圆锥曲线专题：定点与定值问题
考点 1 弦长类定值
核心思路：利用弦长公式，结合圆锥曲线方程与直线方程联立后的韦达定理，推导弦长表达式，证明其为定值。
弦长公式：若直线与圆锥曲线交于，当直线斜率存在时，弦长；当斜率不存在时，直接计算两点横坐标之差的绝对值（或纵坐标之差的绝对值）。
示例：如证明椭圆中过某定点的弦长为定值，通过联立方程、韦达定理代入弦长公式，最终消去变量得到定值。
考点 2 斜率类定值
核心思路：设出曲线上点的坐标或直线斜率，通过坐标运算表示出相关斜率（如两条直线的斜率之和、之积等），证明其为定值。
常见类型：斜率之和为定值、斜率之积为定值、某条直线的斜率为定值等。
示例：在抛物线中，证明过顶点的两条弦的斜率之积为定值，通过设点坐标，利用抛物线方程化简斜率表达式，得到定值。
考点 3 角度类定值
核心思路：利用向量的夹角公式、斜率与角度的关系（如）或几何图形的角度性质，证明角度为定值（如直角、定锐角、定钝角等）。
工具：向量的点积（若，则夹角为直角）、三角函数的定义等。
示例：证明椭圆上某点与两个焦点连线的夹角为定值，通过椭圆的定义和余弦定理推导。
考点 4 位置关系类定值
核心思路：判断直线与直线、直线与圆锥曲线的位置关系（如垂直、平行、相切等）是否为定值，通过坐标运算或几何性质证明。
示例：证明抛物线的某条动弦的中垂线过定点，即中垂线的位置关系（过定点）为定值，通过设弦的端点坐标，求出中垂线方程，化简得到定点坐标。
考点 5 向量类定值
核心思路：将向量的数量积、模长、线性运算等用坐标表示，结合圆锥曲线方程，证明其结果为定值。
常见形式：为定值、为定值、某向量的投影为定值等。
示例：在双曲线中，证明过原点的两条动弦对应的向量数量积为定值，通过设点坐标，利用双曲线方程化简数量积表达式。
考点 6 面积类定值
核心思路：利用三角形、四边形等图形的面积公式，结合坐标运算或弦长、高的计算，证明面积为定值。
面积公式：如三角形面积（向量叉积法）。
示例：证明椭圆内接三角形的面积为定值，通过设点坐标，利用椭圆的参数方程或联立方程，结合面积公式推导。
考点 1 弦长类定值
例题1．（2025四川省达州市高三模拟试题）已知椭圆过点，且．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值．
解析：(Ⅰ)设椭圆方程为：，由题意可得：
，解得：，
故椭圆方程为：.
(Ⅱ)
设，，直线的方程为：，
与椭圆方程联立可得：，
即：，
则：.
直线MA的方程为：，
令可得：，
同理可得：.
很明显，且，注意到，
，
而
，
故.从而.
变式练习1．（2025年广东省深圳中学高三模拟试题）已知椭圆：（）的离心率为，，，，的面积为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.
解析：（Ⅰ）由题意得解得.
所以椭圆的方程为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，设，则.
当时，直线的方程为.
令，得，从而.
直线的方程为.
令，得，从而.
所以
.
当时，，
所以.综上，为定值.
2．（2025年湖南省长郡中学高三模拟试题）已知椭圆的离心率为，椭圆的动弦过椭圆的右焦点，当垂直轴时，椭圆在处的两条切线的交点为．
(1)求点的坐标；
(2)若直线的斜率为，过点作轴的垂线，点为上一点，且点的纵坐标为，直线与椭圆交于两点，证明：为定值．
解析：（1），
解得，所以椭圆方程为，
又，所以右焦点，
当垂直轴时，不妨取，根据对称性可知点在x轴上，且直线的斜率存在，
设直线的方程为，
联立，
消去得：，
则，
化简得，解得，
所以直线的方程为，
令，解得，故点的坐标为.
（2）如图，
由题意可得直线的方程为，即.
设，由题可知，
所以，故直线与垂直，
联立，消去得：，
则，
所以 ，
同理，，
所以，
故为定值．
考点 2 斜率类定值
例题2．（2025四川省攀枝花市第七高级中学高三模拟试题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.
解析：(1) 因为，
所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支，
设轨迹的方程为，则，可得，，
所以，轨迹的方程为.
（2）如图所示，设,
设直线的方程为．
联立,
化简得，，
则．
故．
则．
设的方程为，同理．
因为，所以，
化简得，
所以，即．因为，所以．
变式练习1．（2025成都市石室中学高三模拟试题）已知点，，点P在以AB为直径的圆C上运动，轴，垂足为D，点M满足，点M的轨迹为W，过点的直线l交W于点E、F.
(1)求W的方程；
(2)若直线l的倾斜角为，求直线l被圆C截得的弦长；
(3)设直线AE，BF的斜率分别为，，证明为定值，并求出该定值.
解析：（1）
由题意，点在圆上运动，设，，，
由得，，
又，所以，所以的方程为；
（2）直线的方程为，即，
圆心到直线的距离为，
所以直线被圆C截得的弦长为；
（3）
由题意，直线斜率不为0，设直线的方程为，，，
联立得，
所以，，
故，
.
2．（2025年重庆市巴蜀中学高三练习试题）如图，轴，垂足为D，点P在线段上，且．
(1)点M在圆上运动时，求点P的轨迹方程；
(2)记（1）中所求点P的轨迹为，过点作一条直线与相交于两点，与直线交于点Q．记的斜率分别为，证明：是定值．
解析：（1）设，根据题意有，
又因为M在圆上运动，所以，
即，所以点P的轨迹方程为：.
（2）
根据已知条件可知，若直线的斜率不存在，不合题意，
若直线斜率为，直线与直线平行无交点也不合题意，
所以直线的斜率存在设为，直线的方程为，
联立，则有，且，
设，，则，
，，所以
，
对，令，得，所以，
所以，所以为定值.
考点 3 角度类定值
例题3．（2025年河北省石家庄二中练习试题）在直角坐标系中，抛物线与直线交于两点．
(1)若点的横坐标为4，求抛物线在点处的切线方程；
(2)探究轴上是否存在点，使得当变动时，总有？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
解析：（1）由已知，得，因为，所以，斜率，
因此，切线方程为，即．
（2）存在符合题意的点，理由如下：
设点为符合题意的点，，直线的斜率分别为．
联立方程，得，
因为，则，可得，
从而
，
因为不恒为0，可知当且仅当时，恒有，
则直线与直线的倾斜角互补，故，
所以点符合题意．
变式练习1．（2025河南省实验中学高三练习试题）已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，点在上，．
(1)求双曲线的标准方程．
(2)若过焦点且斜率存在的直线与双曲线的右支交于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，试问是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
解析：（1）由点在双曲线上，可得．
因为，所以．
又，所以，，，
所以双曲线的标准方程为．
（2）为定值，理由如下：
设直线的方程为，设点，，
联立，可得，
当时，直线与双曲线的渐近线平行，此时直线和双曲线只有一个交点，不合题意，
故，此时，
则，，
由已知可得，可得，
则，，
所以，线段的中点坐标为，
所以线段的垂直平分线的方程为．
令在直线的方程中，令得，即，
所以．
又，
在中，由正弦定理得，所以．
在中，由正弦定理得，所以，
所以为定值．
2．（2025年安徽省安庆一中练习试题）设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.
（1）求△APB的重心G的轨迹方程.
（2）证明∠PFA=∠PFB．
解析：①当时，由于，不妨设，则，所以P点坐标为，则P点到直线AF的距离为：；而直线的方程：，
即．所以P点到直线BF的距离为： 所以，即得．
②当时，直线AF的方程：，即，
直线的方程：，即，
所以P点到直线AF的距离为：
，
同理可得到P点到直线BF的距离，因此由，可得到．
考点 4 位置关系类定值
例题4．（2025年辽宁省东北育才学校高三模拟试题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．
解析：（1）设，由题设有且，故，故，故，
故椭圆方程为.
（2）直线的斜率必定存在，设，，，
由可得，
故，故，
又，
而，故直线，故，
所以
，
故，即轴.
变式练习1．（2025年福建省泉州五中高三月考试题）已知椭圆的左焦点为F，P，Q分别为左顶点和上顶点，O为坐标原点，（为椭圆的离心率），的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点，过作直线的垂线，垂足分别为、，点为线段的中点．求证：四边形为梯形.
解析：（1）∵，
∴，∴
又，，解得，∴椭圆的方程；
（2）证明：由（1）的结论可知，椭圆的左焦点，
设，则，.
，.
∵直线与椭圆交于、两点，
∴
由于直线与直线不平行，
∴四边形为梯形的充分必要条件是，即，
即，即，
∵，∴上式又等价于，
即，
由，得，，
∴，
，
，
∴成立，
∴四边形为梯形.
考点 5 向量类定值
例题5．（2025年厦门市双十中学高三月考试题）已知椭圆C:的左右焦点分别为，，M为椭圆C上一点.
(1)若点M的坐标为，求的面积；
(2)若点M的坐标为，且是钝角，求横坐标的范围；
(3)若点M的坐标为，且直线与椭圆C交于两个不同的点A，B.求证：为定值.
解析：（1）因为点在椭圆上，所以，因为，所以，
因为，，所以，，，
所以.
（2）如图：
因为点M在椭圆上，所以，
由余弦定理得
因为是钝角，所以，
又因为，所以，解得，
的范围为.
（3）如图：
设，，
由得，
，，，
又，，所以
，
即有为定值.
变式练习1．（2025年江西省赣州一中高三第三次考试题）在平面直角坐标系中，已知点，直线与的斜率之积为．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过的直线交曲线于两点，直线与直线交于点，求证：为定值．
解析：（1）设，直线的斜率为，直线的斜率为，
依题意，，整理得，
所以点的轨迹的方程为.
（2）显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为， ，
直线的方程分别为，联立这两个方程得
点的横坐标为，
由消去x得，，
于是，，
，
所以．
考点 6 面积类定值
例题6．（2025年云南师范大学附属中学高三月考题）已知点与定点的距离和它到定直线的距离比是.
(1)求点的轨迹方程；
(2)若直线与轨迹交于两点，为坐标原点直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由.
解析：（1）设点坐标为，
化解可得：.
（2）
设，联立直线和椭圆方程可得：，
消去可得：，
所以，即，
则，
，
，
把韦达定理代入可得：，
整理得，满足，
又，
而点到直线的距离，
所以，
把代入，则，
可得是定值1.
变式练习1．（2025年重庆市巴蜀中学校高三考试题）已知A，B分别是椭圆的右顶点和上顶点，，直线AB的斜率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与轨迹交于M，N两点，O为坐标原点，直线OM，ON的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．
解析：（1）由题意可知，，直线AB的斜率为．
依题意得，椭圆的方程为
（2）设，由，得，
则，即，且，
因为直线OM，ON的斜率之积等于，，
所以，
即，又O到直线MN的距离为,
，
所以.所以的面积为定值1.
2．（2025年四川省绵阳中学高三模拟试题）已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，，点到的渐近线的距离为3.
(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
(2)已知点为坐标原点，动直线与相切，若与的两条渐近线交于，两点，求证：的面积为定值.
解析：（1）因为，所以，因为，渐近线为，
即则到的渐近线的距离为可表示为，
所以，
所以双曲线的标准方程为，渐近线方程为.
（2）①当直线经过双曲线的顶点时直线的斜率不存在，此时直线方程为，
此时易得，点到直线的距离为，所以此时
②当直线的斜率存在时设直线为，
由得
因为直线于双曲线相切，所以且，
整理得且，即
由得，则
同理得到
所以
点到直线的距离
所以
所以的面积为定值3.
圆锥曲线专题：定点与定值问题
考点 1 弦长类定值
核心思路：利用弦长公式，结合圆锥曲线方程与直线方程联立后的韦达定理，推导弦长表达式，证明其为定值。
弦长公式：若直线与圆锥曲线交于，当直线斜率存在时，弦长；当斜率不存在时，直接计算两点横坐标之差的绝对值（或纵坐标之差的绝对值）。
示例：如证明椭圆中过某定点的弦长为定值，通过联立方程、韦达定理代入弦长公式，最终消去变量得到定值。
考点 2 斜率类定值
核心思路：设出曲线上点的坐标或直线斜率，通过坐标运算表示出相关斜率（如两条直线的斜率之和、之积等），证明其为定值。
常见类型：斜率之和为定值、斜率之积为定值、某条直线的斜率为定值等。
示例：在抛物线中，证明过顶点的两条弦的斜率之积为定值，通过设点坐标，利用抛物线方程化简斜率表达式，得到定值。
考点 3 角度类定值
核心思路：利用向量的夹角公式、斜率与角度的关系（如）或几何图形的角度性质，证明角度为定值（如直角、定锐角、定钝角等）。
工具：向量的点积（若，则夹角为直角）、三角函数的定义等。
示例：证明椭圆上某点与两个焦点连线的夹角为定值，通过椭圆的定义和余弦定理推导。
考点 4 位置关系类定值
核心思路：判断直线与直线、直线与圆锥曲线的位置关系（如垂直、平行、相切等）是否为定值，通过坐标运算或几何性质证明。
示例：证明抛物线的某条动弦的中垂线过定点，即中垂线的位置关系（过定点）为定值，通过设弦的端点坐标，求出中垂线方程，化简得到定点坐标。
考点 5 向量类定值
核心思路：将向量的数量积、模长、线性运算等用坐标表示，结合圆锥曲线方程，证明其结果为定值。
常见形式：为定值、为定值、某向量的投影为定值等。
示例：在双曲线中，证明过原点的两条动弦对应的向量数量积为定值，通过设点坐标，利用双曲线方程化简数量积表达式。
考点 6 面积类定值
核心思路：利用三角形、四边形等图形的面积公式，结合坐标运算或弦长、高的计算，证明面积为定值。
面积公式：如三角形面积（向量叉积法）。
示例：证明椭圆内接三角形的面积为定值，通过设点坐标，利用椭圆的参数方程或联立方程，结合面积公式推导。
考点 1 弦长类定值
例题1．（2025四川省达州市高三模拟试题）已知椭圆过点，且．
（Ⅰ）求椭圆C的方程：
（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值．
变式练习1．（2025年广东省深圳中学高三模拟试题）已知椭圆：（）的离心率为，，，，的面积为1.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.
2．（2025年湖南省长郡中学高三模拟试题）已知椭圆的离心率为，椭圆的动弦过椭圆的右焦点，当垂直轴时，椭圆在处的两条切线的交点为．
(1)求点的坐标；
(2)若直线的斜率为，过点作轴的垂线，点为上一点，且点的纵坐标为，直线与椭圆交于两点，证明：为定值．
考点 2 斜率类定值
例题2．（2025四川省攀枝花市第七高级中学高三模拟试题）在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.
变式练习1．（2025成都市石室中学高三模拟试题）已知点，，点P在以AB为直径的圆C上运动，轴，垂足为D，点M满足，点M的轨迹为W，过点的直线l交W于点E、F.
(1)求W的方程；
(2)若直线l的倾斜角为，求直线l被圆C截得的弦长；
(3)设直线AE，BF的斜率分别为，，证明为定值，并求出该定值.
2．（2025年重庆市巴蜀中学高三练习试题）如图，轴，垂足为D，点P在线段上，且．
(1)点M在圆上运动时，求点P的轨迹方程；
(2)记（1）中所求点P的轨迹为，过点作一条直线与相交于两点，与直线交于点Q．记的斜率分别为，证明：是定值．
考点 3 角度类定值
例题3．（2025年河北省石家庄二中练习试题）在直角坐标系中，抛物线与直线交于两点．
(1)若点的横坐标为4，求抛物线在点处的切线方程；
(2)探究轴上是否存在点，使得当变动时，总有？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
变式练习1．（2025河南省实验中学高三练习试题）已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，点在上，．
(1)求双曲线的标准方程．
(2)若过焦点且斜率存在的直线与双曲线的右支交于、两点，线段的垂直平分线与轴交于点，试问是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．
2．（2025年安徽省安庆一中练习试题）设抛物线的焦点为F，动点P在直线上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C分别相切于A、B两点.
（1）求△APB的重心G的轨迹方程.
（2）证明∠PFA=∠PFB．
考点 4 位置关系类定值
例题4．（2025年辽宁省东北育才学校高三模拟试题）已知椭圆的右焦点为，点在上，且轴．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，为线段的中点，直线交直线于点，证明：轴．
变式练习1．（2025年福建省泉州五中高三月考试题）已知椭圆的左焦点为F，P，Q分别为左顶点和上顶点，O为坐标原点，（为椭圆的离心率），的面积为．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于两点，过作直线的垂线，垂足分别为、，点为线段的中点．求证：四边形为梯形.
考点 5 向量类定值
例题5．（2025年厦门市双十中学高三月考试题）已知椭圆C:的左右焦点分别为，，M为椭圆C上一点.
(1)若点M的坐标为，求的面积；
(2)若点M的坐标为，且是钝角，求横坐标的范围；
(3)若点M的坐标为，且直线与椭圆C交于两个不同的点A，B.求证：为定值.
变式练习1．（2025年江西省赣州一中高三第三次考试题）在平面直角坐标系中，已知点，直线与的斜率之积为．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过的直线交曲线于两点，直线与直线交于点，求证：为定值．
考点 6 面积类定值
例题6．（2025年云南师范大学附属中学高三月考题）已知点与定点的距离和它到定直线的距离比是.
(1)求点的轨迹方程；
(2)若直线与轨迹交于两点，为坐标原点直线的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由.
变式练习1．（2025年重庆市巴蜀中学校高三考试题）已知A，B分别是椭圆的右顶点和上顶点，，直线AB的斜率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与轨迹交于M，N两点，O为坐标原点，直线OM，ON的斜率之积等于，试探求的面积是否为定值，并说明理由．
2．（2025年四川省绵阳中学高三模拟试题）已知，分别是双曲线：（，）的左、右焦点，，点到的渐近线的距离为3.
(1)求双曲线的标准方程及其渐近线方程；
(2)已知点为坐标原点，动直线与相切，若与的两条渐近线交于，两点，求证：的面积为定值.
