2025新高考高三数学一模试题专题分类汇编平面向量（含解析）

专题09 平面向量
题型01 平面向量线性运算
1．（2025·河南安阳·一模）已知平行四边形的对角线的交点为，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·北京平谷·一模）已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2025·山东烟台·一模）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·广东江门·一模）在矩形中，成等差数列，，则矩形的周长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
6．（2025·山东临沂·一模）在中，点是的中点，点在上，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·贵州毕节·一模）已知正方形ABCD的边长为2，且，，则 ．
8．（2025·山西·一模）在中，，，．
(1)若，求；
(2)若，，求的值．
9．（2025·重庆·一模）在平行四边形 中， 与 相交于 ，若 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025·山东青岛·一模）已知向量 ，，，若点不能构成三角形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
题型02 数量积及求模问题
1．（2025·河北邢台·一模）若向量，满足，，则 ．
2．（2025·天津武清·一模）已知正方形的边长为，，若， 其中，为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则 的最小值为 .
3．（2025·广东深圳·一模）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．1
4．（2025·江苏宿迁·一模）若，，则等于（ ）
A． B． C．5 D．7
5．（2025·甘肃兰州·一模）与向量反向的单位向量是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·江西萍乡·一模）已知向量，，若与垂直，则（ ）
A． B． C． D．2
7．（2025·云南昭通·一模）已知向量，是单位向量，且，则为（ ）
A． B． C．3 D．5
8．（2025·江西上饶·一模）在平行四边形中，，，，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
9．（2025·湖北·一模）若非零向量，满足，且向量与向量的夹角，则的值为（ ）
A．-24 B．24 C． D．0
10．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知等边三角形的边长是，、分别是、的中点，则（ ）
A． B． C． D．
题型03 求夹角问题
1．（2025·山东泰安·一模）已知向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·黑龙江·一模）已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为 .
3．（2025·福建泉州·一模）已知向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·黑龙江·一模）已知平面向量满足，则 ．
5．（2025·山东日照·一模）下列说法正确的是（ ）
A．已知为非零向量，若，则的夹角为锐角
B．展开式中的常数项为
C．若方程表示椭圆，则
D．点在直线上运动，的最大值是
6．（2025·江苏南通·一模）若非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·四川·一模）如图，设、是平而内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．对于平面内任意一点，若向量，则记，．已知平面内两点、，其中，则点的轨迹围成的图形面积为 ；若，则的最大值为 ．
8．（2025·广东茂名·一模）向量与在单位向量上的投影向量均为，且，当与的夹角最大时，（ ）
A．8 B．5 C． D．
9．（2025·安徽合肥·一模）已知向量，满足，且，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·湖南邵阳·一模）已知向量，，与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
题型04 平行垂直问题
1．（2025·江西赣州·一模）已知向量，，且，则= ．
2．（2025·广东湛江·一模）已知向量，，若，则（ ）．
A． B．2 C． D．5
3．（2025·广西·一模）已知直线与椭圆交于、两点，为坐标原点．
(1)证明：；
(2)已知，证明：点到直线的距离为定值．
4．（2025·山西吕梁·一模）已知向量，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·江西·一模）若向量，，且，则（ ）
A． B．45 C． D．
6．（2025·陕西·一模）若向量，，，则（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量是
7．（2025·广东·一模）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
8．（2025·贵州六盘水·一模）设，则（ ）
A．1 B． C． D．2
9．（2025·浙江·一模）已知向量，，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
10．（2025·广东·一模）已知向量满足，则（ ）
A．2 B． C． D．3
题型05 投影向量及平面向量的几何应用
1．（2025·云南昆明·一模）已知，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·山东菏泽·一模）已知平面向量，，则下列说法正确的有（ ）
A．向量，不可能垂直 B．向量，不可能共线
C．不可能为3 D．若，则在上的投影向量为
3．（2025·安徽滁州·一模）已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·广东佛山·一模）在中，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．在方向上的投影向量为 D．若，则
5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，在平面四边形中，，建立如图所示的平面直角坐标系，且，，，则（ ）
A．3 B．1 C．2 D．4
6．（2025·云南曲靖·一模）在扇形中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系、若，，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
答案解析
题型01 平面向量线性运算
1．（2025·河南安阳·一模）已知平行四边形的对角线的交点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用平面向量线性运算计算得解.
【详解】在中，.
故选：C
2．（2025·北京平谷·一模）已知是平面内两个非零向量，，那么“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分必要条件的定义，结合向量平行定理，即可判断.
【详解】若，，
所以，，
当时，，当时，，此时
故“”是“”的不充分条件，
因为，若，则，当且仅当方向相同时取到等号，则恒成立，故 ，所以是必要条件，
综上可知，，那么“”是“”的必要不充分条件，
故选：B
3．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】设的中点为，由向量的线性运算可得，由数量积的计算公式即可求解.
【详解】设的中点为，则，
因为，所以，
所以，
因为等边的边长为2，则，所以，
所以.
故选：.
4．（2025·山东烟台·一模）在中，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先得出向量线性关系，结合向量数量积公式计算求解模长即可.
【详解】在中，，
所以，
则
.
故选：C.
5．（2025·广东江门·一模）在矩形中，成等差数列，，则矩形的周长为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】C
【分析】根据向量加法三角形法则，得到，再由等差数列的性质和矩形的性质即可求得结果.
【详解】因为，所以,
故，又成等差数列，所以,
即①,在矩形中，由②,
将①式代入②式解得：或(舍去)，
把结果代入①式得，故矩形的周长为,
故选：C
6．（2025·山东临沂·一模）在中，点是的中点，点在上，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意，，根据点在上，即可列方程求解.
【详解】由题意点是的中点，所以，
又，所以，
解得，
又因为点在上，
所以，解得或（舍去）.
故选：B.
7．（2025·贵州毕节·一模）已知正方形ABCD的边长为2，且，，则 ．
【答案】/0.5
【分析】由平面向量的线性运算及数量积运算即可求解．
【详解】由题意，，则，
所以，，
所以
，
解得．
故答案为：．
8．（2025·山西·一模）在中，，，．
(1)若，求；
(2)若，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据向量的线性运算，利用向量的模长公式即可求解，
（2）根据正弦定理可得①式和②式，即可作商求解..
【详解】（1）∵，∴，
∴，
即，∴．
又，∴，∴．
（2）在中，①，
在中， ②，
①÷②得
又，，∴，
所以
9．（2025·重庆·一模）在平行四边形 中， 与 相交于 ，若 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】由三点共线，则可设，由三点共线，则可设，然后根据题意都用表示，从而可求出的值，进而可求得答案
【详解】
因为三点共线，所以可设，
所以，
因为三点共线，所以可设，
因为 ，，所以，
所以，
所以，
即，解得，，
所以，
故选：A.
10．（2025·山东青岛·一模）已知向量 ，，，若点不能构成三角形，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求得的坐标，再根据三点共线求出的值，即可得到结果.
【详解】由题意可得,，
若点三点共线，则点不能构成三角形,
即，解得：，
所以的值为.
故选：B.
题型02 数量积及求模问题
1．（2025·河北邢台·一模）若向量，满足，，则 ．
【答案】
【分析】由两边平方结合数量积运算律可求，再结合关系求结论.
【详解】因为，，
所以，
所以，
所以，
所以．
故答案为：．
2．（2025·天津武清·一模）已知正方形的边长为，，若， 其中，为实数，则 ；设是线段上的动点，为线段的中点，则 的最小值为 .
【答案】 /
【分析】结合图形，根据向量的线性运算法则可得，再根据平面向量基本定理求，，由此可得；根据向量线性运算法则结合数量积运算律可得，结合图形确定的最小值，由此可求的最小值.
【详解】因为，所以，
因为，，
所以，，
所以，
因为为线段的中点，所以，又，
所以，
又，
所以，
因为设是线段上的动点，又为钝角，
所以，
因为正方形的边长为，，
所以，
所以，
所以当点与点重合时，取最小值，最小值为.
故答案为：；.
3．（2025·广东深圳·一模）已知向量满足，则（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【分析】根据模长公式即可求解.
【详解】由可得，
故，
故选：D
4．（2025·江苏宿迁·一模）若，，则等于（ ）
A． B． C．5 D．7
【答案】A
【分析】先求出，，再利用空间向量的数量积运算求解即可．
【详解】，，则，
，，
，
故选：A
5．（2025·甘肃兰州·一模）与向量反向的单位向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】反向单位向量即为，代入计算即可.
【详解】与反向的单位向量为.
故答案为：A.
6．（2025·江西萍乡·一模）已知向量，，若与垂直，则（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】由与垂直求出，再求出的坐标，利用坐标的模长公式可得答案.
【详解】由已知，得；由与垂直，得，
即，可得.
因为，
所以.
故选：A.
7．（2025·云南昭通·一模）已知向量，是单位向量，且，则为（ ）
A． B． C．3 D．5
【答案】B
【分析】由，两边平方可得，再将平方即可得答案.
【详解】因为向量，是单位向量，所以
由则，
所以，
故选：B.
8．（2025·江西上饶·一模）在平行四边形中，，，，，则（ ）
A．1 B． C．2 D．3
【答案】D
【分析】以为基底，表示，，结合向量数量积的概念和运算律可求的值.
【详解】如图：
以为基底，则，，.
且，，
所以.
故选：D
9．（2025·湖北·一模）若非零向量，满足，且向量与向量的夹角，则的值为（ ）
A．-24 B．24 C． D．0
【答案】D
【分析】根据已知条件可判断为直角三角形，从而求得的值.
【详解】令，，则，
则由及,
在中，，，，
由正弦定理：,解得,故得为直角三角形，
且，所以.
故选：D
10．（2025·新疆乌鲁木齐·一模）已知等边三角形的边长是，、分别是、的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将向量、用基底表示，然后利用平面向量数量积的运算性质可求得的值.
【详解】如下图所示：

因为等边三角形的边长是，、分别是、的中点，
则，
由得，可得，
由平面向量数量积的定义可得，
因此，
.
故选：B.
题型03 求夹角问题
1．（2025·山东泰安·一模）已知向量，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由两边平方可得，再结合向量夹角的计算可得.
【详解】，所以，两边平方可得，
又，所以，
所以.
故选：D
2．（2025·黑龙江·一模）已知平面向量，满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为 .
【答案】
【分析】根据条件，利用投影向量的定义得到，再利用向量夹角公式，即可求解.
【详解】因在上的投影向量为，即，
则，又，则得，
所以，
又，故向量与向量的夹角为，
故答案为：.
3．（2025·福建泉州·一模）已知向量满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用数量积的运算律求出，进而求出夹角.
【详解】由，得，而，则，
，而，
所以与的夹角.
故选：C
4．（2025·黑龙江·一模）已知平面向量满足，则 ．
【答案】/
【分析】利用平面向量数量积的定义结合给定条件得到方程，求解夹角即可.
【详解】因为，所以，得到，
即，而，
故，解得.
故答案为：
5．（2025·山东日照·一模）下列说法正确的是（ ）
A．已知为非零向量，若，则的夹角为锐角
B．展开式中的常数项为
C．若方程表示椭圆，则
D．点在直线上运动，的最大值是
【答案】BD
【分析】对于A，将已知条件两边同时平方，整理得到，结合平面向量的数量积的定义得到，由平面向量的夹角范围，进而可以判断选项；对于B，由二项式在的展开式的通项公式为，令，即可判断；对于C，根据椭圆的定义列出不等式组进行求解；对于D，利用对称性，结合三点共线，即可求解．
【详解】对于A选项，已知，将两边同时平方可得.
展开化简可得，即.可知.
当与同向时，，此时夹角为，不是锐角，所以A选项错误.
对于B选项，对于展开式的通项为.
令，解得.
将代入通项公式可得常数项为，所以B选项正确.
对于C选项，若方程表示椭圆，则需满足.
解得的取值范围是且，C选项错误.
对于D选项，设点关于直线的对称点为.
根据对称点的性质可得，解得，则，即.
根据三角形两边之差小于第三边可知.
根据两点间距离公式，所以的最大值是，D选项正确.
故选：BD.
6．（2025·江苏南通·一模）若非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】运用投影向量的公式，结合数量积运算即可.
【详解】在上投影向量，
，，
则，
由于，，
故选：B．
7．（2025·四川·一模）如图，设、是平而内相交成角的两条数轴，、分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．对于平面内任意一点，若向量，则记，．已知平面内两点、，其中，则点的轨迹围成的图形面积为 ；若，则的最大值为 ．
【答案】
【分析】对、的符号进行分类讨论，确定点的轨迹，作出其图形，计算出该图形的面积，即为所求；计算得出，要求其最大值，令，由已知得出，利用二次函数的基本性质可求得的最大值.
【详解】当，时，，
此时，点的轨迹表示以点、的线段；
当，时，，
此时，点的轨迹表示以点、的线段；
当，时，，
此时，点的轨迹表示以点、的线段；
当，时，，
此时，点的轨迹表示以点、的线段；
如下图所示：
记点、、、，
则点的轨迹为四边形，
因为，，同理可得，
故四边形为矩形，且，
所以，点的轨迹围成的图形面积为；
由平面向量数量积的定义可得，
所以，，
因为，要求其最大值，令，
不妨设，，于是，则，
所以，，
当且仅当时，等号成立，故的最大值为.
故答案为：；.
8．（2025·广东茂名·一模）向量与在单位向量上的投影向量均为，且，当与的夹角最大时，（ ）
A．8 B．5 C． D．
【答案】D
【分析】建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示出、，利用余弦定理确定，利用面积得到，由此推断最大时，最大，取最小值，利用坐标运算得到：，由二次函数性质求最值即可.
【详解】
设为轴正半轴上的单位向量，
令，，，
如图所示，设与的夹角为，若，
在中，由余弦定理有：则，
而，
所以，所以，
因为，所以，
有根据正弦定理有：，即，
整理有：，所以，
当与的夹角最大时，最大，取最小值，
因为，
当且仅当时，取等号，所以当与的夹角最大时，.
故选：D
9．（2025·安徽合肥·一模）已知向量，满足，且，，，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用向量的数量积公式计算得到，从而得到与的夹角.
【详解】 ，
，且，，，
， ，
，
，且 ，
，即与的夹角为
故选:
10．（2025·湖南邵阳·一模）已知向量，，与的夹角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】首先根据向量数量积公式求出，再利用三角函数诱导公式求出结果.
【详解】根据向量数量积公式.
先求，.
再求..
所以.
根据三角函数诱导公式，所以.
故选：C.
题型04 平行垂直问题
1．（2025·江西赣州·一模）已知向量，，且，则= ．
【答案】
【分析】先根据坐标线性运算得出坐标，再应用垂直的坐标运算计算求参，最后应用坐标求模长即可.
【详解】因为向量，，
则，
因为，则，所以，
所以．
故答案为：
2．（2025·广东湛江·一模）已知向量，，若，则（ ）．
A． B．2 C． D．5
【答案】C
【分析】根据垂直向量的数量积以及其坐标表示，建立方程，求得参数，利用模长公式，可得答案.
【详解】因为，所以，所以，所以．
故选：C．
3．（2025·广西·一模）已知直线与椭圆交于、两点，为坐标原点．
(1)证明：；
(2)已知，证明：点到直线的距离为定值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）联立直线与椭圆方程，利用判别式列出不等式推理即得.
（2）利用韦达定理，结合数量积的坐标表示及点到直线距离公式推理即得.
【详解】（1）由消去，得，由直线与椭圆交于两点，
得，
所以.
（2）设，由（1）知，，
，由，得，
整理得，因此点到直线的距离为定值，
所以点到直线的距离为定值．
4．（2025·山西吕梁·一模）已知向量，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用垂直关系的向量表示，数量积的坐标表示列式计算得解.
【详解】向量，则，，
由，得，
所以.
故选：B
5．（2025·江西·一模）若向量，，且，则（ ）
A． B．45 C． D．
【答案】C
【分析】直接利用向量的坐标运算和向量垂直的充要条件求出，从而进一步求出.
【详解】因为，所以，解得，
故，
故.
故选：C.
6．（2025·陕西·一模）若向量，，，则（ ）
A． B．
C． D．在上的投影向量是
【答案】CD
【分析】利用向量模长公式判断A；根据向量平行的性质判断B；根据向量垂直数量积为零判断C；利用投影向量的定义判断D.
【详解】因为向量，，，
对于A，，故 A 错误；
对于B，，与不平行，故B错误；
对于C，因为，则，，故C正确；
对于D，在上的投影向量为，故D正确．
故选：CD.
7．（2025·广东·一模）已知向量，若，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】由向量垂直的坐标表示即可求解；
【详解】由于，
则，
则；
故选：B
8．（2025·贵州六盘水·一模）设，则（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】利用向量模长的坐标表示以及垂直关系的向量表示，结合勾股定理计算即可.
【详解】由可得，
又可得，
在中，由勾股定理可得，
解得.
故选：C
9．（2025·浙江·一模）已知向量，，若，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】根据向量垂直的坐标运算即可求解.
【详解】由，，，，
由得，解得.
故选：C.
10．（2025·广东·一模）已知向量满足，则（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用垂直关系的向量表示及向量数量积运算律计算得解.
【详解】由，得，则，
所以.
故选：C
题型05 投影向量及平面向量的几何应用
1．（2025·云南昆明·一模）已知，，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据投影向量公式求解即可.
【详解】由题意，在上的投影向量为.
故选：A
2．（2025·山东菏泽·一模）已知平面向量，，则下列说法正确的有（ ）
A．向量，不可能垂直 B．向量，不可能共线
C．不可能为3 D．若，则在上的投影向量为
【答案】BD
【分析】根据向量垂直的坐标表示可判断A；根据向量平行的坐标表示可判断B；根据向量模长坐标公式可判断C；根据在上的投影向量为可判断D.
【详解】由题意知，.
对于选项A，若向量，则，即，
显然此式能成立，故A错；
对于选项B，若向量，则有，即，
即，显然此式不成立，故 B正确；
对于选项C，，
则当时，，故C错；
对于选项D，若，则，，
则在上的投影向量为，故D 正确.
故选：BD
3．（2025·安徽滁州·一模）已知单位向量，满足，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用投影向量公式计算即可.
【详解】因为，，
所以在上的投影向量为
故选：C.
4．（2025·广东佛山·一模）在中，，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．在方向上的投影向量为 D．若，则
【答案】AC
【分析】A选项对题干条件直接根据数量积的定义，化简成，然后根据边角转化求解；B选项利用两角和的正切公式求解；C选项结合正弦定理，投影向量公式求解；D选项根据正弦定理算出三边长度之后根据数量积定义求解.
【详解】A选项，对于，根据数量积的定义展开可得，，
即，即，由正弦定理，，
即，则为锐角，由，
解得，，A选项正确，
B选项：由A选项和题干可知，，
，故，B选项错误.
C选项：在方向上的投影向量为，
由B知，，，且，解得，
由正弦定理，，则，C选项正确.
D选项：由正弦定理，，即，解得，
于是，，D选项错误.
故选：AC
5．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，在平面四边形中，，建立如图所示的平面直角坐标系，且，，，则（ ）
A．3 B．1 C．2 D．4
【答案】C
【分析】先通过已知求出点的坐标，利用数量积的坐标运算求解即可.
【详解】在平面四边形中，，可以建立如图平面直角坐标系，
，，设，
因为，所以，解得，所以，
又，所以，所以，，
所以．
故选：C．
6．（2025·云南曲靖·一模）在扇形中，以为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系、若，，为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先求出与的模，进而得到的三角函数值，再根据为的中点，得到的三角函数值，最后利用三角函数求出的坐标.
【详解】根据向量模的计算公式，若，则.
已知，则；
，则.
可得.
所以.
则.
则.
根据半角公式，；
.
因为，设.
；
.
所以.
故选：B.