11.4 无理数与实数 专题练习（含答案）2025-2026学年北京版2024八年级上册数学

11.4 无理数与实数
题型一 实数的概念理解
1．（24-25八年级上·北京丰台·期中）在，，，，，2.12112111211112…（每两个2之间依次增加一个1）中，无理数的个数（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（21-22七年级下·北京·期中）下列说法正确的有（ ）
①无限小数都是无理数；②无理数都是无限小数；③带根号的数都是无理数；④两个无理数的和还是无理数；⑤数轴上的点与实数一一对应．
A．个 B．个 C．个 D．个
3．（20-21八年级上·北京石景山·期末）下列说法正确的是（ ）
A．无理数是开方开不尽的数 B．一个实数的绝对值总是正数
C．不存在绝对值最小的实数 D．实数与数轴上的点一一对应
4．（21-22八年级上·北京平谷·期中）下列说法正确的是（ ）
A．都是无理数 B．无理数包括正无理数、零、负无理数
C．数轴上的点表示的数是有理数 D．绝对值最小的数是0
题型二 实数的分类
5．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）在，，0，，2，，（两个2之间依次多一个1），中．
(1)是有理数的有____________；
(2)是无理数的有____________；
(3)是整数的有____________；
(4)是分数的有____________．
6．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）把下列各数填入相应的括号里．
，…．
(1)正实数：{ ，…}；
(2)负实数：{ ，…}；
(3)有理数：{ ，…}；
(4)无理数：{ ，…}．
7．（2025七年级下·贵州·专题练习）把下列各数分别填入相应的集合内（只填序号）：①15；②；③0；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）．
(1)正无理数集合：{____________…}；
(2)负无理数集合：{____________…}；
(3)整数集合：{____________…}；
(4)正实数集合：{____________…}；
(5)负实数集合：{____________…}．
题型三 估算无理数的大小
8．（2025·广西南宁·一模）估计的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间
C．3和4之间 D．4和5之间
9．（24-25八年级上·重庆·期中）估算的结果在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．6和7之间
10．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）要制作一只如图所示容积为的小玻璃杯，涉及正方体内壁时，内壁边长大致长度在（ ）
A．之间 B．之间
C．之间 D．之间
11．（24-25七年级下·北京密云·期末）若，且、是两个连续的整数，则的值为 ．
12．（24-25七年级下·北京·期中）介于与之间的整数是 ．
13．（24-25七年级下·北京·期中）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值．
小明的方法：
∵，设，
∴，
∴，
∴，解得，
∴．
（上述方法中使用了完全平方公式：，下面可参考使用）
问题：
（1）请你依照小明的方法，估算 （结果保留两位小数）；
（2）请结合上述实例，概括出估算的公式．已知非负整数、、，若，则 （用含、的代数式表示）．
题型四 估算无理数的整数部分或小数部分
14．（22-23七年级下·北京海淀·阶段练习）的整数部分为（ ）．
A． B． C． D．
15．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）若的整数部分为，的小数部分为，则 ．
16．（24-25七年级下·北京·期中）规定用符号表示一个实数m的整数部分，例如，，．按此规定，的值为 ．
17．（23-24七年级下·北京·期中）已知的平方根是，b、c满足，d是的整数部分，求立方根．
18．（23-24八年级下·北京·期中）已知，分别是的整数部分和小数部分．
(1)直接写出和的值；
(2)求的值．
题型五 实数的混合运算
19．（24-25八年级上·北京·期末）计算
20．（24-25八年级上·北京顺义·期中）计算：
21．（24-25八年级上·北京丰台·期中）计算：
(1)；
(2)．
22．（24-25八年级上·北京平谷·期末）计算：
题型六 实数运算的实际应用
23．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题：
(1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？
(2)这个纸盒的体积是多少？
(3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？
24．（24-25七年级下·福建福州·期中）哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为．
(1)“混天绫”的总长度是多少米？
(2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由．
25．（24-25七年级下·陕西安康·期中）某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4．
(1)A类正方形的边长是___________；
(2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长；
(3)求长方形邀请函的长和宽．
26．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示．
(1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ；
(2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．
27．（20-21七年级下·湖北武汉·期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为．
(1)求该长方形的长宽各为多少
(2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗 并说明理由．
题型七 实数与数轴
28．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若，且b是无理数，则b的值可以是（ ）
A． B． C． D．
29．（2025·北京·二模）如图，数轴上有、、、四个点，则下列说法正确的有（ ）
（1）点表示的数可能是；（2）点表示的数可能是
（3）点表示的数可能是；（4）点表示的数可能是
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
30．（24-25七年级下·北京西城·期中）如图，直径为个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点，则的长度为 ；若点对应的数是，则点对应的数是 ．
31．（24-25八年级上·北京·阶段练习）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简．
32．（24-25七年级下·北京海淀·期中）如图，数轴上点所表示的数为3，老鼠在点处发现猫在其左侧距离个单位长度的点，设点所表示的数为．
(1)_____．
(2)发现沿数轴向右运动来抓自己，它立刻沿数轴往老鼠洞的方向逃跑，点所表示的数为5，则______，若的速度是1个单位长度/秒，的速度为个单位长度/秒，则从到达时，运动的路程是_______，______（填“能”或“不能”）逃脱的魔爪．
题型八 实数的大小比较
33．（2024·北京·模拟预测）已知，则，，，中最小的数是（　　）
A． B． C． D．
34．（2024·北京·模拟预测）在同一条数轴上分别用点表示实数 ，0 ， ， ，则其中最左边的点表示的实数是 （ ）
A． B．0 C． D．
35．（23-24七年级下·北京·期末）下列各数中，比大6且比7小的数是（ ）
A． B． C． D．
36．（24-25八年级上·北京·期末）比较大小：（1） 6；（2） 3
37．（24-25七年级下·北京大兴·期中）长方形画纸的面积为，长与宽的比为，小兴同学想从中裁出半径为的圆形画纸，他的想法可行吗？请你通过计算说明．
题型一 程序设计中的实数运算
38．（22-23七年级下·北京怀柔·阶段练习）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是 ．
39．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入的值是时，输出的值是 ．分析发现，当输入一个可以使程序运行的实数时，该程序无法输出值，则的值为 ．
40．（24-25七年级下·北京·期中）如图是一个数值转换器（）
(1)当输入的x为时，输出的y值是______；
(2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______；
(3)若输出的y是，求x的负整数值．
题型二 新定义中的实数运算
41．（24-25七年级上·北京·期中）定义新运算“☆”，对于任意有理数m，n有
(1)___________．
(2)若，，求的值．
42．（24-25七年级下·北京·期中）阅读材料：
如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作；
例如，，，．那么，，其中．
例如，，，．
请你解决下列问题：
(1)______；
(2)如果，那么x的取值范围是______；
(3)如果，求x的值．
43．（24-25七年级下·北京·期中）【定义】用表示一个数对，其中为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．
【知识运用】
(1)直接写出数对的开方对称数对_______；
(2)若数对的一个开方对称数对是，求，的值；
(3)若数对的一个开方对称数对是，求的值．
44．（24-25七年级下·北京·期中）规定：用符号表示不超过的最大整数．例如：，．按此规定，
(1)___，___，___；
(2)___．
45．（24-25八年级上·北京房山·期中）观察一列数：，，，，，…．设是这列数的第2024个数，且满足．
(1)化简：；
(2)写出第个数为__________（用含n的代数式表示）；
(3)求出的值．
题型三 实数运算中的规律探究
46．（21-22七年级上·浙江温州·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
① ，② ，
③ ，④ ．
(1)观察算式规律，计算 ； ；
(2)用含正整数 n 的代数式表示上述算式的规律： ；
(3)计算：．
47．（20-21八年级下·北京海淀·期中）观察下列各式：
2，3，4．
(1)类比上述式子，再写出一个同类型的式子；
(2)你能用字母n（n是正整数）表示其中的规律吗？并给出证明．
1．（24-25七年级下·北京·期末）小李同学探索的近似值的过程如下：
面积为86的正方形的边长是，且，
设，其中，画出示意图，如图所示．
根据示意图，可得图中正方形的面积，
又，
．
当时，可忽略，得，解得，
．
(1)填空：的整数部分的值为________；
(2)仿照上述方法，探究的近似值（结果精确到0.01）（答题要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
2．（24-25七年级上·北京·期中）对于三个数a，b，c，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最大的数．例如： ，，如果，求x的值．
3．（24-25七年级下·北京·期中）已知r是正实数，对实数x和有序有理数对，若，则称是x的一个“有序表示”．
(1)写出的一个“有序表示” ；
(2)若是的一个“有序表示”，求的平方根；
(3)若是x的一个“有序表示”，也是的一个“有序表示”，m为正实数，判断x是否存在“有序表示”，请说明理由．
4．（24-25七年级下·北京·期中）小兵喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换：
A变换：首先对实数取算术平方根，减去1；
B变换：首先对实数取立方根，然后取不超过该立方根的最大整数；例如：实数7经过一次变换得到，实数10经过一次变换得到2．
(1)①实数25经过一次变换所得的数是_______；
②实数25经过一次B变换所得的数是_______；
(2)整数m经过两次B变换得到的数是1，则m的最小值是_______；最大值是_______；
(3)实数经过一次变换得到的数是，实数经过一次变换得到的数是，是否存在使得成立？若存在请直接写出的值，若不存在请说明理由．
11.4 无理数与实数
题型一 实数的概念理解
1．（24-25八年级上·北京丰台·期中）在，，，，，2.12112111211112…（每两个2之间依次增加一个1）中，无理数的个数（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【分析】此题主要考查了算术平方根以及无理数的定义，带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．根据有理数、无理数的定义判断即可．
【详解】解：在，，，，，2.12112111211112…（每两个2之间依次增加一个1）中，无理数有，，，2.12112111211112…（每两个2之间依次增加一个1），共4个．
故选：C．
2．（21-22七年级下·北京·期中）下列说法正确的有（ ）
①无限小数都是无理数；②无理数都是无限小数；③带根号的数都是无理数；④两个无理数的和还是无理数；⑤数轴上的点与实数一一对应．
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】A
【分析】利用有理数，无理数，数轴的相关概念对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【详解】解：无限的不循环小数是无理数，
的结论不正确；
无理数是无限的不循环小数，都是无限小数，
的结论正确；
带根号且开不尽放 方的数都是无理数，
的结论不正确；
，
两个无理数的和不一定是无理数，
的结论不正确；
数轴上的点与实数一一对应，
的结论正确；
综上，正确的结论有：，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了实数的概念，实数的运算，数轴的相关性质，利用有理数，无理数，数轴的相关概念对每个选项进行逐一判断是解题的关键．
3．（20-21八年级上·北京石景山·期末）下列说法正确的是（ ）
A．无理数是开方开不尽的数 B．一个实数的绝对值总是正数
C．不存在绝对值最小的实数 D．实数与数轴上的点一一对应
【答案】D
【分析】根据无理数的定义、绝对值的性质、实数与数轴上点的对应关系逐一判断即可．
【详解】解：A．无理数是无限不循环小数，该项说法不正确；
B．一个实数的绝对值可以是正数，也可以是零，该项说法不正确；
C．绝对值最小的数是0，该项说法不正确；
D．实数与数轴上的点一一对应，该项说法正确；
故选：D．
【点睛】本题考查实数的相关概念，掌握无理数、绝对值的性质是解题的关键．
4．（21-22八年级上·北京平谷·期中）下列说法正确的是（ ）
A．都是无理数 B．无理数包括正无理数、零、负无理数
C．数轴上的点表示的数是有理数 D．绝对值最小的数是0
【答案】D
【分析】依据实数的相关定义判断即可．
【详解】解：A. 是无理数，都是有理数，故该选项说法错误，不符合题意；
B. 无理数包括正无理数、负无理数，0属于有理数，故该选项说法错误，不符合题意；
C. 数轴上的点表示的数是实数，故该选项说法错误，不符合题意；
D. 绝对值最小的数是0，故该选项说法正确，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查实数的相关定义．需注意B选项中0属于有理数，易混淆；C选项中数轴上的点表示的数是实数．
题型二 实数的分类
5．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）在，，0，，2，，（两个2之间依次多一个1），中．
(1)是有理数的有____________；
(2)是无理数的有____________；
(3)是整数的有____________；
(4)是分数的有____________．
【答案】(1)，0，2，，
(2)，，（两个2之间依次多一个1）
(3)，0，2，
(4)
【分析】本题考查了实数的分类，解题的关键是掌握无限不循环小数是无理数．
根据有理数，无理数，整数和分数的定义，即可解答．
【详解】（1）解：是有理数的有，0，2，，，
故答案为：，0，2，，．
（2）解：是无理数的有，，（两个2之间依次多一个1），
故答案为：，，（两个2之间依次多一个1）．
（3）解：是整数的有，0，2，，
故答案为：，0，2，．
（4）解：是分数的有，
故答案为：．
6．（24-25七年级下·湖北黄石·期中）把下列各数填入相应的括号里．
，…．
(1)正实数：{ ，…}；
(2)负实数：{ ，…}；
(3)有理数：{ ，…}；
(4)无理数：{ ，…}．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】本题考查了实数的分类，熟练掌握实数的分类是解答本题的关键．实数分为有理数和无理数，有理数分为整数和分数，无理数分为正无理数和负无理数．实数还可以分为正实数、零和负实数，正实数分为正有理数和正无理数，负实数分为负有理数和负无理数．
（1）根据正实数包括正无理数和正有理数解答即可；
（2）根据负实数包括负无理数和负有理数解答即可；
（3）根据有理数包括整数和分数解答即可；
（4）根据无理数包括正无理数和负无理数解答即可．
【详解】（1）正实数：{，…}．
故答案为：；
（2）负实数：{，…}，
故答案为：；
（3）有理数：{，…}
故答案为：；
（4）无理数：{，…}，
故答案为：．
7．（2025七年级下·贵州·专题练习）把下列各数分别填入相应的集合内（只填序号）：①15；②；③0；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨1.1010010001…（每两个1之间依次多一个0）．
(1)正无理数集合：{____________…}；
(2)负无理数集合：{____________…}；
(3)整数集合：{____________…}；
(4)正实数集合：{____________…}；
(5)负实数集合：{____________…}．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】本题考查实数的分类，熟练掌握有理数和无理数统称为实数，是解题的关键：
（1）根据正无理数是大于0的无限不循环小数，作答即可；
（2）根据负无理数是小于0的无限不循环小数，作答即可；
（3）根据整数包括正整数，负整数和0，作答即可；
（4）根据正实数包括正有理数和正无理数，作答即可；
（5）根据负实数包括负有理数和负无理数，作答即可；
【详解】（1）解：正无理数集合：{…}；
（2）负无理数集合：{…}
（3）整数集合：{…}
（4）正实数集合：{…}；
（5）负实数集合：{…}．
题型三 估算无理数的大小
8．（2025·广西南宁·一模）估计的值在（ ）
A．1和2之间 B．2和3之间
C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】A
【分析】本题主要考查了无理数估算大小，熟练掌握无理数估算大小方法是解题关键．
由，即，即可解答．
【详解】解：∵，即，
∴的值在1和2之间，
故选：A．
9．（24-25八年级上·重庆·期中）估算的结果在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．6和7之间
【答案】A
【分析】本题考查了无理数的估算，先估算 的取值范围，进而可求出的取值范围．
【详解】解：∵
∴
∴
故选A
10．（24-25七年级上·浙江绍兴·期中）要制作一只如图所示容积为的小玻璃杯，涉及正方体内壁时，内壁边长大致长度在（ ）
A．之间 B．之间
C．之间 D．之间
【答案】C
【分析】本题考查立方根的应用，立方根的估算，熟练掌握立方根的估算方法是解题的关键．设正方体内壁的边长为，得，求出，再利用立方根的估算方法估算即可．
【详解】解：设正方体内壁的边长为，
根据题意，得：，
解得：，
∵，，，， ，
且，
∴，
故选：C．
11．（24-25七年级下·北京密云·期末）若，且、是两个连续的整数，则的值为 ．
【答案】12
【分析】本题考查了无理数的估算，立方根，已知字母的值求代数式的值，因为得，故，代入进行计算，即可作答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，且、是两个连续的整数，
∴，
∴，
∴
故答案为：12
12．（24-25七年级下·北京·期中）介于与之间的整数是 ．
【答案】3，4
【分析】本题考查了无理数的估算，掌握无理数的估算方法是解题的关键．根据，求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，，
即，，
∴介于与之间的整数是3，4，
故答案为：3，4．
13．（24-25七年级下·北京·期中）阅读材料：学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值．
小明的方法：
∵，设，
∴，
∴，
∴，解得，
∴．
（上述方法中使用了完全平方公式：，下面可参考使用）
问题：
（1）请你依照小明的方法，估算 （结果保留两位小数）；
（2）请结合上述实例，概括出估算的公式．已知非负整数、、，若，则 （用含、的代数式表示）．
【答案】
【分析】本题考查完全平方公式，估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是解决问题的前提，理解题目中所提供的方法是解决问题的关键．
（1）仿照提供的解法进行解答即可；
（2）根据题目中提供的方法用含有a、m的代数式表示即可．
【详解】解：（1）∵，
设，
∴，
∴，
∴，解得，
∴；
故答案为：8.25
（2）∵，
设，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
题型四 估算无理数的整数部分或小数部分
14．（22-23七年级下·北京海淀·阶段练习）的整数部分为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先根据的整数部分，然后确定的整数部分即可．
【详解】解：，
，
，
的整数部分为，
故选：．
【点睛】本题考查了无理数的估算，熟练掌握无理数估算的方法是解答本题的关键．
15．（24-25七年级下·北京朝阳·期中）若的整数部分为，的小数部分为，则 ．
【答案】/
【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法可得，进而可得，，据此求出a、b的值即可得到答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，，
∴，
∵的整数部分为，的小数部分为，
∴，
∴，
故答案为：．
16．（24-25七年级下·北京·期中）规定用符号表示一个实数m的整数部分，例如，，．按此规定，的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查无理数的整数部分，根据无理数的估算方法估算出即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
17．（23-24七年级下·北京·期中）已知的平方根是，b、c满足，d是的整数部分，求立方根．
【答案】
【分析】本题考查平方根、立方根、非负数的性质、无理数等，先根据平方根求出a的值，利用算术平方根、平方的非负性求出b和c的值，通过估计的范围求出d的值，最后代入求值即可．
【详解】解：的平方根是，
，
；
b、c满足，
，，
，；
，
，
d是的整数部分，
，
，
立方根为．
18．（23-24八年级下·北京·期中）已知，分别是的整数部分和小数部分．
(1)直接写出和的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】本题考查了无理数的估算，代数式求值，完全平方公式，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据即可确定a，b的值；
（2）将a，b分别代入即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
（2）解：当时，
原式
．
题型五 实数的混合运算
19．（24-25八年级上·北京·期末）计算
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算算术平方根和立方根，再去绝对值后计算加减法即可得到答案．
【详解】解：
．
20．（24-25八年级上·北京顺义·期中）计算：
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，先根据零指数幂、算术平方根、负整数指数幂、绝对值的性质计算，再合并即可．
【详解】解：
．
21．（24-25八年级上·北京丰台·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算、实数的混合运算、立方根、算术平方根等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．
（1）根据有理数乘除混合运算法则计算即可；
（2）先运用乘方、立方根、算术平方根化简，然后再计算即可．
【详解】（1）解：
．
（2）解：
．
22．（24-25八年级上·北京平谷·期末）计算：
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据零指数幂、负整数指数幂、绝对值的意义及二次根式的性质分别化简，再合并即可，掌握实数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式
．
题型六 实数运算的实际应用
23．（24-25八年级下·四川绵阳·期中）有一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体纸盒（纸板厚度忽略不计）．根据计算回答问题：
(1)这个长方体纸盒的长、宽、高分别是多少？
(2)这个纸盒的体积是多少？
(3)这个纸盒是否能够完全容纳一支长度为的铅笔？
【答案】(1)长方体的长为，宽为，高为；
(2)这个纸盒的体积是；
(3)这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔．
【分析】本题主要考查的是算术平方根的实际应用，无理数大小的比较．
（1）设长方体的高为，则长为，宽为，根据长方体的底面积等于长宽列方程求得答案即可；
（2）利用长方体的体积公式计算求得答案即可；
（3）先求得底面对角的线，再求得长方体的对角线的长，与比较即可得解．
【详解】（1）解：设长方体的高为，则长为，宽为，
由题意得：，
解得：，则，
∴长方体的长为，宽为，高为；
（2）解：这个纸盒的体积是；
（3）解：，
底面对角线的长为，
长方体的对角线的长为，
∴这个纸盒不能够完全容纳一支长度为的铅笔．
24．（24-25七年级下·福建福州·期中）哪吒在镇压妖兽时，用“混天绫”围成一个面积为 的正方形“封妖阵”，后因妖兽反噬，须将“封妖阵”调整为面积为的长方形，且长与宽之比为．
(1)“混天绫”的总长度是多少米？
(2)哪吒的“混天绫”长度是否足够完成新阵法？请通过计算说明理由．
【答案】(1)
(2)能；理由见解析
【分析】本题考查了平方根的应用，无理数的估算，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据平方根的意义即可求解；
（2）根据题意列方程，求出长方形的长与宽，可得长方形的周长，再经过估算即得答案．
【详解】（1）解： “混天绫”围成一个面积为 的正方形，
正方形的边长为，
“混天绫”的总长度．
答：“混天绫”的总长度．
（2）解：能，理由如下：
设长方形的长为米，宽为米，
依题意得 ，
解得或，
，
，
长方形的长为米，宽为米，
长方形的周长为，
，
，
能够完成新阵法．
25．（24-25七年级下·陕西安康·期中）某班将在期中学生表彰大会上邀请受表彰学生的家长参会，小王设计了如图所示的长方形邀请函：正面绘制了3个A类正方形和4个B类正方形，并对阴影部分进行上色，已知每个A类正方形的面积为2，每个B类正方形的面积是4．
(1)A类正方形的边长是___________；
(2)分别求出一个A类正方形和一个B类正方形的周长；
(3)求长方形邀请函的长和宽．
【答案】(1)
(2)A类正方形的周长是：；B类正方形的周长为
(3)长方形的长为，宽为
【分析】本题考查了算术平方根，实数的混合运算．正确求解四边形的边长是解题的关键．
（1）由A类正方形的面积为2，可知A类正方形的边长是；
（2）由B类正方形的面积是4，可知B类正方形的边长是，
（3）根据长方形的长为，宽为，根据周长公式计算求解，即可求解．
【详解】（1）解：∵A类正方形的面积为2，
∴A类正方形的边长是，
故答案为：；
（2）解：∵A类正方形的边长是，
∴A类正方形的周长是：，
∵B类正方形的面积是4，
∴B类正方形的边长是，
∴B类正方形的周长为；
（3）解：长方形的长为，宽为．
26．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）团扇是中国传统工艺品，代表着团圆友善、吉祥如意．某社团组织学生制作团扇，扇面有圆形和正方形两种，每种扇面面积均为．完成扇面后，需对扇面边缘用缎带进行包边处理（接口处长度忽略不计），如图所示．
(1)圆形团扇的半径为 （结果保留），正方形团扇的边长为 ；
(2)请你通过计算说明哪种形状的扇面所用的包边长度更短．
【答案】(1)，
(2)圆的周长较小
【分析】本题考查扇形面积的计算，实数的运算，掌握圆周长，面积的计算方法以及扇形面积的计算方法是正确解答的关键．
（1）根据圆面积、正方形面积公式进行计算即可；
（2）求出两种形状的扇子的周长即可．
【详解】（1）解：设圆形扇的半径为，正方形的边长为，
由题意得，，，
，，
故答案为：，；
（2）解：圆形扇的周长为：，
正方形扇的周长为：，，
∴圆的周长较小．
27．（20-21七年级下·湖北武汉·期中）某农场有一块用铁栅栏围墙围成的面积为600平方米的长方形空地，长方形长宽之比为．
(1)求该长方形的长宽各为多少
(2)农场打算把长方形空地沿边的方向改造出两块不相连的正方形试验田，两个小正方形的边长比为，面积之和为500平方米，请问能改造出这样的两块不相连的正方形试验田吗 并说明理由．
【答案】(1)长方形的长30米，宽20米
(2)不能改造出这样两块不相符的实验田，见解析
【分析】（1）按照设计的花坛长宽之比为设长为米，宽为米，以面积为600平方米作等量关系列方程，解得x的值即可得出答案；
（2）设大正方形的边长为米，则小正方形的边长为米，根据面积之和为500m2，列出方程求出y，得到大正方形的边长和小正方形的边长，即可求解．
【详解】（1）解：长方形长宽之比为，
设该长方形花坛长为米，宽为米，
依题意得：，
，
∴或（不合题意，舍去）
，
答：该长方形的长30米，宽20米；
（2）解：不能改造出这样两块不相符的实验田，理由如下：
两个小正方形的边长比为，
设大正方形的边长为米，则小正方形的边长为米，依题意得：，
，
，
或（不合题意，舍去）
，
，
所以不能改造出这样两块不相符的实验田．
【点睛】本题主要考查了平方根的应用，运用方程解决实际问题，关键是找出题目的两个相等关系．
题型七 实数与数轴
28．（24-25七年级下·北京朝阳·期末）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若，且b是无理数，则b的值可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了实数与数轴、无理数的估算，由数轴可得，估算出，，，结合题意即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：由数轴可得，，
∵，，，
∴，，，
∴，，，
∵，
∴b的值可以是，
故选：B．
29．（2025·北京·二模）如图，数轴上有、、、四个点，则下列说法正确的有（ ）
（1）点表示的数可能是；（2）点表示的数可能是
（3）点表示的数可能是；（4）点表示的数可能是
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【分析】本题考查了无理数与数轴，无理数的估算等知识，熟练进行无理数的估算是解题的关键．根据无理数的估算及点所处的位置进行判断即可．
【详解】解：（1），则，
而点A表示的数是大于的数，故错误；
（2），由数轴知，点表示的数可能是，
故正确；
（3），点表示的数接近3，故它表示的数不可能是；
故错误；
（4），由数轴知，点D表示的数大于4，
故错误；
综上，正确的有1个；
故选：B．
30．（24-25七年级下·北京西城·期中）如图，直径为个单位长度的圆从点沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点，则的长度为 ；若点对应的数是，则点对应的数是 ．
【答案】 个单位长度
【分析】本题考查了实数与数轴，根据题意可知的长度即为圆的周长，进而可求出点对应的数，理解题意是解题的关键．
【详解】解：由题意得，的长度为个单位长度，
∵点对应的数是，
∴点对应的数是，
故答案为：个单位长度，．
31．（24-25八年级上·北京·阶段练习）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，化简．
【答案】
【分析】由题图可知，于是可得，，，，然后对原式化简绝对值并利用二次根式的性质化简，即可得出答案．
【详解】解∶由题图可知，，
，，，，
．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，根据点在数轴的位置判断式子的正负，化简绝对值，利用二次根式的性质化简，整式的加减运算，去括号，合并同类项等知识点，熟练掌握实数与数轴的相关知识并运用数形结合思想是解题的关键．
32．（24-25七年级下·北京海淀·期中）如图，数轴上点所表示的数为3，老鼠在点处发现猫在其左侧距离个单位长度的点，设点所表示的数为．
(1)_____．
(2)发现沿数轴向右运动来抓自己，它立刻沿数轴往老鼠洞的方向逃跑，点所表示的数为5，则______，若的速度是1个单位长度/秒，的速度为个单位长度/秒，则从到达时，运动的路程是_______，______（填“能”或“不能”）逃脱的魔爪．
【答案】(1)
(2)；；能
【分析】本题主要考查了实数与数轴，实数比较大小，无理数的估算，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（1）用点A表示的数减去点A和点B之间的距离即可得到答案；
（2）用电C表示的数减去点B表示的数即可得到的长；求出运动的时间即可求出运动的路程；比较出运动的路程与的长的大小关系即可得到最后的答案．
【详解】（1）解：∵数轴上点所表示的数为3，老鼠在点处发现猫在其左侧距离个单位长度的点，
∴；
（2）解：由（1）可得，点B表示的数为，
∵点所表示的数为5，
∴；
∵的速度是1个单位长度/秒，
∴从到达时的运动时间为秒，
∴运动的路程是，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴能逃脱的魔爪
题型八 实数的大小比较
33．（2024·北京·模拟预测）已知，则，，，中最小的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了实数比较大小，正数大于0，负数小于0，绝对值大的负数反而小，再根据进行判断即可.
【详解】解：∵，
∴，
即，，，中最小的数是，
故选：D．
34．（2024·北京·模拟预测）在同一条数轴上分别用点表示实数 ，0 ， ， ，则其中最左边的点表示的实数是 （ ）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了实数与数轴，无理数的估算，熟记数轴上的数右边的总比左边的大是解题的关键．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴最左边的点表示的实数是，
故选C．
35．（23-24七年级下·北京·期末）下列各数中，比大6且比7小的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查实数比较大小，将转化为，进行判断即可．
【详解】解： A、，不符合题意；
B、，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选B．
36．（24-25八年级上·北京·期末）比较大小：（1） 6；（2） 3
【答案】
【分析】本题主要考查了实数大小比较及无理数的估算，根据，得到，，据此可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：；．
37．（24-25七年级下·北京大兴·期中）长方形画纸的面积为，长与宽的比为，小兴同学想从中裁出半径为的圆形画纸，他的想法可行吗？请你通过计算说明．
【答案】小兴同学的想法不可行，理由见解析．
【分析】本题考查算术平方根，掌握算术平方根的定义以及估算无理数大小的方法是解题的关键．根据题意，首先需要确定长方形的长和宽，再计算所需圆形的直径，比较长方形的宽与圆形直径的大小以判断是否可行．
【详解】解：设长方形的长为厘米，则宽为厘米，
由题意得：，
解得：或 (舍去)，
长方形的宽为，
，
又，半径为的圆形画纸其直径为，
不能裁出半径为的圆形画纸，小兴同学的想法不可行．
题型一 程序设计中的实数运算
38．（22-23七年级下·北京怀柔·阶段练习）按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是 ．
【答案】/
【分析】将开始输入的值代入计算，知道所得计算结果大于9时输出即可．
【详解】解：∵，
∴，即，
输入，则，
输入，则，
输入，则，
故输出．
故答案为：．
【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
39．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）小明是一个电脑爱好者，他设计了一个程序，如图，当输入的值是时，输出的值是 ．分析发现，当输入一个可以使程序运行的实数时，该程序无法输出值，则的值为 ．
【答案】 或或负数
【分析】本题考查了实数的运算，关键是掌握立方根及算术平方根的求解．
（1）按照计算流程计算，如果不满足输出条件，继续循环计算即可．
（2）根据最后都是无理数输出，可得的值为或或负数．
【详解】（1）当值为时，取算术平方根得，取立方根得，取算术平方根得是，是无理数，所以输出的数为；
（2）因为按照计算流程发现最后都是无理数输出，所以取或时该程序无法输出值，
因为负数没有算术平方根，所以取负数时该程序无法输出值，
故答案为：或或负数．
40．（24-25七年级下·北京·期中）如图是一个数值转换器（）
(1)当输入的x为时，输出的y值是______；
(2)若输入实数x后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为______；
(3)若输出的y是，求x的负整数值．
【答案】(1)；
(2)1，2，3；
(3)或．
【分析】本题主要考查了算术平方根与实数的概念，熟练掌握其算术平方根与实数定义是解题的关键．
（1）由题意利用框图中的算法，直接计算求值即可；
（2）根据0和1的算术平方根是它本身，确定的值，进而求得的值即可；
（3）由是逆推的值，进而求得的值即可．
【详解】（1）解：当时，，，，是无理数，
∴ 当输入的为时，输出的值是；
故答案为：；
（2）∵ 0和1的算术平方根是它本身，
∴，
解得，
，
解得或，
∴ 所有满足要求的的值为1，2，3；
故答案为：1，2，3；
（3）若第1次运算是，
∴，
∴，
解得或，
∵ 为负整数，
∴ 输入的值为；
若第2次运算是，
∴，，
∴，
解得或，
∵ 为负整数，
∴ 输入的值为，
∴，
∴的负整数值均为或．
题型二 新定义中的实数运算
41．（24-25七年级上·北京·期中）定义新运算“☆”，对于任意有理数m，n有
(1)___________．
(2)若，，求的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了新定义的整式运算．
（1）根据新定义计算即可；
（2）先根据新定义计算得到，在将，代入计算即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：；
（2）解：，
∵，，
∴．
42．（24-25七年级下·北京·期中）阅读材料：
如果x是一个有理数，我们把不超过x的最大整数记作；
例如，，，．那么，，其中．
例如，，，．
请你解决下列问题：
(1)______；
(2)如果，那么x的取值范围是______；
(3)如果，求x的值．
【答案】(1)4
(2)
(3)或2.5
【分析】本题考查新定义及一元一次不等式组，解题的关键是根据新定义列出不等式组．
（1）根据新定义直接计算即可得到答案，
（2）根据新定义直接求解即可得到答案；
（3）根据新定义列不等式直接求解即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意可得，，
故答案为：4；
（2）解：∵，
∴，
故答案为：；
（3）解：∵，
∴，
解得：，
∵是整数，
∴或．
43．（24-25七年级下·北京·期中）【定义】用表示一个数对，其中为任意数，．记，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和．
【知识运用】
(1)直接写出数对的开方对称数对_______；
(2)若数对的一个开方对称数对是，求，的值；
(3)若数对的一个开方对称数对是，求的值．
【答案】(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查了新定义运算，涉及立方根和算术平方根的概念理解，理解新定义是解题的关键．
（）根据新定义运算解答即可求解；
（）先得到，，再根据新定义即可求解；
（）根据新定义，分两种情况解答即可求解；
【详解】（1）解：，，
∴数对的开方对称数对，；
（2）解：∵，，将数对和称为数对的一对“开方对称数对”，
∴，
∵数对的一个开方对称数对是，
∴，；
（3）解：若，，
则，，
∴；
若，，
则，，
∴；
的值为或．
44．（24-25七年级下·北京·期中）规定：用符号表示不超过的最大整数．例如：，．按此规定，
(1)___，___，___；
(2)___．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查新定义，算术平方根，立方根的计算，掌握其计算方法是关键．
（1）根据题意得到符号表示不超过的最大整数，指的小于等于的最大整数，结合无理数的估算方法即可求解；
（2）根据题意，将原式分为，，，结合新定义的计算即可求解．
【详解】（1）解：用符号表示不超过的最大整数，指的小于等于的最大整数，如图所示，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
，
故答案为：；
（2）解：，
∴，
，
，
∴，
故答案为：．
45．（24-25八年级上·北京房山·期中）观察一列数：，，，，，…．设是这列数的第2024个数，且满足．
(1)化简：；
(2)写出第个数为__________（用含n的代数式表示）；
(3)求出的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，实数的运算，分式的混合计算：
（1）先把小括号内的式子通分，再根据分式乘法计算法则求解即可；
（2）观察可知，这一列的数的被开方数是序号的平方加1，据此规律求解即可；
（3）根据（1）（2）所求可得，则，进而可得，再代值计算即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：第1个数为，
第2个数为，
第3个数为，
第4个数为，
……，
以此类推，可知第个数为，
故答案为：；
（3）解：∵是这列数的第2024个数，
∴由（2）可知，
∴，
∴，
∴．
题型三 实数运算中的规律探究
46．（21-22七年级上·浙江温州·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
① ，② ，
③ ，④ ．
(1)观察算式规律，计算 ； ；
(2)用含正整数 n 的代数式表示上述算式的规律： ；
(3)计算：．
【答案】(1) ，
(2)
(3)-1008
【分析】（1）根据代数式所呈现的规律可得答案；
（2）由（1）中代数式呈现的规律发现：每组算式的被开方数是序号×(序号+2)+1，结果是(序号+1)；
（3）直接利用上述规律计算即可求解．
【详解】（1）① ，
② ，
③ ，
④，
⑤，
……
∴，
故答案为： ，
（2）由（1）可知，，
故答案为：
（3）
【点睛】本题是一道探究数字规律的问题，发现数字的变化规律是解题的关键．
47．（20-21八年级下·北京海淀·期中）观察下列各式：
2，3，4．
(1)类比上述式子，再写出一个同类型的式子；
(2)你能用字母n（n是正整数）表示其中的规律吗？并给出证明．
【答案】(1)；
(2)规律n（n＞1），证明见解析
【分析】（1）根据前几个等式的变化规律解答即可；
（2）根据前几个等式的变化规律，用n表述规律即可，再根据分式的化简和二次根式的性质证明即可．
【详解】（1）解：根据前几个等式的变化规律，则有；
（2）解：∵2=2，
3=3，
4=4．
∴规律为：n（n＞1），
证明：
=n（n＞1）．
【点睛】本题考查与实数运算相关的规律题、分式的加减、二次根式的性质，能正确发现变化规律是解答的关键．
1．（24-25七年级下·北京·期末）小李同学探索的近似值的过程如下：
面积为86的正方形的边长是，且，
设，其中，画出示意图，如图所示．
根据示意图，可得图中正方形的面积，
又，
．
当时，可忽略，得，解得，
．
(1)填空：的整数部分的值为________；
(2)仿照上述方法，探究的近似值（结果精确到0.01）（答题要求：画出示意图，标明数据，并写出求解过程）
【答案】(1)12
(2)12.21
【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键
（1）根据算术平方根的定义进行计算即可；
（2）根据题目所提供的方法进行解答即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
即，
∴的整数部分的值为12，
故答案为：12；
（2）解：面积为149的正方形的边长是，且，
设，其中，画出示意图，如图所示．
根据示意图，可得图中正方形的面积，
又，
．
当时，可忽略，得，解得，
．
2．（24-25七年级上·北京·期中）对于三个数a，b，c，用表示这三个数的平均数，用表示这三个数中最大的数．例如： ，，如果，求x的值．
【答案】或7
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据新定义得到，再进行分类讨论即可得到答案．
【详解】解：，
当时，解得，
则，
此时，
解得（舍去）；
当时，解得，
则，
此时，
解得；
当时，解得，
则，
此时，
解得；
综上所述，或7．
3．（24-25七年级下·北京·期中）已知r是正实数，对实数x和有序有理数对，若，则称是x的一个“有序表示”．
(1)写出的一个“有序表示” ；
(2)若是的一个“有序表示”，求的平方根；
(3)若是x的一个“有序表示”，也是的一个“有序表示”，m为正实数，判断x是否存在“有序表示”，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)x存在“有序表示”，见解析
【分析】本题考查与新定义下的实数运算，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据定义列出式子即可求解；
（2）根据题意得，进而求出，，代入，再计算平方根即可；
（3）根据题意得，，进而得到，求出（满足条件），设是x的“有序表示”，则 ，其中 为有理数，即可解答．
【详解】（1）解：根据题意得：，
则只要满足的都是有序数对，
∴（答案不唯一）；
（2）解：，
∴，，
∴，，
∴，
∴的平方根为；
（3）解：，，
∴，，
∴，
∴（满足条件），
此时，，即，
∵均为有理数，为有理数，
设是x的“有序表示”，
∴，其中为有理数，
∵为有理数，
当或等均可满足，
∴x存在“有序表示”．
4．（24-25七年级下·北京·期中）小兵喜欢研究数学问题，他设计了如下两种变换：
A变换：首先对实数取算术平方根，减去1；
B变换：首先对实数取立方根，然后取不超过该立方根的最大整数；例如：实数7经过一次变换得到，实数10经过一次变换得到2．
(1)①实数25经过一次变换所得的数是_______；
②实数25经过一次B变换所得的数是_______；
(2)整数m经过两次B变换得到的数是1，则m的最小值是_______；最大值是_______；
(3)实数经过一次变换得到的数是，实数经过一次变换得到的数是，是否存在使得成立？若存在请直接写出的值，若不存在请说明理由．
【答案】(1)①4；②2
(2)1，511
(3)存在，x的值为4或9
【分析】本题考查了实数的运算，涉及算术平方根，立方根，无理数的估算．
（1）①根据题意，列式进行计算即可；②根据题意，列式进行计算即可；
（2）根据立方根的定义列式求解即可；
（3）根据题意，列出x的方程求解即可得出结论．
【详解】（1）解：①根据题意得：，
故答案为：4；
②，
，
不超过的最大整数为2，
故答案为：2；
（2）解：根据题意得：，
，且m是整数，
m的最小值是1；最大值是；
故答案为：1，511；
（3）解：存在，x的值为4或9，
，，
当时，即，
，
当时，，
，
∴当时，，
当时，，
，
所以当时，，
当时，的最小值为，的最小值为3，
，
不存在x值使得，
x的值为4或9时，成立．