北师大版八年级数学上册期中考试高频题（含解析）
文档属性
| 名称 | 北师大版八年级数学上册期中考试高频题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-29 05:41:58 | ||
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文档简介
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北师大版八年级数学上册期中考试高频题
一．选择题（共19小题）
1．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a、b、c，则下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a2+b2＝c2 D．
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．无理数包括正无理数、零和负无理数
B．无限小数都是无理数
C．正实数包括正有理数和正无理数
D．实数可以分为正实数和负实数两类
3．如图，在一次强台风中，一棵大树在离地面3米处折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为4米，则这棵树折断前的高度为（ ）
A．8米 B．6米 C．5米 D．3米
4．已知三角形两边长为8和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ）
A．6 B．28 C．10或28 D．10或2
5．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
7．若最简二次根式与可以合并，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，点M在第二象限，且点M到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点M的坐标为（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
9．下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
10．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，m﹣1）与点B（n+2，3）关于x轴对称，则m+n的值是（ ）
A．﹣6 B．4 C．5 D．﹣5
11．已知直线MN∥x轴，M点的坐标为（3，2），并且线段MN＝4，则点N的坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，2）或（7，2）
C．（7，2） D．（﹣1，2）或（7，2）
12．如图，是中国象棋棋局的一部分，如果“帅”的位置用坐标（0，1）表示，“卒”的位置用坐标（2，2）表示，那么“马”的位置所表示的坐标为（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，﹣2） D．（﹣2，2）
13．将直线y＝kx向上平移3个单位，再向右平移2个单位，则所得直线的解析式是（ ）
A．y＝k（x﹣3）+2 B．y＝k（x﹣2）﹣3
C．y＝k（x﹣2）+3 D．y＝k（x+2）+3
14．函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C．且x≠1 D．且x≠1
15．直线y＝3x+2上有三个点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y2＞y1＞y3
16．向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（ ）
A． B． C． D．
17．直线y1＝mx+n和y2＝﹣nx+m在同一平面直角坐标系内的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
18．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C在线段AB上，且点C坐标为（m，2），点D为线段OB的中点，点P为OA上一动点，当△PCD的周长最小时，点P的坐标为（ ）
A．（﹣3，0） B． C． D．
19．已知A、B两地之间是一条直路，甲骑自行车从A地到B地，乙骑摩托车从B地到A地，两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离s（km）与运动时间t（h）的函数关系大致如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．两人出发2h后相遇
B．甲骑自行车的速度为60km/h
C．乙到达目的地时两人相距200km
D．乙比甲提前2h到达目的地
二．填空题（共2小题）
20．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，3），点B关于直线AD的对称点C在x轴的负半轴上，则点D的坐标为 ．
21．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（a，b），则经过第2021次变换后所得A点坐标是 ．
三．解答题（共23小题）
22．解方程
（1）4x2﹣1＝24；
（2）．
23．计算：
（1）|π﹣3.2|；
（2）（3）（3）．
24．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，1），B（﹣4，4），C（﹣1，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）直线l过点（2，0）且平行于y轴，请直接写出点C关于直线l的对称点C2的坐标： ；
（3）在（2）中的直线l上找一点P，使得|PB﹣PC|的值最大，则最大值为 ．
25．在平面直角坐标系中，已知点P（2m﹣4，1﹣m）．
（1）若点P的横坐标比纵坐标大7，求点P的坐标．
（2）若点P在坐标轴上，求m的值．
（3）若点P到x轴与到y轴的距离相等，求m的值．
26．如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在竖直的墙AO上，这时梯子的底端B到墙底O的距离为0.7m．
（1）求梯子的顶端A距地面有多高；
（2）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4m到点C处，求梯子的底端B在水平方向上滑动了多少？
27．如图，圆柱形玻璃杯的高为13cm，底面周长为10cm，在杯内壁离杯底3cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿2cm，且与蜂蜜相对的点B处，求蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程．（杯壁厚度不计）
28．如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.6m，将他往前推送2.4m（水平距离BC＝2.4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1.2m，求绳索AD的长度．
29．在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个引水点A、B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通．该村为方便村民引水决定在河边新建一个引水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝2.4千米，HB＝1.8千米，求新路CH比原路CB，CA各少多少千米？
30．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）
31．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝AD＝4，AB＝CD＝10，∠DCB＝90°，E为CD边上的一点，DE＝7，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒．
（1）求BE的长；
（2）若△BPE为直角三角形，求t的值．
32．某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知∠C＝90°，AC＝3m，AB＝5m．
（1）求BC的长；
（2）若已知楼梯宽2.8m，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗）
33．数学著作《九章算术》中有这样一个问题：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央处有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．求这根芦苇的长度．
34．某正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15，b的立方根是﹣2．
（1）求a，b的值；
（2）求2a﹣b的算术平方根．
35．已知某正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a+2，b+1的立方根为﹣2，c是的整数部分；
（1）求a，b，c的值；
（2）求a﹣b+2c的平方根．
36．已知y+3与x﹣1成正比例，且x＝2时，y＝﹣2．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）判断点（﹣1，﹣5）是否是上述函数图象上的点，说明理由．
37．小丽在解决问题：已知a，求a2﹣4a+3的值．
她采用的解法为：①a2，②a﹣2，③（a﹣2）2＝（）2，④a2﹣4a+4＝3，⑤a2﹣4a＝﹣1，⑥a2﹣4a+3＝﹣1+3＝2．
请根据小丽的解题方法解决下列问题：
（1） ； ．
（2）若，请按照小丽的方法求2a2﹣4a+1的值．
38．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）m＝ ；
（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；
（3）在数轴上还有点C表示实数c，且A与C的距离比A与B的距离多，求点C表示的实数c．
39．王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人620元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为x人．
（1）请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y与x之间的函数关系式；
（2）若王老师组团参加两日游的共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家．
40．如图，在平面直角坐标系中，直线l1分别与x轴、y轴交于点A（4，0），B，直线l2分别与x轴、y轴交于点C，D，点C在点A的左边，且，直线l1与直线l2交于点E（1，2）．
（1）求直线l1与l2的函数表达式．
（2）求△BDE的面积．
（3）在直线l2上是否存在一点P，使得S△BEP＝3S△BDE？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
41．某工厂专业生产各种中小学生运动会的道具．在一次完成生产590件某种运动会道具的任务中，甲小组独立生产2h后，为了加快进度，该工厂决定让甲，乙两个小组同时进行生产，生产的运动会道具总数s（件）与甲小组生产时间t（h）之间的函数图象如图所示．
（1）分别求出当0≤t≤2与2＜t≤6时，s与t之间的函数解析式；
（2）从开始生产到甲，乙两个小组合作2小时后，求生产的运动会道具总量．
42．为了美化城市，洒水车需要在一条长为500m的重要路段AB段以50米/分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点C位置，洒水车由A向B移动，学校与路段AB上的两个路口A、B的距离分别为AC＝300m，BC＝400m，经测量，发现在260m及以内的会受到音乐的影响．判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响．
43．甲、乙两人沿相同的路线由A地向B地匀速前进，A，B两地间的距离为20千米，他们前进的路程为分别为S甲和s乙（单位：千米），甲出发后的时间为t（单位：时），甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，解答下列问题：
（1）乙比甲晚出发 小时；
（2）求S乙与t的函数表达式；
（3）求乙追上甲时距A地多远．
44．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线yx+b过点C．
（1）求m和b的值；
（2）直线yx+b与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒．
①若△ACP的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
北师大版八年级数学上册期中考试高频题
参考答案与试题解析
一．选择题（共19小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C C A D C B B B D A D
题号 12 13 14 15 16 17 18 19
答案 D C D C B B B D
一．选择题（共19小题）
1．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a、b、c，则下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a2+b2＝c2 D．
【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理解答即可．
【解答】解：若∠A＝∠B＝∠C，
∵根据三角形内角和定理得，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝∠B＝∠C＝180°÷3＝60°；
故△ABC为等边三角形，故A选项错误，不符合题意；
若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则，
故△ABC为锐角三角形，故B选项错误，不符合题意；
若a2+b2＝c2，由勾股定理可知：△ABC为直角三角形，故C选项正确，符合题意；
若，设，
∵，
∴故△ABC不是直角三角形，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，关键是相关知识的熟练掌握．
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．无理数包括正无理数、零和负无理数
B．无限小数都是无理数
C．正实数包括正有理数和正无理数
D．实数可以分为正实数和负实数两类
【分析】根据实数的概念即可判断
【解答】解：（A）无理数包括正无理数和负无理数，故A错误；
（B）无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故B错误；
（D）实数可分为正实数，零，负实数，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查实数的概念，解题的关键是正确理解实数的概念，本题属于基础题型．
3．如图，在一次强台风中，一棵大树在离地面3米处折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为4米，则这棵树折断前的高度为（ ）
A．8米 B．6米 C．5米 D．3米
【分析】由题意可得AB＝3米，AC＝4米，∠BAC＝90°，由勾股定理求出米，即可得解．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，
∴米，
∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC＝3+5＝8米，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，关键是根据勾股定理得出BC的长解答．
4．已知三角形两边长为8和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ）
A．6 B．28 C．10或28 D．10或2
【分析】分为两种情况：①当斜边长是8，一条直角边为6时，②当直角边是6和8时，根据勾股定理求出第三边长即可．
【解答】解：分为两种情况：
①当斜边长是8，一条直角边为6时，另一条直角边为2；
②当直角边是6和8时，斜边为10；
所以第三边的长为10或2，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，能灵活运用勾股定理进行计算是解此题的关键，用了分类讨论思想．
5．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先根据翻折变换的性质得出CD＝C′D，∠C＝∠C′＝90°，再设DE＝x，则AE＝8﹣x，由全等三角形的判定定理得出Rt△ABE≌Rt△C′DE，可得出BE＝DE＝x，在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出x的值，进而得出DE的长．
【解答】解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，
∴CD＝C′D＝AB＝4，∠C＝∠C′＝90°，
设DE＝x，则AE＝8﹣x，
∵∠A＝∠C′＝90°，∠AEB＝∠DEC′，
∴∠ABE＝∠C′DE，
在Rt△ABE与Rt△C′DE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA），
∴BE＝DE＝x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴DE的长为5．
故选：C．
【点评】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．
6．如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【分析】因为面积为7的正方形ABCD边长为，所以，而AB＝AE，得，A点的坐标为1，故E点的坐标为．
【解答】解：由条件可知，
∵AB＝AE，
∴，
∵A点表示的数为1，
∴E点表示的数为，
故选：B．
【点评】本题考查了数轴与实数、平方根的应用，关键是结合题意求出．
7．若最简二次根式与可以合并，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由最简二次根式与可以合并，可知与是同类二次根式，由此求出m的值，代入计算即可．
【解答】解：由条件可知2m﹣8＝m+5，
解得m＝13，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查同类二次根式，化简二次根式，熟练掌握以上知识点是关键．
8．在平面直角坐标系中，点M在第二象限，且点M到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点M的坐标为（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
【分析】根据横坐标的绝对值是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，结合所在象限即可得解．
【解答】解：∵点M到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，
∴|x|＝3，|y|＝2，
∵点M在第二象限，
∴M坐标符号为（﹣，+），
∴M（﹣3，2）；
故选：B．
【点评】本题主要考查了点的坐标特征，熟练掌握相关知识是解题的关键．
9．下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数的定义：有两个变量x、y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，据此即可判断求解．
【解答】解：A、给定x的一个值，y有两个值和它对应，故y不是x的函数，该选项不合题意；
B、给定x的一个值，y有两个值和它对应，故y不是x的函数，该选项不合题意；
C、给定x的一个值，y有两个值和它对应，故y不是x的函数，该选项不合题意；
D、y是x的函数，该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键．
10．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，m﹣1）与点B（n+2，3）关于x轴对称，则m+n的值是（ ）
A．﹣6 B．4 C．5 D．﹣5
【分析】根据关于x轴对称点的坐标性质“横坐标相等，纵坐标互为相反数”，求解即可．
【解答】解：由题意可得：﹣2＝n+2，m﹣1＝﹣3，
解得n＝﹣4，m＝﹣2，
∴m+n＝﹣6．
故选：A．
【点评】此题考查了坐标与图形，轴对称的性质，解题的关键是掌握关于x轴对称点的坐标性质．
11．已知直线MN∥x轴，M点的坐标为（3，2），并且线段MN＝4，则点N的坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，2）或（7，2）
C．（7，2） D．（﹣1，2）或（7，2）
【分析】根据直线MN∥x轴，M点的坐标为（3，2），并且线段MN＝4，可以得到点N的纵坐标和点M的纵坐标相等，横坐标为3+4＝7或3﹣4＝﹣1，然后即可写出点N的坐标．
【解答】解：∵直线MN∥x轴，M点的坐标为（3，2），并且线段MN＝4，
∴点N的纵坐标为2，横坐标为3+4＝7或3﹣4＝﹣1，
即点N的坐标为（7，2）或（﹣1，2），
故选：D．
【点评】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，取出点N的坐标．
12．如图，是中国象棋棋局的一部分，如果“帅”的位置用坐标（0，1）表示，“卒”的位置用坐标（2，2）表示，那么“马”的位置所表示的坐标为（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，﹣2） D．（﹣2，2）
【分析】根据题中已知位置，创建平面直角坐标系回答即可．
【解答】解：如图所示：
“马”的坐标是（﹣2，2），
故选：D．
【点评】本题考查了实际问题中用坐标表示位置，正确得出原点位置并创建平面直角坐标系是解题的关键．
13．将直线y＝kx向上平移3个单位，再向右平移2个单位，则所得直线的解析式是（ ）
A．y＝k（x﹣3）+2 B．y＝k（x﹣2）﹣3
C．y＝k（x﹣2）+3 D．y＝k（x+2）+3
【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”，即可求出平移后的函数解析式．
【解答】解：根据平移规律“左加右减，上加下减”可知：
y＝k（x﹣2）+3．
故选：C．
【点评】本题主要考查图象的平移规律，属于基础题型，熟练掌握和运用平移规律是做题的关键．
14．函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C．且x≠1 D．且x≠1
【分析】根据被开方数大于等于0且分母不能为0，列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，2x﹣1≥0，
解得x．
x﹣1≠0
解得x≠1
∴x且x≠1
故选：D．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
15．直线y＝3x+2上有三个点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y2＞y1＞y3
【分析】由k＝3＞0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，结合﹣2＜﹣1＜3，即可得出y1＜y2＜y3．
【解答】解：∵k＝3＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵直线y＝3x+2上有三个点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3），且﹣2＜﹣1＜3，
∴y1＜y2＜y3．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
16．向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升高度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断．
【解答】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么高度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为B．
故选：B．
【点评】此题考查函数图象的应用，需注意容器粗细和水面高度变化的关联．
17．直线y1＝mx+n和y2＝﹣nx+m在同一平面直角坐标系内的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．利用一次函数的性质进行判断．
【解答】解：由一次函数y1＝mx+n图象可知m＜0，n＞0，由一次函数y2＝﹣nx+m可知n＜0，m＜0，m、n前后矛盾，所以A不合题意；
由一次函数y1＝mx+n图象可知m＜0，n＜0，由一次函数y2＝﹣nx+m可知n＜0，m＜0，m、n前后一致，所以B符合题意；
由一次函数y1＝mx+n图象可知m＜0，n＜0，由一次函数y2＝﹣nx+m可知n＜0，m＞0，m、n前后矛盾，所以C不合题意；
由一次函数y1＝mx+n图象可知m＜0，n＜0，由一次函数y2＝﹣nx+m可知n＞0，m＞0，m、n前后矛盾，所以D不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
18．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C在线段AB上，且点C坐标为（m，2），点D为线段OB的中点，点P为OA上一动点，当△PCD的周长最小时，点P的坐标为（ ）
A．（﹣3，0） B． C． D．
【分析】根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y＝0即可求出x的值，从而得出点P的坐标．
【解答】解：作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图．
令yx+4中x＝0，则y＝4
∴点B的坐标为（0，4）；
令yx+4中y＝0，则x+4＝0，解得：x＝﹣6，
∴点A的坐标为（﹣6，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（﹣3，2），点D（0，2）．
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，﹣2）．
设直线CD′的解析式为y＝kx+b，
∵直线CD′过点C（﹣3，2），D′（0，﹣2），
，解得：，
∴直线CD′的解析式为yx﹣2．
令y＝0，则0x﹣2，解得：x，
∴点P的坐标为（，0）．
故选：B．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是求出直线CD′的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
19．已知A、B两地之间是一条直路，甲骑自行车从A地到B地，乙骑摩托车从B地到A地，两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离s（km）与运动时间t（h）的函数关系大致如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．两人出发2h后相遇
B．甲骑自行车的速度为60km/h
C．乙到达目的地时两人相距200km
D．乙比甲提前2h到达目的地
【分析】根据函数图象中的数据，可以分别计算甲、乙两人的速度，以及分析出甲、乙两人的运动状态，从而判断解题．
【解答】解：由题意，A．由图知，∵两人出发2h后相遇，
∴A正确，不符合题意；
B．由题意，∵两人同时出发，乙先到达目的地，
∴甲骑自行车从A地到B地，用了5h，
∴甲骑自行车的速度为300÷5＝60（km/h），故B正确，不符合题意；
C．由题意，∵两人出发2h后相遇，
∴两人速度和为：300÷2＝150（km/h），
∴乙骑摩托车的速度为150﹣60＝90（km/h），
∴乙骑摩托车所用时间为，
∴此时甲骑自行车的路程为，
∴乙到达目的地时两人相距200km，故C正确，不符合题意；
D．由前面得出的条件可知，乙比甲提前到达目的地，故D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了从函数图象中获取相关信息，明确题意，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．
二．填空题（共2小题）
20．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，3），点B关于直线AD的对称点C在x轴的负半轴上，则点D的坐标为 （0，） ．
【分析】由题意得：AC＝AB＝5，故点C（﹣1，0），设点D的坐标为：（0，m），根据CD＝BD，即可得到m的值．
【解答】解：∵点A（4，0），点B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝5，
由题意得：AC＝AB＝5，
∴OC＝AC﹣OA＝1，
故点C（﹣1，0），
设点D的坐标为：（0，m），
∵CD＝BD，
∴3﹣m，
解得：m，
故点D（0，），
故答案为（0，）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，根据题意得到关于m的方程是解题的关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（a，b），则经过第2021次变换后所得A点坐标是 （a，﹣b） ．
【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2021除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．
【解答】解：∵点A第一次关于x轴对称后在第四象限，
点A第二次关于y轴对称后在第三象限，
点A第三次关于x轴对称后在第二象限，
点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，
∴每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2021÷4＝505…1，
∴经过第2021次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第四象限，坐标为（a，﹣b），
故答案为（a，﹣b）．
【点评】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．
三．解答题（共23小题）
22．解方程
（1）4x2﹣1＝24；
（2）．
【分析】（1）利用平方根的定义求解即可；
（2）利用立方根的定义求解即可．
【解答】解：（1）4x2﹣1＝24，
4x2＝25，
，
；
（2），
（x﹣1）3＝27，
x﹣1＝3，
x＝4．
【点评】本题考查了平方根的定义、立方根的定义，熟练掌握这几个定义是解题的关键．
23．计算：
（1）|π﹣3.2|；
（2）（3）（3）．
【分析】（1）根据算术平方根，立方根，绝对值的定义求解即可；
（2）根据二次根式的混合运算，立方根的定义求解即可．
【解答】解：（1）|π﹣3.2|
＝4﹣4﹣0.8+π﹣3.2
＝﹣4+π；
（2）（3）（3）
．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，1），B（﹣4，4），C（﹣1，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）直线l过点（2，0）且平行于y轴，请直接写出点C关于直线l的对称点C2的坐标： （5，﹣1） ；
（3）在（2）中的直线l上找一点P，使得|PB﹣PC|的值最大，则最大值为 ．
【分析】（1）关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得A1、B1、C1的坐标，描出A1、B1、C1，并顺次连接A1、B1、C1即可；
（2）根据题意可得直线l即为直线x＝2，再根据轴对称的性质可得点C和点C2到直线l的距离相等，且两点的纵坐标相同，据此求解即可；
（3）根据|PB﹣PC|≤BC，即可得当P、C、B三点共线时，|PB﹣PC|有最大值，最大值为BC的长，利用两点距离计算公式求出BC的长即可得到答案．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）∵直线l过点（2，0）且平行于y轴，
∴直线l即为直线x＝2，
∵C（﹣1，﹣1），
∴点C关于直线l的对称点C2的横坐标为2+2﹣（﹣1）＝5，纵坐标为﹣1，
∴直线l过点（2，0）且平行于y轴，点C关于直线l的对称点C2的坐标为（5，﹣1）；
（3）∵|PB﹣PC|≤BC，
∴当P、C、B三点共线时，|PB﹣PC|有最大值，最大值为BC的长，
∵B（﹣4，4），C（﹣1，﹣1），
∴，
∴|PB﹣PC|的最大值为．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，两点距离计算公式，熟知相关知识是解题的关键．
25．在平面直角坐标系中，已知点P（2m﹣4，1﹣m）．
（1）若点P的横坐标比纵坐标大7，求点P的坐标．
（2）若点P在坐标轴上，求m的值．
（3）若点P到x轴与到y轴的距离相等，求m的值．
【分析】（1）直接根据题意建立方程求解即可；
（2）根据坐标轴上点的特征：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点，横坐标为0，据此求解即可；
（3）分类讨论，根据坐标符号相同或者相反，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）由题意可知：2m﹣4﹣（1﹣m）＝7，
解得m＝4，
∴P（4，﹣3）；
（2）当点P在x轴上时，则1﹣m＝0，
解得m＝1，
∴P（﹣2，0）；
当点P在y轴上时，则2m﹣4＝0，
解得m＝2，
∴P（0，﹣1）；
（3）当点P在第一象限或者第三象限时，则2m﹣4＝1﹣m，
解得m，
此时P（，）；
当点P在第二象限或者第四象限时，则2m﹣4+1﹣m＝0，
解得m＝3，
此时P（2，﹣2）；
综上，P（，）或（2，﹣2）．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系及点的坐标特征，熟练掌握相关知识是解题的关键．
26．如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在竖直的墙AO上，这时梯子的底端B到墙底O的距离为0.7m．
（1）求梯子的顶端A距地面有多高；
（2）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4m到点C处，求梯子的底端B在水平方向上滑动了多少？
【分析】（1）在直角三角形ABO中，利用勾股定理即可求出AO的长；
（2）首先求出CO的长，利用勾股定理可求出OD的长，进而得到BD＝OD﹣OB的值．
【解答】解：（1）．
答：梯子的顶端A距地面2.4m．
（2）．
答：梯子的底端B在水平方向上滑动了0.8m．
【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键．
27．如图，圆柱形玻璃杯的高为13cm，底面周长为10cm，在杯内壁离杯底3cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿2cm，且与蜂蜜相对的点B处，求蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程．（杯壁厚度不计）
【分析】将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，根据两点之间线段最短可知AB′的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．
【解答】解：如图：
将杯子侧面展开，作B关于EF的对称点B′，
连接B′A，则B′A即为最短距离，
由题意得：DEBB′＝2cm，AE＝18﹣8＝10（cm），
∴DA＝AE+DE＝12cm，
∵底面周长为10cm，
∴B′D10＝5（cm），
B′A13（cm）．
蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为13．
【点评】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
28．如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.6m，将他往前推送2.4m（水平距离BC＝2.4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1.2m，求绳索AD的长度．
【分析】设秋千的绳索长为xm，AB＝AD＝xm，根据题意可得AC＝（x+0.6﹣1.2）m，利用勾股定理可得2.42+（x﹣0.6）2＝x2，即可作答．
【解答】解：设秋千的绳索长为xm，
则AB＝AD＝xm，
∴AC＝（x+0.6﹣1.2）m＝（x﹣0.6）m，
∵BC2+AC2＝AB2，
∴2.42+（x﹣0.6）2＝x2，
解得：x＝5.1，
答：绳索AD的长度是5.1m．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
29．在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个引水点A、B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通．该村为方便村民引水决定在河边新建一个引水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝2.4千米，HB＝1.8千米，求新路CH比原路CB，CA各少多少千米？
【分析】由勾股定理得（千米），设AB＝AC＝x千米，则AH＝AB﹣HB＝（x﹣1.8）千米，然后通过勾股定理求出AB＝AC＝2.5千米，最后代入求解即可．
【解答】解：∵CH⊥AB，
∴∠CHA＝∠CHB＝90°（垂直的定义），
∴BC3（千米），
设AB＝AC＝x千米，
∴AH＝AB﹣HB＝（x﹣1.8）千米，
∵AC2＝CH2+AH2，
∴x2＝2.42+（x﹣1.8）2，
解得：x＝2.5，
∴AB＝AC＝2.5千米，
∴新路CH比原路CB少3﹣2.4＝0.6（千米），比原路CA少2.5﹣2.4＝0.1（千米），
答：新路CH比原路CB少0.6千米，比原路CA少0.1千米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
30．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）
【分析】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；
根据勾股定理可得：
（m）
∴小汽车的速度为v20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；
∵72（km/h）＞70（km/h）；
∴这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了．
【点评】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．
31．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝AD＝4，AB＝CD＝10，∠DCB＝90°，E为CD边上的一点，DE＝7，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒．
（1）求BE的长；
（2）若△BPE为直角三角形，求t的值．
【分析】（1）根据勾股定理计算即可；
（2）分∠BPE＝90°、∠BEP＝90°两种情况，根据勾股定理计算．
【解答】解：（1）∵CD＝10，DE＝7，
∴CE＝10﹣7＝3，
在Rt△CBE中，BE5；
（2）当∠BPE＝90°时，AP＝10﹣3＝7，
则t＝7÷1＝7（秒），
当∠BEP＝90°时，BE2+PE2＝BP2，即52+42+（7﹣t）2＝（10﹣t）2，
解得，t，
∴当t＝7或时，△BPE为直角三角形．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
32．某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知∠C＝90°，AC＝3m，AB＝5m．
（1）求BC的长；
（2）若已知楼梯宽2.8m，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗）
【分析】（1）由勾股定理列式计算即可；
（2）由长方形面积公式计算即可．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝3m，AB＝5m，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：，
答：BC的长为4m；
（2）地毯长为：3+4＝7（m），
已知楼梯宽2.8m，每平方米地毯25元，
∴地毯的面积为2.8×7＝19.6（m2），
∴需要花费25×19.6＝490（元），
答：需要花费490元地毯才能铺满所有台阶．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出BC的长度是解题的关键．
33．数学著作《九章算术》中有这样一个问题：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央处有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．求这根芦苇的长度．
【分析】设这根芦苇的长度为x尺，则水池的深度为（x﹣1）尺．根据勾股定理可得方程（x﹣1）2+52＝x2，再求解即可．
【解答】解：依题意得AD＝10尺，FG＝1尺，∠EGD＝90°．
∵G为AD的中点，
∴GDAD＝5，
设这根芦苇的长度为x尺，则水池的深度为（x﹣1）尺．
在Rt△DGE中，根据勾股定理可得，EG2+DG2＝DE2，
即（x﹣1）2+52＝x2，
解得x＝13，
答：这根芦苇的长度为13尺．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
34．某正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15，b的立方根是﹣2．
（1）求a，b的值；
（2）求2a﹣b的算术平方根．
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数可以求得a的值，根据b的立方根是﹣2，可以求得b的值，
（2）根据（1）可以求得2a﹣b的值，从而得到算术平方根．
【解答】解：（1）∵某正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15，b的立方根是﹣2，
∴a+3+2a﹣15＝0，b＝（﹣2）3＝﹣8，
解得，a＝4，b＝﹣8；
（2）∵a＝4，b＝﹣8，
∴2a﹣b＝2×4﹣（﹣8）＝16，
∵16的算术平方根是4，
∴2a﹣b的算术平方根是4．
【点评】本题考查立方根、平方很，解答本题的关键是明确它们各自的含义．
35．已知某正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a+2，b+1的立方根为﹣2，c是的整数部分；
（1）求a，b，c的值；
（2）求a﹣b+2c的平方根．
【分析】（1）根据平方根、立方根的定义，无理数估算大小的方法即可得出a、b、c的值；
（2）根据（1）中a、b、c的值即可得出结论．
【解答】解：（1）∵某正数的两个平方根分别是3a﹣14和a+2，
∴（3a﹣14）+（a+2）＝0，
∴a＝3，
∵b+1的立方根为﹣2，
∴b+1＝（﹣2）3＝﹣8，
∴b＝﹣9，
∵4＜6＜9，
∴23，
∵c是的整数部分，
∴c＝2，
∴a＝3，b＝﹣9，c＝2；
（2）当a＝3，b＝﹣9，c＝2时，
a﹣b+2c＝3﹣（﹣9）+2×2＝16，
∴3a﹣b+c的平方根是±4．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，平方根，熟知以上知识是解题的关键．
36．已知y+3与x﹣1成正比例，且x＝2时，y＝﹣2．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）判断点（﹣1，﹣5）是否是上述函数图象上的点，说明理由．
【分析】（1）设正比例函数的解析式为y+3＝k（x﹣1），再把x＝2时，y＝﹣2代入求出k的值，进而可得出结论；
（2）把点（﹣1，﹣5）代入函数解析式进行检验即可．
【解答】解：（1）∵y+3与x﹣1成正比例，
∴设正比例函数的解析式为y+3＝k（x﹣1），
∵x＝2时，y＝﹣2，
∴﹣2+3＝k（2﹣1），
解得k＝1，
∴函数解析式为y+3＝x﹣1，即y＝x﹣4；
（2）点（﹣1，﹣5）在函数图象上，理由：
由（1）知y与x的解析式为y＝x﹣4，
∴当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣4＝﹣5，
∴点（﹣1，﹣5）在函数图象上．
【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式及一次函数的性质，先根据题意得出函数解析式是解题的关键．
37．小丽在解决问题：已知a，求a2﹣4a+3的值．
她采用的解法为：①a2，②a﹣2，③（a﹣2）2＝（）2，④a2﹣4a+4＝3，⑤a2﹣4a＝﹣1，⑥a2﹣4a+3＝﹣1+3＝2．
请根据小丽的解题方法解决下列问题：
（1） ； ．
（2）若，请按照小丽的方法求2a2﹣4a+1的值．
【分析】（1）各个式子均分子和分母乘以各分母的有理化因式，然后进行计算即可；
（2）先把已知分母有理化，再利用配方法分解因式，最后代入进行计算即可．
【解答】解：（1），
，
故答案为：，；
（2），
2a2﹣4a+1
＝2（a2﹣2a+1）﹣1
＝2（a﹣1）2﹣1
＝2（）2﹣1
＝2×2﹣1
＝4﹣1
＝3．
【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握完全平方公式和如何把分母有理化．
38．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）m＝ ；
（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；
（3）在数轴上还有点C表示实数c，且A与C的距离比A与B的距离多，求点C表示的实数c．
【分析】（1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可；
（2）根据（1）所求推出，再化简绝对值后计算求解即可；
（3）先求出A与C的距离为，再分当点C在点A右边时，当点C在点A左边时，两种情况根据数轴上两点距离计算公式求解即可．
【解答】解：（1）蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m，
则，
故答案为：；
（2）∵，
∴|m+1|+|m﹣1|
＝2；
（3）由题意得，点A到点B的距离为2，
∵A与C的距离比A与B的距离多，
∴A与C的距离为，
当点C在点A右边时，点C表示的数为，
当点C在点A左边时，点C表示的数为，
综上所述，点C表示的数为或2，即或c＝2．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，掌握实数与数轴，实数的运算是解题的关键．
39．王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人620元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为x人．
（1）请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y与x之间的函数关系式；
（2）若王老师组团参加两日游的共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家．
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以分别求出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y与x之间的函数关系式；
（2）将x﹣32代入（1）中相应的函数解析式，求出相应的函数值，然后比较大小即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
y甲＝620×0.85x＝527x，
当x≤20时，y乙＝620×0.9x＝558x，
当 x＞20时，y乙＝620×0.9×20+620×0.75（x﹣20）＝465x+1860，
由上可得，y乙；
（2）当x＝32时，
y甲＝527×32＝16864（元），
y乙＝465×32+1860＝16740（元），
∵16864＞16740，
∴王老师选择乙旅行社．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
40．如图，在平面直角坐标系中，直线l1分别与x轴、y轴交于点A（4，0），B，直线l2分别与x轴、y轴交于点C，D，点C在点A的左边，且，直线l1与直线l2交于点E（1，2）．
（1）求直线l1与l2的函数表达式．
（2）求△BDE的面积．
（3）在直线l2上是否存在一点P，使得S△BEP＝3S△BDE？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由点A和点E坐标可求出直线l1函数表达式，再求出点C坐标，根据点C和点E坐标可求出直线l2函数表达式；
（2）分别求出点B和点D坐标，进而根据面积公式求解即可；
（3）分类讨论，点P在点E上方和下方，然后表示出△BDP的面积，再根据面积公式求解即可．
【解答】解：（1）设l1表达式为y＝kx+b，将点A（4，0），E（1，2）代入得，
，解得，
∴直线l1函数表达式为yx；
由题可知OCOA＝2，
∴C（﹣2，0），
设直线l2表达式为y＝mx+n，将C（﹣2，0），E（1，2）代入得，
，解得，
∴直线l2函数表达式为yx；
（2）令l1：x＝0，得y0，
∴B（0，），
令l2：x＝0，得y，
∴D（0，），
∴BD，
∴S△BDE；
（3）当点P在点E上方时，如图，
此时S△BDP＝S△BDE+S△BEP＝4S△BDE，
∴ xP，
解得xP＝4，
此时yP4，
∴P（4，4）；
当点P在点E下方时，如图，
此时S△BDP＝S△BEP﹣S△BDE＝2S△BDE，
∴xP，
解得xP＝﹣2（正值舍去），
此时yP＝0，
∴P（﹣2，0）；
综上，满足题意的点P坐标为（4，4）或（﹣2，0）．
【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数点的坐标特征、坐标与图形性质等内容，分类讨论是解题的关键．
41．某工厂专业生产各种中小学生运动会的道具．在一次完成生产590件某种运动会道具的任务中，甲小组独立生产2h后，为了加快进度，该工厂决定让甲，乙两个小组同时进行生产，生产的运动会道具总数s（件）与甲小组生产时间t（h）之间的函数图象如图所示．
（1）分别求出当0≤t≤2与2＜t≤6时，s与t之间的函数解析式；
（2）从开始生产到甲，乙两个小组合作2小时后，求生产的运动会道具总量．
【分析】（1）当0≤t≤2时，设s＝at，将（2，110）代入得可求得为s＝55t；当2＜t≤6时，设函数解析式为s＝kt+b，将点（2，110），（6，590）代入可求出s＝120t﹣130（2＜t≤6）；
（2）当甲，乙两个小组合作2小时时，t＝2+2＝4，故s＝120×4﹣130＝350，即从开始生产到甲，乙两个小组合作2小时后，生产的运动会道具总量为350件．
【解答】解：（1）由图象可知，当0≤t≤2时，s与t之间满足正比例函数关系，
设s＝at，将（2，110）代入得2a＝110，
解得a＝55，
∴s与t之间的函数解析式为s＝55t（0≤t≤2）；
当2＜t≤6时，设函数解析式为s＝kt+b，
将点（2，110），（6，590）代入得，
解得，
∴s与t之间的函数解析式为s＝120t﹣130（2＜t≤6），
∴s；
（2）当甲，乙两个小组合作2小时时，t＝2+2＝4，
在s＝120t﹣130，令t＝4得s＝120×4﹣130＝350，
∴从开始生产到甲，乙两个小组合作2小时后，生产的运动会道具总量为350件．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
42．为了美化城市，洒水车需要在一条长为500m的重要路段AB段以50米/分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点C位置，洒水车由A向B移动，学校与路段AB上的两个路口A、B的距离分别为AC＝300m，BC＝400m，经测量，发现在260m及以内的会受到音乐的影响．判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响．
【分析】在△ABC中，由AC2+BC2＝AB2，可得出∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，利用面积法，可求出CD的长，由该值小于260，学校会受到影响，设直线AB上点E，F到点C的距离为260m，连接CE，CF，利用勾股定理，可求出DE，DF的长，结合EF＝DE+DF，可求出EF的长，再利用时间＝路程÷速度，即可求出学校受影响的时长．
【解答】解：在△ABC中，AB＝500m，AC＝300m，BC＝400m，
∵3002+4002＝250000，5002＝250000，
∴3002+4002＝5002，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°．
过点C作CD⊥AB于点D，如图所示，
∵S△ABCAB CDAC BC，
∴CD240（m），
∵240＜260，
∴学校会受到影响．
设直线AB上点E，F到点C的距离为260m，连接CE，CF，
在Rt△CDE中，CD＝240m，CE＝260m，
∴DE100（m），
同理：DF＝100m，
∴EF＝DE+DF＝100+100＝200（m），
∴200÷50＝4（分钟）．
答：学校会受到影响，受4分钟影响．
【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及三角形的面积，利用勾股定理，求出学校会受到影响区域（线段EF）的长度是解题的关键．
43．甲、乙两人沿相同的路线由A地向B地匀速前进，A，B两地间的距离为20千米，他们前进的路程为分别为S甲和s乙（单位：千米），甲出发后的时间为t（单位：时），甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，解答下列问题：
（1）乙比甲晚出发 1 小时；
（2）求S乙与t的函数表达式；
（3）求乙追上甲时距A地多远．
【分析】（1）根据函数图象作答即可．
（2）设乙的解析式为s＝kt+b（k≠0），代入求出k、b的值即可求出乙的解析式．
（3）求出甲的解析式，联立甲、乙的解析式计算即可．
【解答】解：（1）由图可知：乙比甲晚出发1小时，
故答案为：1；
（2）设乙的表达式为s＝kt+b（k≠0），
∵当t＝1时，s＝0；当t＝2时，s＝20，
则，
解得，
∴乙的表达式为：s＝20t﹣20（1≤t≤2）；
（3）设甲的表达式为：s＝mt，
∵当t＝4时，s＝20，
∴20＝4m，
∴m＝5，
∴甲的表达式为：s＝5t（0≤t≤4），
联立s＝5t和s＝20t﹣20得20t﹣20＝5t，
解得，
此时，
∴乙追上甲时距A地千米．
【点评】本题考查了从函数图象获取信息，待定系数法求一次函数表达式，掌握其相关知识点是解题的关键．
44．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线yx+b过点C．
（1）求m和b的值；
（2）直线yx+b与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒．
①若△ACP的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点C（2，m）代入直线y＝x+2中得：m＝2+2＝4，则点C（2，4），直线yx+b过点C，4b，b＝5；
（2）①由题意得：PD＝t，A（﹣2，0），yx+5中，当y＝0时，x+5＝0，D（10，0），AD＝10+2＝12， 4＝10，即可求解；
②分AC＝PC、AP＝CP、AC＝AP三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）把点C（2，m）代入直线y＝x+2中得：m＝2+2＝4，
∴点C（2，4），
∵直线yx+b过点C，
4b，b＝5；
（2）①由题意得：PD＝t，
y＝x+2中，当y＝0时，x+2＝0，
x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
yx+5中，当y＝0时，x+5＝0，
x＝10，
∴D（10，0），
∴AD＝10+2＝12，
∵△ACP的面积为10，
∴ 4＝10，
t＝7，
则t的值7秒；
②设点P（10﹣t，0），点A、C的坐标为：（﹣2，0）、（2，4），
当AC＝PC时，则点C在AP的中垂线上，即2×2＝10﹣t﹣2，
解得：t＝4；
当AP＝CP时，则点P在点C的正下方，故2＝10﹣t，
解得：t＝8；
当AC＝AP时，
同理可得：t＝12﹣4或12+4（舍去）
故：当t＝4或（12﹣4）或8时，△ACP为等腰三角形．
【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
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北师大版八年级数学上册期中考试高频题
一．选择题（共19小题）
1．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a、b、c，则下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a2+b2＝c2 D．
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．无理数包括正无理数、零和负无理数
B．无限小数都是无理数
C．正实数包括正有理数和正无理数
D．实数可以分为正实数和负实数两类
3．如图，在一次强台风中，一棵大树在离地面3米处折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为4米，则这棵树折断前的高度为（ ）
A．8米 B．6米 C．5米 D．3米
4．已知三角形两边长为8和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ）
A．6 B．28 C．10或28 D．10或2
5．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
7．若最简二次根式与可以合并，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，点M在第二象限，且点M到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点M的坐标为（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
9．下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
10．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，m﹣1）与点B（n+2，3）关于x轴对称，则m+n的值是（ ）
A．﹣6 B．4 C．5 D．﹣5
11．已知直线MN∥x轴，M点的坐标为（3，2），并且线段MN＝4，则点N的坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，2）或（7，2）
C．（7，2） D．（﹣1，2）或（7，2）
12．如图，是中国象棋棋局的一部分，如果“帅”的位置用坐标（0，1）表示，“卒”的位置用坐标（2，2）表示，那么“马”的位置所表示的坐标为（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，﹣2） D．（﹣2，2）
13．将直线y＝kx向上平移3个单位，再向右平移2个单位，则所得直线的解析式是（ ）
A．y＝k（x﹣3）+2 B．y＝k（x﹣2）﹣3
C．y＝k（x﹣2）+3 D．y＝k（x+2）+3
14．函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C．且x≠1 D．且x≠1
15．直线y＝3x+2上有三个点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y2＞y1＞y3
16．向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（ ）
A． B． C． D．
17．直线y1＝mx+n和y2＝﹣nx+m在同一平面直角坐标系内的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
18．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C在线段AB上，且点C坐标为（m，2），点D为线段OB的中点，点P为OA上一动点，当△PCD的周长最小时，点P的坐标为（ ）
A．（﹣3，0） B． C． D．
19．已知A、B两地之间是一条直路，甲骑自行车从A地到B地，乙骑摩托车从B地到A地，两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离s（km）与运动时间t（h）的函数关系大致如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．两人出发2h后相遇
B．甲骑自行车的速度为60km/h
C．乙到达目的地时两人相距200km
D．乙比甲提前2h到达目的地
二．填空题（共2小题）
20．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，3），点B关于直线AD的对称点C在x轴的负半轴上，则点D的坐标为 ．
21．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（a，b），则经过第2021次变换后所得A点坐标是 ．
三．解答题（共23小题）
22．解方程
（1）4x2﹣1＝24；
（2）．
23．计算：
（1）|π﹣3.2|；
（2）（3）（3）．
24．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，1），B（﹣4，4），C（﹣1，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）直线l过点（2，0）且平行于y轴，请直接写出点C关于直线l的对称点C2的坐标： ；
（3）在（2）中的直线l上找一点P，使得|PB﹣PC|的值最大，则最大值为 ．
25．在平面直角坐标系中，已知点P（2m﹣4，1﹣m）．
（1）若点P的横坐标比纵坐标大7，求点P的坐标．
（2）若点P在坐标轴上，求m的值．
（3）若点P到x轴与到y轴的距离相等，求m的值．
26．如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在竖直的墙AO上，这时梯子的底端B到墙底O的距离为0.7m．
（1）求梯子的顶端A距地面有多高；
（2）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4m到点C处，求梯子的底端B在水平方向上滑动了多少？
27．如图，圆柱形玻璃杯的高为13cm，底面周长为10cm，在杯内壁离杯底3cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿2cm，且与蜂蜜相对的点B处，求蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程．（杯壁厚度不计）
28．如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.6m，将他往前推送2.4m（水平距离BC＝2.4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1.2m，求绳索AD的长度．
29．在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个引水点A、B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通．该村为方便村民引水决定在河边新建一个引水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝2.4千米，HB＝1.8千米，求新路CH比原路CB，CA各少多少千米？
30．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）
31．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝AD＝4，AB＝CD＝10，∠DCB＝90°，E为CD边上的一点，DE＝7，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒．
（1）求BE的长；
（2）若△BPE为直角三角形，求t的值．
32．某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知∠C＝90°，AC＝3m，AB＝5m．
（1）求BC的长；
（2）若已知楼梯宽2.8m，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗）
33．数学著作《九章算术》中有这样一个问题：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央处有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．求这根芦苇的长度．
34．某正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15，b的立方根是﹣2．
（1）求a，b的值；
（2）求2a﹣b的算术平方根．
35．已知某正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a+2，b+1的立方根为﹣2，c是的整数部分；
（1）求a，b，c的值；
（2）求a﹣b+2c的平方根．
36．已知y+3与x﹣1成正比例，且x＝2时，y＝﹣2．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）判断点（﹣1，﹣5）是否是上述函数图象上的点，说明理由．
37．小丽在解决问题：已知a，求a2﹣4a+3的值．
她采用的解法为：①a2，②a﹣2，③（a﹣2）2＝（）2，④a2﹣4a+4＝3，⑤a2﹣4a＝﹣1，⑥a2﹣4a+3＝﹣1+3＝2．
请根据小丽的解题方法解决下列问题：
（1） ； ．
（2）若，请按照小丽的方法求2a2﹣4a+1的值．
38．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）m＝ ；
（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；
（3）在数轴上还有点C表示实数c，且A与C的距离比A与B的距离多，求点C表示的实数c．
39．王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人620元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为x人．
（1）请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y与x之间的函数关系式；
（2）若王老师组团参加两日游的共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家．
40．如图，在平面直角坐标系中，直线l1分别与x轴、y轴交于点A（4，0），B，直线l2分别与x轴、y轴交于点C，D，点C在点A的左边，且，直线l1与直线l2交于点E（1，2）．
（1）求直线l1与l2的函数表达式．
（2）求△BDE的面积．
（3）在直线l2上是否存在一点P，使得S△BEP＝3S△BDE？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
41．某工厂专业生产各种中小学生运动会的道具．在一次完成生产590件某种运动会道具的任务中，甲小组独立生产2h后，为了加快进度，该工厂决定让甲，乙两个小组同时进行生产，生产的运动会道具总数s（件）与甲小组生产时间t（h）之间的函数图象如图所示．
（1）分别求出当0≤t≤2与2＜t≤6时，s与t之间的函数解析式；
（2）从开始生产到甲，乙两个小组合作2小时后，求生产的运动会道具总量．
42．为了美化城市，洒水车需要在一条长为500m的重要路段AB段以50米/分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点C位置，洒水车由A向B移动，学校与路段AB上的两个路口A、B的距离分别为AC＝300m，BC＝400m，经测量，发现在260m及以内的会受到音乐的影响．判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响．
43．甲、乙两人沿相同的路线由A地向B地匀速前进，A，B两地间的距离为20千米，他们前进的路程为分别为S甲和s乙（单位：千米），甲出发后的时间为t（单位：时），甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，解答下列问题：
（1）乙比甲晚出发 小时；
（2）求S乙与t的函数表达式；
（3）求乙追上甲时距A地多远．
44．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线yx+b过点C．
（1）求m和b的值；
（2）直线yx+b与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒．
①若△ACP的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
北师大版八年级数学上册期中考试高频题
参考答案与试题解析
一．选择题（共19小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C C A D C B B B D A D
题号 12 13 14 15 16 17 18 19
答案 D C D C B B B D
一．选择题（共19小题）
1．在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a、b、c，则下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A＝∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a2+b2＝c2 D．
【分析】根据勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理解答即可．
【解答】解：若∠A＝∠B＝∠C，
∵根据三角形内角和定理得，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝∠B＝∠C＝180°÷3＝60°；
故△ABC为等边三角形，故A选项错误，不符合题意；
若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则，
故△ABC为锐角三角形，故B选项错误，不符合题意；
若a2+b2＝c2，由勾股定理可知：△ABC为直角三角形，故C选项正确，符合题意；
若，设，
∵，
∴故△ABC不是直角三角形，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，关键是相关知识的熟练掌握．
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．无理数包括正无理数、零和负无理数
B．无限小数都是无理数
C．正实数包括正有理数和正无理数
D．实数可以分为正实数和负实数两类
【分析】根据实数的概念即可判断
【解答】解：（A）无理数包括正无理数和负无理数，故A错误；
（B）无限循环小数是有理数，无限不循环小数是无理数，故B错误；
（D）实数可分为正实数，零，负实数，故D错误；
故选：C．
【点评】本题考查实数的概念，解题的关键是正确理解实数的概念，本题属于基础题型．
3．如图，在一次强台风中，一棵大树在离地面3米处折断，倒下后的树顶C与树根A的距离为4米，则这棵树折断前的高度为（ ）
A．8米 B．6米 C．5米 D．3米
【分析】由题意可得AB＝3米，AC＝4米，∠BAC＝90°，由勾股定理求出米，即可得解．
【解答】解：∵∠BAC＝90°，
∴米，
∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC＝3+5＝8米，
故选：A．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，关键是根据勾股定理得出BC的长解答．
4．已知三角形两边长为8和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ）
A．6 B．28 C．10或28 D．10或2
【分析】分为两种情况：①当斜边长是8，一条直角边为6时，②当直角边是6和8时，根据勾股定理求出第三边长即可．
【解答】解：分为两种情况：
①当斜边长是8，一条直角边为6时，另一条直角边为2；
②当直角边是6和8时，斜边为10；
所以第三边的长为10或2，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理，能灵活运用勾股定理进行计算是解此题的关键，用了分类讨论思想．
5．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】先根据翻折变换的性质得出CD＝C′D，∠C＝∠C′＝90°，再设DE＝x，则AE＝8﹣x，由全等三角形的判定定理得出Rt△ABE≌Rt△C′DE，可得出BE＝DE＝x，在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出x的值，进而得出DE的长．
【解答】解：∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，
∴CD＝C′D＝AB＝4，∠C＝∠C′＝90°，
设DE＝x，则AE＝8﹣x，
∵∠A＝∠C′＝90°，∠AEB＝∠DEC′，
∴∠ABE＝∠C′DE，
在Rt△ABE与Rt△C′DE中，
，
∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA），
∴BE＝DE＝x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2＝BE2，
∴42+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝5，
∴DE的长为5．
故选：C．
【点评】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．
6．如图，正方形ABCD的面积为7，顶点A在数轴上表示的数为1，若点E在数轴上（点E在点A的右侧），且AB＝AE，则点E所表示的数为（ ）
A． B． C． D．
【分析】因为面积为7的正方形ABCD边长为，所以，而AB＝AE，得，A点的坐标为1，故E点的坐标为．
【解答】解：由条件可知，
∵AB＝AE，
∴，
∵A点表示的数为1，
∴E点表示的数为，
故选：B．
【点评】本题考查了数轴与实数、平方根的应用，关键是结合题意求出．
7．若最简二次根式与可以合并，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【分析】由最简二次根式与可以合并，可知与是同类二次根式，由此求出m的值，代入计算即可．
【解答】解：由条件可知2m﹣8＝m+5，
解得m＝13，
∴，
故选：B．
【点评】本题考查同类二次根式，化简二次根式，熟练掌握以上知识点是关键．
8．在平面直角坐标系中，点M在第二象限，且点M到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，则点M的坐标为（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣3，2） C．（2，﹣3） D．（3，﹣2）
【分析】根据横坐标的绝对值是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值是点到x轴的距离，结合所在象限即可得解．
【解答】解：∵点M到x轴的距离为2，到y轴的距离为3，
∴|x|＝3，|y|＝2，
∵点M在第二象限，
∴M坐标符号为（﹣，+），
∴M（﹣3，2）；
故选：B．
【点评】本题主要考查了点的坐标特征，熟练掌握相关知识是解题的关键．
9．下列图象中，表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据函数的定义：有两个变量x、y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，据此即可判断求解．
【解答】解：A、给定x的一个值，y有两个值和它对应，故y不是x的函数，该选项不合题意；
B、给定x的一个值，y有两个值和它对应，故y不是x的函数，该选项不合题意；
C、给定x的一个值，y有两个值和它对应，故y不是x的函数，该选项不合题意；
D、y是x的函数，该选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键．
10．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，m﹣1）与点B（n+2，3）关于x轴对称，则m+n的值是（ ）
A．﹣6 B．4 C．5 D．﹣5
【分析】根据关于x轴对称点的坐标性质“横坐标相等，纵坐标互为相反数”，求解即可．
【解答】解：由题意可得：﹣2＝n+2，m﹣1＝﹣3，
解得n＝﹣4，m＝﹣2，
∴m+n＝﹣6．
故选：A．
【点评】此题考查了坐标与图形，轴对称的性质，解题的关键是掌握关于x轴对称点的坐标性质．
11．已知直线MN∥x轴，M点的坐标为（3，2），并且线段MN＝4，则点N的坐标为（ ）
A．（﹣1，2） B．（1，2）或（7，2）
C．（7，2） D．（﹣1，2）或（7，2）
【分析】根据直线MN∥x轴，M点的坐标为（3，2），并且线段MN＝4，可以得到点N的纵坐标和点M的纵坐标相等，横坐标为3+4＝7或3﹣4＝﹣1，然后即可写出点N的坐标．
【解答】解：∵直线MN∥x轴，M点的坐标为（3，2），并且线段MN＝4，
∴点N的纵坐标为2，横坐标为3+4＝7或3﹣4＝﹣1，
即点N的坐标为（7，2）或（﹣1，2），
故选：D．
【点评】本题考查坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，取出点N的坐标．
12．如图，是中国象棋棋局的一部分，如果“帅”的位置用坐标（0，1）表示，“卒”的位置用坐标（2，2）表示，那么“马”的位置所表示的坐标为（ ）
A．（﹣2，3） B．（﹣2，﹣3） C．（2，﹣2） D．（﹣2，2）
【分析】根据题中已知位置，创建平面直角坐标系回答即可．
【解答】解：如图所示：
“马”的坐标是（﹣2，2），
故选：D．
【点评】本题考查了实际问题中用坐标表示位置，正确得出原点位置并创建平面直角坐标系是解题的关键．
13．将直线y＝kx向上平移3个单位，再向右平移2个单位，则所得直线的解析式是（ ）
A．y＝k（x﹣3）+2 B．y＝k（x﹣2）﹣3
C．y＝k（x﹣2）+3 D．y＝k（x+2）+3
【分析】根据平移规律“左加右减，上加下减”，即可求出平移后的函数解析式．
【解答】解：根据平移规律“左加右减，上加下减”可知：
y＝k（x﹣2）+3．
故选：C．
【点评】本题主要考查图象的平移规律，属于基础题型，熟练掌握和运用平移规律是做题的关键．
14．函数中，自变量x的取值范围是（ ）
A． B． C．且x≠1 D．且x≠1
【分析】根据被开方数大于等于0且分母不能为0，列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，2x﹣1≥0，
解得x．
x﹣1≠0
解得x≠1
∴x且x≠1
故选：D．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．
15．直线y＝3x+2上有三个点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y2＞y1＞y3
【分析】由k＝3＞0，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而增大，结合﹣2＜﹣1＜3，即可得出y1＜y2＜y3．
【解答】解：∵k＝3＞0，
∴y随x的增大而增大，
又∵直线y＝3x+2上有三个点（﹣2，y1），（﹣1，y2），（3，y3），且﹣2＜﹣1＜3，
∴y1＜y2＜y3．
故选：C．
【点评】本题考查了一次函数的性质，牢记“k＞0，y随x的增大而增大；k＜0，y随x的增大而减小”是解题的关键．
16．向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升高度的快慢，再观察容器的粗细，作出判断．
【解答】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么高度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为B．
故选：B．
【点评】此题考查函数图象的应用，需注意容器粗细和水面高度变化的关联．
17．直线y1＝mx+n和y2＝﹣nx+m在同一平面直角坐标系内的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】一次函数y＝kx+b的图象有四种情况：
①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限．利用一次函数的性质进行判断．
【解答】解：由一次函数y1＝mx+n图象可知m＜0，n＞0，由一次函数y2＝﹣nx+m可知n＜0，m＜0，m、n前后矛盾，所以A不合题意；
由一次函数y1＝mx+n图象可知m＜0，n＜0，由一次函数y2＝﹣nx+m可知n＜0，m＜0，m、n前后一致，所以B符合题意；
由一次函数y1＝mx+n图象可知m＜0，n＜0，由一次函数y2＝﹣nx+m可知n＜0，m＞0，m、n前后矛盾，所以C不合题意；
由一次函数y1＝mx+n图象可知m＜0，n＜0，由一次函数y2＝﹣nx+m可知n＞0，m＞0，m、n前后矛盾，所以D不合题意；
故选：B．
【点评】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．
18．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C在线段AB上，且点C坐标为（m，2），点D为线段OB的中点，点P为OA上一动点，当△PCD的周长最小时，点P的坐标为（ ）
A．（﹣3，0） B． C． D．
【分析】根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点D′的坐标，结合点C、D′的坐标求出直线CD′的解析式，令y＝0即可求出x的值，从而得出点P的坐标．
【解答】解：作点D关于x轴的对称点D′，连接CD′交x轴于点P，此时PC+PD值最小，如图．
令yx+4中x＝0，则y＝4
∴点B的坐标为（0，4）；
令yx+4中y＝0，则x+4＝0，解得：x＝﹣6，
∴点A的坐标为（﹣6，0）．
∵点C、D分别为线段AB、OB的中点，
∴点C（﹣3，2），点D（0，2）．
∵点D′和点D关于x轴对称，
∴点D′的坐标为（0，﹣2）．
设直线CD′的解析式为y＝kx+b，
∵直线CD′过点C（﹣3，2），D′（0，﹣2），
，解得：，
∴直线CD′的解析式为yx﹣2．
令y＝0，则0x﹣2，解得：x，
∴点P的坐标为（，0）．
故选：B．
【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，解题的关键是求出直线CD′的解析式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，找出点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．
19．已知A、B两地之间是一条直路，甲骑自行车从A地到B地，乙骑摩托车从B地到A地，两人同时出发，乙先到达目的地，两人之间的距离s（km）与运动时间t（h）的函数关系大致如图所示，则下列说法错误的是（ ）
A．两人出发2h后相遇
B．甲骑自行车的速度为60km/h
C．乙到达目的地时两人相距200km
D．乙比甲提前2h到达目的地
【分析】根据函数图象中的数据，可以分别计算甲、乙两人的速度，以及分析出甲、乙两人的运动状态，从而判断解题．
【解答】解：由题意，A．由图知，∵两人出发2h后相遇，
∴A正确，不符合题意；
B．由题意，∵两人同时出发，乙先到达目的地，
∴甲骑自行车从A地到B地，用了5h，
∴甲骑自行车的速度为300÷5＝60（km/h），故B正确，不符合题意；
C．由题意，∵两人出发2h后相遇，
∴两人速度和为：300÷2＝150（km/h），
∴乙骑摩托车的速度为150﹣60＝90（km/h），
∴乙骑摩托车所用时间为，
∴此时甲骑自行车的路程为，
∴乙到达目的地时两人相距200km，故C正确，不符合题意；
D．由前面得出的条件可知，乙比甲提前到达目的地，故D错误，符合题意；
故选：D．
【点评】本题主要考查了从函数图象中获取相关信息，明确题意，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键．
二．填空题（共2小题）
20．如图，在平面直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，3），点B关于直线AD的对称点C在x轴的负半轴上，则点D的坐标为 （0，） ．
【分析】由题意得：AC＝AB＝5，故点C（﹣1，0），设点D的坐标为：（0，m），根据CD＝BD，即可得到m的值．
【解答】解：∵点A（4，0），点B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
∴AB＝5，
由题意得：AC＝AB＝5，
∴OC＝AC﹣OA＝1，
故点C（﹣1，0），
设点D的坐标为：（0，m），
∵CD＝BD，
∴3﹣m，
解得：m，
故点D（0，），
故答案为（0，）．
【点评】本题考查了坐标与图形变化﹣对称，根据题意得到关于m的方程是解题的关键．
21．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（a，b），则经过第2021次变换后所得A点坐标是 （a，﹣b） ．
【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2021除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．
【解答】解：∵点A第一次关于x轴对称后在第四象限，
点A第二次关于y轴对称后在第三象限，
点A第三次关于x轴对称后在第二象限，
点A第四次关于y轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，
∴每四次对称为一个循环组依次循环，
∵2021÷4＝505…1，
∴经过第2021次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第四象限，坐标为（a，﹣b），
故答案为（a，﹣b）．
【点评】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点．
三．解答题（共23小题）
22．解方程
（1）4x2﹣1＝24；
（2）．
【分析】（1）利用平方根的定义求解即可；
（2）利用立方根的定义求解即可．
【解答】解：（1）4x2﹣1＝24，
4x2＝25，
，
；
（2），
（x﹣1）3＝27，
x﹣1＝3，
x＝4．
【点评】本题考查了平方根的定义、立方根的定义，熟练掌握这几个定义是解题的关键．
23．计算：
（1）|π﹣3.2|；
（2）（3）（3）．
【分析】（1）根据算术平方根，立方根，绝对值的定义求解即可；
（2）根据二次根式的混合运算，立方根的定义求解即可．
【解答】解：（1）|π﹣3.2|
＝4﹣4﹣0.8+π﹣3.2
＝﹣4+π；
（2）（3）（3）
．
【点评】本题考查了实数的运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键．
24．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣5，1），B（﹣4，4），C（﹣1，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1；
（2）直线l过点（2，0）且平行于y轴，请直接写出点C关于直线l的对称点C2的坐标： （5，﹣1） ；
（3）在（2）中的直线l上找一点P，使得|PB﹣PC|的值最大，则最大值为 ．
【分析】（1）关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数，据此可得A1、B1、C1的坐标，描出A1、B1、C1，并顺次连接A1、B1、C1即可；
（2）根据题意可得直线l即为直线x＝2，再根据轴对称的性质可得点C和点C2到直线l的距离相等，且两点的纵坐标相同，据此求解即可；
（3）根据|PB﹣PC|≤BC，即可得当P、C、B三点共线时，|PB﹣PC|有最大值，最大值为BC的长，利用两点距离计算公式求出BC的长即可得到答案．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）∵直线l过点（2，0）且平行于y轴，
∴直线l即为直线x＝2，
∵C（﹣1，﹣1），
∴点C关于直线l的对称点C2的横坐标为2+2﹣（﹣1）＝5，纵坐标为﹣1，
∴直线l过点（2，0）且平行于y轴，点C关于直线l的对称点C2的坐标为（5，﹣1）；
（3）∵|PB﹣PC|≤BC，
∴当P、C、B三点共线时，|PB﹣PC|有最大值，最大值为BC的长，
∵B（﹣4，4），C（﹣1，﹣1），
∴，
∴|PB﹣PC|的最大值为．
【点评】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，两点距离计算公式，熟知相关知识是解题的关键．
25．在平面直角坐标系中，已知点P（2m﹣4，1﹣m）．
（1）若点P的横坐标比纵坐标大7，求点P的坐标．
（2）若点P在坐标轴上，求m的值．
（3）若点P到x轴与到y轴的距离相等，求m的值．
【分析】（1）直接根据题意建立方程求解即可；
（2）根据坐标轴上点的特征：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点，横坐标为0，据此求解即可；
（3）分类讨论，根据坐标符号相同或者相反，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）由题意可知：2m﹣4﹣（1﹣m）＝7，
解得m＝4，
∴P（4，﹣3）；
（2）当点P在x轴上时，则1﹣m＝0，
解得m＝1，
∴P（﹣2，0）；
当点P在y轴上时，则2m﹣4＝0，
解得m＝2，
∴P（0，﹣1）；
（3）当点P在第一象限或者第三象限时，则2m﹣4＝1﹣m，
解得m，
此时P（，）；
当点P在第二象限或者第四象限时，则2m﹣4+1﹣m＝0，
解得m＝3，
此时P（2，﹣2）；
综上，P（，）或（2，﹣2）．
【点评】本题主要考查了平面直角坐标系及点的坐标特征，熟练掌握相关知识是解题的关键．
26．如图，一架长2.5m的梯子AB斜靠在竖直的墙AO上，这时梯子的底端B到墙底O的距离为0.7m．
（1）求梯子的顶端A距地面有多高；
（2）如果梯子的顶端A沿墙下滑0.4m到点C处，求梯子的底端B在水平方向上滑动了多少？
【分析】（1）在直角三角形ABO中，利用勾股定理即可求出AO的长；
（2）首先求出CO的长，利用勾股定理可求出OD的长，进而得到BD＝OD﹣OB的值．
【解答】解：（1）．
答：梯子的顶端A距地面2.4m．
（2）．
答：梯子的底端B在水平方向上滑动了0.8m．
【点评】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键．
27．如图，圆柱形玻璃杯的高为13cm，底面周长为10cm，在杯内壁离杯底3cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿2cm，且与蜂蜜相对的点B处，求蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程．（杯壁厚度不计）
【分析】将玻璃杯侧面展开，作B关于EF的对称点B′，根据两点之间线段最短可知AB′的长度即为所求，利用勾股定理求解即可得．
【解答】解：如图：
将杯子侧面展开，作B关于EF的对称点B′，
连接B′A，则B′A即为最短距离，
由题意得：DEBB′＝2cm，AE＝18﹣8＝10（cm），
∴DA＝AE+DE＝12cm，
∵底面周长为10cm，
∴B′D10＝5（cm），
B′A13（cm）．
蚂蚁从外壁B处到内壁A处所爬行的最短路程为13．
【点评】本题考查了平面展开——最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
28．如图，有一架秋千，当他静止时，踏板离地的垂直高度DE＝0.6m，将他往前推送2.4m（水平距离BC＝2.4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝1.2m，求绳索AD的长度．
【分析】设秋千的绳索长为xm，AB＝AD＝xm，根据题意可得AC＝（x+0.6﹣1.2）m，利用勾股定理可得2.42+（x﹣0.6）2＝x2，即可作答．
【解答】解：设秋千的绳索长为xm，
则AB＝AD＝xm，
∴AC＝（x+0.6﹣1.2）m＝（x﹣0.6）m，
∵BC2+AC2＝AB2，
∴2.42+（x﹣0.6）2＝x2，
解得：x＝5.1，
答：绳索AD的长度是5.1m．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．
29．在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个引水点A、B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通．该村为方便村民引水决定在河边新建一个引水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝2.4千米，HB＝1.8千米，求新路CH比原路CB，CA各少多少千米？
【分析】由勾股定理得（千米），设AB＝AC＝x千米，则AH＝AB﹣HB＝（x﹣1.8）千米，然后通过勾股定理求出AB＝AC＝2.5千米，最后代入求解即可．
【解答】解：∵CH⊥AB，
∴∠CHA＝∠CHB＝90°（垂直的定义），
∴BC3（千米），
设AB＝AC＝x千米，
∴AH＝AB﹣HB＝（x﹣1.8）千米，
∵AC2＝CH2+AH2，
∴x2＝2.42+（x﹣1.8）2，
解得：x＝2.5，
∴AB＝AC＝2.5千米，
∴新路CH比原路CB少3﹣2.4＝0.6（千米），比原路CA少2.5﹣2.4＝0.1（千米），
答：新路CH比原路CB少0.6千米，比原路CA少0.1千米．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
30．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70km/h．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为50m，这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：1m/s＝3.6km/h）
【分析】本题求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．
【解答】解：在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；
根据勾股定理可得：
（m）
∴小汽车的速度为v20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；
∵72（km/h）＞70（km/h）；
∴这辆小汽车超速行驶．
答：这辆小汽车超速了．
【点评】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．
31．如图，已知四边形ABCD中，AB∥CD，BC＝AD＝4，AB＝CD＝10，∠DCB＝90°，E为CD边上的一点，DE＝7，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿着边AB向终点B运动，连接PE，设点P运动的时间为t秒．
（1）求BE的长；
（2）若△BPE为直角三角形，求t的值．
【分析】（1）根据勾股定理计算即可；
（2）分∠BPE＝90°、∠BEP＝90°两种情况，根据勾股定理计算．
【解答】解：（1）∵CD＝10，DE＝7，
∴CE＝10﹣7＝3，
在Rt△CBE中，BE5；
（2）当∠BPE＝90°时，AP＝10﹣3＝7，
则t＝7÷1＝7（秒），
当∠BEP＝90°时，BE2+PE2＝BP2，即52+42+（7﹣t）2＝（10﹣t）2，
解得，t，
∴当t＝7或时，△BPE为直角三角形．
【点评】本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
32．某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图所示，已知∠C＝90°，AC＝3m，AB＝5m．
（1）求BC的长；
（2）若已知楼梯宽2.8m，每平方米地毯25元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗）
【分析】（1）由勾股定理列式计算即可；
（2）由长方形面积公式计算即可．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝3m，AB＝5m，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：，
答：BC的长为4m；
（2）地毯长为：3+4＝7（m），
已知楼梯宽2.8m，每平方米地毯25元，
∴地毯的面积为2.8×7＝19.6（m2），
∴需要花费25×19.6＝490（元），
答：需要花费490元地毯才能铺满所有台阶．
【点评】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出BC的长度是解题的关键．
33．数学著作《九章算术》中有这样一个问题：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央处有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．求这根芦苇的长度．
【分析】设这根芦苇的长度为x尺，则水池的深度为（x﹣1）尺．根据勾股定理可得方程（x﹣1）2+52＝x2，再求解即可．
【解答】解：依题意得AD＝10尺，FG＝1尺，∠EGD＝90°．
∵G为AD的中点，
∴GDAD＝5，
设这根芦苇的长度为x尺，则水池的深度为（x﹣1）尺．
在Rt△DGE中，根据勾股定理可得，EG2+DG2＝DE2，
即（x﹣1）2+52＝x2，
解得x＝13，
答：这根芦苇的长度为13尺．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
34．某正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15，b的立方根是﹣2．
（1）求a，b的值；
（2）求2a﹣b的算术平方根．
【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数可以求得a的值，根据b的立方根是﹣2，可以求得b的值，
（2）根据（1）可以求得2a﹣b的值，从而得到算术平方根．
【解答】解：（1）∵某正数的两个平方根分别是a+3和2a﹣15，b的立方根是﹣2，
∴a+3+2a﹣15＝0，b＝（﹣2）3＝﹣8，
解得，a＝4，b＝﹣8；
（2）∵a＝4，b＝﹣8，
∴2a﹣b＝2×4﹣（﹣8）＝16，
∵16的算术平方根是4，
∴2a﹣b的算术平方根是4．
【点评】本题考查立方根、平方很，解答本题的关键是明确它们各自的含义．
35．已知某正数的两个不同的平方根是3a﹣14和a+2，b+1的立方根为﹣2，c是的整数部分；
（1）求a，b，c的值；
（2）求a﹣b+2c的平方根．
【分析】（1）根据平方根、立方根的定义，无理数估算大小的方法即可得出a、b、c的值；
（2）根据（1）中a、b、c的值即可得出结论．
【解答】解：（1）∵某正数的两个平方根分别是3a﹣14和a+2，
∴（3a﹣14）+（a+2）＝0，
∴a＝3，
∵b+1的立方根为﹣2，
∴b+1＝（﹣2）3＝﹣8，
∴b＝﹣9，
∵4＜6＜9，
∴23，
∵c是的整数部分，
∴c＝2，
∴a＝3，b＝﹣9，c＝2；
（2）当a＝3，b＝﹣9，c＝2时，
a﹣b+2c＝3﹣（﹣9）+2×2＝16，
∴3a﹣b+c的平方根是±4．
【点评】本题考查的是估算无理数的大小，平方根，熟知以上知识是解题的关键．
36．已知y+3与x﹣1成正比例，且x＝2时，y＝﹣2．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）判断点（﹣1，﹣5）是否是上述函数图象上的点，说明理由．
【分析】（1）设正比例函数的解析式为y+3＝k（x﹣1），再把x＝2时，y＝﹣2代入求出k的值，进而可得出结论；
（2）把点（﹣1，﹣5）代入函数解析式进行检验即可．
【解答】解：（1）∵y+3与x﹣1成正比例，
∴设正比例函数的解析式为y+3＝k（x﹣1），
∵x＝2时，y＝﹣2，
∴﹣2+3＝k（2﹣1），
解得k＝1，
∴函数解析式为y+3＝x﹣1，即y＝x﹣4；
（2）点（﹣1，﹣5）在函数图象上，理由：
由（1）知y与x的解析式为y＝x﹣4，
∴当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣4＝﹣5，
∴点（﹣1，﹣5）在函数图象上．
【点评】本题考查的是待定系数法求一次函数的解析式及一次函数的性质，先根据题意得出函数解析式是解题的关键．
37．小丽在解决问题：已知a，求a2﹣4a+3的值．
她采用的解法为：①a2，②a﹣2，③（a﹣2）2＝（）2，④a2﹣4a+4＝3，⑤a2﹣4a＝﹣1，⑥a2﹣4a+3＝﹣1+3＝2．
请根据小丽的解题方法解决下列问题：
（1） ； ．
（2）若，请按照小丽的方法求2a2﹣4a+1的值．
【分析】（1）各个式子均分子和分母乘以各分母的有理化因式，然后进行计算即可；
（2）先把已知分母有理化，再利用配方法分解因式，最后代入进行计算即可．
【解答】解：（1），
，
故答案为：，；
（2），
2a2﹣4a+1
＝2（a2﹣2a+1）﹣1
＝2（a﹣1）2﹣1
＝2（）2﹣1
＝2×2﹣1
＝4﹣1
＝3．
【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题关键是熟练掌握完全平方公式和如何把分母有理化．
38．如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m．
（1）m＝ ；
（2）求|m+1|+|m﹣1|的值；
（3）在数轴上还有点C表示实数c，且A与C的距离比A与B的距离多，求点C表示的实数c．
【分析】（1）根据数轴上两点距离计算公式求解即可；
（2）根据（1）所求推出，再化简绝对值后计算求解即可；
（3）先求出A与C的距离为，再分当点C在点A右边时，当点C在点A左边时，两种情况根据数轴上两点距离计算公式求解即可．
【解答】解：（1）蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m，
则，
故答案为：；
（2）∵，
∴|m+1|+|m﹣1|
＝2；
（3）由题意得，点A到点B的距离为2，
∵A与C的距离比A与B的距离多，
∴A与C的距离为，
当点C在点A右边时，点C表示的数为，
当点C在点A左边时，点C表示的数为，
综上所述，点C表示的数为或2，即或c＝2．
【点评】本题主要考查了实数与数轴，实数的运算，掌握实数与数轴，实数的运算是解题的关键．
39．王老师计划组织朋友暑假去革命圣地延安两日游．经了解，现有甲、乙两家旅行社比较合适，报价均为每人620元，且提供的服务完全相同．针对组团两日游的游客，甲旅行社表示，每人都按八五折收费；乙旅行社表示，若人数不超过20人，每人都按九折收费，超过20人，则超出部分每人按七五折收费．假设组团参加两日游的人数为x人．
（1）请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y与x之间的函数关系式；
（2）若王老师组团参加两日游的共有32人，请你通过计算，在甲、乙两家旅行社中，帮助王老师选择收取总费用较少的一家．
【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以分别求出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的总费用y与x之间的函数关系式；
（2）将x﹣32代入（1）中相应的函数解析式，求出相应的函数值，然后比较大小即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
y甲＝620×0.85x＝527x，
当x≤20时，y乙＝620×0.9x＝558x，
当 x＞20时，y乙＝620×0.9×20+620×0.75（x﹣20）＝465x+1860，
由上可得，y乙；
（2）当x＝32时，
y甲＝527×32＝16864（元），
y乙＝465×32+1860＝16740（元），
∵16864＞16740，
∴王老师选择乙旅行社．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式．
40．如图，在平面直角坐标系中，直线l1分别与x轴、y轴交于点A（4，0），B，直线l2分别与x轴、y轴交于点C，D，点C在点A的左边，且，直线l1与直线l2交于点E（1，2）．
（1）求直线l1与l2的函数表达式．
（2）求△BDE的面积．
（3）在直线l2上是否存在一点P，使得S△BEP＝3S△BDE？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由点A和点E坐标可求出直线l1函数表达式，再求出点C坐标，根据点C和点E坐标可求出直线l2函数表达式；
（2）分别求出点B和点D坐标，进而根据面积公式求解即可；
（3）分类讨论，点P在点E上方和下方，然后表示出△BDP的面积，再根据面积公式求解即可．
【解答】解：（1）设l1表达式为y＝kx+b，将点A（4，0），E（1，2）代入得，
，解得，
∴直线l1函数表达式为yx；
由题可知OCOA＝2，
∴C（﹣2，0），
设直线l2表达式为y＝mx+n，将C（﹣2，0），E（1，2）代入得，
，解得，
∴直线l2函数表达式为yx；
（2）令l1：x＝0，得y0，
∴B（0，），
令l2：x＝0，得y，
∴D（0，），
∴BD，
∴S△BDE；
（3）当点P在点E上方时，如图，
此时S△BDP＝S△BDE+S△BEP＝4S△BDE，
∴ xP，
解得xP＝4，
此时yP4，
∴P（4，4）；
当点P在点E下方时，如图，
此时S△BDP＝S△BEP﹣S△BDE＝2S△BDE，
∴xP，
解得xP＝﹣2（正值舍去），
此时yP＝0，
∴P（﹣2，0）；
综上，满足题意的点P坐标为（4，4）或（﹣2，0）．
【点评】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数点的坐标特征、坐标与图形性质等内容，分类讨论是解题的关键．
41．某工厂专业生产各种中小学生运动会的道具．在一次完成生产590件某种运动会道具的任务中，甲小组独立生产2h后，为了加快进度，该工厂决定让甲，乙两个小组同时进行生产，生产的运动会道具总数s（件）与甲小组生产时间t（h）之间的函数图象如图所示．
（1）分别求出当0≤t≤2与2＜t≤6时，s与t之间的函数解析式；
（2）从开始生产到甲，乙两个小组合作2小时后，求生产的运动会道具总量．
【分析】（1）当0≤t≤2时，设s＝at，将（2，110）代入得可求得为s＝55t；当2＜t≤6时，设函数解析式为s＝kt+b，将点（2，110），（6，590）代入可求出s＝120t﹣130（2＜t≤6）；
（2）当甲，乙两个小组合作2小时时，t＝2+2＝4，故s＝120×4﹣130＝350，即从开始生产到甲，乙两个小组合作2小时后，生产的运动会道具总量为350件．
【解答】解：（1）由图象可知，当0≤t≤2时，s与t之间满足正比例函数关系，
设s＝at，将（2，110）代入得2a＝110，
解得a＝55，
∴s与t之间的函数解析式为s＝55t（0≤t≤2）；
当2＜t≤6时，设函数解析式为s＝kt+b，
将点（2，110），（6，590）代入得，
解得，
∴s与t之间的函数解析式为s＝120t﹣130（2＜t≤6），
∴s；
（2）当甲，乙两个小组合作2小时时，t＝2+2＝4，
在s＝120t﹣130，令t＝4得s＝120×4﹣130＝350，
∴从开始生产到甲，乙两个小组合作2小时后，生产的运动会道具总量为350件．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
42．为了美化城市，洒水车需要在一条长为500m的重要路段AB段以50米/分钟行驶进行洒水，在洒水的同时会播放音乐进行提醒．如图，学校位于点C位置，洒水车由A向B移动，学校与路段AB上的两个路口A、B的距离分别为AC＝300m，BC＝400m，经测量，发现在260m及以内的会受到音乐的影响．判断学校是否会受到影响？若不会受到影响，请说明理由；若会受到影响，请求出受多长时间影响．
【分析】在△ABC中，由AC2+BC2＝AB2，可得出∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB于点D，利用面积法，可求出CD的长，由该值小于260，学校会受到影响，设直线AB上点E，F到点C的距离为260m，连接CE，CF，利用勾股定理，可求出DE，DF的长，结合EF＝DE+DF，可求出EF的长，再利用时间＝路程÷速度，即可求出学校受影响的时长．
【解答】解：在△ABC中，AB＝500m，AC＝300m，BC＝400m，
∵3002+4002＝250000，5002＝250000，
∴3002+4002＝5002，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°．
过点C作CD⊥AB于点D，如图所示，
∵S△ABCAB CDAC BC，
∴CD240（m），
∵240＜260，
∴学校会受到影响．
设直线AB上点E，F到点C的距离为260m，连接CE，CF，
在Rt△CDE中，CD＝240m，CE＝260m，
∴DE100（m），
同理：DF＝100m，
∴EF＝DE+DF＝100+100＝200（m），
∴200÷50＝4（分钟）．
答：学校会受到影响，受4分钟影响．
【点评】本题考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及三角形的面积，利用勾股定理，求出学校会受到影响区域（线段EF）的长度是解题的关键．
43．甲、乙两人沿相同的路线由A地向B地匀速前进，A，B两地间的距离为20千米，他们前进的路程为分别为S甲和s乙（单位：千米），甲出发后的时间为t（单位：时），甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，解答下列问题：
（1）乙比甲晚出发 1 小时；
（2）求S乙与t的函数表达式；
（3）求乙追上甲时距A地多远．
【分析】（1）根据函数图象作答即可．
（2）设乙的解析式为s＝kt+b（k≠0），代入求出k、b的值即可求出乙的解析式．
（3）求出甲的解析式，联立甲、乙的解析式计算即可．
【解答】解：（1）由图可知：乙比甲晚出发1小时，
故答案为：1；
（2）设乙的表达式为s＝kt+b（k≠0），
∵当t＝1时，s＝0；当t＝2时，s＝20，
则，
解得，
∴乙的表达式为：s＝20t﹣20（1≤t≤2）；
（3）设甲的表达式为：s＝mt，
∵当t＝4时，s＝20，
∴20＝4m，
∴m＝5，
∴甲的表达式为：s＝5t（0≤t≤4），
联立s＝5t和s＝20t﹣20得20t﹣20＝5t，
解得，
此时，
∴乙追上甲时距A地千米．
【点评】本题考查了从函数图象获取信息，待定系数法求一次函数表达式，掌握其相关知识点是解题的关键．
44．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C（2，m）为直线y＝x+2上一点，直线yx+b过点C．
（1）求m和b的值；
（2）直线yx+b与x轴交于点D，动点P在线段DA上从点D开始以每秒1个单位的速度向A点运动．设点P的运动时间为t秒．
①若△ACP的面积为10，求t的值；
②是否存在t的值，使△ACP为等腰三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点C（2，m）代入直线y＝x+2中得：m＝2+2＝4，则点C（2，4），直线yx+b过点C，4b，b＝5；
（2）①由题意得：PD＝t，A（﹣2，0），yx+5中，当y＝0时，x+5＝0，D（10，0），AD＝10+2＝12， 4＝10，即可求解；
②分AC＝PC、AP＝CP、AC＝AP三种情况，分别求解即可．
【解答】解：（1）把点C（2，m）代入直线y＝x+2中得：m＝2+2＝4，
∴点C（2，4），
∵直线yx+b过点C，
4b，b＝5；
（2）①由题意得：PD＝t，
y＝x+2中，当y＝0时，x+2＝0，
x＝﹣2，
∴A（﹣2，0），
yx+5中，当y＝0时，x+5＝0，
x＝10，
∴D（10，0），
∴AD＝10+2＝12，
∵△ACP的面积为10，
∴ 4＝10，
t＝7，
则t的值7秒；
②设点P（10﹣t，0），点A、C的坐标为：（﹣2，0）、（2，4），
当AC＝PC时，则点C在AP的中垂线上，即2×2＝10﹣t﹣2，
解得：t＝4；
当AP＝CP时，则点P在点C的正下方，故2＝10﹣t，
解得：t＝8；
当AC＝AP时，
同理可得：t＝12﹣4或12+4（舍去）
故：当t＝4或（12﹣4）或8时，△ACP为等腰三角形．
【点评】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
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