当m≠0，由不等式的解集为R，
则m＜0，且方程mx2﹣5x+m＝0时，Δ＝（﹣5）2﹣4m2≤0，
可得m，
即m的范围为（﹣∞，]．
故选：A．
3．已知不等式ax2+bx+1＞0的解集，若对 x∈[4，+∞），不等式bx2﹣mx﹣2a≥0成立，则实数m的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
【答案】C
【解答】解：不等式ax2+bx+1＞0的解集为，则方程ax2+bx+1＝0的两根为，1，且a＜0，
由根与系数的关系可得，解得，
不等式bx2﹣mx﹣2a≥0，即为x2﹣mx+4≥0，
不等式x2﹣mx+4≥0对 x∈[4，+∞）恒成立，
可得，①
或，②
解①得m≤5；解②得，不等式组无解．
综上所述：m≤5，则实数m的最大值为5．
故选：C．
（多选）4．下列说法正确的是（ ）
A．当x∈R时，不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，则k的取值范围是[0，4）
B．“a＞b＞0”是“”的充分不必要条件
C．命题“”的否定是假命题
D．“集合A＝{x|ax2+x+1＝0}”中只有一个元素是“”的必要不充分条件
【答案】ABD
【解答】解：对于A，当k＝0时，1＞0恒成立，符合题意；
当k≠0时，则，解得0＜k＜4．
综上，k的取值范围是[0，4），故选项A正确；
对于B，若，当ab＞0时可得a＞b＞0或b＜a＜0；当ab＜0时可得a＜0＜b，
即或b＜a＜0或a＜0＜b，
故“a＞b＞0”是“”的充分不必要条件，选项B正确；
对于C，由于，
所以命题“”为假命题，其否定为真命题，故选项C错误；
对于D，当a＝0时，A＝{x|ax2+x+1＝0}＝{﹣1}，集合A中只有一个元素，符合题意；
当a≠0时，若集合A＝{x|ax2+x+1＝0}中只有一个元素，
则Δ＝1﹣4a＝0，解得．
则a＝0或．
故“集合A＝{x|ax2+x+1＝0}”中只有一个元素是“”的必要不充分条件，选项D正确．
故选：ABD．
（多选）5．下列命题正确的是（ ）
A．要使关于x的方程x2+（a2﹣1）x+a﹣2＝0的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是﹣2＜a＜1
B．x2﹣kx+k﹣1＜0在（1，2）上恒成立，则实数k的取值范围是k＞3
C．关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式的解集是{x|x≤﹣1或x≥2}
D．若不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，则abc＞0
【答案】AD
【解答】解：对于A，令f（x）＝x2+（a2﹣1）x+a﹣2，则有f（1）＝1+（a2﹣1）+a﹣2＜0，
解得﹣2＜a＜1，故A正确；
对于B，令g（x）＝x2﹣kx+k﹣1，
则，解得k≥3，故B错误；
对于C，∵关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），∴a＝b＞0，
则关于x的不等式的不等式等价于，即，
解得x≤﹣1或x＞2，故C错误；
对于D，若不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，则，
得a＞0，b＝﹣2a＜0，c＝﹣8a＜0，所以abc＞0，故D正确．
故选：AD．
课时精练
一．选择题（共8小题）
1．已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，则a+b＝（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
【答案】C
【解答】解：由原不等式的解集是，
可知是方程ax2﹣bx﹣1＝0的两个实根，且a＜0，
则，
解得，所以a+b＝﹣1．
故选：C．
2．若关于x的不等式﹣x2+mx﹣1 0有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．{m|m ﹣2或m 2} B．{m|﹣2 m 2}
C．{m|m＜﹣2或m＞2} D．{m|﹣2＜m＜2}
【答案】A
【解答】解：因为关于x的不等式﹣x2+mx﹣1 0有解，
所以Δ＝m2﹣4 0，解得m 2或m ﹣2，
则实数m的取值范围为{m|m 2或m ﹣2}．
故选：A．
3．已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则（ RA）∩B＝（ ）
A．{﹣3，﹣2，﹣1} B．{﹣3，﹣2} C．{1，2，3} D．{2，3}
【答案】A
【解答】解：因为集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}＝{x|﹣1＜x＜6}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，
所以 RA＝{x|x≤﹣1或x≥6}，
则（ RA）∩B＝{﹣3，﹣2，﹣1}．
故选：A．
4．已知x＞1，y＞0，x+y＝3，则（x﹣1） y的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】D
【解答】解：∵x＞1，y＞0，x+y＝3，
∴y＝3﹣x＞0，
∴1＜x＜3，
∴（x﹣1） y＝（x﹣1）（3﹣x）1（当且仅当x﹣1＝3﹣x，即x＝2时取等号），
∴（x﹣1） y的最大值是1．
故选：D．
5．关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），且x2﹣x1＝15，则a＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），且x2﹣x1＝15，
不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0可转化为（x﹣4a）（x+2a）＜0，
因为a＜0，所以4a＜﹣2a，所以可解得4a＜x＜﹣2a，
即不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＜0）的解集为（4a，﹣2a），
从而x1＝4a，x2＝﹣2a，
因为x2﹣x1＝15，所以﹣2a﹣4a＝15，解得．
故选：A．
6．若函数f（x）＝x2+（1+a）x+2在区间（3，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，7] B．[7，+∞） C．[﹣7，+∞） D．（﹣∞，﹣7]
【答案】C
【解答】解：因为f（x）＝x2+（1+a）x+2在区间（3，+∞）上单调递增，
所以3，解得a≥﹣7．
故选：C．
7．已知函数f（x）＝﹣x2+4x+5在区间[0，m]上的值域为[5，9]，则实数m的取值范围是（ ）
A．[2，4] B．[0，4] C．[0，2] D．[1，4]
【答案】A
【解答】解：已知函数f（x）＝﹣x2+4x+5在区间[0，m]上的值域为[5，9]，
又f（x）＝﹣x2+4x+5的图象开口向下，对称轴为x＝2，且f（0）＝f（4）＝5，f（2）＝9，
∵函数f（x）＝﹣x2+4x+5在区间[0，m]上的值域为[5，9]，
∴由图可知，2≤m≤4，即实数m的取值范围是[2，4]．
故选：A．
8．若a≠b，且a2﹣4a+1＝0，b2﹣4b+1＝0，则的值为（ ）
A． B．1 C．4 D．3
【答案】B
【解答】解：∵a≠b，且a2﹣4a+1＝0，b2﹣4b+1＝0，
∴a，b是一元二次方程x2﹣4x+1＝0的两个根，
∴a+b＝4，ab＝1，
∴
1．
故选：B．
二．多选题（共3小题）
（多选）9．下列命题中，正确的是（ ）
A．若a＜b，则a2＜b2
B．若b＞a＞0，m＞0，则
C．若实数x，y满足2x+9﹣y＜3﹣x+4y，则x﹣2y＜0
D．关于x的方程x2+（a2﹣1）x+a﹣2＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数a的取值范围是（，0）
【答案】BCD
【解答】解：对于A，当a＜b＜0，不成立，故A不正确；
对于B，当b＞a＞0，m＞0，则，故B正确；
对于C．令，易知f（x）在定义域上单调递增，
因为2x+9﹣y＜3﹣x+4y，
所以f（x）＝2x﹣3﹣x＜22y﹣3﹣2y＝f（2y），即x＜2y，可得x﹣2y＜0，故C正确；
对于D，令f（x）＝x2+（a2﹣1）x+a﹣2，
方程x2+（a2﹣1）x+a﹣2＝0的一个根比2大，另一个根比2小，等价于f（2）＝2a2+a＜0，可得，故D正确．
故选：BCD．
（多选）10．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜3}，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜0
B．a+b+c＞0
C．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为
D．c＞0
【答案】ABD
【解答】解：已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜3}，则当x＝1时，a+b+c＞0，故B正确；
则a＜0且﹣2和3是方程ax2+bx+c＝0的两根，故A正确；
即有，则b＝﹣a，c＝﹣6a＞0，故D正确；
又不等式cx2﹣bx+a＜0等价于﹣6ax2+ax+a＜0，即6x2﹣x﹣1＜0，得，故C错误．
故选：ABD．
（多选）11．下列不等式的解集正确的是（ ）
A．﹣x2+4x﹣4＜0的解集是{x|x≠2}
B．|x+3|≤2的解集是[﹣5，﹣1]
C．的解集是{x|﹣2≤x≤1}
D．|x﹣1|＞|2x﹣3|的解集是
【答案】ABD
【解答】解：对于A，由﹣x2+4x﹣4＜0得﹣（x﹣2）2＜0，则x≠2，故A正确；
对于B，由|x+3|≤2得﹣2≤x+3≤2，解得﹣5≤x≤﹣1，故B正确；
对于C，由得，则，解得﹣2≤x＜1，故C错误；
对于D，由|x﹣1|＞|2x﹣3|得（x﹣1）2＞（2x﹣3）2，即（2x﹣3）2﹣（x﹣1）2＜0，
则[（2x﹣3）﹣（x﹣1）][（2x﹣3）+（x﹣1）]＜0，即（x﹣2）（3x﹣4）＜0，
解得，故D正确．
故选：ABD．
三．填空题（共3小题）
12．若关于x的不等式[（k2+2）x+1] （2kx+5k+1）＞0的解集是A，且集合A中有且仅有1个整数，则实数k的取值范围是 ．
【答案】．
【解答】解：当不等式为一次不等式即k＝0时，由[（k2+2）x+1] （2kx+5k+1）＞0，得到2x+1＞0，解得，
又集合A中有且仅有1个整数，所以k＝0不合题意，
当不等式为二次不等式即k≠0时，由[（k2+2）x+1] （2kx+5k+1）＝0，得到x或，
又，若k＞0，则[（k2+2）x+1] （2kx+5k+1）＞0的解集为或，显然不合题意，
若k＜0，要使集合A中有且仅有1个整数，则或，
解得或，即k的取值范围是．
故答案为：．
13．若对任意实数都有意义，则实数k的取值范围是 [0，16] ．
【答案】[0，16]．
【解答】解：由题意对任意实数都有意义，
即 ∈R，2kx2﹣kx+2≥0成立，
①当k＝0，2≥0恒成立，符合题意；
②当k≠0时，要使2kx2﹣kx+2≥0，x∈R恒成立，
只需，
综上，实数k的取值范围是[0，16]．
故答案为：[0，16]．
14．若存在0≤x≤3，使不等式mx+m≤﹣x2成立，则m的取值范围是 （﹣∞，0] ．
【答案】（﹣∞，0]．
【解答】解：由不等式mx+m≤﹣x2，x∈[0，3]，可得m（x+1）≤﹣x2，
因x∈[0，3]，故x+1∈[1，4]，即x+1＞0，于是，
令t＝x+1，则x＝t﹣1，t∈[1，4]，代入得，
函数在[1，4]上单调递增，故在[1，4]上单调递减，
当t＝1时，取得最大值0，故m≤0．
故答案为：（﹣∞，0]．
四．解答题（共5小题）
15．设函数f（x）＝ax2+（1﹣a）x+a﹣2（a∈R）．
（1）若a＝﹣2，求f（x）＜0的解集；
（2）若不等式f（x）≥2x﹣3对一切实数恒成立，求a的取值范围；
（3）解关于x的不等式：f（x）＜a﹣1．
【答案】（1）R；
（2）；
（3）当a＜﹣1时，原不等式的解集为{x|x＞1或；
当a＝﹣1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；
当﹣1＜a＜0时，原不等式的解集为或x＜1}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＜1}；
当a＞0时，原不等式的解集为．
【解答】解：（1）若a＝﹣2，可得f（x）＝﹣2x2+3x﹣4＜0，即2x2﹣3x+4＞0，
因为Δ＝9﹣4×2×4＜0，且函数对应的抛物线开口向上，
所以不等式2x2﹣3x+4＞0的解集为R，即f（x）＜0的解集为R．
（2）因为f（x）≥2x﹣3对一切实数恒成立，
所以ax2+（1﹣a）x+a﹣2﹣2x+3＝ax2﹣（a+1）x+a+1≥0恒成立，
若a＝0，x≤1不恒成立，不符合题意；
若a≠0，则，解得；
综上，；
（3）f（x）＜a﹣1等价于ax2+（1﹣a）x﹣1＜0，
当a＝0时，不等式可化为x＜1，所以不等式的解集为{x|x＜1}．
当a＞0时，不等式可化为（ax+1）（x﹣1）＜0，此时，
所以不等式的解集为．
当a＜0时，不等式化为（ax+1）（x﹣1）＜0，
①当a＝﹣1时，，不等式的解集为{x|x≠1}；
②当﹣1＜a＜0时，，不等式的解集为或x＜1}；
③当a＜﹣1时，，不等式的解集为{x|x＞1或；
综上，当a＜﹣1时，原不等式的解集为{x|x＞1或；
当a＝﹣1时，原不等式的解集为{x|x≠1}；
当﹣1＜a＜0时，原不等式的解集为或x＜1}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x＜1}；
当a＞0时，原不等式的解集为．
16．已知函数f（x）＝ax2+bx﹣12，（a，b∈R）．
（1）若不等式f（x）＞0的解集为（﹣3，﹣1），求实数a，b的值；
（2）若b＝4，对任意x∈R，f（x）≤0恒成立，求a的范围；
（3）当b＝3a﹣4时，求解关于x的不等式f（x）≥0．
【答案】（1）a＝﹣4，b＝﹣16；
（2）；
（3）当时，不等式f（x）≥0的解集为；
当时，不等式f（x）≥0的解集为{﹣3}；
当时，不等式f（x）≥0的解集为；
当a＝0时，不等式f（x）≥0的解集为（﹣∞，﹣3]；
当a＞0时，不等式f（x）≥0的解集为．
【解答】解：（1）由题意，不等式f（x）＞0的解集为（﹣3，﹣1），即方程ax2+bx﹣12＝0的两根为﹣3和﹣1，
则由一元二次方程根与系数的关系，得，解得a＝﹣4，b＝﹣16；
（2）当b＝4时，函数f（x）＝ax2+4x﹣12，
因为对任意x∈R，f（x）≤0恒成立，即对任意x∈R，ax2+4x﹣12≤0恒成立，
当a＞0时，函数f（x）＝ax2+4x﹣12，为开口向上的二次函数，不成立；
当a＝0时，则4x﹣12≤0，解不等式得x≤3，不成立；
当a＜0时，函数f（x）＝ax2+4x﹣12，为开口向下的二次函数，
则f（x）≤0恒成立，即Δ＝42﹣4a×（﹣12）≤0，解不等式得；
综上所述，若b＝4，对任意x∈R，f（x）≤0恒成立，则a的范围为．
（3）当a＝0时，则b＝﹣4，f（x）＝﹣4x﹣12，则f（x）≥0，即﹣4x﹣12≥0，解不等式得x≤﹣3；
当a＜0时不等式化为．
当，即时，解得，
当，即时，解得x＝﹣3，
当，即时，解得；
当a≠0时，b＝3a﹣4，则f（x）＝ax2+（3a﹣4）x﹣12＝（x+3）（ax﹣4），
令f（x）＝0，解得x＝﹣3或，
当a＞0时，则，解得x≤﹣3或；
综上所述，当时，不等式f（x）≥0的解集为；
当时，不等式f（x）≥0的解集为{﹣3}；
当时，不等式f（x）≥0的解集为；
当a＝0时，不等式f（x）≥0的解集为（﹣∞，﹣3]；
当a＞0时，不等式f（x）≥0的解集为．
17．已知a∈R，命题p：方程x2﹣2x+a＝0无实根；命题q：对任意x∈R，不等式ax2﹣ax+1＞0恒成立．
（1）若p为真命题，求a的取值范围；
（2）若p、q中有且只有一个为真命题，求a的取值范围．
【答案】（1）（1，+∞）；
（2）[0，1]∪[4，+∞）．
【解答】解：（1）若p为真命题，即方程x2﹣2x+a＝0无实根，则Δ＝4﹣4a＜0，即a＞1，
故a的取值范围是（1，+∞）；
（2）若命题q：对任意x∈R，不等式ax2﹣ax+1＞0恒成立为真命题，
则a＝0或，解得0≤a＜4．
若p、q中有且只有一个为真命题，包括p真q假或p假q真，
则或，解得a≥4或0≤a≤1．
则a的取值范围是[0，1]∪[4，+∞）．
18．高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数y＝[x]成为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.2]＝1，[﹣1.2]＝﹣2．
（1）求的解集和2[x]2﹣11[x]+15≤0的解集．
（2）若，[x]2﹣m[x]+4＞0恒成立，求m取值范围．
（3）若[x]2﹣2[x]﹣a2+1≤0的解集为{x|0≤x＜3}，求a的范围．
【答案】（1）{x|﹣2≤x＜3}；{x|3≤x＜4}；
（2）（﹣∞，4）；
（3）（﹣2，﹣1]∪[1，2）．
【解答】解：（1）由题意得[x]≤x＜[x]+1，且[x]∈Z，
由，即﹣2≤[x]≤2，所以﹣2≤x＜3，
故的解集为{x|﹣2≤x＜3}；
由2[x]2﹣11[x]+15≤0，得，则[x]＝3，所以3≤x＜4．
所以原不等式的解集为{x|3≤x＜4}．
（2），[x]2﹣m[x]+4＞0恒成立，此时1≤[x]≤3，
即，恒成立，
又，当且仅当[x]，即[x]＝2时，即2≤x＜3时等号成立．
所以要使恒成立，则m＜4．
故m的取值范围为（﹣∞，4）．
（3）不等式[x]2﹣2[x]﹣a2+1≤0，即（[x]+a﹣1）（[x]﹣a﹣1）≤0，
①若a＝0，不等式为[x]2﹣2[x]+1≤0，
即[x]＝1，所以0≤x＜1，显然不符合题意；
②若a＞0，1﹣a＜1+a，
由（[x]+a﹣1）（[x]﹣a﹣1）≤0，解得1﹣a≤[x]≤1+a，
因为不等式的解集为{x|1﹣a≤[x]≤1+a}＝{x|0≤x＜3}＝{x|﹣1＜[x]＜3}，
所以，解得1≤a＜2，
③若a＜0，1+a＜1﹣a，
由（[x]+a﹣1）（[x]﹣a﹣1）≤0，解得1+a≤[x]≤1﹣a，
因为不等式解集为{x|1+a≤[x]≤1﹣a}＝{x|0≤x＜3}＝{x|﹣1＜[x]＜3}，
所以，解得﹣2＜a≤﹣1．
综上所述，﹣2＜a≤﹣1或1≤a＜2．
故a的范围为（﹣2，﹣1]∪[1，2）．
19．已知函数y＝ax2+（1﹣a）x+a（a∈R）．
（1）若ax2+（1﹣a）x+a≥0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式ax2+（1﹣a）x+a＜3a+2；
（3）若存在使关于x的方程ax2+（1﹣a）|x|＝m有四个不同的实根，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；
（2）当a＝0时，解集为（﹣∞，2）；当a＞0时，解集为；当时，解集为；当时，解集为（﹣∞，2）∪（2，+∞）；当时，解集为；
（3）．
【解答】解：（1）当a＝0时，不等式为x≥0，不满足对一切实数x恒成立．
当a≠0时，需，
解（1﹣a）2﹣4a2≤0，即3a2+2a﹣1≥0，（3a﹣1）（a+1）≥0，结合a＞0，得．
（2）不等式整理为ax2+（1﹣a）x﹣2a﹣2＜0，因式分解为（ax+a+1）（x﹣2）＜0．
当a＝0时，不等式为x﹣2＜0，解得x＜2；
当a＞0时，不等式为，因，解得；
当a＜0时，不等式为；
若，，解得x＜2或；
若，，解得x≠2；
若，，解得或x＞2．
综上所述，当a＝0时，解集为（﹣∞，2）；当a＞0时，解集为；当时，解集为；
当时，解集为（﹣∞，2）∪（2，+∞）；当时，解集为．
（3）方程有四个不同实根，即at2+（1﹣a）t﹣m＝0（t＝|x|＞0）有两个不同正根，
需，解得a＞1．
又存在使4am+（1﹣a）2＞0，即a2﹣3a+1＞0，解得，
所以a的取值范围是．一元二次方程、不等式
【基础回顾】
知识点1．
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系
方程的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数 的图象
方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1不等式 的解集 {x|xx2} R
知识点2.分式不等式与整式不等式
(1) >0(<0) f(x)g(x)>0(<0)；
(2) ≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
知识点3．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|0)的解集为(－a，a)．
【必备知识】
1．一元二次不等式恒成立问题
(1)不等式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，x∈R恒成立 a>0且Δ<0；
(2)不等式ax2＋bx＋c<0(a≠0)，x∈R恒成立 a<0且Δ<0；
(3)若a可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a＝0的情形．
2．对于不等式ax2＋bx＋c>0，需要讨论a＝0时的情形．
题型一 求解一元二次不等式
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
【例题精讲】
1．集合A＝{x|﹣2≤x＜3}，B＝{x|x2﹣5x+6≤0}，则A∩B＝（ ）
A．{x|﹣2≤x＜3} B．{x|﹣2≤x≤3} C．{x|2≤x＜3} D．{x|2＜x≤3}
2．已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则（ RA）∩B＝（ ）
A．{﹣3，﹣2，﹣1} B．{﹣3，﹣2} C．{1，2，3} D．{2，3}
3．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣1，+∞） B．[﹣1，+∞） C．[0，3] D．[﹣1，3]
4．不等式x2﹣ax+b＜0的解集是{x|﹣1＜x＜3}，则bx2﹣ax+1＞0的解集是（ ）
A．{x|﹣3＜x＜﹣1} B．
C．{x|x＜﹣3或x＞﹣1} D．
5．关于x的不等式2x2+（1﹣2a）x﹣a＜0的解集中整数有且只有2个，则正数a的取值范围为（ ）
A．[1，2） B．（1，2] C．（1，2） D．[1，2]
题型二 一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布
解决由一个一元二次方程根的分布情况，确定方程中系数的取值范围问题，主要从以下三个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解．
(1)判别式Δ的符号．
(2)对称轴x＝－与所给区间的位置关系．
(3)区间端点处函数值的符号．
【例题精讲】
1．若关于x的方程x2﹣ax+4＝0有两相异实根x1，x2，且0＜x1＜x2＜4，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞） B．（0，5）
C．（4，5） D．（4，8）
2．若关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0的两个实数根的平方和等于11，则k等于（ ）
A．k＝﹣3或k＝1 B．k＝﹣3 C．k＝1 D．k＝3
3．若关于x的方程ax2﹣2x+a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，则的取值范围为（ ）
A．[1，+∞） B．[2，+∞） C．（1，+∞） D．（2，+∞）
（多选）4．下列说法正确的是（ ）
A．方程组的解集是{4，2}
B．若集合A＝{x|ax2+x+1＝0}中只有一个元素，则
C．“ac＜0”是“一元二次方程ax2+bx+c＝0有一正一负根”的充要条件
D．已知集合M＝{0，4}，则满足条件M∪N＝M的集合N的个数为4
（多选）5．下列说法正确的是（ ）
A．命题： x∈R，x2＞﹣1的否定是： x∈R，x2≤﹣1
B．一元二次不等式对一切实数x都成立，则实数k的取值范围是（﹣3，0]
C．x2＞y2是x＞y的必要而不充分条件
D．m＜0是关于x的方程x2﹣2x+m＝0有一正一负根的充要条件
题型三 二次函数（含参）单调性值域最值
画图像，根据定义域，画图像。如果有参数，则分别讨论“轴定区间动”还是“轴动区间定”。二次项如果有参数，需要讨论参数是否为0。
【例题精讲】
1．若函数y＝﹣x2+（m+3）x+1在区间（2，3）内存在最大值，则m的取值范围是（ ）
A．（﹣2，0） B．（﹣3，﹣1） C．（0，2） D．（1，3）
2．已知函数y＝x2﹣2x+3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是（ ）
A．[1，+∞） B．[0，2] C．（﹣∞，2] D．[1，2]
3．若函数f（x）＝x2﹣4x+8，x∈[1，a]，它的最大值为f（a），则实数a的取值范围是（ ）
A．（1，2] B．（1，3） C．（3，+∞） D．[3，+∞）
（多选）4．函数f（x）＝x2﹣ax+2在（﹣2，4）上是单调函数，则实数a的取值范围可以是（ ）
A．a≥8 B．a＝9 C．a≥﹣4 D．a≤﹣4
（多选）5．已知函数f（x）＝x2+2x+1在区间[﹣2，a）上既有最大值又有最小值，则实数a的值可以是（ ）
A．﹣1 B． C．0 D．1
题型四 一元二次不等式恒成立问题
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
【例题精讲】
1． x∈R，都有x2+4x+2k≥0恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．k≤2 B．k≥2 C．k＜2 D．k＞2
2．若关于x的不等式mx2﹣5x+m≤0的解集为R，则实数m的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，] B．（﹣∞，） C．[，0） D．（，0）
3．已知不等式ax2+bx+1＞0的解集，若对 x∈[4，+∞），不等式bx2﹣mx﹣2a≥0成立，则实数m的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．8
（多选）4．下列说法正确的是（ ）
A．当x∈R时，不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，则k的取值范围是[0，4）
B．“a＞b＞0”是“”的充分不必要条件
C．命题“”的否定是假命题
D．“集合A＝{x|ax2+x+1＝0}”中只有一个元素是“”的必要不充分条件
（多选）5．下列命题正确的是（ ）
A．要使关于x的方程x2+（a2﹣1）x+a﹣2＝0的一根比1大且另一根比1小，则a的取值范围是﹣2＜a＜1
B．x2﹣kx+k﹣1＜0在（1，2）上恒成立，则实数k的取值范围是k＞3
C．关于x的不等式ax﹣b＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式的解集是{x|x≤﹣1或x≥2}
D．若不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x＜﹣2或x＞4}，则abc＞0
课时精练
1．已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，则a+b＝（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2
2．若关于x的不等式﹣x2+mx﹣1 0有解，则实数m的取值范围是（ ）
A．{m|m ﹣2或m 2} B．{m|﹣2 m 2}
C．{m|m＜﹣2或m＞2} D．{m|﹣2＜m＜2}
3．已知集合A＝{x|x2﹣5x﹣6＜0}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，则（ RA）∩B＝（ ）
A．{﹣3，﹣2，﹣1} B．{﹣3，﹣2} C．{1，2，3} D．{2，3}
4．已知x＞1，y＞0，x+y＝3，则（x﹣1） y的最大值是（ ）
A． B． C． D．1
5．关于x的不等式x2﹣2ax﹣8a2＜0（a＜0）的解集为（x1，x2），且x2﹣x1＝15，则a＝（ ）
A． B． C． D．
6．若函数f（x）＝x2+（1+a）x+2在区间（3，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，7] B．[7，+∞） C．[﹣7，+∞） D．（﹣∞，﹣7]
7．已知函数f（x）＝﹣x2+4x+5在区间[0，m]上的值域为[5，9]，则实数m的取值范围是（ ）
A．[2，4] B．[0，4] C．[0，2] D．[1，4]
8．若a≠b，且a2﹣4a+1＝0，b2﹣4b+1＝0，则的值为（ ）
A． B．1 C．4 D．3
二．多选题（共3小题）
（多选）9．下列命题中，正确的是（ ）
A．若a＜b，则a2＜b2
B．若b＞a＞0，m＞0，则
C．若实数x，y满足2x+9﹣y＜3﹣x+4y，则x﹣2y＜0
D．关于x的方程x2+（a2﹣1）x+a﹣2＝0的一个根比2大，另一个根比2小，则实数a的取值范围是（，0）
（多选）10．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣2＜x＜3}，则下列结论正确的是（ ）
A．a＜0
B．a+b+c＞0
C．不等式cx2﹣bx+a＜0的解集为
D．c＞0
（多选）11．下列不等式的解集正确的是（ ）
A．﹣x2+4x﹣4＜0的解集是{x|x≠2}
B．|x+3|≤2的解集是[﹣5，﹣1]
C．的解集是{x|﹣2≤x≤1}
D．|x﹣1|＞|2x﹣3|的解集是
三．填空题（共3小题）
12．若关于x的不等式[（k2+2）x+1] （2kx+5k+1）＞0的解集是A，且集合A中有且仅有1个整数，则实数k的取值范围是 ．
13．若对任意实数都有意义，则实数k的取值范围是 ．
14．若存在0≤x≤3，使不等式mx+m≤﹣x2成立，则m的取值范围是 ．
四．解答题（共5小题）
15．设函数f（x）＝ax2+（1﹣a）x+a﹣2（a∈R）．
（1）若a＝﹣2，求f（x）＜0的解集；
（2）若不等式f（x）≥2x﹣3对一切实数恒成立，求a的取值范围；
（3）解关于x的不等式：f（x）＜a﹣1．
16．已知函数f（x）＝ax2+bx﹣12，（a，b∈R）．
（1）若不等式f（x）＞0的解集为（﹣3，﹣1），求实数a，b的值；
（2）若b＝4，对任意x∈R，f（x）≤0恒成立，求a的范围；
（3）当b＝3a﹣4时，求解关于x的不等式f（x）≥0．
17．已知a∈R，命题p：方程x2﹣2x+a＝0无实根；命题q：对任意x∈R，不等式ax2﹣ax+1＞0恒成立．
（1）若p为真命题，求a的取值范围；
（2）若p、q中有且只有一个为真命题，求a的取值范围．
18．高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数y＝[x]成为高斯函数，其中[x]表示不超过实数x的最大整数，如[1.2]＝1，[﹣1.2]＝﹣2．
（1）求的解集和2[x]2﹣11[x]+15≤0的解集．
（2）若，[x]2﹣m[x]+4＞0恒成立，求m取值范围．
（3）若[x]2﹣2[x]﹣a2+1≤0的解集为{x|0≤x＜3}，求a的范围．
19．已知函数y＝ax2+（1﹣a）x+a（a∈R）．
（1）若ax2+（1﹣a）x+a≥0对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围；
（2）解关于x的不等式ax2+（1﹣a）x+a＜3a+2；
（3）若存在使关于x的方程ax2+（1﹣a）|x|＝m有四个不同的实根，求实数a的取值范围．
