第2章一元二次方程易错练习卷（含解析）-2025-2026学年数学九年级上册北师大版

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第2章一元二次方程易错练习卷-2025-2026学年数学九年级上册北师大版
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程一定是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知是一元二次方程的解，则的值为（ ）
A．1 B． C．0 D．
3．用配方法解方程时，原方程应变形为（ ）
A． B．
C． D．
4．若一元二次方程有两实数根和，下列选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．若，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
6．若关于的方程（）的两根分别为，则关于的方程的两根分别为（ ）
A． B． C． D．
7．用公式法解方程时，得，则“□”处应填（ ）
A． B． C．5 D．7
8．若m是方程的根，则的值为（ ）
A．28 B．27 C．26 D．25
9．某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为x．则下面所列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在正方形中，，点是边上的动点，连接，以为腰向右侧作等腰直角，若四边形的面积与的面积相等，则的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．若关于的方程是一元二次方程，则的值为 ．
12．一元二次方程的二次项系数为 ，一次项系数为 ，常数项为 ．
13．已知m，n是一元二次方程的两根，则的值为 ．
14．某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是45，设这种植物每个支干长出的小分支个数为，则可列方程为
15．“水是生命之源，树是水的卫士．”为了更好地让大家珍惜树木，小红将宣传语转发给若干人，收到的人再把这条宣传语转发给相同的人数，若在这个过程中包括小红一共有157人收到了这条宣传语，则小红将这条宣传语转发给了 人．
16．如图中，，点 P 从点A 开始向点B 以速度移动，同时点Q 从点 B开始向点C以的速度移动，当点Q运动到点C时，两点都停止移动，经过 秒，的面积是 ？
三、解答题
17．解方程：
(1)
(2)．
18．已知关于的一元二次方程．
(1)求证：无论为何值，方程总有两个实数根；
(2)若方程的两个根互为相反数，求这两个根．
19．如图，用长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为米的两扇小门．
(1)设花圃的一边长为米，请用含的代数式表示另一边的长；
(2)若此时花圃的面积刚好为平方米，求此时花圃的长与宽．
20．一人一盔安全守规，一人一带平安常．在某摩托车配件店经市场调查，发现进价为80元的新款头盔每月的销售量y（件）与售价x（元）的相关信息如下：
售价x（元） 100 110 120 130
销售量y（件） 180 160 140 120
(1)试用你学过的函数来描述y与x的关系，这个函数可以是__________（填“一次函数”或“二次函数”），直接写出这个函数解析式为____________________；
(2)若物价局规定，该头盔最高售价不得超过140元，当售价为多少元时，月销售利润达到3600元？
21．阅读感悟：
已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为，则．所以．
把代入已知方程，得．
化简，得，
故所求方程为．
这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”．
请用阅读材料提供的“换元法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式．
解决问题：
(1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别比已知方程的根大1．（要求：化未知数是，为一般形式）；
(2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根与已知方程方程的两个根互为倒数；（要求：未知数是，化为一般形式）．
(3)已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，直接写出关于的一元二次方程的两个实数根．
《第2章一元二次方程易错练习卷-2025-2026学年数学九年级上册北师大版》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D A C B D D A B A B
1．D
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足四个条件: 未知数的最高次数是 2，二次项系数不为 0，是整式方程，含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
【详解】解：A、未知数最高次数为1，故不符合题意；
B、，当时，不是一元二次方程，故不符合题意；
C、，不是整式方程，故不符合题意；
D、是一元二次方程，故符合题意；
故选：D．
2．A
【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据题意，将代入方程，然后解方程，即可得出答案．
【详解】解：是一元二次方程的解，
，
，
故选：A．
3．C
【分析】本题考查一元二次方程的配方，熟练掌握配方的过程是本题的解题关键．将进行配方即可得到答案．
【详解】解：，
移项，得：，
两边同时加上一次项系数一半的平方，即，得：
，
整理，得：
．
故选：C
4．B
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．由一元二次方程根与系数的关系和根的判别式逐项判断即可．
【详解】解：A、，故原式错误，此选项不符合题意；
B、，故原式正确，此选项符合题意；
C、，则方程有两个不等实根，故原式错误，此选项不符合题意；
D、，故原式错误，此选项不符合题意．
故选：B．
5．D
【分析】本题考查了配方法的应用，由题意可得，即得，进而即可求解，掌握配方法的应用是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的最大值为，
故选：．
6．D
【分析】本题重点考查 一元二次方程的根与换元法的应用 ， 理解整体代换思想，将视为一个整体变量 是解题的关键．
把方程中的看成一个新的未知数，则关于的方程的解等于关于x的一元二次方程的解，求解即可．
【详解】解：由题意得：关于的方程的解为：，，
解得：，，
故选：D．
7．A
【分析】本题考查公式法解一元二次方程，熟记公式法解一元二次方程的方法是解决问题的关键．
先将题中一元二次方程化为一般式，再由求根公式代入求解即可得到答案．
【详解】解：用公式法解方程时，得，
先化为一元二次方程一般式：，
，
，
则“□”处应填，
故选：A．
8．B
【分析】本题主要考查代数式的值，熟练掌握代数式的值是解题的关键；由题意易得，然后整体代入求解即可．
【详解】解：由题意得：，即，
∴；
故选：B．
9．A
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．
设平均每次降价的百分率为，根据题意可得原售价乘等于降价后的售价．
【详解】解：设平均每次降价的百分率为，
根据题意可得．
故选：A．
10．B
【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，解一元二次方程，由四边形是正方形，则，，设，则，通过勾股定理得，然后求出四边形的面积为，的面积为，再根据题意得，然后解方程并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
设，则，
∴，
∴四边形的面积为，的面积为，
∴，整理得：，
解得：，（舍去），
∴，
∴，
故选：．
11．
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】解：关于的方程是一元二次方程，
且，
，
故答案为：．
12． 3
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，解题的关键是将方程化为一般形式，从而确定各项系数．
先将给定的一元二次方程化为一般形式，再根据一般形式确定二次项系数、一次项系数和常数项．
【详解】解：将方程整理为一般形式：．
所以，二次项系数，一次项系数，常数项．
故答案为：3，，．
13．7
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值，一元二次方程的解．先将代入方程得到，再根据根与系数的关系得到，把代数式变形后整体代入求值即可．
【详解】解：，是一元二次方程的两根，
，即，，
，
故答案为：7．
14．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，根据“主干、支干和小分支的总数是45”，列出方程即可．
【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，
依题意得：．
故答案为：．
15．12
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握根据实际问题列一元二次方程并求解是解题的关键．设小红转发给人，根据传播过程中收到宣传语的总人数关系列方程求解．
【详解】解：设小红将这条宣传语转发给了人．依题意得
，
，
，
∴或
解得或（舍去）
故答案为：．
16．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据题意得，，根据题意列出一元二次方程解题即可．
【详解】解：，，
当运动时间为时，，
，，
根据题意可得，
即，
整理得：，
解得（舍去），
所以经过，的面积是．
故答案为：1．
17．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）运用因式分解法进行解方程，即可作答．
（2）运用配方法进行解方程，即可作答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
解得；
（2）解：∵，
∴，
则
∴
∴
∴
解得．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系：
（1）求出判别式的符号，即可得证；
（2）根据根与系数的关系，结合互为相反数的两数之和为0，求出值，再解方程即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴无论为何值，方程总有两个实数根；
（2）∵方程的两个根互为相反数，两根之和为，
∴，
∴，
∴方程化为，
解得．
19．(1)米
(2)花圃的长为，宽为
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，弄清题意、用x表示出是解答本题的关键．
（1）用篱笆的总长减去三个的长，然后加上两个门的长即可表示出；
（2）根据长方形面积公式列出关于x的一元二次方程求解即可得出答案．
【详解】（1）解：设花圃的宽AB长为x米，则长米，
（2）解：由题意可得：，
解得：；，
∴当时，，不符合题意舍去，
当时，，满足题意．
答：花圃的长为，宽为．
20．(1)一次函数，
(2)100元
【分析】本题主要考查一次函数，一元二次方程的运用，
（1）根据表格信息可得当售价增大时，销售量逐渐减小，可得这个函数是一次函数，运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意得，解一元二次方程，结合题意取值即可．
【详解】（1）解：根据表格信息，当售价x增大10时，销售量y减小20，
∴这个函数是一次函数，
设该一次函数解析式为，
把和，代入得，
，
解得，，
∴一次函数解析式为，
当时，，符合题意，
∴该函数是一次函数，解析式为；
（2）解：根据题意得，
解得，，
∵物价局规定，该头盔最高售价不得超过140元，
∴不合题意舍去，
答：当售价为100元时，月销售利润达到3600元；
21．(1)
(2)
(3)2025或2026
【分析】本题考查了利用“换元法”推导新的一元二次方程，以及一元二次方程根与方程结构的关系，解题的关键是根据新方程的根与原方程根的数量关系（如大1、互为倒数）设出换元式，将其转化为原方程的根代入原方程化简为一般形式；第三问需先整理方程结构，结合前两问中“根互为倒数的方程特征”求解．
（1）根据“新根比原根大1”，设，则；将代入原方程，展开并化简为的一元二次方程一般形式；
（2）根据“新根与原根互为倒数”，设（因原方程，根不为0，故），则；将代入原方程，两边乘消分母，化简为的一般形式；
（3）先将方程整理为；结合（2）结论（原方程与的根互为倒数），利用原方程根为1和，得为原根的倒数，进而求解．
【详解】（1）解：设所求方程的根为，
则，
，
把代入已知方程得：，
化简得：.
（2）设所求方程的根为，则，
，
把代入已知方程得：，
化简得：.
（3），
，
由（2）可得：关于的一元二次方程的根与关于的一元二次方程的根互为倒数，
，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为1和2，
或，
解得：或，
关于的一元二次方程的两个实数根分别为2025或2026.
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