集合
【基础巩固题】
1．(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5
A．{－1，0} B．{2，3}
C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2}
解析：选A.因为A＝{x|－52．若集合A＝{x|2mx－3>0，m∈R}，其中2∈A且1 A，则实数m的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析：选A.由题意可得解得3．(2023·全国甲卷)设集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集， U(A∪B)＝( )
A．
B．
C．
D．
解析：选A.因为整数集Z＝，U＝Z，所以 U(A∪B)＝.
4．(北师大版必修一P45)已知全集U＝{x∈N＋|－2A．M∪ UP B． U(M∩P)
C．( UM)∪( UP) D．( UM)∩( UP)
解析：选D．U＝{x∈N＋|－25．(2024·襄阳五中第四次适应性测试)集合A＝{x∈N|2x<8}，B＝{x|x2－7x－8<0}，则A∩B的真子集有( )
A．3个 B．4个
C．7个 D．8个
解析：选C.由题意可得A＝{x∈N|2x<8}＝{x∈N|x<3}＝{0，1，2}，B＝{x|x2－7x－8<0}＝{x|－16．(2024·绵阳模拟)已知A＝{1，4，m2}，B＝{1，m}，若B A，则m等于( )
A．0或4 B．1或4 C．0 D．4
解析：选A.∵B A且A＝{1，4，m2}，B＝{1，m}，∴m＝4或m＝m2，
当m＝4时，A＝{1，4，16}，B＝{1，4}，满足题意；
当m＝m2时，得m＝0或m＝1，
当m＝0时，A＝{1，4，0}，B＝{1，0}，满足题意；
当m＝1时，代入集合中，不满足集合的互异性．
综上，m可取0，4.
7．(多选)下列结论正确的是( )
A．若{x|x＋3>0}∩{x|x－a<0}＝ ，则a的取值范围是a<－3
B．若{x|x＋3>0}∩{x|x－a<0}＝ ，则a的取值范围是a≤－3
C．若{x|x＋3>0}∪{x|x－a<0}＝R，则a的取值范围是a≥－3
D．若{x|x＋3>0}∪{x|x－a<0}＝R，则a的取值范围是a>－3
解析：选BD.{x|x＋3>0}＝{x|x>－3}，{x|x－a<0}＝{x|x－3}∩{x|x－3}∪{x|x－3.
8．(多选)已知I为全集，集合M，N I，若M N，则( )
A．M∪N＝N B．M∩N＝N
C． IM IN D．( IN)∩M＝
解析：选AD.因为M N，则M∪N＝N，M∩N＝M，故A正确，B错误；
又I为全集，集合M，N I，则 IM IN，( IN)∩M＝ ，故C错误，D正确．
9．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{m，4，5}，且A∪B中的所有元素的和为12，则m＝________.
解析：当m＝1或m＝2或m＝3时，A∪B＝{1，2，3，4，5}，所有元素的和为15，不符合题意；
当m≠1且m≠2且m≠3时，A∪B＝{1，2，3，m，4，5}，由题意得1＋2＋3＋m＋4＋5＝12，所以m＝－3.
答案：－3
10．对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{x|x≥0}，B＝{x|y＝lg (9－x2)}，则B－A＝________，A*B＝________.
解析：由题意得A＝{x|x≥0}，B＝{x|－3答案：{x|－3【综合应用题】
11．(2024·荆州中学第三次适应性考试)已知集合A＝{x|2x－x2≤0}，B＝ RA，其中R是实数集，集合C＝(－∞，1]，则B∩C＝( )
A．(－∞，0] B．(0，1]
C．(－∞，0) D．(0，1)
解析：选B.由2x－x2≤0可得x≤0或x≥2，则B＝ RA＝{x|012．为丰富学生的课外活动，学校开展了丰富的选修课，参与“数学建模选修课”的有169人，参与“语文素养选修课”的有158人，参与“国际视野选修课”的有145人，三项选修课都参与的有30人，三项选修课都没有参与的有20人，全校共有400人，则只参与两项活动的同学有( )
A．30人 B．31人
C．32人 D．33人
解析：选C.设只参加“数学建模课”和“语文素养课”的有x人，只参加“数学建模课”和“国际视野课”的有y人，只参加“语文素养课”和“国际视野课”的有z人，画出Venn图如下：
则139＋128＋115＋30－(x＋y＋z)＋20＝400，解得x＋y＋z＝32.
13．(多选)在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]＝{4n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，则下列结论正确的为( )
A．2 025∈[3]
B．－2∈[2]
C．Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]
D．“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”
解析：选BCD.对于A，由2 025＝4×506＋1得2 025∈[1]，故A错误；
对于B，由－2＝4×(－1)＋2得－2∈[2]，故B正确；
对于C，所有整数被4除所得的余数只有0，1，2，3四种情况，即刚好分成[0]，[1]，[2]，[3]，共4“类”，故Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]，故C正确；
对于D，若整数a，b属于同一“类”，
则a＝4n1＋k，n1∈Z，b＝4n2＋k，n2∈Z，
故a－b＝4(n1－n2)＋0，所以a－b∈[0]；
若a－b∈[0]，不妨设a＝4n1＋k1，n1∈Z，b＝4n2＋k2，n2∈Z，
则a－b＝4(n1－n2)＋(k1－k2)，
则k1－k2＝0，即k1＝k2，
所以整数a，b属于同一“类”．
故“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”，故D正确．
【创新拓展题】
14．(多选)群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“·”是G上的一个代数运算，即对所有的a，b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：① a，b，c∈G，有(a·b)·c＝a·(b·c)；② e∈G，使得 a∈G，有e·a＝a·e＝a；③ a∈G， b∈G，使a·b＝b·a＝e，则称G关于“·”构成一个群．下列说法正确的有( )
A．G＝{－1，0，1}关于数的乘法构成群
B．G＝x＝m，m∈Z，m≠0}关于数的乘法构成群
C．实数集关于数的加法构成群
D．G＝{m＋m，n∈Z}关于数的加法构成群
解析：选CD.对于A，若G＝{－1，0，1}，则对所有的a，b∈G，有a·b∈{1，0，－1}＝G，满足乘法结合律，即①成立，满足②的e为1，但当a＝0时，不存在b∈G，使得a·b＝b·a＝e＝1，即③不成立，故A错误；
对于B，因为a＝∈G，且b＝3∈G，但a·b＝ G，故B错误；
对于C，若G＝R，则对所有的a，b∈R，有a＋b∈R，满足加法结合律，即①成立，满足②的e为0， a∈R， b＝－a∈R，使a＋b＝b＋a＝0，即③成立，故C正确；
对于D，若G＝{m＋m，n∈Z}，
则对所有的a＝m1＋n2∈G，有a＋b＝(m1＋m2)＋(n1＋n2)∈G， a，b，c∈G，(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)成立，即①成立，
当a＝b＝0时，a＋b＝0，满足②的e＝0，即②成立，
a＝m＋n∈G， b＝－m－n∈G，使a＋b＝b＋a＝0，即③成立，故D正确．
15．设集合M＝{1，2，3，…，12}，现对M的任一非空子集A，令xA为A中最大数与最小数之和，则所有这样的xA的算术平均值为________.
解析：集合M的非空子集共有(212－1)个，
其中，最小值为1的子集可视为{2，3，…，12}的子集与集合{1}的并集，共有211个，
同上可知，最小值为2的子集共有210个，最小值为3的子集共有29个，…，最小值为12的子集共有20个．
最大值为12的子集可视为{1，2，3，…，11}的子集与集合{12}的并集，共有211个，
同上可知，最大值为11的子集共有210个，最大值为10
的子集共有29个，…，最大值为1的子集共有20个．
所以M的所有非空子集中的最小值之和为211＋2×210＋3×29＋…＋12×20，
最大值之和为12×211＋11×210＋10×29＋…＋20，
所以xA的算术平均值为×(211＋2×210＋3×29＋…＋12×20＋12×211＋11×210＋10×29＋…＋20)＝＝13.
答案：13集合
【基础巩固题】
1．(2024·新课标Ⅰ卷)已知集合A＝{x|－5A．{－1，0} B．{2，3}
C．{－3，－1，0} D．{－1，0，2}
2．若集合A＝{x|2mx－3>0，m∈R}，其中2∈A且1 A，则实数m的取值范围是( )
A． B．
C． D．
3．(2023·全国甲卷)设集合A＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，U为整数集， U(A∪B)＝( )
A．
B．
C．
D．
4．(北师大版必修一P45)已知全集U＝{x∈N＋|－2A．M∪ UP B． U(M∩P)
C．( UM)∪( UP) D．( UM)∩( UP)
5．(2024·襄阳五中第四次适应性测试)集合A＝{x∈N|2x<8}，B＝{x|x2－7x－8<0}，则A∩B的真子集有( )
A．3个 B．4个
C．7个 D．8个
6．(2024·绵阳模拟)已知A＝{1，4，m2}，B＝{1，m}，若B A，则m等于( )
A．0或4 B．1或4 C．0 D．4
7．(多选)下列结论正确的是( )
A．若{x|x＋3>0}∩{x|x－a<0}＝ ，则a的取值范围是a<－3
B．若{x|x＋3>0}∩{x|x－a<0}＝ ，则a的取值范围是a≤－3
C．若{x|x＋3>0}∪{x|x－a<0}＝R，则a的取值范围是a≥－3
D．若{x|x＋3>0}∪{x|x－a<0}＝R，则a的取值范围是a>－3
8．(多选)已知I为全集，集合M，N I，若M N，则( )
A．M∪N＝N B．M∩N＝N
C． IM IN D．( IN)∩M＝
9．已知集合A＝{1，2，3}，B＝{m，4，5}，且A∪B中的所有元素的和为12，则m＝________.
10．对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{x|x≥0}，B＝{x|y＝lg (9－x2)}，则B－A＝________，A*B＝________.
【综合应用题】
11．(2024·荆州中学第三次适应性考试)已知集合A＝{x|2x－x2≤0}，B＝ RA，其中R是实数集，集合C＝(－∞，1]，则B∩C＝( )
A．(－∞，0] B．(0，1]
C．(－∞，0) D．(0，1)
12．为丰富学生的课外活动，学校开展了丰富的选修课，参与“数学建模选修课”的有169人，参与“语文素养选修课”的有158人，参与“国际视野选修课”的有145人，三项选修课都参与的有30人，三项选修课都没有参与的有20人，全校共有400人，则只参与两项活动的同学有( )
A．30人 B．31人
C．32人 D．33人
13．(多选)在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]＝{4n＋k|n∈Z}，k＝0，1，2，3，则下列结论正确的为( )
A．2 025∈[3]
B．－2∈[2]
C．Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]
D．“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”
【创新拓展题】
14．(多选)群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明．群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“·”是G上的一个代数运算，即对所有的a，b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：① a，b，c∈G，有(a·b)·c＝a·(b·c)；② e∈G，使得 a∈G，有e·a＝a·e＝a；③ a∈G， b∈G，使a·b＝b·a＝e，则称G关于“·”构成一个群．下列说法正确的有( )
A．G＝{－1，0，1}关于数的乘法构成群
B．G＝x＝m，m∈Z，m≠0}关于数的乘法构成群
C．实数集关于数的加法构成群
D．G＝{m＋m，n∈Z}关于数的加法构成群
15．设集合M＝{1，2，3，…，12}，现对M的任一非空子集A，令xA为A中最大数与最小数之和，则所有这样的xA的算术平均值为________.
