专题十五、对数函数切线放缩问题
1.对数函数与直线放缩问题
最常见的放缩不等式是，由向左平移一个单位来理解，或者将不等式两边取对数得到，其本质意义是：曲线在点处的切线方程为，曲线图像恒在直线图像下方，如下图1：
图1 图2 图3
模型一：，(用替换，切点横坐标为)，表示过原点与相切的直线为；
模型二：，(用替换，切点横坐标为)，或者记为；
模型三：，(由及切点横坐标为)，如图2，记为；
模型四：(由切点横坐标为)，如图3，即在点处三曲线相切.
例题1：在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点，(为自然对数的底数)，则点的坐标为 .
答案：
解析：设点，由，得，则切线斜率为，所以曲线在点处的切线方程为，因为切线经过点，所以，即，解得，所以点的坐标为
注意：此题还可以想到直线过原点与相切的直线为，且经过点，故切点为，这需要对切线放缩的相关知识进行熟练而系统地掌握.
例题2：若存在，满足，则实数的取值范围是 .
答案：
解析：令，，，则，由切线不等式可得，解得，即.
例题3：已知函数，函数，证明：当且时，.
证明：要证，即证明
因为且，所以，易证当时，，即，又
，所以，即.
例题:4：设函数.
(1)讨论函数的单调性和零点个数；
(2)证明：当时，
解析：函数的定义域为，；，所以在单调递增，在单调递减，当时，取得极大值为，又，，如下图，所以有两个零点；
(2)方法一：要证，即证，设，，则，因为，所以，所以函数在单调递增，则，即，故.
方法二：(对数单身狗)要证，即证，令，，因为，所以，所以函数在单调递增，则，故.
例题5：已知函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围是( )
答案：
解析：方法一：因为函数的导数为，
①当时，恒成立，则在单调递增，，，所以函数有且仅有一个零点；
②当时，令，，所以在单调递减，在单调递增，故只需，则，综上所述，实数的取值范围是，故选.
方法二：时，是凹函数，根据，将替换得，，切点为，故时，有且仅有一个零点，或者均没有相切情况；当，属于凸函数，与一定会有交点，如下图所示，实数的取值范围是，故选.
例题6：已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是( )
答案：
解析：方法一 由得，令，则，所以函数在上递减，在上单调递增，所以，又当时，，，所以实数的取值范围是，故选.
方法二：由于，切点为，根据题意有两个交点，如下图，直线的零点一定满足，且直线必为单调递增，故时，一定有两个交点，当时，直线和曲线仅有一个交点，故选.
例题7：已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是( )
答案：
解析：方法一 函数的定义域为，所以，因为是函数的唯一极值点，所以在无变号零点，，即在时无变号零点，令，所以，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为，所以必须，故选.
解法二 (同构加切线放缩)由，令，所以，，显然，当且仅当时等号成立，故时，无解，所以必须，故选.
2.常见指对跨阶不等式的应用
模型一：(取等条件是)；
模型二：(取等条件是)；
模型三：.
例题1：已知函数.
(1)求的单调性；
(2)证明：(其中为自然对数的底数).
解析：(1)定义域为，，令，则，易知在单调递增，单调递减，所以，则，所以函数在单调递减；
(2)解法一：由已知证明，，
①先证明：时的情况，不等式等价于，令，，令，则，，故在单调递增，则，所以在单调递增，，即，所以在单调递增，，即不等式成立；
②下面证明时的情况：令，故在单调递增，则当时，，故，令，故在递增，故时，，即，，证毕.
方法二：构造，则，而，故当时，，当时，；
①先证明时的情况：证明不等式，即证，所以
，故只需证明，故只需要证明，令，，显然有；
②下面证明时的情况：问题等价于，故故只需证明，故只需要证明，显然有.
例题2：已知函数.
(1)设是的极值点，求的值；
(2)在(1)的条件下，在定义域内恒成立，求的取值范围；
(3)当时，证明：.
解析：(1)因为，是的极值点，所以，解得，经检验符合题意；
(2)方法一：由(1)可知，函数，其定义域为，因为，设，则，所以在上为增函数，又因为，所以当时，，即，当时，，所以在单调递减，单调递增，即，所以.
方法二：构造，当且仅当时等号成立，所以.
(3)证明：要证，即证，设，即证，当，时，，
故只需证成立,令，在为增函数，且，故在有唯一实根，且，当时，，当时，，从而当时，有最小值，由，故，综上，当时，，即.
方法二：，由于取等条件不一致，故.
例题3：若函数的图像总在直线的上方，则实数的取值范围是( )
答案：
解析：方法一：因为函数的图像总在直线的上方，所以对任意恒成立，令，则，由，得，当时，，当时，，
所以，解得，故选.
方法二：(切线放缩)，故选.
例题4：当时，，则实数的取值范围是( )
答案：
解析：当时，，所以，即(过原点的切线斜率问题)或，无解，综上可知，实数的取值范围是，故选.
例题5：若函数在上恰有两个极值点，则的取值范围是( )
答案：
解析：方法一 由已知方程有两个实根，得，令，
；，所以函数在上单调递增，单调递减，由于，作出函数图像如下
可得，即的取值范围是.故选.
方法二：(指数切线放缩)有两个交点，根据指数与反比例函数切线放缩可得，当且仅当，即时满足条件，即的取值范围是.故选.专题十五、对数函数切线放缩问题
1.对数函数与直线放缩问题
最常见的放缩不等式是，由向左平移一个单位来理解，或者将不等式两边取对数得到，其本质意义是：曲线在点处的切线方程为，曲线图像恒在直线图像下方，如下图1：
图1 图2 图3
模型一：，(用替换，切点横坐标为)，表示过原点与相切的直线为；
模型二：，(用替换，切点横坐标为)，或者记为；
模型三：，(由及切点横坐标为)，如图2，记为；
模型四：(由切点横坐标为)，如图3，即在点处三曲线相切.
例题1：在平面直角坐标系中，点在曲线上，且该曲线在点处的切线经过点，(为自然对数的底数)，则点的坐标为 .
例题2：若存在，满足，则实数的取值范围是 .
例题3：已知函数，函数，证明：当且时，.
例题:4：设函数.
(1)讨论函数的单调性和零点个数；
(2)证明：当时，
例题5：已知函数有且仅有一个零点，则实数的取值范围是( )
例题6：已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是( )
例题7：已知函数，若是函数的唯一极值点，则实数的取值范围是( )
2.常见指对跨阶不等式的应用
模型一：(取等条件是)；
模型二：(取等条件是)；
模型三：.
例题1：已知函数.
(1)求的单调性；
(2)证明：(其中为自然对数的底数).
例题2：已知函数.
(1)设是的极值点，求的值；
(2)在(1)的条件下，在定义域内恒成立，求的取值范围；
(3)当时，证明：.
例题3：若函数的图像总在直线的上方，则实数的取值范围是( )
例题4：当时，，则实数的取值范围是( )
例题5：若函数在上恰有两个极值点，则的取值范围是( )
