第24章 圆 单元培优练习（含答案） 2025-2026学年人教版数学九年级上册

第24章《圆》单元培优练习
一．选择题
1．如图，已知A，B，C是圆O上的三点，∠ABC＝35°，则∠AOC的大小为（　　）
A．75° B．70° C．60° D．55°
2．【钟表问题】一个钟表的分针长10cm，从2时走到4时，分针针尖走过的路程为（　　）cm
A．31.4 B．125.6 C．314 D．628
3．如图，一个底部呈球形的烧瓶，其球形部分的半径为5cm，瓶内液体的最大深度CD为2cm，则截面圆中弦AB的长为（　　）
A．8.6cm B．8cm C．6cm D．5.4cm
4．如图，半径为2的⊙O的弦AD＝BC，且AD⊥BC于点E，连接AB、AC，则AB的长为（　　）
A．2 B．2 C． D．1
5．如图，△ABC内接于⊙O，连接OA，OB．若OA＝4，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．π﹣2 B．4π﹣4 C．4π﹣8 D．
6．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝50°．则∠BAC的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
7．如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝34°，则∠OBC的度数为（　　）
A．27° B．24° C．22° D．20°
8．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好72平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是（　　）
A．π（x+3）2﹣x2＝72 B．
C．π（x+3）2﹣x2＝36 D．
9．我们知道，除三角形外，其他多边形都不具有稳定性．如图，将正五边形OABCD的边AB固定，向右推动该正五边形，使得O为AD的中点，且点A，B，C，D在以点O为圆心的圆上，过点C作⊙O的切线EF，则∠BCF的度数为（　　）
A．18° B．30° C．36° D．54°
10．如图，⊙O中两条弦AB与CD的延长线交于点P，AD与BC交于点E，下列关系式一定成立的是（　　）
A．∠AEC+∠P＝90° B．∠AEC+∠P＝2∠ADC
C．∠AEC﹣∠P＝45° D．∠AEC﹣∠P＝∠ADC
二．填空题
11．如图，已知AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠D＝20°，则∠A的度数为　 　 ．
12．已知⊙O中，，则弦AB和2CD的大小关系是 　 　 ．
13．如图，AB为圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD＝12，BE＝2，则圆O的直径为　 　 ．
14．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠C＝100°，则∠E的度数为 　 　 ．
15．如图所示的扇形中，已知OA＝20，AC＝40，的长为40，则的长为　 　 ．
16．如图，AB是⊙O的直径，点C，E为圆上两点，若点C为BD的中点，连接DE并延长与⊙O交于点F，与CA的延长线交于点H．若2∠D+∠DBE＝180°，BC＝3，HC＝12，则BE＝ 　 　 ，AH＝ 　 　 ．
三．解答题
17．如图，⊙O中，弦AB，CD相交于点E，AD＝BC．求证：
（1）；
（2）DE＝BE．
18．如图，在△ABD中，AB＝BD，⊙O为△ABD的外接圆，BE为⊙O的切线，AC为⊙O的直径，连结DC并延长交BE于点E．
（1）求证：DE⊥BE；
（2）若AB＝5，BE＝5，求⊙O的半径．
19．如图，CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝54°．
（1）如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD和∠CDB的大小；
（2）如图②，若CD⊥AB，过点D作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点E，求∠E的大小．
20．如图，D、O是△ABC中BC边上的两个三等分点，顶点A在以CD为直径的⊙O上，延长CA至点E，且DE⊥BC，DE与AB交于点F，FE＝FA．
（1）证明：⊙O与AB相切；
（2）若DE＝2，求阴影部分面积．
21．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．
（1）求证：AD＝AN；
（2）若AE，ON＝1，求⊙O的半径．
参考答案
一．选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B B B A C B C B B B
二．填空题
11．35°．
12．2CD＞AB．
13．20．
14．10°．
15．120．
16．6；．
三．解答
17．证明：（1）∵AD＝BC，
∴，
∴，
即；
（2）在△ADE和△CBE中，
，
∴△ADE≌△CBE（ASA），
∴DE＝BE．
18．（1）证明：连接BO并延长，交AD于点H，连接OD，
∵AB＝BD，OA＝OD，
∴BO垂直平分AD，
∴BH⊥AD，AH＝DH，
∵BE为⊙O的切线，
∴HB⊥BE，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴四边形BHDE为矩形，
∴DE⊥BE；
（2）∵BH⊥AD，AH＝DH，
∴AH＝DH＝BE＝5，
∴，
设⊙O的半径为r，则：，
r2＝52，
解得：；
即：⊙O的半径为．
19．解：（1）∵，∠ABC＝54°，
∴∠ADC＝∠ABC＝54°，
∵∠APC＝100°，
∴∠BAD＝∠APC﹣∠ADC＝46°，
∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠CDB＝∠ADB﹣∠ADC＝36°；
（2）连接OD，
∵CD⊥AB，
∴∠CPB＝90°，
∴∠PCB＝90°﹣∠ABC＝36°，
∵DE是⊙O的切线，
∴DE⊥OD，
∴∠ODE＝90°，
∵∠BOD＝2∠PCB＝72°，
∴∠E＝90°﹣∠BOD＝18°．
20．（1）证明：连接OA，AD，如图，
∵CD为⊙O的直径，BD＝DO＝OC，
∴OACD，∠DAC＝90°，
∴∠DAE＝90°，
∴∠EAF+∠DAF＝90°，∠E+∠ADE＝90°．
∵FE＝FA，
∴∠FAE＝∠E．
∴∠DAF＝∠ADE．
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA．
∵DE⊥BC，
∴∠ADF+∠ODA＝90°，
∴∠OAD+∠DAF＝90°，
∴∠OAF＝90°，
∴OA⊥AB．
∵OA为⊙O的半径，
∴⊙O与AB相切；
（2）解：由（1）知：OA⊥AB，
∵BD＝DO，
∴ADOB＝OD，
∴OD＝OA＝AD，
∴△OAD为等边三角形，
∴∠AOD＝∠OAD＝∠ODA＝60°，
∴∠ADE＝30°，
∵AD⊥EC，
∴AEDE＝1，AD．
∴OA＝OD．
过点A作AH⊥BC于点H，则DH＝OH，
∴AH．
∴阴影部分面积＝S△ADE﹣S弓形AD
AE AD﹣（S扇形OAD﹣S△OAD）
（OD AH）
．
21．（1）证明：∵∠BAD与∠BCD是同弧所对的圆周角，
∴∠BAD＝∠BCD，
∵AE⊥CD，AM⊥BC，
∴∠AMC＝∠AEN＝90°，
∵∠ANE＝∠CNM，
∴∠BCD＝∠BAM，
∴∠BAM＝BAD，
在△ANE与△ADE中，
，
∴△ANE≌△ADE，
∴AD＝AN；
（2）∵AE＝2，AE⊥CD，
又∵ON＝1，
∴设NE＝x，则OE＝x﹣1，NE＝ED＝x，
r＝OD＝OE+ED＝2x﹣1
连接AO，则AO＝OD＝2x﹣1，
∵△AOE是直角三角形，AE＝2，OE＝x﹣1，AO＝2x﹣1，
∴（2）2+（x﹣1）2＝（2x﹣1）2，
解得x＝2，
∴r＝2x﹣1＝3；
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/27 22:21:11；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353