一元二次函数、方程和不等式专项训练
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知函数，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
2．（24-25高一上·广东清远·期末）已知实数，且，则的最小值为（ ）
A．16 B．18 C．22 D．26
3．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知正数满足，则的最小值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
4．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
5．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知，的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
6．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，若关于x的不等式在区间上恒成立，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
7．（24-25高一上·广东广州·期末）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（ ）
A．160000元 B．179200元
C．198400元 D．297600元
8．（24-25高三上·广东深圳·期末）设表示中最大的数，已知均为正数，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的。若全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分
9．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知不等式，下列说法正确的有（ ）
A．若，则不等式的解集为
B．若，则不等式的解集为
C．若，恒成立，则整数的取值集合为
D．若恰有两个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是
10．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知且，则（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知正数、满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是 B．的最小值是
C．的最小值是 D．的最小值是
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分
12．（24-25高二下·广东深圳·期末）若正实数，满足，则的最大值是 ．
13．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 .
14．（24-25高一上·广东佛山·期末）若正数满足，则的最小值为 .
四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（24-25高一上·广东江门·期末）已知函数
(1)当时，解关于x的不等式；
(2)若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围.
16．（24-25高一上·广东广州·期末）某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）.
(1)写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价））
(2)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？
17．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知正数x，y满足x+y=6，xy=9k
(1)求k的最大值
(2)求的最小值
(3)若恒成立，求实数m的取值范围
18．（24-25高一上·广东梅州·期末）已知函数．
(1)若关于x的不等式的解集为，求实数k，b的值；
(2)对于参数，解关于x的不等式．
19．（24-25高一上·广东广州·期末）若一个集合含有个元素（，），且这个元素之和等于这个元素之积，则称该集合为元“完美集”.
(1)写出一个2元“完美集”（无需写出求解过程）；
(2)求证：对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积大于4；
(3)记为集合中元素的个数.若集合是元素均为正整数的“完美集”，求的最大值.一元二次函数、方程和不等式专项训练
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项、是符合题目要求的.
1．（24-25高一下·广东深圳·期末）已知函数，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C． D．
【答案】D
【详解】由题意，，
在中，
，
当且仅当，即时等号成立，
∴的最小值为，
故选：D.
2．（24-25高一上·广东清远·期末）已知实数，且，则的最小值为（ ）
A．16 B．18 C．22 D．26
【答案】C
【详解】因为，所以，
因为，
当且仅当，即时等号成立，此时的最小值为22．
故选：C
3．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知正数满足，则的最小值是（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
【答案】A
【详解】因为正数满足，
则，
当且仅当即时取等号，
所以的最小值是8.
故选：A.
4．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【详解】当时，成立；
当时，抛物线开口向上，成立；
当时，由，得或，所以．
综上所述，．
故选：A.
5．（24-25高一下·广东汕头·期末）已知，的最小值为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
【答案】C
【详解】由，所以，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为.
故选：C.
6．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知，若关于x的不等式在区间上恒成立，则的最小值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【详解】∵，∴在区间上单调递增，
∴当时，当时，
令，
要想关于x的不等式在区间上恒成立，
则当时，当时，
∴，则，即，
∴，当且仅当，即时取等号.
故选：B.
7．（24-25高一上·广东广州·期末）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为，深为．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（ ）
A．160000元 B．179200元
C．198400元 D．297600元
【答案】C
【详解】设池底的长为x，宽为y，则，即
因水池无盖，则建造池体需要建造池壁有4个面，池底一个面，
建造这个水池的总造价是
当且仅当，即时，等号成立，
故选：C.
8．（24-25高三上·广东深圳·期末）设表示中最大的数，已知均为正数，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】D
【详解】设．
因为为正数，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
则，时取等号．
因为为正数，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
则，当时取等号．
，
当，即时取“等号”，
所以M的最小值为3．
故选：D.
二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，至少有两项是符合题目要求的。若全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分
9．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知不等式，下列说法正确的有（ ）
A．若，则不等式的解集为
B．若，则不等式的解集为
C．若，恒成立，则整数的取值集合为
D．若恰有两个整数使得不等式成立，则实数的取值范围是
【答案】ABD
【详解】，
对于A，若，恒成立，所以的解集为，故A正确；
对于B，若，则，的解集为，故B正确；
对于C，恒成立，即，
当时，等价于
解不等式组得，所以整数的取值为，
当时，恒成立，满足题意.
综上所述，整数的取值为，故C错误；
对于D，当时，的解集为，
易知该解集中不止两个整数解，不符合题意，舍去.
当时，的解集为，
若该解集中恰有两个整数解，则，解得.
综上，实数的取值范围是，故D正确
故选：ABD
10．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ACD
【详解】对于A，且，可知，，所以
所以，即，故A正确；
对于B，
当且仅当时，取等号，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，
当且仅当时，取等号，故D正确；
故选：ACD
11．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知正数、满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最小值是 B．的最小值是
C．的最小值是 D．的最小值是
【答案】BCD
【详解】对于A选项，由基本不等式可得，即，
当且仅当时，即当时，等号成立，即的最大值为，A错；
对于B选项，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值是，B对；
对于C选项，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
即的最小值是，C对；
对于D选项，，当且仅当时，即当时，等号成立，
故的最小值是，D对.
故选：BCD.
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分
12．（24-25高二下·广东深圳·期末）若正实数，满足，则的最大值是 ．
【答案】
【详解】因为正实数，满足，
可由基本不等式可得：，
当且仅当取等号，
所以的最大值是，
故答案为：
13．（24-25高一上·广东江门·期末）若，则的最小值是 .
【答案】/
【详解】因为 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
故答案为：
14．（24-25高一上·广东佛山·期末）若正数满足，则的最小值为 .
【答案】25
【详解】解：因为正数满足，
所以，
所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以的最小值为25，
故答案为：25
四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（24-25高一上·广东江门·期末）已知函数
(1)当时，解关于x的不等式；
(2)若关于x的不等式的解集为R，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）当 时，不等式为，
因为方程 的解为 ，或 ，
结合函数 的图像可得 ，
不等式的解集为 .
（2）当 时， 对于一切的 恒成立，符合题意；
当 时，因为 的解集为 R ，
则 ，解得，
即，
综上可得：实数a的取值范围为
16．（24-25高一上·广东广州·期末）某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）.
(1)写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价））
(2)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？
【答案】(1)，
(2)当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长
【详解】（1）设下调电价后新增用电量为，
因为下调电价后新增用电量和实际电价与用户期望电价的差成反比（比例系数为），
则，所以本年度的用电量为，
所以本年度电力部门的收益关于实际电价的函数解析式为：，.
（2）依题意有：，
整理得：，解得：，
所以当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长．
17．（24-25高一上·广东汕头·期末）已知正数x，y满足x+y=6，xy=9k
(1)求k的最大值
(2)求的最小值
(3)若恒成立，求实数m的取值范围
【答案】(1)1
(2)
(3)
【详解】（1）因为，所以由基本不等式可得：
，得；
当且仅当时，等号成立，
即，则，故的最大值为1．
（2）由，得，
则，
当且仅当，即时，等号成立．
故的最小值为．
（3）因为恒成立，所以，
即，解得，
所以，实数的取值范围为.
18．（24-25高一上·广东梅州·期末）已知函数．
(1)若关于x的不等式的解集为，求实数k，b的值；
(2)对于参数，解关于x的不等式．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，
可知方程的两根为，．
由韦达定理，可知，解得．
（2）令，
①当，即时，
函数图像与轴至多只有1个交点，且开口向上．
因此，不等式的解集为．
②当，即或时，
函数图像与轴有两个交点，且开口向上．
令，则方程有两个不等实根，
为：，.
可知，不等式的解集为：
或.
综上所述，①当时，不等式的解集为；
②当或时，不等式的解集为
或.
19．（24-25高一上·广东广州·期末）若一个集合含有个元素（，），且这个元素之和等于这个元素之积，则称该集合为元“完美集”.
(1)写出一个2元“完美集”（无需写出求解过程）；
(2)求证：对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积大于4；
(3)记为集合中元素的个数.若集合是元素均为正整数的“完美集”，求的最大值.
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)证明见详解
(3)3
【详解】（1）设一个2元“完美集”为（），则，
例如，则，
所以一个2元“完美集”可为（答案不唯一）.
（2）由上述分析可知，2元“完美集”（），则，
因为，则，
即，且，可得，
所以对任意一个2元“完美集”，若其元素均为正数，则其元素之积一定大于4.
（3）设元“完美集”为，其中，不妨设，
则，可得，
假设，可知，
所以假设不成立，即，
又因为，所以存在元素均为正整数的元“完美集”，
所以的最大值为3.
