第四章 数列 单元测评（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 第四章 数列 单元测评（含解析）-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 68.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-29 12:25:11 | ||
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文档简介
第四章 数列 单元测评
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.等差数列{an}：－，0，，…的第15项为（ ）
A.11 B.12 C.13 D.14
2.在等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2，若an＝128，则n＝（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
4.等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝6，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝（ ）
A.35 B.5 C.log315 D.30
5.已知圆O的半径为5，｜OP｜＝3，过点P的2 024条弦的长度组成一个等差数列{an}，圆O的最短弦长为a1，最长弦长为a2 024，则其公差为（ ）
A. B. C. D.
6.数列{an}满足a1＝，an＋1＝2an，数列的前n项积为Tn，则T5＝（ ）
A. B. C. D.
7.某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10％.从今年起10年内这家超市的总销售额为（ ）
A.1.19a万元 B.1.15a万元
C.10×（1.110－1）a万元 D.11×（1.110－1）a万元
8.已知数列{an}满足an＝sin（＋），其前n项和为Sn，则S2 025＝（ ）
A.－ B.－ C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.等差数列{an}是递增数列，满足a7＝3a5，公差为d，前n项和为Sn，下列选项正确的是（ ）
A.d＞0 B.a1＜0
C.Sn＞0时n的最小值为8 D.当n＝5时Sn最小
10.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1（n∈N*），{an}的前n项和为Sn，则（ ）
A.{an－}是等比数列 B.{an＋}是等比数列
C.an＝－ D.Sn＝
11.在数列{an}中，如果{an}的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列{an}为“等积数列”，非零常数为数列{an}的公积.已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，公积为2，设Sn＝a1＋a2＋…＋an，Tn＝a1·a2·…·an，则（ ）
A.an＋2＝an B.a2 023＝1
C.S2 023＝3 069 D.T2 024＝21 012
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知等差数列{an}的前5项和S5＝20，a5＝6，则a10＝ .
13.记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an＋1，则S6＝ .
14.已知数列{an}的首项为14，且an＋1＝an＋2n＋5（n∈N＋），则的最小值为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知数列{an}为等差数列，首项a1＝1，公差d＝2，bn＝.
（1）证明{bn}是等比数列；
（2）求数列{an－2bn}的前n项和Sn.
16.（15分）（1）已知数列{cn}，其中cn＝3n＋4n，且数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p；
（2）设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：数列{cn}不是等比数列.
17.（15分）某企业为一个高科技项目注入了启动资金1 000万元，已知每年可获利25％，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过n年后，该项目的资金为an万元.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝n（a1－1 049），cn＝，求数列{cn}的前n项和Sn.
18.（17分）已知bn为正项数列{an}的前n项积，且a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝2n－1，cn＝log2an－1.
（1）证明：数列{cn}是等比数列；
（2）若dn＝log2（anbn），求{cndn＋1}的前n项和Tn.
19.（17分）若数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋2n，数列{bn}满足b1＝2，bn＝3bn－1＋2（n≥2，n∈N*）.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：数列{bn＋1}是等比数列；
（3）设数列{cn}满足cn＝，其前n项和为Tn，若对任意n∈N*，Tn＋λ≥1恒成立，求实数λ的取值范围.
答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.等差数列{an}：－，0，，…的第15项为（ C ）
A.11 B.12 C.13 D.14
解析：∵a1＝－，d＝，
∴an＝－＋（n－1）×＝n－2，
∴a15＝15－2＝13.
2.在等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为（ B ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2，若an＝128，则n＝（ C ）
A.6 B.7 C.8 D.9
解析：因为数列{an}为等比数列，a1＝1，q＝2，an＝128，所以an＝a1qn－1＝2n－1＝128，解得n＝8.故选C.
4.等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝6，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝（ B ）
A.35 B.5 C.log315 D.30
解析：由题设知a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6，而a5a6＋a4a7＝6，则a5a6＝a4a7＝3，
则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3（a1·a2·…·a10）＝log335＝5.故选B.
5.已知圆O的半径为5，｜OP｜＝3，过点P的2 024条弦的长度组成一个等差数列{an}，圆O的最短弦长为a1，最长弦长为a2 024，则其公差为（ B ）
A. B. C. D.
解析：由题意知，最长弦长为直径，即a2 024＝10，最短弦长和最长弦长垂直，由弦长公式得a1＝2＝8，所以d＝＝.
6.数列{an}满足a1＝，an＋1＝2an，数列的前n项积为Tn，则T5＝（ C ）
A. B. C. D.
解析：易知an≠0，因为数列{an}满足a1＝，an＋1＝2an，所以＝＝，为常数，又＝2，所以数列是以2为首项，为公比的等比数列，所以＝2×（）n－1＝22－n，所以T5＝····＝2×1×××＝，故选C.
7.某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10％.从今年起10年内这家超市的总销售额为（ D ）
A.1.19a万元
B.1.15a万元
C.10×（1.110－1）a万元
D.11×（1.110－1）a万元
解析：设今后10年每年的销售额为ai（i＝1，2，3，…，10），
因为超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10％.
所以今年的销售额为a1＝1.1a，今后第i＋1年与第i年的关系为ai＋1＝1.1ai，
所以今后10年每年的销售额ai（i＝1，2，3，…，10）构成等比数列，且其公比为1.1，首项为a1＝1.1a.
所以今年起10年内这家超市的总销售额为
S10＝＝11a×1.110－11a＝11a（1.110－1），
故从今年起10年内这家超市的总销售额为11a×（1.110－1）万元.
故选D.
8.已知数列{an}满足an＝sin（＋），其前n项和为Sn，则S2 025＝（ C ）
A.－ B.－ C. D.
解析：依题意知，数列{an}是周期为4的周期数列，将其每4项为一组，先求每组之和，再求总和即可，因为a1＝，a2＝－，a3＝－，a4＝，所以S4＝0，
又2 025＝506×4＋1，所以S2 025＝a1＋a2＋…＋a2 025＝a1＝.
故选C.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.等差数列{an}是递增数列，满足a7＝3a5，公差为d，前n项和为Sn，下列选项正确的是（ ABC ）
A.d＞0 B.a1＜0
C.Sn＞0时n的最小值为8 D.当n＝5时Sn最小
解析：对于A，因为等差数列{an}是递增数列，所以d＞0，故A正确；
对于B，因为a7＝3a5，所以a1＋6d＝3（a1＋4d），则a1＝－3d＜0，故B正确；
对于D，Sn＝na1＋d＝n2－n，易知y＝n2－n的图象的对称轴为直线n＝，开口向上，所以当n＝3或n＝4时，Sn取得最小值，故D错误；
对于C，由Sn＞0，即n2－n＞0，即n2－7n＞0，解得n＜0（舍去）或n＞7，所以Sn＞0时，n的最小值为8，故C正确.
故选ABC.
10.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1（n∈N*），{an}的前n项和为Sn，则（ BC ）
A.{an－}是等比数列 B.{an＋}是等比数列
C.an＝－ D.Sn＝
解析：对于A，B，因为数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋1（n∈N*），
所以an＋1＋＝3（an＋），a1＋＝≠0，
所以数列{an＋}是以为首项，3为公比的等比数列，故A错误，B正确；
对于C，an＋＝×3n－1＝，即有an＝－，故C正确；
对于D，Sn＝（＋＋…＋）－＝－＝，故D错误.
故选BC.
11.在数列{an}中，如果{an}的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列{an}为“等积数列”，非零常数为数列{an}的公积.已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，公积为2，设Sn＝a1＋a2＋…＋an，Tn＝a1·a2·…·an，则（ ABD ）
A.an＋2＝an B.a2 023＝1
C.S2 023＝3 069 D.T2 024＝21 012
解析：对于A，由题可知，对任意的n∈N*，anan＋1＝2，
则对任意的n∈N*，an≠0，所以anan＋1＝an＋1an＋2，故an＋2＝an，A对；
对于B，因为a1a2＝2，所以a2＝2，由对A的分析可知，an＝所以a2 023＝1，B对；
对于C，S2 023＝（a1＋a3＋…＋a2 023）＋（a2＋a4＋…＋a2 022）＝1×1 012＋2×1 011＝3 034，C错；
对于D，因为a1a2＝a3a4＝…＝a2 023a2 024＝2，所以T2 024＝（a1a2）1 012＝21 012，D对.
故选ABD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知等差数列{an}的前5项和S5＝20，a5＝6，则a10＝ 11 .
解析：设{an}的公差为d，
因为等差数列{an}的前5项和S5＝20，a5＝6，
则S5＝＝20，所以a1＝2，
所以a5－a1＝4d＝4，解得d＝1，
则a10＝a1＋9d＝2＋9×1＝11.
故答案为11.
13.记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an＋1，则S6＝ －63 .
解析：由Sn＝2an＋1，可得Sn＋1＝2an＋1＋1，
两式相减，得an＋1＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an，
当n＝1时，S1＝a1＝2a1＋1，解得a1＝－1≠0，则＝2，
所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，
所以S6＝＝－63.
故答案为－63.
14.已知数列{an}的首项为14，且an＋1＝an＋2n＋5（n∈N＋），则的最小值为 10 .
解析：当n≥2时，由an＋1＝an＋2n＋5，得a2－a1＝7，a3－a2＝9，…，an－an－1＝2n＋3，
将以上各式左右分别相加，
得an－a1＝7＋9＋…＋（2n＋3）＝＝n2＋4n－5，
所以an＝n2＋4n＋9（n≥2），
又a1＝14满足上式，所以an＝n2＋4n＋9（n∈N＋），
则＝n＋＋4≥2＋4＝10，
当且仅当n＝，即n＝3时等号成立，
即的最小值为10.
故答案为10.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知数列{an}为等差数列，首项a1＝1，公差d＝2，bn＝.
（1）证明{bn}是等比数列；
解：（1）证明：因为数列{an}为等差数列，首项a1＝1，公差d＝2，所以an＝2n－1，
当n≥2时，＝＝9，且b1＝3，
所以数列{bn}是以3为首项，9为公比的等比数列.
（2）求数列{an－2bn}的前n项和Sn.
解：（2）由（1）得bn＝3×9n－1＝32n－1，
所以Sn＝（a1＋a2＋…＋an）－2（b1＋b2＋…＋bn）＝－2×＝n2－＋.
16.（15分）（1）已知数列{cn}，其中cn＝3n＋4n，且数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p；
解：（1）∵{cn＋1－pcn}是等比数列，
∴（cn＋2－pcn＋1）2＝（cn＋3－pcn＋2）（cn＋1－pcn），
将cn＝3n＋4n代入上式，得
[3n＋2＋4n＋2－p（3n＋1＋4n＋1）]2＝[3n＋3＋4n＋3－p（3n＋2＋4n＋2）]·[3n＋1＋4n＋1－p（3n＋4n）]，
即[（3－p）3n＋1＋（4－p）4n＋1]2＝[（3－p）3n＋2＋（4－p）4n＋2]·[（3－p）3n＋（4－p）4n]，
整理得（3－p）（4－p）＝0.
解得p＝3或p＝4.
（2）设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：数列{cn}不是等比数列.
解：（2）证明：设{an}，{bn}的公比分别为p，q，p≠q，
为证{cn}不是等比数列，只需证：≠c1c3.
事实上，＝（a1p＋b1q）2＝p2＋q2＋2a1b1pq，
c1c3＝（a1＋b1）（a1p2＋b1q2）＝p2＋q2＋a1b1（p2＋q2）.
由于p≠q，p2＋q2＞2pq，a1，b1不为零，故－c1c3＝a1b1（2pq－p2－q2）≠0，
因此，≠c1c3，故数列{cn}不是等比数列.
17.（15分）某企业为一个高科技项目注入了启动资金1 000万元，已知每年可获利25％，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过n年后，该项目的资金为an万元.
（1）求数列{an}的通项公式；
解：（1）由题意知，第n年后，资金为an＝an－1＋an－1－200＝an－1－200（n≥2），
所以an－800＝（an－1－800）（n≥2），
所以数列{an－800}是首项为a1－800＝250，公比为的等比数列.
所以an－800＝250×（）n－1，即an＝800＋250×（）n－1.
（2）若bn＝n（a1－1 049），cn＝，求数列{cn}的前n项和Sn.
解：（2）由（1）得a1＝1 050，则bn＝n，则cn＝＝（－），
所以Sn＝（1－＋－＋－＋…＋－）＝－－.
18.（17分）已知bn为正项数列{an}的前n项积，且a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝2n－1，cn＝log2an－1.
（1）证明：数列{cn}是等比数列；
解：（1）证明：由题意知a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝2n－1①，
当n＝1时，a1b1＝＝1，又∵an＞0，∴a1＝1.
当n≥2时，a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝2n－1－1②.
①－②得anbn＝2n－1（n≥2），a1b1＝1适合上式，
∴anbn＝2n－1（n∈N*）③，则an＋1bn＋1＝2n④.
得·＝＝2，∴＝2an，
两边同时取以2为底的对数，得2log2an＋1＝log2an＋1，
则log2an＋1－1＝（log2an－1），∴cn＋1＝cn，又c1＝－1，
∴数列{cn}是首项为－1，公比为的等比数列.
（2）若dn＝log2（anbn），求{cndn＋1}的前n项和Tn.
解：（2）由题意及（1）知cn＝－，dn＝log2（anbn）＝log22n－1＝n－1，则cndn＋1＝－，
∴Tn＝－（＋＋…＋），
Tn＝－（＋＋…＋＋），
两式相减得Tn＝－（1＋＋…＋）＋＝－（）＋＝－2＋.
∴Tn＝－4＋.
19.（17分）若数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋2n，数列{bn}满足b1＝2，bn＝3bn－1＋2（n≥2，n∈N*）.
（1）求数列{an}的通项公式；
解：（1）因为Sn＝n2＋2n（n∈N*），所以当n＝1时，a1＝S1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－（n－1）2－2（n－1）＝2n＋1，
且n＝1时，a1＝3也符合上式，
所以an＝2n＋1（n∈N*）.
（2）求证：数列{bn＋1}是等比数列；
解：（2）证明：当n≥2时，由bn＝3bn－1＋2，得bn＋1＝3bn－1＋2＋1，
依题意知，bn＋1≠0，所以＝＝＝3，
而b1＋1＝3，所以数列{bn＋1}是首项为3，公比为3的等比数列.
（3）设数列{cn}满足cn＝，其前n项和为Tn，若对任意n∈N*，Tn＋λ≥1恒成立，求实数λ的取值范围.
解：（3）因为{bn＋1}是首项为3，公比为3的等比数列，
所以bn＋1＝3·3n－1＝3n，
所以cn＝＝，
Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋…＋，①
Tn＝＋＋…＋＋，②
①－②，得Tn＝＋＋＋…＋－＝＋－
＝－（）·（）n，
化简得Tn＝1－（n＋1）（）n，
因为n∈N*，Tn＋λ≥1恒成立，
所以1－（n＋1）（）n＋λ≥1，
所以λ≥（n＋1）（）n，
当n＝1时，（n＋1）（）n＝；当n＝2时，（n＋1）（）n＝，
又＝，
令＜1，又n∈N*，所以n≥1，故当n∈N*时，＜1恒成立，
所以（n＋1）（）n在n＝1时，取到最大值，
所以实数λ的取值范围为λ∈[，＋∞）.
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.等差数列{an}：－，0，，…的第15项为（ ）
A.11 B.12 C.13 D.14
2.在等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2，若an＝128，则n＝（ ）
A.6 B.7 C.8 D.9
4.等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝6，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝（ ）
A.35 B.5 C.log315 D.30
5.已知圆O的半径为5，｜OP｜＝3，过点P的2 024条弦的长度组成一个等差数列{an}，圆O的最短弦长为a1，最长弦长为a2 024，则其公差为（ ）
A. B. C. D.
6.数列{an}满足a1＝，an＋1＝2an，数列的前n项积为Tn，则T5＝（ ）
A. B. C. D.
7.某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10％.从今年起10年内这家超市的总销售额为（ ）
A.1.19a万元 B.1.15a万元
C.10×（1.110－1）a万元 D.11×（1.110－1）a万元
8.已知数列{an}满足an＝sin（＋），其前n项和为Sn，则S2 025＝（ ）
A.－ B.－ C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.等差数列{an}是递增数列，满足a7＝3a5，公差为d，前n项和为Sn，下列选项正确的是（ ）
A.d＞0 B.a1＜0
C.Sn＞0时n的最小值为8 D.当n＝5时Sn最小
10.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1（n∈N*），{an}的前n项和为Sn，则（ ）
A.{an－}是等比数列 B.{an＋}是等比数列
C.an＝－ D.Sn＝
11.在数列{an}中，如果{an}的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列{an}为“等积数列”，非零常数为数列{an}的公积.已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，公积为2，设Sn＝a1＋a2＋…＋an，Tn＝a1·a2·…·an，则（ ）
A.an＋2＝an B.a2 023＝1
C.S2 023＝3 069 D.T2 024＝21 012
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知等差数列{an}的前5项和S5＝20，a5＝6，则a10＝ .
13.记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an＋1，则S6＝ .
14.已知数列{an}的首项为14，且an＋1＝an＋2n＋5（n∈N＋），则的最小值为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知数列{an}为等差数列，首项a1＝1，公差d＝2，bn＝.
（1）证明{bn}是等比数列；
（2）求数列{an－2bn}的前n项和Sn.
16.（15分）（1）已知数列{cn}，其中cn＝3n＋4n，且数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p；
（2）设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：数列{cn}不是等比数列.
17.（15分）某企业为一个高科技项目注入了启动资金1 000万元，已知每年可获利25％，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过n年后，该项目的资金为an万元.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若bn＝n（a1－1 049），cn＝，求数列{cn}的前n项和Sn.
18.（17分）已知bn为正项数列{an}的前n项积，且a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝2n－1，cn＝log2an－1.
（1）证明：数列{cn}是等比数列；
（2）若dn＝log2（anbn），求{cndn＋1}的前n项和Tn.
19.（17分）若数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋2n，数列{bn}满足b1＝2，bn＝3bn－1＋2（n≥2，n∈N*）.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：数列{bn＋1}是等比数列；
（3）设数列{cn}满足cn＝，其前n项和为Tn，若对任意n∈N*，Tn＋λ≥1恒成立，求实数λ的取值范围.
答案
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.等差数列{an}：－，0，，…的第15项为（ C ）
A.11 B.12 C.13 D.14
解析：∵a1＝－，d＝，
∴an＝－＋（n－1）×＝n－2，
∴a15＝15－2＝13.
2.在等差数列{an}中，a1＋a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为（ B ）
A.1 B.2 C.3 D.4
3.等比数列{an}中，a1＝1，公比q＝2，若an＝128，则n＝（ C ）
A.6 B.7 C.8 D.9
解析：因为数列{an}为等比数列，a1＝1，q＝2，an＝128，所以an＝a1qn－1＝2n－1＝128，解得n＝8.故选C.
4.等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝6，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝（ B ）
A.35 B.5 C.log315 D.30
解析：由题设知a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝a5a6，而a5a6＋a4a7＝6，则a5a6＝a4a7＝3，
则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3（a1·a2·…·a10）＝log335＝5.故选B.
5.已知圆O的半径为5，｜OP｜＝3，过点P的2 024条弦的长度组成一个等差数列{an}，圆O的最短弦长为a1，最长弦长为a2 024，则其公差为（ B ）
A. B. C. D.
解析：由题意知，最长弦长为直径，即a2 024＝10，最短弦长和最长弦长垂直，由弦长公式得a1＝2＝8，所以d＝＝.
6.数列{an}满足a1＝，an＋1＝2an，数列的前n项积为Tn，则T5＝（ C ）
A. B. C. D.
解析：易知an≠0，因为数列{an}满足a1＝，an＋1＝2an，所以＝＝，为常数，又＝2，所以数列是以2为首项，为公比的等比数列，所以＝2×（）n－1＝22－n，所以T5＝····＝2×1×××＝，故选C.
7.某超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10％.从今年起10年内这家超市的总销售额为（ D ）
A.1.19a万元
B.1.15a万元
C.10×（1.110－1）a万元
D.11×（1.110－1）a万元
解析：设今后10年每年的销售额为ai（i＝1，2，3，…，10），
因为超市去年的销售额为a万元，计划在今后10年内每年比上一年增加10％.
所以今年的销售额为a1＝1.1a，今后第i＋1年与第i年的关系为ai＋1＝1.1ai，
所以今后10年每年的销售额ai（i＝1，2，3，…，10）构成等比数列，且其公比为1.1，首项为a1＝1.1a.
所以今年起10年内这家超市的总销售额为
S10＝＝11a×1.110－11a＝11a（1.110－1），
故从今年起10年内这家超市的总销售额为11a×（1.110－1）万元.
故选D.
8.已知数列{an}满足an＝sin（＋），其前n项和为Sn，则S2 025＝（ C ）
A.－ B.－ C. D.
解析：依题意知，数列{an}是周期为4的周期数列，将其每4项为一组，先求每组之和，再求总和即可，因为a1＝，a2＝－，a3＝－，a4＝，所以S4＝0，
又2 025＝506×4＋1，所以S2 025＝a1＋a2＋…＋a2 025＝a1＝.
故选C.
二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.等差数列{an}是递增数列，满足a7＝3a5，公差为d，前n项和为Sn，下列选项正确的是（ ABC ）
A.d＞0 B.a1＜0
C.Sn＞0时n的最小值为8 D.当n＝5时Sn最小
解析：对于A，因为等差数列{an}是递增数列，所以d＞0，故A正确；
对于B，因为a7＝3a5，所以a1＋6d＝3（a1＋4d），则a1＝－3d＜0，故B正确；
对于D，Sn＝na1＋d＝n2－n，易知y＝n2－n的图象的对称轴为直线n＝，开口向上，所以当n＝3或n＝4时，Sn取得最小值，故D错误；
对于C，由Sn＞0，即n2－n＞0，即n2－7n＞0，解得n＜0（舍去）或n＞7，所以Sn＞0时，n的最小值为8，故C正确.
故选ABC.
10.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1（n∈N*），{an}的前n项和为Sn，则（ BC ）
A.{an－}是等比数列 B.{an＋}是等比数列
C.an＝－ D.Sn＝
解析：对于A，B，因为数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋1（n∈N*），
所以an＋1＋＝3（an＋），a1＋＝≠0，
所以数列{an＋}是以为首项，3为公比的等比数列，故A错误，B正确；
对于C，an＋＝×3n－1＝，即有an＝－，故C正确；
对于D，Sn＝（＋＋…＋）－＝－＝，故D错误.
故选BC.
11.在数列{an}中，如果{an}的每一项与它的后一项的积等于同一个非零常数，则称数列{an}为“等积数列”，非零常数为数列{an}的公积.已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，公积为2，设Sn＝a1＋a2＋…＋an，Tn＝a1·a2·…·an，则（ ABD ）
A.an＋2＝an B.a2 023＝1
C.S2 023＝3 069 D.T2 024＝21 012
解析：对于A，由题可知，对任意的n∈N*，anan＋1＝2，
则对任意的n∈N*，an≠0，所以anan＋1＝an＋1an＋2，故an＋2＝an，A对；
对于B，因为a1a2＝2，所以a2＝2，由对A的分析可知，an＝所以a2 023＝1，B对；
对于C，S2 023＝（a1＋a3＋…＋a2 023）＋（a2＋a4＋…＋a2 022）＝1×1 012＋2×1 011＝3 034，C错；
对于D，因为a1a2＝a3a4＝…＝a2 023a2 024＝2，所以T2 024＝（a1a2）1 012＝21 012，D对.
故选ABD.
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知等差数列{an}的前5项和S5＝20，a5＝6，则a10＝ 11 .
解析：设{an}的公差为d，
因为等差数列{an}的前5项和S5＝20，a5＝6，
则S5＝＝20，所以a1＝2，
所以a5－a1＝4d＝4，解得d＝1，
则a10＝a1＋9d＝2＋9×1＝11.
故答案为11.
13.记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an＋1，则S6＝ －63 .
解析：由Sn＝2an＋1，可得Sn＋1＝2an＋1＋1，
两式相减，得an＋1＝2an＋1－2an，即an＋1＝2an，
当n＝1时，S1＝a1＝2a1＋1，解得a1＝－1≠0，则＝2，
所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列，
所以S6＝＝－63.
故答案为－63.
14.已知数列{an}的首项为14，且an＋1＝an＋2n＋5（n∈N＋），则的最小值为 10 .
解析：当n≥2时，由an＋1＝an＋2n＋5，得a2－a1＝7，a3－a2＝9，…，an－an－1＝2n＋3，
将以上各式左右分别相加，
得an－a1＝7＋9＋…＋（2n＋3）＝＝n2＋4n－5，
所以an＝n2＋4n＋9（n≥2），
又a1＝14满足上式，所以an＝n2＋4n＋9（n∈N＋），
则＝n＋＋4≥2＋4＝10，
当且仅当n＝，即n＝3时等号成立，
即的最小值为10.
故答案为10.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13分）已知数列{an}为等差数列，首项a1＝1，公差d＝2，bn＝.
（1）证明{bn}是等比数列；
解：（1）证明：因为数列{an}为等差数列，首项a1＝1，公差d＝2，所以an＝2n－1，
当n≥2时，＝＝9，且b1＝3，
所以数列{bn}是以3为首项，9为公比的等比数列.
（2）求数列{an－2bn}的前n项和Sn.
解：（2）由（1）得bn＝3×9n－1＝32n－1，
所以Sn＝（a1＋a2＋…＋an）－2（b1＋b2＋…＋bn）＝－2×＝n2－＋.
16.（15分）（1）已知数列{cn}，其中cn＝3n＋4n，且数列{cn＋1－pcn}为等比数列，求常数p；
解：（1）∵{cn＋1－pcn}是等比数列，
∴（cn＋2－pcn＋1）2＝（cn＋3－pcn＋2）（cn＋1－pcn），
将cn＝3n＋4n代入上式，得
[3n＋2＋4n＋2－p（3n＋1＋4n＋1）]2＝[3n＋3＋4n＋3－p（3n＋2＋4n＋2）]·[3n＋1＋4n＋1－p（3n＋4n）]，
即[（3－p）3n＋1＋（4－p）4n＋1]2＝[（3－p）3n＋2＋（4－p）4n＋2]·[（3－p）3n＋（4－p）4n]，
整理得（3－p）（4－p）＝0.
解得p＝3或p＝4.
（2）设{an}，{bn}是公比不相等的两个等比数列，cn＝an＋bn，证明：数列{cn}不是等比数列.
解：（2）证明：设{an}，{bn}的公比分别为p，q，p≠q，
为证{cn}不是等比数列，只需证：≠c1c3.
事实上，＝（a1p＋b1q）2＝p2＋q2＋2a1b1pq，
c1c3＝（a1＋b1）（a1p2＋b1q2）＝p2＋q2＋a1b1（p2＋q2）.
由于p≠q，p2＋q2＞2pq，a1，b1不为零，故－c1c3＝a1b1（2pq－p2－q2）≠0，
因此，≠c1c3，故数列{cn}不是等比数列.
17.（15分）某企业为一个高科技项目注入了启动资金1 000万元，已知每年可获利25％，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，设经过n年后，该项目的资金为an万元.
（1）求数列{an}的通项公式；
解：（1）由题意知，第n年后，资金为an＝an－1＋an－1－200＝an－1－200（n≥2），
所以an－800＝（an－1－800）（n≥2），
所以数列{an－800}是首项为a1－800＝250，公比为的等比数列.
所以an－800＝250×（）n－1，即an＝800＋250×（）n－1.
（2）若bn＝n（a1－1 049），cn＝，求数列{cn}的前n项和Sn.
解：（2）由（1）得a1＝1 050，则bn＝n，则cn＝＝（－），
所以Sn＝（1－＋－＋－＋…＋－）＝－－.
18.（17分）已知bn为正项数列{an}的前n项积，且a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝2n－1，cn＝log2an－1.
（1）证明：数列{cn}是等比数列；
解：（1）证明：由题意知a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝2n－1①，
当n＝1时，a1b1＝＝1，又∵an＞0，∴a1＝1.
当n≥2时，a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝2n－1－1②.
①－②得anbn＝2n－1（n≥2），a1b1＝1适合上式，
∴anbn＝2n－1（n∈N*）③，则an＋1bn＋1＝2n④.
得·＝＝2，∴＝2an，
两边同时取以2为底的对数，得2log2an＋1＝log2an＋1，
则log2an＋1－1＝（log2an－1），∴cn＋1＝cn，又c1＝－1，
∴数列{cn}是首项为－1，公比为的等比数列.
（2）若dn＝log2（anbn），求{cndn＋1}的前n项和Tn.
解：（2）由题意及（1）知cn＝－，dn＝log2（anbn）＝log22n－1＝n－1，则cndn＋1＝－，
∴Tn＝－（＋＋…＋），
Tn＝－（＋＋…＋＋），
两式相减得Tn＝－（1＋＋…＋）＋＝－（）＋＝－2＋.
∴Tn＝－4＋.
19.（17分）若数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋2n，数列{bn}满足b1＝2，bn＝3bn－1＋2（n≥2，n∈N*）.
（1）求数列{an}的通项公式；
解：（1）因为Sn＝n2＋2n（n∈N*），所以当n＝1时，a1＝S1＝3，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－（n－1）2－2（n－1）＝2n＋1，
且n＝1时，a1＝3也符合上式，
所以an＝2n＋1（n∈N*）.
（2）求证：数列{bn＋1}是等比数列；
解：（2）证明：当n≥2时，由bn＝3bn－1＋2，得bn＋1＝3bn－1＋2＋1，
依题意知，bn＋1≠0，所以＝＝＝3，
而b1＋1＝3，所以数列{bn＋1}是首项为3，公比为3的等比数列.
（3）设数列{cn}满足cn＝，其前n项和为Tn，若对任意n∈N*，Tn＋λ≥1恒成立，求实数λ的取值范围.
解：（3）因为{bn＋1}是首项为3，公比为3的等比数列，
所以bn＋1＝3·3n－1＝3n，
所以cn＝＝，
Tn＝c1＋c2＋…＋cn＝＋＋…＋，①
Tn＝＋＋…＋＋，②
①－②，得Tn＝＋＋＋…＋－＝＋－
＝－（）·（）n，
化简得Tn＝1－（n＋1）（）n，
因为n∈N*，Tn＋λ≥1恒成立，
所以1－（n＋1）（）n＋λ≥1，
所以λ≥（n＋1）（）n，
当n＝1时，（n＋1）（）n＝；当n＝2时，（n＋1）（）n＝，
又＝，
令＜1，又n∈N*，所以n≥1，故当n∈N*时，＜1恒成立，
所以（n＋1）（）n在n＝1时，取到最大值，
所以实数λ的取值范围为λ∈[，＋∞）.