直线与圆的方程单元练习(2)
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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线的一个方向向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】，所以该直线的一个方向向量为，
因为，所以向量与向量是共线向量，
其他选项的向量与向量不是共线向量，
故选：B
2．已知点M(3，1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则k的取值范围为( )
A．－6
C．k>－6 D．k<
【答案】A
【详解】法一 ∵圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0，
∴圆C的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝1－2k，
∴圆心坐标为(1，－2)，半径r＝.
若点M(3，1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则满足>，且1－2k>0，
即13>1－2k且k<，即－6法二 将M(3，1)代入得32＋12－2×3＋4×1＋2k＋4>0，即k>－6，
又因为(－2)2＋42－4(2k＋4)>0，
得k<，所以－63．若直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：x＋ay－1＝0平行，则l1与l2间的距离为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】易知直线l1的斜率为，
则直线l2的斜率为－＝，即a＝－2，
故直线l2：x－2y－1＝0，
所以l1和l2间的距离为＝.
4．圆C：关于直线对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由圆C：，可知圆心坐标：，半径为，
因为点关于直线的对称点为，
所以圆C：关于直线对称的圆的方程是
，
故选：C
5．一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁分布在以小岛中心为圆心,半径为20 km的圆形区域内,已知小岛中心位于轮船正西10a km处,港口位于小岛中心正北40 km处,如果轮船沿直线返港,不会有触礁危险,则a的取值范围是 ( C )
A． B．(1,+∞) C． D．(2,+∞)
【答案】C
【解析】 由题意得航线所在直线的方程为40x+10ay-10a×40=0,
则小岛到航线的距离为d=>20,解得a>.
故选：C.
6．已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
【答案】B
【详解】直线过定点，圆，设到距离为，，时，.
故选：B．
7．已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为所以两个圆内切，因此与两圆均相切的直线为两个圆的公共弦所在的直线方程，所以整理得，故选：.
8．已知点M为圆与y轴负半轴的交点，直线与圆O交于A，B两点，则面积的最大值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】注意到直线过点C，将直线与圆方程联立，设，则面积为，然后由韦达定理可得面积关于k的表达式，据此可得答案.
【详解】注意到直线过点C，将直线方程与联立，
可得，其判别式为，
设，则.又，，
则
，当且仅当时取等号.故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法中正确的有( )
A．直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α
B．直线y＝3x－2在y轴上的截距是－2
C．直线x－y＋1＝0的倾斜角是60°
D．过点(5，4)且倾斜角为90°的直线方程为x－5＝0
【答案】BD
【详解】对于A，当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°，A错误；
对于B，直线方程为y＝3x－2，令x＝0，得y＝－2，所以直线y＝3x－2在y轴上的截距为－2，B正确；
对于C，直线x－y＋1＝0的斜率为，
设其倾斜角为α，则tan α＝，0°≤α<180°，
所以α＝30°，C错误；
对于D，直线过点(5，4)并且倾斜角为90°，则其斜率不存在，
所以直线方程为x＝5，即x－5＝0，D正确. .故选：BD.
10．已知圆，圆，则（ ）
A．当时，圆与圆相切
B．当时，圆与圆相交于两点，且直线的方程为
C．当时，圆与圆相交
D．当时，圆与圆相交于两点，且
【答案】AB
【详解】圆，则，圆的圆心，半径为；圆的圆心，半径为，则，，，
对于A，当时， ，，则，故两圆内切，故A正确；
对于B， 当时，，，则，故两圆相交，又圆，故直线的方程为，故B正确；对于D，由选项B可知，此时圆心到直线的距离为，则，故D错误；对于C，两圆相交，则，即，解得，故C错误.故选：AB.
11．已知圆C的方程为，点是圆C上任意一点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．圆C的半径为2
B．满足的点M有1个
C．的最大值为
D．若点P在x轴上，则满足的点P有两个
【答案】AC
【分析】将圆的方程化为标准方程确定圆心坐标与半径，可判断选项A；由圆上任意点到原点距离的最值可判断选项B；令，然后根据点在圆上，借助一元二次方程有解求解的最值，即可判断选项C；设出点的坐标，利用待定系数法可判断选项D．
【详解】选项A：圆的方程可化为，所以圆心，半径等于2，故A正确；
选项B：由于，所以圆上任意一点到原点的最大距离是，最小距离是，因此满足的点有两个，故B错误；选项C：令，则，所以，
将点的坐标代入圆的方程并整理，得，
依题意有，即，解得，因此的最大值为，故C正确．选项D：不妨设，由于，所以，整理得．因为点在圆上，所以，则，因为为点的横坐标，且点为圆上任意一点，所以，得，所以符合要求的点是唯一的，故D错误．故选：AC.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．经过点P(4，1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________.
【答案】x－4y＝0或x＋y－5＝0
【解析】当直线过原点时，直线方程为y＝x，即x－4y＝0.
当直线不过原点时，设直线方程为＋＝1(a≠0)，代入(4，1)，得＋＝1，∴a＝5，
故直线方程是x＋y－5＝0.
13．长度为6的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段的中点的轨迹方程为 ．
【答案】
【解析】当（或）中有一个在原点处时，则.
当均不在原点处时，三点构成以O为直角顶点的直角三角形.
由M为线段AB的中点，则
所以，则M的轨迹是以O为圆心，2为半径的圆，其方程为：
故答案为：
14．已知圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5,点B的坐标为(0,2),设P,Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,则|PB|+|PQ|的最小值为 .
【答案】
【解析】由于点B(0,2)关于直线l:x+y+2=0的对称点为B'(-4,-2),
则|PB|+|PQ|=|PB'|+|PQ|≥|B'Q|,又B'到圆C上点Q的最短距离为|B'C|-r=3-=2,
所以|PB|+|PQ|的最小值为2.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)试判断l1与l2是否平行；
(2)当l1⊥l2时，求a的值.
【答案】（1）当a＝－1时，l1∥l2；a≠－1时，l1与l2不平行
（2）a＝
【解析】 (1)法一 由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，
由A1C2－A2C1≠0，得a(a2－1)－1×6≠0，
所以l1∥l2 可得a＝－1，
故当a＝－1时，l1∥l2；a≠－1时，l1与l2不平行.
法二 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1不平行于l2；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2；
当a≠1且a≠0时，两直线方程可化为l1：
y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，
l1∥l2 解得a＝－1，
综上，当a＝－1时，l1∥l2；a≠－1时，l1与l2不平行.
(2)法一 由A1A2＋B1B2＝0，得a＋2(a－1)＝0，可得a＝.
法二 当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1与l2不垂直，故a＝1不成立；
当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2，故a＝0不成立；
当a≠1且a≠0时，l1：y＝－x－3，l2：y＝x－(a＋1)，
由·＝－1，得a＝.
16．（15分）
如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD的长分别为6和2，高为3.
(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程；
(2)若线段MN的端点N的坐标为(5，2)，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程.
【答案】（1）x2＋(y－1)2＝10
（2）＋＝.
【解析】(1)设圆心E(0，b)，则C(，3)，B(3，0).
由|EB|＝|EC|，得＝，解得b＝1，
所以外接圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
(2)设P(x，y)，由于P是MN中点，由中点坐标公式，得M(2x－5，2y－2)，
代入x2＋(y－1)2＝10，化简得＋＝，
即线段MN的中点P的轨迹方程为＋＝.
17．（15分）
已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.
【答案】（1）详见解析
（2）(－2，1)
（3）x－2y＋4＝0
【解析】(1)证明 直线l的方程可化为
k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令解得
∴无论k取何值，直线总经过定点(－2，1).
(2)由方程知，当k≠0时，直线在x轴上的截距为－，在y轴上的截距为1＋2k，
要使直线不经过第四象限，则必须有
解得k>0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，
故k的取值范围是[0，＋∞).
(3)解 由题意可知k≠0，再由l的方程，
得A，B(0，1＋2k).
依题意得解得k>0.
∵S＝·|OA|·|OB|
＝··|1＋2k|
＝·＝
≥×(2×2＋4)＝4，
等号成立的条件是k>0，且4k＝，
即k＝，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
18．（17分）
在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1).当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？请说明理由；
(2)证明：过A，B，C三点的圆截y轴所得弦长为定值.
【答案】（1）不能
（2）定值3.
【解析】(1)不能出现AC⊥BC的情况，理由如下：
设A(x1，0)，B(x2，0)，且x1，x2满足x2＋mx－2＝0，所以x1x2＝－2.
因为直线AC的斜率与直线BC的斜率之积为·＝－≠－1，
所以不能出现AC⊥BC的情况.
(2)证明 线段BC的中点坐标为，
可得线段BC的中垂线方程为y－＝x2.
由(1)可得x1＋x2＝－m，所以直线AB的中垂线方程为x＝－.
联立
得x＋mx2＋2y－1＝0，
又由x＋mx2－2＝0，可得y＝－.
所以过A，B，C三点的圆的圆心坐标为，半径r＝.
故圆截y轴所得弦长为2＝3，
即过A，B，C三点的圆截y轴所得弦长为定值3.
19．（17分）
已知圆C过点M(1,4),N(3,2),且圆心在直线4x-3y=0上.
(1)求圆C的方程.
(2)平面上有两点A(-2,0),B(2,0),点P是圆C上的动点,求|AP|2+|BP|2的最小值.
(3)若Q是x轴上的动点,QR,QS分别切圆C于R,S两点,试问:直线RS是否恒过定点 若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.
【答案】（1）(x-3)2+(y-4)2=4
（2）26
（3）定点
【解析】(1)由题意知,圆心C在直线4x-3y=0上,设圆心为C,
又因为圆C过点M(1,4),N(3,2),
则=,即=,解得a=3,
所以圆心C为(3,4),半径r==2,
所以圆C的方程为(x-3)2+(y-4)2=4.
(2)设P(x,y),则+=+y2++y2=2+8=2|PO|2+8,
又由|PO==(5-2)2=9,
所以=18+8=26,
即|AP|2+|BP|2的最小值为26.
(3)设Q(t,0),以CQ为直径的圆的圆心为D,则D,半径为=,
则圆D的方程为+(y-2)2=,
整理得x2+y2-(3+t)x-4y+3t=0.
因为直线RS为圆C与圆D的相交弦所在直线,
两圆方程相减,可得直线RS的方程为(3-t)x+4y+3t-21=0,
即(3-x)t+3x+4y-21=0,
令解得即直线RS恒过定点.直线与圆的方程单元练习（2）
班级 学号 姓名
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．直线的一个方向向量是（ ）
A． B． C． D．
2．已知点M(3，1)在圆C：x2＋y2－2x＋4y＋2k＋4＝0外，则k的取值范围为( )
A．－6
C．k>－6 D．k<
3．若直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：x＋ay－1＝0平行，则l1与l2间的距离为( )
A． B． C． D．
4．圆C：关于直线对称的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
5．一个小岛的周围有环岛暗礁,暗礁分布在以小岛中心为圆心,半径为20 km的圆形区域内,已知小岛中心位于轮船正西10a km处,港口位于小岛中心正北40 km处,如果轮船沿直线返港,不会有触礁危险,则a的取值范围是 ( )
A． B．(1,+∞) C． D．(2,+∞)
6．已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．10
7．已知直线与圆和圆均相切，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知点M为圆与y轴负半轴的交点，直线与圆O交于A，B两点，则面积的最大值为（ ）
A．3 B． C．4 D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法中正确的有( )
A．直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α
B．直线y＝3x－2在y轴上的截距是－2
C．直线x－y＋1＝0的倾斜角是60°
D．过点(5，4)且倾斜角为90°的直线方程为x－5＝0
10．已知圆，圆，则（ ）
A．当时，圆与圆相切
B．当时，圆与圆相交于两点，且直线的方程为
C．当时，圆与圆相交
D．当时，圆与圆相交于两点，且
11．已知圆C的方程为，点是圆C上任意一点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．圆C的半径为2
B．满足的点M有1个
C．的最大值为
D．若点P在x轴上，则满足的点P有两个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．经过点P(4，1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________.
13．长度为6的线段的两个端点和分别在轴和轴上滑动，则线段的中点的轨迹方程为 ．
14．已知圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5,点B的坐标为(0,2),设P,Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,则|PB|+|PQ|的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0.
(1)试判断l1与l2是否平行；
(2)当l1⊥l2时，求a的值.
16．（15分）
如图，等腰梯形ABCD的底边AB和CD的长分别为6和2，高为3.
(1)求这个等腰梯形的外接圆E的方程；
(2)若线段MN的端点N的坐标为(5，2)，端点M在圆E上运动，求线段MN的中点P的轨迹方程.
17．（15分）
已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程.
18．（17分）
在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x2＋mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1).当m变化时，解答下列问题：
(1)能否出现AC⊥BC的情况？请说明理由；
(2)证明：过A，B，C三点的圆截y轴所得弦长为定值.
19．（17分）
已知圆C过点M(1,4),N(3,2),且圆心在直线4x-3y=0上.
(1)求圆C的方程.
(2)平面上有两点A(-2,0),B(2,0),点P是圆C上的动点,求|AP|2+|BP|2的最小值.
(3)若Q是x轴上的动点,QR,QS分别切圆C于R,S两点,试问:直线RS是否恒过定点 若是,求出定点坐标;若不是,请说明理由.
