集合和常用逻辑用语 知识归纳与题型突破
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思维导图
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知识速记
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考点一 集合的概念
一、集合的概念
1．元素与集合的概念及表示
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．
2．元素的特性
(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．
(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．
(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．
【注】：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法.
二、元素和集合的关系
1．元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．
(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A．
【注】符号“∈”和“ ”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换.
2．常用的数集及其记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
三、集合的表示法
1．列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
【注】：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．
(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
2．描述法
(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
3．图示法
图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法.
考点二 集合间的基本关系
一、集合的子集
1．子集的概念
定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集
记法
与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)
图示 或
结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即；
(2)对于集合A,B,C，若，且，则
2．真子集的概念
定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集
记法 记作(或)
图示
结论 (1)且，则；
(2)，且，则
【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.
(2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B.
(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A.
(4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集.
(5)若，且，则.
(6)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个.
二、集合相等、空集
1．集合相等的概念
如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A B且B A，则A＝B.
2．空集的概念
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .
(2)规定：空集是任何集合的子集.
【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.
3．Venn图的优点及其表示
(1)优点：形象直观.
(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合.
三、集合间的性质
1．集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA.
(2)对于集合A，B，C，
①若AB，且BC，则AC；
②若AB，B=C，则AC.
(3)若AB，A≠B，则AB.
考点三 集合的基本运算
交集、并集和补集
1．并集的概念及表示
自然语言 符号语言 图形语言
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B}
2．交集的概念及表示
自然语言 符号语言 图形语言
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B}
【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合．
(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．
(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．
3．全集
(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)符号表示：全集通常记作U.
4．补集
定义 文字
语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作 UA
符号
语言 UA={x|x∈U,且x A}
图形
语言
性质 (1)
(2)
【注】 UA的三层含义：
(1) UA表示一个集合；
(2)A是U的子集，即A U；
(3) UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．
5．集合关系的转化
A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集.
6．集合的运算性质
(1)A∩A=A，A∩ = ，A∩B=B∩A.
(2)A∪A=A，A∪ =A，A∪B=B∪A.
Venn图表达集合的关系和运算
1．Venn图表达集合的运算
如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示.
2．Venn图的应用
在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数.
考点四 充分条件与必要条件
命题
1．命题及相关概念
(1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题.
(2)命题的分类
①真命题：判断为真的语句；
②假命题：判断为假的语句.
(3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论.
【注】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题.
二、充分、必要与充要条件
1．充分条件与必要条件
命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题
推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p q 由条件p不能推出结论q，记作：
条件关系 p是q的充分条件
q是p的必要条件 p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
2．充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p q，又有q p，记作p q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p q，那么p与q互为充要条件．
【注】“ ”的传递性
若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p q，q s，则有p s，即p是s的充要条件．
3．充分、必要与充要条件的判定
(1)如果既有p q，又有q p，则p是q的充要条件，记为p q.
(2)如果p 且q ，则p是q的既不充分也不必要条件.
(3)如果p q且q ，则称p是q的充分不必要条件.
(4)如p 且q p，则称p是q的必要不充分条件.
(5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}，
若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
若A=B，则p是q的充要条件.
4．充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.
5．充分条件、必要条件的应用
充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
考点五 全称量词与存在量词
全称量词与存在量词
1．全称量词与全称量词命题
全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给
符号
全称量词命题 含有全称量词的命题
形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“ x∈M，p(x)”
2．存在量词与存在量词命题
存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示
存在量词命题 含有存在量词的命题
形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“ x∈M，p(x)”
3．全称量词命题与存在量词命题的真假判断
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.
(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题.
【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义.
常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义.
全称量词命题与存在量词命题的否定
1．全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)全称量词命题p： x∈M，p(x)的否定： x∈M， p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2)存在量词命题p： x∈M，p(x)的否定： x∈M， p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．
2．对全称量词命题否定的两个步骤：
①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词( )存在量词( )．
②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．
3．对存在量词命题否定的两个步骤：
①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词( )全称量词( )．
②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．
【注】含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”.
命题的否定与原命题的真假
1．命题的否定与原命题的真假
一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．
2．命题否定的真假判断
(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提；
(2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真.
【注】命题p与p的否定的真假性相反.
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题型精研
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命题点一 集合的概念
题型01 判断元素能否构成集合
【例1】下列说法正确的是（ ）
A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合；
B．2025年高考数学全国卷I中的选择题构成一个集合；
C．高科技产品构成一个集合；
D．本校学习好的学生构成一个集合.
【答案】B
【分析】根据集合的定义判断即可.
【详解】很喜欢，高科技，学习好没有明确的标准，故ACD中描述的对象不具有确定性，不能组成一个集合，
B中元素是确定的，可以构成一个集合，
故选：B.
题型02 判断是否为同一集合
【例2】下列四个命题中不正确的是（ ）
A．集合用列举法表示为
B．若，则
C．方程组的解组成的集合为
D．集合与是同一个集合
【答案】BCD
【分析】根据方程的根，即可求解A，根据集合中元素的性质即可求解BCD.
【详解】对于A, 由于，故方程的根为，因此,故A正确，
对于B, ,故，故B错误，
对于C, 方程组的解组成的集合为，故C错误，
对于D, ，而表示点集，故两个不是同一集合，故D错误，
故选：BCD
题型03 判断元素与集合的关系
【例3】下列关系：①，②，③，④中正确的个数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据数的分类及常见的数集即可逐个判断．
【详解】对于①：为有理数，则成立，①正确；
对于②：为实数，则不成立，②错误；
对于③：0不是正整数，则不成立，③错误；
对于④：是无理数，不是整数，则不成立，④错误；
故选：A．
题型04 根据元素与集合的关系求参数
【例4】已知集合，且，则（ ）
A． B．或 C． D．
【答案】D
【分析】由集合，且，可得或，解得，再根据集合中元素的互异性确定的值即可.
【详解】由集合，且，
可得或，
解得或，
当时，，不符合元素的互异性，舍去；
当时，，符合题意，
即.
故选：D
题型05 利用集合元素的互异性求参数
【例5】已知集合，若，则（ ）
A． B．-1 C．-1或 D．1
【答案】B
【分析】集合，，则或，结合集合中元素的互异性分情况讨论即可求解.
【详解】由题知集合，，
当时，得，此时，不满足集合中元素的互异性，舍去；
当时，得或（舍去），
即时，，故B正确.
故选：B.
题型06 自然语言表示集合
【例6】用自然语言描述下列集合：
(1)；
(2)；
(3).
【答案】(1)小于10的正奇数构成的集合；
(2)大于的实数构成的集合；
(3)大于2且小于20的所有质数构成的集合.
【分析】根据题设中的集合，集合中元素的性质进行描述，即可求解.
【详解】（1）解：因为集合表示：小于10的正奇数构成的集合；
（2）解：集合表示：大于的实数构成的集合；
（3）解：集合表示：大于2且小于20的所有质数构成的集合.
题型07 描述法表示集合
【例7】用描述法表示下列集合：
(1)被5除余3的正整数组成的集合；
(2)正偶数组成的集合；
(3)函数的图象上所有的点组成的集合.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用描述法来表示集合；
（2）利用描述法来表示集合；
（3）利用描述法来表示集合；
【详解】（1）被5除余3的正整数组成的集合是.
（2）正偶数组成的集合是.
（3）函数的图象上所有的点组成的集合是.
题型08 列举法表示集合
【例8】集合，用列举法表示集合 ．
【答案】
【分析】由求得，结合条件求得答案.
【详解】由，得，所以，又，且，
的取值为.
.
故答案为：.
题型09 根据集合中元素的个数求参数
【例9】如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为 .
【答案】4
【分析】集合只有1个元素，即方程只有1个解，分一元一次、一元二次方程进行讨论即可.
【详解】当时，只有1个解，符合题意；
当时，对于一元二次方程只有1解，则，解得.
综上实数的所有可能值的和为，
故答案为：4.
题型10 集合元素互异性的应用
【例10】已知，，，若，则（ ）
A．5 B．3 C．2 D．0
【答案】A
【分析】分类讨论，得到方程组，结合元素互异性，得到，求出答案.
【详解】由，
若，解得，此时中元素不满足互异性，舍去；
若，解得或，
当时，中元素不满足互异性，舍去；
当时，中元素满足互异性，所以.
故选：A
题型11 利用集合中元素的性质求集合元素个数
【例11】已知非空数集T满足：对任意的，都有，且集合T中的元素个数不超过4．下列说法正确的是（ ）
A．T可能为双元素集合 B．T中元素不可能都大于0
C．T中所有元素之积为 D．T中所有元素之和可能为
【答案】BCD
【分析】根据题意得，，得， 逐项判断即可.
【详解】由，，得，，
要使得T为双元素集合，则x，，中必有两个相等，另外一个和它们不相等．
因为，，，所以T不可能是双元素集合，所以A错误．
由上知，T中必有三个元素，所以，则，所以B正确，C正确．
当时，，，所以D正确．
故选：BCD
题型12 列举法求集合中元素的个数
【例12】已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．5
【答案】C
【分析】列举出集合中的元素，可得出结论.
【详解】由题意可得.
因此，集合中有个元素.
故选：.
题型13 常用数集或数集关系应用
【例13】下列关系中，正确的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】根据集合的概念、元素与集合的关系、子集的定义进行判断即可.
【详解】表示实数，是实数，所以，所以①正确；
表示有理数，有理数是能够表示为两个整数的比，所以，所以②正确；
0表示元素，表示集合，所以表示方式有误，所以③错误；
表示自然数，0是自然数，所以，所以④错误；
因为无法表示为两个整数的比，且其小数部分无限不循环，所以，所以⑤错误；
表示整数集，是整数，所以，所以⑥正确；
因为空集是任何集合的子集，所以，所以⑦正确；
综上，正确的有①②⑥⑦共4个.
故选：B.
题型14 集合的分类
【例14】有理数都能表示成（，且，与互质）的形式，进而有理数集且，与互质．任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数，反之，任一有限小数也可以化为的形式，从而是有理数．则下列正确的是 .
①是无理数；②是有理数；③；④无限循环小数是有理数
【答案】②③④
【分析】根据有理数的定义，将无限循环小数整理为分数性质，逐项检验，可得答案.
【详解】由于，设，得，
两式相减得，解得，于是得，故③正确；
因为，可以化为的形式，故是有理数，故①错误，②正确；
无限循环小数也可以化成，且，m与n互质）的形式，故无限循环小数是有理数，故④正确．
故答案为：②③④．
题型15 根据集合相等关系进行计算
【例15】若集合，且，则实数的值为 （ ）.
A．或 B． C． D．或
【答案】D
【分析】根据集合相等可得，运算求解即可.
【详解】因为，且，
则，解得或.
故选：D.
命题点二 集合间的基本关系
题型16 判断集合的子集（真子集）的个数
【例16】满足 的集合有 个.
【答案】127
【分析】根据集合中的元素个数，结合（真）子集个数与元素个数之间的关系求出结果.
【详解】记集合为集合，
易知集合中含有7个元素，所以其真子集个数为个，
设C为N的真子集，当时，满足 ，
所以符合题意的集合共有127个.
故答案为：127
题型17 求集合的子集（真子集）
【例17】设集合，已知．
(1)求集合；
(2)写出集合的所有子集：
(3)设集合，若，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)，，，.
(3)
【分析】（1）由，可求得，即可求解；
（2）由，即可求出相应的子集；
（3）由，结合（2）分别对进行讨论，从而求解.
【详解】（1）由，所以，得，
则，解得或，
所以.
（2）由，
所以集合的子集为：，，，.
（3）由，由集合的子集为：，，，.
当时，即，解得；
当时，则，解得；
当时，则，解得；
当时，则，无解；
综上：实数的取值范围为.
题型18 判断两个集合的包含关系
【例18】已知集合，，则集合、的关系是（ ）
A． B．
C． D．无法确定集合、的关系
【答案】C
【分析】将集合、中的元素的表示形式改写，利用集合的包含关系可得出结论.
【详解】因为，
，
对于集合，当为奇数时，设，则，
当为偶数时，设，则，
故 .
故选：C.
题型19 根据集合的包含关系求参数
【例19】已知集合，则 ．
【答案】或或.
【分析】利用集合的子集关系来求参数的值即可.
【详解】由，
当时，满足，故；
当时，，由得：
或，解得或，
综上可得：或或，
故答案为：或或.
题型20 判断两个集合是否相等
【例20】已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将集合内式子进行通分，列举法判断表示的数即可比较．
【详解】，
∵，∴表示所有奇数，也表示所有奇数，
∴，
故选：D．
题型21 根据两个集合相等求参数
【例21】若集合，则实数a的取值范围为 ．
【答案】
【分析】利用一元一次不等式的性质结合题意建立不等式，求解参数范围即可.
【详解】令，则，
化简得，即，
而集合，
可得，解得.
故答案为：
题型22 空集的概念以及判断
【例22】已知是一个集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据子集、空集、元素属于等概念的定义来逐一判断选项即可.
【详解】是一个以空集为元素的集合，集合中不一定包含元素，不一定成立，故A错误；
集合是只含有一个元素的集合，因为空集是所有非空集合的真子集，则 成立，故B正确；
空集是集合，0是元素，不能相等，故C错误；
因为空集中不含任何元素，，故D错误．
故选：.
题型23 空集的性质及应用
【例23】下列说法正确的是（ ）
A．
B．所有的素数都是奇数
C．集合与集合是相同的集合
D．
【答案】AD
【分析】对选项A，根据子集概念即可判断A正确，对选项B，根据素数概念即可判断B错误，对选项C，分别化简集合即可判断C错误，对选项D，根据空集和子集概念即可判断D正确.
【详解】对选项A，，所以，故A正确.
对选项B，2是素数，但2不是奇数，故 B错误.
对选项C，，，故C错误.
对选项D，，所以，故D正确.
故选：AD
命题点三 集合的基本运算
题型24 交集的概念及运算
【例24】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】应用集合的交运算求集合.
【详解】由.
故选：A
题型25 根据交集结果求集合或参数
【例25】已知集合 ，则（ ）
A．若，则实数的取值范围是
B．若，则实数的取值范围是
C．若，则实数的取值范围是
D．若，则实数的取值范围是
【答案】ABC
【分析】A解即可；B根据列不等式组；C根据，再分类讨论即可；D假设可得，再根据以及即可求出.
【详解】若，则，得，故A正确；
若，则，则，得，故B正确；
若，则，
若为空集，则，得；
若不为空集，则，，，得，
综上，，故C正确；
若，则，，且，由C选项可知，，
假设，则，得，故，
综上，，故D错误；
故选：ABC
【变式25-1】已知集合，若，则实数 ．
【答案】或0或
【分析】利用列举法表示集合，再利用交集的结果，结合包含关系求解.
【详解】依题意，，由，得，而，
则当时，；当时，，解得；当时，，解得，
所以实数的值为或0或.
故答案为：或0或
题型26 并集的概念及运算
【例26】设全集为，已知集合.
(1)求；
(2)；
【答案】(1)
(2)或.
【分析】（1）直接利用并集运算求解即可；
（2）先利用补集运算求解，然后利用交集运算求解即可.
【详解】（1）因为集合，
所以
（2）因为集合，
所以或，
所以或.
题型27 根据并集结果求概念或参数
【例27】已知集合，，，则实数a的取值构成的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，分，，三种情况进行讨论，分别求得的值，即可求出实数a的取值构成的集合.
【详解】对于集合，
当时，，满足，符合题意；
当时，，因为集合，且，所以，或，解得：，或.
当时，，符合题意；
当时，，符合题意.
所以实数a的取值构成的集合为.
故选：D .
【变式27-1】设，，
(1)求；
(2)若，求的值；
(3)若且，求的值．
【答案】(1)
(2)5
(3)
【分析】（1）先求出集合的解集，然后根据交集的定义进行求解即可.
（2）根据条件和集合可求出的值.
（3）根据这一条件分三种情况：当是集合的两个元素时，当2是集合的元素而3不是集合的元素时，当3是集合的元素而2不是集合的元素时，分别求出的值，然后分别判断是否成立，最终确定.
【详解】（1）因为，
.
所以.
（2）因为，所以.
所以，解得.
（3）因为，所以2和3中有一个数是集合的元素或者都是集合的元素.
①当是集合的两个元素时，，
此时，，不合题意；
②当2是集合的元素而3不是集合的元素时，，
解得或，此时，
因为时，这与当2是集合的元素而3不是集合的元素这一条件矛盾，所以，
此时，，，不合题意；
③当3是集合的元素而2不是集合的元素时，，
解得或，此时，
因为时，这与当3是集合的元素而2不是集合的元素这一条件矛盾，所以，
此时，，合题意；
所以.
题型28 补集的概念及运算
【例28】设全集，，，则 ．
【答案】
【分析】根据集合的交集和补集运算求解.
【详解】由题可得，又，
.
故答案为：.
题型29 根据补集运算确定集合或参数
【例29】已知全集，，求实数的值.
【答案】
【分析】根据补集的性质将问题转化为且或且两种情况讨论求解即可.
【详解】因为补集有性质：，且.
所以，
所以，有两种情况：
情况一：且
由，可得或，即或.
由，移项得，解得或.
所以，当同时满足这两个方程，
此时，，，成立；
所以，
情况二：且
由，解得，代入得，不成立，故无解；
综上，实数的值为
【变式29-1】已知，，且，则的值等于 .
【答案】/
【分析】由交集结果得到，从而得到方程，求出，得到，，代入计算得到，求出答案.
【详解】，故，
所以，解得，
故，
又，故，，
所以，解得，
.
故答案为；
题型30 交并补混合运算
【例30】已知集合．
(1)当时，求，；
(2)若，求实数的取值范围．
【答案】(1)或；
(2)或
【分析】（1）求出集合A和，然后根据集合的交集、并集和补集运算即可求解；
（2）由，分和讨论即可求解.
【详解】（1）由题意有，，又，
所以，或，
所以或.
（2）当时，
当时，，即，
当时，或，解得，
综上，时，或，
题型31 根据交并补混合运算确定集合或参数
【例31】已知集合，且，则实数的值为 .
【答案】或或
【分析】计算出集合后，分及进行讨论即可得.
【详解】，解得或，则，
当时，，则，符合要求；
当时，由，则有或，即或；
综上所述：的值为或或.
故答案为：或或.
【变式31-1】已知集合，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，使得，则实数的取值范围为
D．若，则实数的取值范围为
【答案】AC
【分析】当时，求得，可判定A正确；当时，求得，可判定B错误；根据二次函数的图象与性质，结合和，可判定C正确，D错误.
【详解】由题意知，集合，可得.
对于A，若，则，所以，所以A正确；
对于B，若，则，即，
此时，所以B错误；
对于C，由，可得，
若，，使得，即
当时，，即，此时不满足，舍去；
当时，，即，
此时满足，符合题意；
当时，，即，
此时不满足，不符合题意，舍去，
综上可得，实数的取值范围为，所以C正确；
对于D，由，可得，
当时，可得，此时满足，符合题意；
当时，可得，此时不满足，不符合题意，舍去；
当时，可得，要使得，则，
解得，所以，
综上可得，实数的取值范围为，所以D错误.
故选：AC.
题型32 容斥定理的应用
【例32】某校高一（9）班共有49名同学，在学校举办的书法竞赛中有24名同学参加，在数学竞赛中有25名参加，已知这两项都参赛的有12名同学，在这两项比赛中，该班没有参加过比赛的同学的人数为（ ）
A．10 B．1 C．12 D．13
【答案】C
【分析】先求出参加比赛的同学人数，再用总人数减去参加比赛的人数，得到没有参加过比赛的同学人数.
【详解】根据容斥原理，参加比赛的同学人数等于参加书法竞赛的人数加上参加数学竞赛的人数减去两项都参加的人数，
即名.
所以该班没有参加过比赛的同学人数为.
故选：C.
【变式32-1】湘钢一中举行运动会时，高一某班共有28名学生参加比赛，有15人参加田赛，有8人参加径赛，有14人参加球赛，同时参加田赛和径赛的有3人，同时参加田赛和球赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加径赛与球赛的人数为（ ）
A．3 B．9 C．19 D．14
【答案】A
【分析】利用韦恩图来求解即可.
【详解】设只参加径赛的人数为，同时参加径赛和球赛的人数为，只参加球赛的人数为，则由韦恩图得：
，解得，所以同时参加径赛与球赛的人数为3人，
故选：A．
题型33 根据并集结果求集合元素个数
【例33】二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国的要求．某校体育课开设“足球”、“篮球”两门选修课程，假设某班每位学生最少选修一门课程，其中有33位学生选修了“足球”课程，有26位学生选修了“篮球”课程，有10位学生同时选修了这两门课程，则该班学生的人数为（ ）
A．29 B．39 C．49 D．59
【答案】C
【分析】设集合“选修足球课程的学生”，“选修篮球课程的学生”，结合交集、并集的运算法则，即可求解.
【详解】设集合“选修足球课程的学生”，“选修篮球课程的学生”，
因为有33位学生选修了“足球”课程，有26位学生选修了“篮球”课程，有10位学生同时选修了这两门课程，
则，
可得,
即该班学生的人数为人.
故选：C.
【变式33-1】学校统计某班45名学生参加合唱、编程、漫画3个社团的情况，每名学生最多只能参加2个社团.统计结果显示：有16名学生参加了合唱社团，有17名学生参加了编程社团，有18名学生参加了漫画社团，其中有10名学生同时参加了两个社团，则三个社团都不参加的学生人数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】C
【分析】设集合“参加了合唱社团的学生”，“参加了编程社团的学生”，“参加了漫画社团的学生”，结合容斥原理，列式计算，即可求解.
【详解】设集合“参加了合唱社团的学生”，“参加了编程社团的学生”，“参加了漫画社团的学生”，
根据题意，可得，，
参加社团的总人数为，
因为有10名学生同时参加了两个社团，且没有学生同时参加三个社团，
可得，
所以，
所以三个社团都不参加的学生人数为人.
故选：C
题型34 集合新定义
【例34】对于集合，定义集合且．
(1)若，求集合和；
(2)给定集合、，求所有满足方程组的集合（用、表示）；
(3)用表示集合中的元素个数．给定正整数，集合．对于实数集的非空有限子集，定义集合．求证：．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）直接根据定义求解即可；
（2）根据题设定义及韦恩图，结合集合方程组用表示出即可；
（3）分中至少含有一个不在S中的元素和，且，两种情况讨论即可.
【详解】（1）由，则，；
（2）由，则或，
再结合，则，
所以
（3）表示集合中的元素个数，则，
若中至少含有一个不在S中的元素，
则，即.
若，且，则，
此时A中最小的元素，B中最小的元素，
所以C中最小的元素，则，
因为，所以，即.
综上所述，.
【变式34-1】在本题中，我们把且叫做集合A与B的差集，记作．设，，则 ．
【答案】
【分析】根据差集定义求解即可.
【详解】因为，，
所以，，
所以.
故答案为：
题型35 利用Venn图求集合
【例35】《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有63人、观看了《浪浪山小妖怪》的有89人，观看了《长安的荔枝》的有47人，三部电影都观看了的有24人，观看了其中两部电影的有46人，这三部电影都未观看的有15人．则接受调查的市民共有 人
【答案】
【分析】根据题意用Venn图表示题设中的集合关系，根据三个集合的容斥关系公式计算出结果.
【详解】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系，
不妨将观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的市民分别用集合表示，
则，
不妨设总人数为，观看了《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》的人数为，
观看了《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》的人数为，
观看了《南京照相馆》、《长安的荔枝》的人数为，
则，
由三个集合的容斥关系公式得，
，
解得，故接受调查的市民共有人．
故答案为：.
【变式35-1】若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由图示分析阴影部分与集合A,B的关系，再根据集合的运算可得结果.
【详解】由图可知，阴影部分包含于集合，与集合的交集为空集，
所以阴影部分表示的集合是集合与集合的交集.
因为全集，集合，所以或.
因为集合，所以.
故选：D.
命题点四 充分条件与必要条件
题型36 充分条件
【例36】下列条件是“”的充分条件的是（ ）
A．， B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】由充分条件的概念结合重要不等式可判断ABC，由特例可判断D.
【详解】由，，可得，则，是的充分条件.
由，可得，则由，可得，则是的充分条件.
由，可得，则由，可得，则是的充分条件.
取，满足，不满足，所以不是的充分条件.
故选：ABC
【变式36-1】已知是的充分条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则（ ）
A．是的充分条件 B．是的充要条件
C．是的充分条件 D．是的必要条件
【答案】ABD
【分析】根据充分条件、必要条件、充要条件的定义求解即可.
【详解】由已知得.
选项A，，则是的充分条件，所以A正确；
选项B，，则，所以是的充要条件，所以B正确；
选项C，根据已知条件，无法得出是的充分条件，所以C错误；
选项D，，则是的必要条件，所以D正确.
故选：ABD.
题型37 必要条件
【例37】下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的有（ ）
A．若，则
B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似
C．若，则
D．若，则，
【答案】BCD
【分析】根据必要条件定义依次判断即可.
【详解】对于A，由，不能推出，所以不是必要条件，故A不符合题意；
对于B，由两个三角形相似，能推出这两个三角形的三边对应成比例，
所以是的必要条件，故B符合题意；
对于C，由，则，能推出，
所以是必要条件，故C符合题意；
对于D，由，，能推出，
所以是的必要条件，故D符合题意.
故选：BCD
【变式37-1】已知集合，集合．
(1)若是的必要条件，求实数的取值范围；
(2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由．
【答案】(1)实数的取值范围为；
(2)实数的取值范围为.
【分析】（1）由题设条件先得，接着分和两种情况列关于m的不等关系即可求解；
（2）先假设存在得到是的子集，进而列出不等式组求解即可得解.
【详解】（1）若是的必要条件，则，
当即时，，满足；
当时，则可得.
综上，若是的必要条件，则实数的取值范围为.
（2）假设存在实数，使是的充分条件，则，
则由题意得.
所以存在实数，使是的充分条件，实数的取值范围为.
题型38 判断命题的充分不必要条件
【例38】“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件、必要条件的概念得解.
【详解】由不等式性质，且可得，
但当时，推不出且，例如；
故且是的充分不必要条件.
故选：A
题型39 根据充分不必要条件求参数
【例39】已知集合，.
(1)若，求；
(2)“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据集合交集的定义进行求解即可；
（2）根据充分不必要的定义列不等式求解即可.
【详解】（1）当时，因为，，
所以；
（2）因为是的充分不必要条件，
所以集合是集合的真子集，
所以或，所以，
故实数的取值范围为.
题型40 判断命题的必要不充分条件
【例40】已知为实数，那么“”是“方程没有实数解”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】求出方程无实根的的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】由方程没有实数解，得，则，
由可得，反之不成立，
所以“”是“方程没有实数解”的必要而不充分条件.
故选：B
题型41 根据必要不充分条件求参数
【例41】给出下列命题：
①已知集合或，则集合A的真子集个数是4；
②“”是“”的必要不充分条件；
③“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件；
④设，则“”是“”的必要不充分条件.
其中所有正确命题的序号是 .
【答案】③④
【分析】①根据集合描述列举出元素，进而判断真子集个数；②③④由充分、必要性的定义判断条件间的推出关系，即可判断正误.
【详解】①，，故真子集个数为个，故①错误；
②由，可得或，
故“”是“”的充分不必要条件，故②错误；
③由开口向上且对称轴为，
只需即可保证原方程有一个正根和一个负根，
故“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，故③正确；
④当，时，不成立；当时，且，
故“”是“”的必要不充分条件，故④正确.
故答案为：③④.
题型42 根据充要条件求参数
【例42】设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】A
【分析】先求出命题中不等式的解集，再根据p是q成立的充要条件，即p和q所表示的集合相等求出的值．
【详解】，解得，
，
又，，
，
故选：A．
题型43 既不充分也不必要条件
【例43】若是正数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】根据充分条件必要条件的概念判断即可.
【详解】由可知，当时，；当时，；当时，.所以无法推出；
由可知，，当时，；当时，.所以无法推出.
所以“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D
题型44 充要条件的证明
【例44】下列命题中，是真命题的有（ ）
A．集合的所有真子集为，
B．若（其中a，），则
C．
D．若a，b，，则是的充要条件
【答案】BCD
【分析】对A，根据真子集定义求解判断；对B，根据集合相等的定义求解判断；对C，根据子集的定义即可判断；对D，根据充要条件的定义判断.
【详解】对于A，集合的真子集为，，，故A错误‘
对于B，由，得，所以，故B正确；
对于C，因为，所以，故C正确；
对于D，因为等价于，
等价于，
所以是的充要条件，故D正确.
故选：BCD.
题型45 探求命题为真的充要条件
【例45】设、是实数.下列选项中是充要条件的是（ ）
A． B．;
C．; D．.
【答案】D
【分析】取特殊值可判断ABC，利用不等式性质可判断D.
【详解】当时，成立，推不出，故A错误；
当时，成立，推不出，故B错误；
当时，成立，推不出，故C错误；
当时，，由不等式性质可得，
若，两边同乘以可得，即充要条件的是，故D正确.
故选：D
命题点五 全称量词与存在量词
题型46 判断命题是否为全称命题
【例46】下列命题既是全称量词命题又是真命题有（ ）
A．所有的质数都是奇数
B．正方形的四条边相等
C．，有
D．至少有一个实数，使
【答案】BC
【分析】根据各项命题的描述确定命题的类型，结合数的定义、正方形性质、奇数次根式、幂的运算等判断真假，即可得.
【详解】A，2是质数，但不是奇数，为假命题，不符；
B，所有正方形的四条边相等，既是全称命题也是真命题；
C，根据奇数次根式、幂的运算知有，既是全称命题也是真命题；
D，至少有一个实数，使，是特称命题，不符.
故选：BC
题型47 用全称量词改写命题
【例47】选择适当的量词填空，使它们成为真命题．（1） ，；（2） ，则这个四边形的对角线互相垂直．
【答案】 四边形
【分析】根据全称命题的定义可得答案.
【详解】由题可知（1）可填，（2）可填四边形.
故答案为：；四边形
题型48 判断全称命题的真假
【例48】已知命题；命题，则以下为真命题的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
【答案】B
【分析】根据不等式的解法，可判定命题为假命题，再由方程的解，可判定命题为真命题，结合选项，即可求解.
【详解】由不等式，可得或，解得或，
所以命题为假命题，则为真命题，
又由，解得或或，所以命题为真命题，则为假命题，
故选：B.
题型49 根据全称命题的真假求参数
【例49】（1）已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
（2）命题p：且，命题q：，，若p与q同时为真命题，求m的取值范围．
【答案】（1）[0，2]；（2）
【分析】（1）由“”是“”的充分不必要条件，得A真包含于B，构造不等式即可求解；
（2）通过p与q同时为真命题，求范围.
【详解】（1）由“”是“”的充分不必要条件，得A真包含于B，
而，显然，
于是，解得，
所以a的取值范围为[0，2]；
（2）当命题p为真命题时，
当命题q为真命题时，，即，
所以p与q同时为真命题时有，解得，
所以m的取值范围是
题型50 判断命题是否为特称（存在性）命题
【例50】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假．
(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数；
(2)无限不循环小数是实数；
(3)有些三角形是中心对称图形．
【答案】(1)全称量词命题，真命题
(2)全称量词命题，真命题
(3)存在量词命题，假命题
【分析】（1）根据全称量词命题的定义，结合可以被5整除的整数的特点判断即可；
（2）根据全称量词命题的定义，结合数的分类判断即可；
（3）根据存在量词命题的定义，结合中心对称图形的特点判断即可.
【详解】（1）该命题是全称量词命题.
因为末位是0的整数可以被10整除，10是5的倍数，所以原命题是真命题.
（2）该命题是全称量词命题.
因为无限不循环小数是无理数，无理数属于实数，所以原命题是真命题.
（3）该命题是存在量词命题.
因为所有的三角形都不是中心对称图形，所以原命题是假命题.
题型51 用存在量词改写命题
【例51】用量词符号“”“”表示下列命题：
(1)有理数都能写成分数形式；
(2)方程有实数解；
(3)有一个实数乘以任意一个实数都等于0．
【答案】(1)一个有理数都能写成分数形式
(2)，使方程成立
(3)，它乘以任意一个实数都等于0
【分析】（1）根据全称量词命题书写形式进行书写；
（2）（3）根据存在量词命题书写形式进行书写.
【详解】（1）这是全称量词命题，一个有理数都能写成分数形式．
（2）这是存在量词命题，，使方程成立．
（3）这是存在量词命题，，它乘以任意一个实数都等于0．
题型52 判断特称（存在性）命题的真假
【例52】设集合，若，使得（两两不等），则称为集，下列结论错误的是（ ）
A．若集合是集，集合是非空数集，则是集
B．若是集，则
C．若集合是集，集合，则为集
D．且，使得是集
【答案】AB
【分析】选项，结合题设定义举例判断即可；B选项，根据题设定义可得，或，或，进而求解判断即可；C选项，由是集可得存在（两两不等），使得，根据中的元素个数不小于2，可得且，使得，进而得到，即可判断；D选项，先假设是集，再推出矛盾即可判断.
【详解】选项，若取，则，显然不符合集的定义，A错误；
B选项，由集的定义及已知得，，或，或，
解得或（舍去），B错误；
C选项，由是集，所以存在（两两不等），使得，
因为中的元素个数不小于2，所以且，使得，
且两两不等，由，得，所以为集，C正确；
D选项，设，
取，
满足（两两不等），存在,
是集，，D正确.
故选：AB.
题型53 根据特称（存在性）命题的真假求参数
【例53】若“”是假命题，则实数的取值范围是 .（用集合表示）
【答案】
【分析】由题意转化为命题“，”是真命题，即恒成立，故可求解实数的取值范围.
【详解】若“，”是假命题，则“，”是真命题，
所以，对恒成立，所以，得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
题型54 全称命题的否定及其真假判断
【例54】命题“对于任意的成立”的否定形式为 ．
【答案】存在成立
【分析】根据给定条件，利用全称量词命题的否定求解.
【详解】命题“对于任意的成立”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，
所以所求的否定是：存在成立.
故答案为：存在成立
题型55 特称命题的否定及其真假判断
【例55】命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】根据存在量词命题的否定方法，判断结果即可.
【详解】由题意得“，”，改变量词否定结论即“，”.
故选：A.
题型56 含有一个量词的命题的否定的应用
【例56】若命题p:“”.使命题p为假命题的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】为真命题，由根的判别式得到不等式，求出，得到答案.
【详解】为真命题，
故需满足，解得，
故使命题p为假命题的实数的取值范围为.
故选：C
(
分层训练，巩固提升
)
单选题
1．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据存在量词命题的否定即可得到答案．
【详解】命题“”的否定是“”．
故选：C．
2．命题，的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【分析】根据全称量词命题的否定判断求解.
【详解】命题，的否定是，.
故选：A.
3．已知命题p：，，命题q：，，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
【答案】B
【分析】举出例子，说明p是假命题，q是真命题，从而得到结论.
【详解】当时，显然不成立，所以p是假命题，是真命题；
当时，显然成立，所以q是真命题，是假命题.
故选：B
4．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据交集的定义求解.
【详解】集合，即.
集合，所以.
故选：
5．学校统计某班55名学生参加科学、艺术和体育三个兴趣小组的情况，其中有25名学生参加了科学小组，有24名学生参加了艺术小组，有23名学生参加了体育小组，有28名学生只参加了1个兴趣小组，有16名学生只参加了2个兴趣小组，则3个兴趣小组都没有参加的学生人数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【分析】画出韦恩图，根据题意列出方程，求出三个小组都参加的人数即可得解.
【详解】设三个小组都参加的人数为，只参加科学、艺术的人数为，只参加艺术、体育的人数
为，只参加体育、科学的人数为，作出韦恩图，如图，
依题意，，
则，由于有16名学生只参加了2个兴趣小组，得，
于是，即三个兴趣小组都参加的有4人，因此参加兴趣小组的一共有人，
所以不参加所有兴趣小组的有人.
故选：C
6．若四边形是平行四边形，则“是等边三角形”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断即可；
【详解】解：若是等边三角形，则四边形是菱形，所以；
若，则四边形是菱形，只能推出是等腰三角形，无法得到其为等边三角形，
故“是等边三角形”是“”的充分不必要条件．
故选：A
7．设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（ ）
A．1 B．3 C．7 D．8
【答案】C
【分析】分和两种情况讨论求出，从而可求出实数取值集合，进而可求出其真子集的个数.
【详解】由题意有：当时，，满足题意，
当时，，所以，
由，所以或，
解得或，
所以数取值集合为，
所以实数取值集合的真子集的个数为，
故选：C.
8．已知集合，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先证明对任意，则，再证明，但，由此可得结论.
【详解】对任意，存在，使得，
由于，令，则，所以，故，
又（当时），但（由解得），所以是的真子集，
故选：C
9．有限集合S中元素的个数记作card(S)，设A，B都为有限集合给出下列命题：
①的充要条件是；
②的必要条件是；
③的充分条件是；
④的充要条件是.其中真命题的序号是（ ）
A．③④
B．①②
C．①④
D．②③
【答案】B
【分析】对于①，由得到集合与集合两个集合中没有公共元素，则，说明必要性成立；由，则的元素个数等于的元素个数与的元素个数，说明集合与两个集合中没有公共元素，得到，则充分性成立.对于②，由可知集合A中的元素都是集合B中的元素，说明可以得到，则必要性成立.③特值法，取，，则满足，但不满足，说明充分性不成立；
④由可以推出，则必要性成立；特例法，取，，满足，但不满足，则充分性不成立.
【详解】对于①，，则集合与集合两个集合中没有公共元素，，必要性成立；
，
则的元素个数等于的元素个数与的元素个数，
集合与两个集合中没有公共元素，，充分性成立.
①正确；
对于②，，集合A中的元素都是集合B中的元素，
可以推出，必要性成立. ②正确；
③如果，，满足，但是不满足，充分性不成立，③错误；
④，，必要性成立；如果，，满足，但是不满足，充分性不成立，④错误；
故选：B.
10．若集合满足 ，则称为集合的一个分拆，并规定：当且仅当时，与为同一种分拆，则集合的不同分拆种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】按照分类列举出所有的分拆，即得答案.
【详解】若，则 ；
若 则 或 ；
若，则或 ；
若，则或 ；
若，则 或 或 或 ；
若，则 或 或 或 ；
若，则 或 或 或 ；
若则 或 或 或 或 ，或或 或 ；
所以集合的不同分拆种数为27.
故选：D
二、填空题
11．已知集合，，若，则实数m的取值范围是 .
【答案】
【分析】根据集合的包含关系，分和两种情况进行讨论即可求解．
【详解】，，
因，则当时，，满足；
当，即时，由，可得，则，符合题意；
综上，实数m的取值范围是.
故答案为：
12．已知集合，则 ．
【答案】
【分析】利用集合的并集定义计算即得.
【详解】因，则.
故答案为：.
13．已知集合，其中．若存在正数，使得对任意，都有，则的取值集合为 ．
【答案】
【分析】先得到，，根据得到不等式组，求出，求出，得到答案.
【详解】，显然，故，
因为，，则，
又为正数，则，其中，
结合题设可得为的子集，
因为，则且，
由得，
由得，
所以，解得，
故答案为：.
14．设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有 种．
【答案】49
【分析】先由题意得到则，接着分集合中最小的元素为1或2或3或4时进行分析即可求解.
【详解】集合，集合和集合是的两个非空子集，
且中最小的数大于中最大的数，则，
当集合中最小的元素为1时，，
此时不同的选择方法数等于集合中子集的个数为个；
当集合中最小的元素为2时，则集合中最大的元素为1，
此时集合的可能个数等于集合中子集的个数为个，集合的可能个数等于集合中非空子集的个数为个，
所以此时不同的选择方法数为个；
当集合中最小的元素为3时，则集合中最大的元素为2，
此时集合的可能个数等于集合中子集的个数为个，集合的可能个数等于集合中非空子集的个数为个，
所以此时不同的选择方法数为个；
当集合中最小的元素为4时，则集合中最大的元素为3，
此时集合的可能个数为个，集合的可能个数等于集合中非空子集的个数为个，
所以此时不同的选择方法数为个；
综上所述，不同的选择方法共有个.
故答案为：49.
三、解答题
15．已知，集合，．
(1)若，求的值；
(2)若，，求，的值．
【答案】(1)或
(2)或
【分析】（1）由可得，求解即可；
（2）由，，可得即可求解．
【详解】（1），
，解得或；
（2）若，则
解得或．
16．已知，命题恒成立；命题存在，使得．
(1)若p为真命题，求m的取值范围；
(2)若p，q有且只有一个真命题，求实数m的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据题意得，即，接着解不等式即可；
（2）先求出q为真命题时，m的取值范围，再分p真q假和p假q真讨论求解即可．
【详解】（1）∵
∴，
解得，
故实数m的取值范围是，
∴m的最大值为3；
（2）当q为真命题时，则，解得，
∵p，q有且只有一个真命题，
当p真q假时，，解得；
当p假q真时，，解得；
∴或．
17．设集合，.
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）若，可得集合，再根据补集与交集运算得所求；
（2）根据充分不必要条件确定集合间的关系，从而得的取值范围.．
【详解】（1）因为不等式的解集为，
所以集合，
所以，
当时，，
所以，
所以.
（2）因为“”是“”的充分不必要条件，
所以且.
又因为集合，
所以或，
解得.
所以的取值范围是.
18．已知集合，，．
(1)求；
(2)求，．
【答案】(1)
(2)，或.
【分析】（1）解不等式得集合A和B，再由交集的定义求；
（2）根据集合的补集交集和并集的运算，直接求解即可；
【详解】（1），
，
所以．
（2）因为，,
所以，
又，所以．
由（1）知，
所以或.
19．已知关于的方程无实数根，.
(1)若为真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得关于的方程有实数根，进而求解即可；
（2）先求出，，结合题设可得 或}，进而根据包含关系求解即可.
【详解】（1）为真命题，为假命题，
即关于的方程有实数根，
则，解得，
故实数的取值范围是.
（2）由（1）可知，若为真命题，则，
，或，
是的充分不必要条件， 或}，
，，则实数的取值范围.
20．定义：设非空数集，若，则称是一个“乘法封闭集”；若，则称为的一个“完美元素”.已知集合.
(1)证明：是一个“乘法封闭集”；
(2)若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合；
(3)若是集合的一个“完美元素”，求的值.
【答案】(1)证明见解析.
(2)，或.
(3).
【分析】（1）根据“乘法封闭集”的定义证明即可；
（2）根据“乘法封闭集”的定义进行讨论即可；
（3）根据“完美元素”的定义，得到m和n的关系，进行讨论排除即可.
【详解】（1）证明：设，则，
所以，
因为，所以，所以，
所以是一个“乘法封闭集”.
（2）根据题意，中恰有2个元素，不妨设，
由“乘法封闭集”的定义可知，，
由，得或，即或，所以，或，
若令，则，所以，解得（舍去），此时；
若令，则，所以或，解得或（舍去），此时，或.
综上，，或.
（3）因为是集合的一个“完美元素”，
所以，
所以，且不同时为0，
，
因为，所以，或.
假设，则，即为7的倍数，
设，若，则，不是7的倍数；
若，则，不是7的倍数；
若，则，不是7的倍数；
若，则，不是7的倍数；
若，则，不是7的倍数；
若，则，不是7的倍数；
若，则，不是7的倍数，
假设不成立，所以，所以.集合和常用逻辑用语 知识归纳与题型突破
(
思维导图
)
(
知识速记
)
考点一 集合的概念
一、集合的概念
1．元素与集合的概念及表示
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．
(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示．
(3)集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个集合是相等的．
2．元素的特性
(1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”．
(2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”．
(3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”．
【注】：集合的判断从元素的三要素入手，考察确定性的问题一般出现在自然语言表示的集合，要注意题目中不明确的词语，例如：“很大”、“著名”等；考察互异性的问题一般是针对数字类的题目，注意同一个数字不同的表示方法.
二、元素和集合的关系
1．元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A．
(2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A．
【注】符号“∈”和“ ”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换.
2．常用的数集及其记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
三、集合的表示法
1．列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法叫做列举法．
【注】：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开．
(2)集合中的元素必须是明确的．
(3)集合中的元素不能重复．
(4)集合中的元素可以是任何事物．
2．描述法
(1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
3．图示法
图示法，又称韦恩图法、韦氏图法，是一种利用二维平面上的点集表示集合的方法.一般用平面上的矩形或圆形表示一个集合，是集合的一种直观的图形表示法.
考点二 集合间的基本关系
一、集合的子集
1．子集的概念
定义 一般地，对于两个集合A,B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集
记法
与读法 记作(或)，读作“A包含于B”(或“B包含A”)
图示 或
结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即；
(2)对于集合A,B,C，若，且，则
2．真子集的概念
定义 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的真子集
记法 记作(或)
图示
结论 (1)且，则；
(2)，且，则
【注】(1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即有任意x∈A能推出x∈B.
(2)不能把“”理解为“A是B中部分元素组成的集合”，因为集合A可能是空集，也可能是集合B.
(3)特殊情形：如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于B，或集合B不包含集合A.
(4)对于集合A，B，C，若，，则；任何集合都不是它本身的真子集.
(5)若，且，则.
(6)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n-1个，非空子集有2n-1个，非空真子集有2n-2个.
二、集合相等、空集
1．集合相等的概念
如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A B且B A，则A＝B.
2．空集的概念
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为 .
(2)规定：空集是任何集合的子集.
【注】注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.
3．Venn图的优点及其表示
(1)优点：形象直观.
(2)表示：通常用封闭曲线的内部表示集合.
三、集合间的性质
1．集合间关系的性质
(1)任何一个集合都是它本身的子集，即AA.
(2)对于集合A，B，C，
①若AB，且BC，则AC；
②若AB，B=C，则AC.
(3)若AB，A≠B，则AB.
考点三 集合的基本运算
交集、并集和补集
1．并集的概念及表示
自然语言 符号语言 图形语言
由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) A∪B={x|x∈ A,或x∈ B}
2．交集的概念及表示
自然语言 符号语言 图形语言
由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) A∩B={x|x∈ A,且x∈ B}
【注】(1)两个集合的并集、交集还是一个集合．
(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．
(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．
3．全集
(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．
(2)符号表示：全集通常记作U.
4．补集
定义 文字
语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作 UA
符号
语言 UA={x|x∈U,且x A}
图形
语言
性质 (1)
(2)
【注】 UA的三层含义：
(1) UA表示一个集合；
(2)A是U的子集，即A U；
(3) UA是U中不属于A的所有元素组成的集合．
5．集合关系的转化
A∩B=A等价于A是B的子集；A∪B=A等价于B是A的子集.
6．集合的运算性质
(1)A∩A=A，A∩ = ，A∩B=B∩A.
(2)A∪A=A，A∪ =A，A∪B=B∪A.
Venn图表达集合的关系和运算
1．Venn图表达集合的运算
如图所示的阴影部分是常用到的含有两个集合运算结果的Venn图表示.
2．Venn图的应用
在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数.
考点四 充分条件与必要条件
命题
1．命题及相关概念
(1)定义：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题.
(2)命题的分类
①真命题：判断为真的语句；
②假命题：判断为假的语句.
(3)命题的形式：“若p，则q”.其中p称为命题的条件，q称为命题的结论.
【注】数学中的定义、公理、公式、定理都是命题，但命题不一定都是定理，因为命题有真假之分，而定理是真命题.
二、充分、必要与充要条件
1．充分条件与必要条件
命题真假 “若p,则q”是真命题 “若p,则q”是假命题
推出关系及符号表示 由p通过推理可得出q，记作：p q 由条件p不能推出结论q，记作：
条件关系 p是q的充分条件
q是p的必要条件 p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．
数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件．
2．充要条件
如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p q，又有q p，记作p q.此时p既是q的充分条件，也是q的必要条件．我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件．
如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p q，那么p与q互为充要条件．
【注】“ ”的传递性
若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p q，q s，则有p s，即p是s的充要条件．
3．充分、必要与充要条件的判定
(1)如果既有p q，又有q p，则p是q的充要条件，记为p q.
(2)如果p 且q ，则p是q的既不充分也不必要条件.
(3)如果p q且q ，则称p是q的充分不必要条件.
(4)如p 且q p，则称p是q的必要不充分条件.
(5)设与命题p对应的集合为A={x|p(x)}，与命题q对应的集合为B={x|q(x)}，
若AB，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；
若A=B，则p是q的充要条件.
4．充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.
5．充分条件、必要条件的应用
充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上，解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
考点五 全称量词与存在量词
全称量词与存在量词
1．全称量词与全称量词命题
全称量词 所有的、任意一个、 一切、每一个、任给
符号
全称量词命题 含有全称量词的命题
形式 “对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为“ x∈M，p(x)”
2．存在量词与存在量词命题
存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、有些、有的
符号表示
存在量词命题 含有存在量词的命题
形式 “存在M中的一个x，使p(x)成立”可用符号简记为“ x∈M，p(x)”
3．全称量词命题与存在量词命题的真假判断
(1)要判定一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合M中的每一个元素x证明其成立；要判断全称量词命题为假命题，只要能举出集合M中的一个x0，使得其不成立即可，这就是通常所说的举一个反例.
(2)要判断一个存在量词命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使之成立即可，否则这个存在量词命题就是假命题.
【注】常用的全称量词有：“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示整体或全部的含义.
常用的存在量词有：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”,表示个别或一部分的含义.
全称量词命题与存在量词命题的否定
1．全称量词命题与存在量词命题的否定
(1)全称量词命题p： x∈M，p(x)的否定： x∈M， p(x)；全称量词命题的否定是存在量词命题．
(2)存在量词命题p： x∈M，p(x)的否定： x∈M， p(x)；存在量词命题的否定是全称量词命题．
2．对全称量词命题否定的两个步骤：
①改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词．即：全称量词( )存在量词( )．
②否定结论：原命题中的“是”“成立”等改为“不是”“不成立”等．
3．对存在量词命题否定的两个步骤：
①改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词．即：存在量词( )全称量词( )．
②否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在”等．
【注】含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”.
命题的否定与原命题的真假
1．命题的否定与原命题的真假
一个命题的否定，仍是一个命题，它和原命题只能是一真一假．
2．命题否定的真假判断
(1)弄清命题是全称量词命题还是存在量词命题，是正确写出命题的否定的前提；
(2)当命题的否定的真假不易判断时，可以转化为判断原命题的真假，当原命题为真时，命题的否定为假，当原命题为假时，命题的否定为真.
【注】命题p与p的否定的真假性相反.
(
题型精研
)
命题点一 集合的概念
题型01 判断元素能否构成集合
【例1】下列说法正确的是（ ）
A．我校很喜欢足球的同学能组成一个集合；
B．2025年高考数学全国卷I中的选择题构成一个集合；
C．高科技产品构成一个集合；
D．本校学习好的学生构成一个集合.
题型02 判断是否为同一集合
【例2】下列四个命题中不正确的是（ ）
A．集合用列举法表示为
B．若，则
C．方程组的解组成的集合为
D．集合与是同一个集合
题型03 判断元素与集合的关系
【例3】下列关系：①，②，③，④中正确的个数是（ ）.
A．1 B．2 C．3 D．4
题型04 根据元素与集合的关系求参数
【例4】已知集合，且，则（ ）
A． B．或 C． D．
题型05 利用集合元素的互异性求参数
【例5】已知集合，若，则（ ）
A． B．-1 C．-1或 D．1
题型06 自然语言表示集合
【例6】用自然语言描述下列集合：
(1)；
(2)；
(3).
题型07 描述法表示集合
【例7】用描述法表示下列集合：
(1)被5除余3的正整数组成的集合；
(2)正偶数组成的集合；
(3)函数的图象上所有的点组成的集合.
题型08 列举法表示集合
【例8】集合，用列举法表示集合 ．
题型09 根据集合中元素的个数求参数
【例9】如果集合中只有一个元素，则实数的所有可能值的和为 .
题型10 集合元素互异性的应用
【例10】已知，，，若，则（ ）
A．5 B．3 C．2 D．0
题型11 利用集合中元素的性质求集合元素个数
【例11】已知非空数集T满足：对任意的，都有，且集合T中的元素个数不超过4．下列说法正确的是（ ）
A．T可能为双元素集合 B．T中元素不可能都大于0
C．T中所有元素之积为 D．T中所有元素之和可能为
题型12 列举法求集合中元素的个数
【例12】已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．9 B．8 C．6 D．5
题型13 常用数集或数集关系应用
【例13】下列关系中，正确的个数为（ ）
①；②；③；④；⑤；⑥；⑦.
A．3 B．4 C．5 D．6
题型14 集合的分类
【例14】有理数都能表示成（，且，与互质）的形式，进而有理数集且，与互质．任何有理数都可以化为有限小数或无限循环小数，反之，任一有限小数也可以化为的形式，从而是有理数．则下列正确的是 .
①是无理数；②是有理数；③；④无限循环小数是有理数
题型15 根据集合相等关系进行计算
【例15】若集合，且，则实数的值为 （ ）.
A．或 B． C． D．或
命题点二 集合间的基本关系
题型16 判断集合的子集（真子集）的个数
【例16】满足 的集合有 个.
题型17 求集合的子集（真子集）
【例17】设集合，已知．
(1)求集合；
(2)写出集合的所有子集：
(3)设集合，若，求实数的取值范围．
题型18 判断两个集合的包含关系
【例18】已知集合，，则集合、的关系是（ ）
A． B．
C． D．无法确定集合、的关系
题型19 根据集合的包含关系求参数
【例19】已知集合，则 ．
题型20 判断两个集合是否相等
【例20】已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
题型21 根据两个集合相等求参数
【例21】若集合，则实数a的取值范围为 ．
题型22 空集的概念以及判断
【例22】已知是一个集合，则（ ）
A． B． C． D．
题型23 空集的性质及应用
【例23】下列说法正确的是（ ）
A．
B．所有的素数都是奇数
C．集合与集合是相同的集合
D．
命题点三 集合的基本运算
题型24 交集的概念及运算
【例24】已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
题型25 根据交集结果求集合或参数
【例25】已知集合 ，则（ ）
A．若，则实数的取值范围是
B．若，则实数的取值范围是
C．若，则实数的取值范围是
D．若，则实数的取值范围是
【变式25-1】已知集合，若，则实数 ．
题型26 并集的概念及运算
【例26】设全集为，已知集合.
(1)求；
(2)；
题型27 根据并集结果求概念或参数
【例27】已知集合，，，则实数a的取值构成的集合为（ ）
A． B．
C． D．
【变式27-1】设，，
(1)求；
(2)若，求的值；
(3)若且，求的值．
题型28 补集的概念及运算
【例28】设全集，，，则 ．
题型29 根据补集运算确定集合或参数
【例29】已知全集，，求实数的值.
【变式29-1】已知，，且，则的值等于 .
题型30 交并补混合运算
【例30】已知集合．
(1)当时，求，；
(2)若，求实数的取值范围．
题型31 根据交并补混合运算确定集合或参数
【例31】已知集合，且，则实数的值为 .
【变式31-1】已知集合，则（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，使得，则实数的取值范围为
D．若，则实数的取值范围为
题型32 容斥定理的应用
【例32】某校高一（9）班共有49名同学，在学校举办的书法竞赛中有24名同学参加，在数学竞赛中有25名参加，已知这两项都参赛的有12名同学，在这两项比赛中，该班没有参加过比赛的同学的人数为（ ）
A．10 B．1 C．12 D．13
【变式32-1】湘钢一中举行运动会时，高一某班共有28名学生参加比赛，有15人参加田赛，有8人参加径赛，有14人参加球赛，同时参加田赛和径赛的有3人，同时参加田赛和球赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加径赛与球赛的人数为（ ）
A．3 B．9 C．19 D．14
题型33 根据并集结果求集合元素个数
【例33】二十大报告中提出加强青少年体育工作，促进群众体育和竞技体育全面发展，加快建设体育强国的要求．某校体育课开设“足球”、“篮球”两门选修课程，假设某班每位学生最少选修一门课程，其中有33位学生选修了“足球”课程，有26位学生选修了“篮球”课程，有10位学生同时选修了这两门课程，则该班学生的人数为（ ）
A．29 B．39 C．49 D．59
【变式33-1】学校统计某班45名学生参加合唱、编程、漫画3个社团的情况，每名学生最多只能参加2个社团.统计结果显示：有16名学生参加了合唱社团，有17名学生参加了编程社团，有18名学生参加了漫画社团，其中有10名学生同时参加了两个社团，则三个社团都不参加的学生人数是（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
题型34 集合新定义
【例34】对于集合，定义集合且．
(1)若，求集合和；
(2)给定集合、，求所有满足方程组的集合（用、表示）；
(3)用表示集合中的元素个数．给定正整数，集合．对于实数集的非空有限子集，定义集合．求证：．
【变式34-1】在本题中，我们把且叫做集合A与B的差集，记作．设，，则 ．
题型35 利用Venn图求集合
【例35】《南京照相馆》、《浪浪山小妖怪》、《长安的荔枝》位列2025年我国暑期档票房前三名．某社区调查了该社区的部分市民的观影情况，调查结果显示：观看了《南京照相馆》的有63人、观看了《浪浪山小妖怪》的有89人，观看了《长安的荔枝》的有47人，三部电影都观看了的有24人，观看了其中两部电影的有46人，这三部电影都未观看的有15人．则接受调查的市民共有 人
【变式35-1】若全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B． C． D．
命题点四 充分条件与必要条件
题型36 充分条件
【例36】下列条件是“”的充分条件的是（ ）
A．， B．
C． D．
【变式36-1】已知是的充分条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，则（ ）
A．是的充分条件 B．是的充要条件
C．是的充分条件 D．是的必要条件
题型37 必要条件
【例37】下列“若，则”形式的命题中，是的必要条件的有（ ）
A．若，则
B．若两个三角形的三边对应成比例，则这两个三角形相似
C．若，则
D．若，则，
【变式37-1】已知集合，集合．
(1)若是的必要条件，求实数的取值范围；
(2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由．
题型38 判断命题的充分不必要条件
【例38】“且”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型39 根据充分不必要条件求参数
【例39】已知集合，.
(1)若，求；
(2)“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
题型40 判断命题的必要不充分条件
【例40】已知为实数，那么“”是“方程没有实数解”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
题型41 根据必要不充分条件求参数
【例41】给出下列命题：
①已知集合或，则集合A的真子集个数是4；
②“”是“”的必要不充分条件；
③“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件；
④设，则“”是“”的必要不充分条件.
其中所有正确命题的序号是 .
题型42 根据充要条件求参数
【例42】设，，且p是q成立的充要条件，则a的值是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
题型43 既不充分也不必要条件
【例43】若是正数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
题型44 充要条件的证明
【例44】下列命题中，是真命题的有（ ）
A．集合的所有真子集为，
B．若（其中a，），则
C．
D．若a，b，，则是的充要条件
题型45 探求命题为真的充要条件
【例45】设、是实数.下列选项中是充要条件的是（ ）
A． B．;
C．; D．.
命题点五 全称量词与存在量词
题型46 判断命题是否为全称命题
【例46】下列命题既是全称量词命题又是真命题有（ ）
A．所有的质数都是奇数
B．正方形的四条边相等
C．，有
D．至少有一个实数，使
题型47 用全称量词改写命题
【例47】选择适当的量词填空，使它们成为真命题．（1） ，；（2） ，则这个四边形的对角线互相垂直．
题型48 判断全称命题的真假
【例48】已知命题；命题，则以下为真命题的是（ ）
A．和 B．和 C．和 D．和
题型49 根据全称命题的真假求参数
【例49】（1）已知集合，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
（2）命题p：且，命题q：，，若p与q同时为真命题，求m的取值范围．
题型50 判断命题是否为特称（存在性）命题
【例50】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假．
(1)每一个末位是0的整数都是5的倍数；
(2)无限不循环小数是实数；
(3)有些三角形是中心对称图形．
题型51 用存在量词改写命题
【例51】用量词符号“”“”表示下列命题：
(1)有理数都能写成分数形式；
(2)方程有实数解；
(3)有一个实数乘以任意一个实数都等于0．
题型52 判断特称（存在性）命题的真假
【例52】设集合，若，使得（两两不等），则称为集，下列结论错误的是（ ）
A．若集合是集，集合是非空数集，则是集
B．若是集，则
C．若集合是集，集合，则为集
D．且，使得是集
题型53 根据特称（存在性）命题的真假求参数
【例53】若“”是假命题，则实数的取值范围是 .（用集合表示）
题型54 全称命题的否定及其真假判断
【例54】命题“对于任意的成立”的否定形式为 ．
题型55 特称命题的否定及其真假判断
【例55】命题“，”的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
题型56 含有一个量词的命题的否定的应用
【例56】若命题p:“”.使命题p为假命题的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
(
分层训练，巩固提升
)
单选题
1．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
2．命题，的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知命题p：，，命题q：，，，则（ ）
A．p和q都是真命题 B．和都是真命题
C．p和都是真命题 D．和都是真命题
4．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
5．学校统计某班55名学生参加科学、艺术和体育三个兴趣小组的情况，其中有25名学生参加了科学小组，有24名学生参加了艺术小组，有23名学生参加了体育小组，有28名学生只参加了1个兴趣小组，有16名学生只参加了2个兴趣小组，则3个兴趣小组都没有参加的学生人数为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．若四边形是平行四边形，则“是等边三角形”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．设集合，集合，若，则实数取值集合的真子集的个数为（ ）
A．1 B．3 C．7 D．8
8．已知集合，则（ ）．
A． B． C． D．
9．有限集合S中元素的个数记作card(S)，设A，B都为有限集合给出下列命题：
①的充要条件是；
②的必要条件是；
③的充分条件是；
④的充要条件是.其中真命题的序号是（ ）
A．③④
B．①②
C．①④
D．②③
10．若集合满足 ，则称为集合的一个分拆，并规定：当且仅当时，与为同一种分拆，则集合的不同分拆种数为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知集合，，若，则实数m的取值范围是 .
12．已知集合，则 ．
13．已知集合，其中．若存在正数，使得对任意，都有，则的取值集合为 ．
14．设集合，选择的两个非空子集和，要使中最小的数大于中最大的数，则不同的选择方法共有 种．
三、解答题
15．已知，集合，．
(1)若，求的值；
(2)若，，求，的值．
16．已知，命题恒成立；命题存在，使得．
(1)若p为真命题，求m的取值范围；
(2)若p，q有且只有一个真命题，求实数m的取值范围．
17．设集合，.
(1)若，求；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围.
18．已知集合，，．
(1)求；
(2)求，．
19．已知关于的方程无实数根，.
(1)若为真命题，求实数的取值范围；
(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
20．定义：设非空数集，若，则称是一个“乘法封闭集”；若，则称为的一个“完美元素”.已知集合.
(1)证明：是一个“乘法封闭集”；
(2)若“乘法封闭集”恰有4个子集，求集合；
(3)若是集合的一个“完美元素”，求的值.
