4.5.1函数的零点与方程的解 教学设计-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

数学必修第一册 第四章 指数函数与对数函数
4.5.1 函数的零点与方程的解（教案）
一、学科核心素养
1. 直观想象，数学抽象：结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系.
2. 逻辑推理，数学运算：结合具体连续函数及其图象的特点，了解函数零点存在定理.
3. 数学建模：理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具，在实际情境中，会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律.
二、教学重难点
1．重点：理解函数的零点与方程的解之间的关系；函数零点存在定理的推导与应用.
2．难点：探究零点存在定理；函数零点存在定理的应用.
三、教学过程设计
（一）、引入
活动：学生观看视频
导入语：视频中提到的用函数解决方程求解问题，我们并不是第一次遇到。前面我们已经知道了一元二次方程的根就是二次函数的零点，还是函数图像与轴的公共点横坐标，所以这三者是等价的。那么一般函数的零点定义如何，与对应方程的根有什么关系。带着这个问题。大家开始阅读教材，完成新授部分填空。
回顾一元二次方程和二次函数的关系：
(
二次函数
图象与
x
轴的公共点
横坐标
)
二次函数的零点
学生活动：阅读教材完成1，2
（二）、新授
1.零点的概念：把使的实数叫做函数的零点。
2.三个等价关系
方程有实数解
函数有零点
函数的图象与轴有公共点
【师】请同学回答一下零点的定义。
例1 求函数零点
思考：你能求出的零点吗？.
【师】那这个函数有零点吗？有的话又在哪里呢？用现有的知识已经无法解决这个问题，接下来我们进一步探究零点的存在情况。
大家看到探究一，给大家两分钟时间小组讨论一下这里的三个问题。开始!
学生活动：小组热烈讨论
3.零点存在定理的探究
(
①
)【探究1】：观察二次函数图象回答下列问题
写出函数零点？
(2)零点左右两边的函数值与0有什么大小关系？
(3)计算 和，并比较其与零的大小关系如何？
【师】那通过问题1，2，3，你有什么发现吗？
【学生】函数零点左右两边的函数值异号。
【师】这个特征可以用进行刻画。
(
②
)思考：如果函数满足，能说明函数在区间上一定有零点吗？
【师】接下来大家一起带着这个问题完成探究2
【探究2】：观察函数图象②，完成填空
在区间上．在区间上____(有/无)零点；
【师】对比这里存在零点和不存在零点的情况，他们的区别是什么？
【学生】一个连续一个不连续
【师】所以满足那两个条件，函数在区间内就存在零点？
【归纳1】：
函数零点的存在定理：
如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且有,那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在,使得,这个也就是方程的解.
【学生】函数在区间上存在零点的两个条件： .
例2. 下列函数图象可用零点存在定理判定有零点的是（ ）。
【师】关于函数零点存在定理，请大家再来思考这样两个问题，小组讨论两分钟
【探究3】：讨论完成下列问题
(1)定理反过来是否成立？即若函数在 上的图象连续, 且在存在零点, 则是否成立？如果不成立，请你举出反例，并画下来。
(2)函数零点的存在定理能否确定函数在上的零点个数？如果不能，请你举出反例，并画下来。
追问：在函数零点存在定理的基础上加上什么条件，区间中的零点只有一个？
【学生】单调性
(
)【归纳2】：
、巩固练习
例3 的零点所在的区间是(　　)【1min】
A． B．
C． D．
【师】这个题请一个同学上来做。
例4求方程实数解的个数？
【师】直接解解不出，转换成对应函数，分析对应函数与x轴的公共点。还可以转换成分析函数的零点。
【方法概括】：判断函数零点个数（方程解的个数）
（1）直接法： .
（2）图象法： .
（3）转换法： .
（三）、巩固练习
1.求下列方程解的个数
思考题：函数 在内有零点，求的取值范围 .
(四)、课堂总结
1、函数零点的定义及其求法
2、函数零点存在性定理及其应用
(五)、课后作业
《课时作业》对应练习