课题 椭圆及其标准方程
一学情分析
学生在必修Ⅱ中学过圆锥曲线之一，圆。掌握了圆的定义及圆的标准方程的推导，学生可以用类比的方法来研究中一种圆锥曲线椭圆。
二、教学目标
知识技能：
〈1〉掌握随圆的定义，掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程
〈2〉能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用定义法，待定系统法求随圆的标准方程。
过程方法：
〈1〉通过对椭圆概念的引入教学，培养学生的观察能力和探索能力。
〈2〉通过对椭圆标准方程的推导，是学生进一步掌握求曲线方程的一般方法，并渗透数结合和等价转化的思想方法，提高运用坐标解决几何问题的能力，情感态度和价值观：通过让学生大胆探索椭圆的定义和标准方程，激发学生学习数学的积极性，培养学生的学习兴趣和创新意识。
三、教学重点，难点分析
重点：椭圆的定义及椭圆标准方程的两种形式。
难点：椭圆标准方程的建立和推导。
关键：掌握建立坐标系统与根式化简的方法。
椭圆及其标准方程这一节教材整体来看是两大块内容，一是椭圆定义，二是椭圆的标准方程，椭圆是圆锥曲线这一章所要研究的三种圆锥曲线中，先要学习的内容，所以教材把对椭圆的研究放在了重点，对双曲线和抛物线的教学中巩固和应用，先讲椭圆也与圆的知识衔接自然，学好椭圆对学生学习圆锥曲线是非常重要的。
四、教法建议
〈1〉安排学生提前预习，动手切割圆锥形的事物，使学习了解圆锥曲线名称的来历及圆锥曲线的样子。
〈2〉对椭圆定义的引入，要注重于借助直观、形象的模型或教具，让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，进而形成正确的概念。
〈3〉将课本提出的问题分解成若干小问题，通过学生、教师动手演示，来体现椭圆定义的实质。
〈4〉注意椭圆的定义与椭圆的标准方程的联系。
〈5〉推导椭圆的标准方程时，教师要注重化解难点，实施的补充根式化简方法。
〈6〉讲解完焦点在x轴上的椭圆的标准方程后，教师要启发学生自己研究焦点在y轴上的标准方程。然后，鼓励学生探索椭圆的两种标准方程的异同点，进一步加深对椭圆的认识。
〈7〉在学习新知识的基础上要巩固旧知识。
〈8〉要突出教师的指导作用，又要强调学生的主体作用，课堂上尽量让全体学生参与讨论。由基础较差的学生提出猜想，由基础较好的学生帮助证明，培养学生团结协作的团队精神。
五、课前准备
1、每人准备一根细绳、一卷胶带。
2、圆锥曲线模型。
六、教学基本流程
七、教学过程设计
问题
设计意图
师生活动
1、我们在必修Ⅱ中，已学习圆的知识，请同学们用集合的观点叙述圆的定义。
在数学学习中，我们可以用类比方法由学习、熟悉的知识引入新的知识。
教师在黑板上，分别用圆规画圆；用线绳画圆。让学生观察、回答圆的定义。
问 题
设计设计意图
师生活动
2、同学们，除了大家所熟悉的圆，还有另一种圆锥曲线----椭圆。请大家举例生活中椭圆的形象。
让学生从感性认识入手，逐步上升到理性认识，形成正确的概念。
学生思考、回答。如：地球运行轨道。圆锥、圆柱的斜截面。教师展示截面是椭圆的模型。
3、如何画椭圆的呢？
培养学生观察能力，类比圆的画法，解决问题。
学生思考、试验。教师可提示采用线绳画。
〈1〉固定在两点F1、F2，
〈2〉细绳长用2a表示2a＞∣F1F2∣
〈3〉套上铅笔，拉动细绳移动笔尖。
4、通过画椭圆观察这条曲线上所有点满足的几何条件是什么？
培养学生观察能力、归纳总结能力，为形成椭圆定交奠定基础。
分析画图过程中的“变”与“不变”的条件M F1，M F2都在变化，但∣MF1∣+∣MF2∣的长度保持不变。
问 题
设计设计意图
师生活动
5、如何描述动点M所满足的几何条件。
整理试验，归纳抽象成数学问题。
把平面内与两个定点F1，F2，的距离之和等于常数（大于∣F1F2︳）的点的轨迹叫做椭圆。两个定点叫做椭圆的焦点；两点间的距离叫做椭圆的焦距（板书）。
6、如何用集合表示M点所满足的几何条件。
使学生能将文字语言转化为数学语言，为推导椭圆标准方程做铺垫。
学生回答：教师板书P=﹛M∣MF1∣+∣MF2∣=2a﹜
7、我们怎样建立坐标系，求椭圆的标准方程呢？
推导曲线方程时，建立坐标系要适当。
师生共同分析椭圆的特征（如：对称性），使方程比较简单；以线F1F2的中心为原心，以F1F2垂直平分线为Y轴，建立直角坐标系。
完成“建系”，设动点M（x，y）是椭圆上的任意一点，椭圆的焦距为2c（C＞0），则F1（－C，0），F2（C，0），又设M与F1F2的距离和等于2a（板书）
问 题
设计设计意图
师生活动
8、请同学们来表示M到F1F2的距离
∣MF1∣，∣MF2∣
巩固已学过的两点距离公式，为推导标准方程做准备。
∣MF1∣=
∣MF2∣=
由P=﹛M∣MF1∣+∣MF2∣=2a﹜得+=2a
9、如何整理化简上式。
学习巩固根式化简，两边平方。
找两位同学板演，其余同学自己完成，化简到：
10、观察下图，找出表示a、c、的线段
??Y
确定a、b、c的几何定义及其关系
通过观察y轴是F1 F2的中垂线，P到F1 F2的距离相等，OF1，OF2被y轴平分，所以：
X
∣PF1∣=∣PF2∣=a,
∣OF1∣=∣OF2∣=c,
∣P0∣=
由∣P0∣=，令b=,b2=a2-c2，即：代入得椭圆形标准方程：
根据上图知：a﹥b﹥0
问 题
设计设计意图
师生活动
11、对于椭圆形标准方程(a﹥b﹥0)的特点是什么？还有什么结论。
适时总结归纳，区分焦点在X轴与Y轴的不同。
学生讨论，教师板书。
<1>(a﹥b﹥0)的焦点在X轴上；
<2>a-b=c（结论）
12、P38思考
Y
F2
M
X
F1
推导焦点在Y轴上的椭圆标准方程
学生已有推导焦点在x轴上的椭圆标准方程的经验，教师通过以下几点引导，由学生完成〈1〉设出动点，焦点坐标，注：特别教师焦头烂额坐标，应在y轴上〈2〉列出相等关系（定义）〈3〉化简整理，得椭圆的另一标准方程
13、椭圆的另一个标准方程（a﹥b﹥c）有什么特点，有什么结论？
对比上一个焦点在x轴上的椭圆标准方程
〈1〉交点在y轴上
〈2〉a2-b2=c2（结论）
问 题
设计设计意图
师生活动
例1P38
求标准方程
区别焦点不同，选择设不同的方程，会用定义来求椭圆标准方程，或用待定系数法来求椭圆标志方程
由学生独立思考，发表各自的想法，教师适时引导，强调要注意的问题，及时总结：
〈1〉确定要设的椭圆标准方程
〈2〉要求椭圆标准方程，即要求a，b
〈3〉恰当列出含a，b，c的方程
〈4〉相等关系a2-b2=c2
练习：写出适合下列条件的椭圆方程
〈1〉a=4，b=1，焦点在x轴上。
〈2〉a=4，c=，焦点在y轴上。
〈3〉a+b=10，c=2
分析：以上练习较简单，其目的为了巩固求椭圆标准方程，及区别焦点在x轴上和焦点在y轴上的椭圆标准方程
小结：以提问形式
〈1〉椭圆是怎样的点的轨迹？〈2〉椭圆的标准方程是怎样的？
〈3〉椭圆的两个标准方程有什么区别？
布置作业：课本习题2.1A组P463题
课件24张PPT。生活中的椭圆生活中的椭圆F1F2M观察做图过程：
[1]绳长应当大于F1、F2之间的距离。
[2]由于绳长固定，所以 M 到两个定点的距离和也固定。[1]取一条细绳，
[2]把它的两端固定在板上
的两点F1、F2
[3]用铅笔尖（M）把细绳
拉紧，在板上慢慢移动观察
画出的图形数学实验1、椭圆的定义2、椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数；记为2a；
两焦点之间的距离称为焦距，记为2c,即:F1F2＝2c.说明1、平面上这一个条件不可少3、2a> F1F2注意：若2a=F1F2轨迹是什么呢？若2a定点F1、F2叫做椭圆的焦点。
两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。由椭圆的定义2.推导椭圆的标准方程由椭圆的定义知 2a>2c 即 a>c代入上式得化简得方
程
特
点（2）在椭圆两种标准方程中，总有a>b>0；（4）a、b、c都有特定的几何意义，
a—椭圆上任意一点P到F1、F2距离和的一半；c—半焦距.
有关系式 成立。2.椭圆的标准方程(3)焦点在大分母变量所对应的那个轴上；（1）方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1；(1)(2)在椭圆 中, a=___,b=___, 焦点位于____轴上，焦点坐标是__________. 32x在椭圆 中，a=___, b=___, 焦点位于____轴上，焦点坐标是__________. y4填空：求适合下列条件的椭圆的标准方程：2)a=4,c=1，焦点在y轴上； 1)a=4,b=1，焦点在x轴上； 或3)b=1,c= ，焦点在坐标轴上； 判定下列椭圆的焦点在哪个轴？并指明a2、b2、 c2，写出焦点坐标.答：焦点在 x 轴；（-3，0）和（3，0）答：焦点在 y 轴；（0，-5）和（0，5）答：焦点在y 轴；（0，-1）和（0，1）例题练习答案：C.由椭圆定义：|MF1|+|MF2|=2a=20由方程知 a=10，所以 2a=20，故｜MF2|=20-|MF1|=14.总结1.椭圆的定义：平面上到两个定点的距离的和（2a）等于定长（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。定点F1、F2叫做椭圆的焦点。两焦点之间的距离叫做焦距（2C）。2.椭圆的标准方程3.椭圆方程的求法：直接代入法，待定系数法谢谢实际探究：如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）F2为一个焦点的椭圆.已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面439km，远地点B(离地面最远的点）距地面2384km，并且F2A、B在同一直线上，地球半径约为6371km.
求卫星运行的轨道方程.
解:因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为(2)两个焦点坐标分别是（0，－2）和（0,2），且过点（-1.5,2.5）.解:因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为A答案：A1.将下列方程化为标准方程，并判定焦点在哪个轴上，写出焦点坐标练习
