《解直角三角形的应用》习题
1、已知斜坡AB的铅直高度为6m.
(1)若水平宽度为8m，则坡面的坡比为_______；
(2)若坡比为3：4，则坡面长为_______.
2、为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况.在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB，在地面上事先划定以B为圆心，半径与AB等长的圆形危险区，现在某工人站在离B点3米远的D处，从C点测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B点的俯角为30°.
问：距离B点8米远的保护物是否在危险区内？
3、如图，某公路路基横断面为等腰梯形.按工程设计要求路面宽度为10米，坡角为，路基高度为5.8米，求路基下底宽(精确到0.1米).
4、已知跷跷板长4 m，当跷跷板的一端碰到地面时，另一端离地面1.5 m.求此时跷跷板与地面的夹角(精确到0.1°).
5、“五一”节，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为20m，旋转1周需要12min.小明乘坐最底部的车厢(离地面约0.5m)开始1周的观光.
1、2min后小明离地面的高度是多少(精确到0.1m)？
2、摩天轮启动多长时间后，小明离地面的高度将首次打到10m？
《解直角三角形的应用》习题
一、如图所示，一棵大树在一次强烈的台风中于地面10米处折断倒下，树顶落在离数根24米处.问大树在折断之前高多少米？
二、如图，某一水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽CD＝5米，斜坡AD＝16米，坝高6米，斜坡BC的坡度.求斜坡AD的坡角∠A(精确到1分)和坝底宽AB.(精确到0.1米)
三、在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下的方案(如图1所示)：
(1)在测点A处安置测倾器，测得旗杆顶部M的仰角∠MCE＝α；
(2)量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN＝m；
(3)量出测倾器的高度AC＝h.
1、根据上述测量数据，求出旗杆的高度MN.
2、如果测量工具不变，请参照上述过程，重新设计一个方案测量某小山高度(如图2)
1)在图2中，画出你测量小山高度MN的示意图(标上适当的字母)
2)写出你的设计方案.
《解直角三角形的应用》教案
教学目标
知识与能力：
1、能够把数学问题转化成数学问题.
2、能够错助于计算器进行有三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明，发展数学的应用意识和解决问题的能力.
过程与方法：
经历探索实际问题的过程，进一步体会三角函数在解决实际问题过程中的应用.
教学重点
能够把数学问题转化成数学问题，能够借助于计算器进行有三角函数的计算.
教学难点
能够把数学问题转化成解直角三角形问题，会正确选用适合的直角三角形的边角关系.
教学过程
一、问题引入，了解仰角、俯角的概念.
提出问题：某飞机在空中A处的高度AC＝1500米，此时从飞机看地面目标B的俯角为18°，求A、B间的距离.
提问：
1、俯角是什么样的角？，如果这时从地面B点看飞机呢，称∠ABC是什么角呢？这两个角有什么关系？
2、这个△ABC是什么三角形？图中的边角在实际问题中的意义是什么，求的是什么，在这个几何图形中已知什么，又是求哪条线段的长，选用什么方法？
教师通过问题的分析与讨论与学生共同学习也仰角与俯角的概念，也为运用新知识解决实际问题提供了一定的模式.
二、测量物体的高度或宽度问题.
1、提出老问题，寻找新方法.
我们学习中介绍过测量物高的一些方法，现在我们又学习了锐角三角函数，能不能利用新的知识来解决这些问题呢.
利用三角函数的前提条件是什么？那么如果要测旗杆的高度，你能设计一个方案来利用三角函数的知识来解决吗？
学生分组讨论体会用多种方法解决问题，解决问题需要适当的数学模型.
2、运用新方法，解决新问题.
(1)从1.5米高的测量仪上测得古塔顶端的仰角是30°，测量仪距古塔60米，则古塔高( )米.
(2)从山顶望地面正西方向有C、D两个地点，俯角分别是45°、30°，已知C、D相距100米，那么山高( )米.
(3)要测量河流某段的宽度，测量员在洒一岸选了一点A，在另一岸选了两个点B和C，且B、C相距200米，测得∠ACB＝45°，∠ABC＝60°，求河宽(精确到0.1米).
在这一部分的练习中，引导学生正确来图，构造直角三角形解决实际问题，渗透建模的数学思想.
三、与方位角有关的决策型问题
1、提出问题
一艘渔船正以30海里/时的速度由西向东追赶鱼群，在A处看见小岛C在北偏东60°的方向上；40min后，渔船行驶到B处，此时小岛C在船北偏东30°的方向上.已知以小岛C为中心，10海里为半径的范围内是多暗礁的危险区.这艘渔船如果继续向东追赶鱼群，有有进入危险区的可能？
2、师生共同分析问题按以下步骤时行：
(1)根据题意画出示意图，
(2)分析图中的线段与角的实际意义与要解决的问题，
(3)不存在直角三角形时需要做辅助线构造直角三角形，如何构造？
(4)选用适当的边角关系解决数学问题，
(5)按要求确定正确答案，说明结果的实际意义.
3、学生练习
某景区有两景点A、B，为方便游客，风景管理处决定在相距2千米的A、B两景点之间修一条笔直的公路(即线段AB).经测量在A点北偏东60°的方向上在B点北偏西45°的方向上，有一半径为0.7千米
的小水潭，问水潭会不会影响公路的修建？为什么？
学生可以分组讨论来解决这一问题，提出不同的方法.
课堂小结
1、由学生谈利用三角函数知识来解决实际问题的步骤，再次体会建立数学模型解决问题的过程.
2、总结具体几种类型的图形构造直角三角形的方法：
课件12张PPT。解 直 角 三 角 形 的 应 用 一、利用解直角三角形的知识来解决实际应用问题，是中考的一大类型题，主要涉及测量、航空、航海、工程等领域，解答好此类问题要先理解以下几个概念：
1 仰角、俯角；
2 方向角；
3 坡角、坡度；
4 水平距离、垂直距离等.
再依据题意画出示意图，根据条件求解.
二、解实际问题常用的两种思维方法：
（1）切割法：把图形分成一个或几个直角三角形与 其他特殊图形的组合；
（2）粘补法：此方法大都通过延长线段来实现.
例 要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行计算：作Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，那么BC= ，
∴tan30°= .
在此图基础上，通过添加适当
的辅助线，可求出tan15°的值.
请简要写出你添加的辅助线和求出的tan15°的值. 解：延长CB至D，使BD=AB，连结AD，则∠D=15°，
tan15°= .DEx2例如图，某建筑物BC直立于水平地面，AC=9米．要建造阶梯AB，使每阶高不超过20厘米，则此阶梯最少要建 阶（最后一阶的高不足20厘米时，按一阶计算； 取1.732）． 解：在Rt△ACB中，∠C=90°，
∴BC=AC·tan30°=9×
=3 =5.196
∴此阶梯的阶数= 26（阶）.
故填上26. 9米AOFBC例 某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要（ ）
A、450a元 B、225a元 C、150a元 D、300a元 解：如图所示，作出此三角形的高h.
则S△= ×AC×BD×sin（180°－150°）
= ×30×20× =150（平方米）
∴购买这种草皮至少需要150a元.故选（C）.ABCD1.如图所示，某飞机在空中A处时的高度AC=1500m，此时，从飞机上看地面B的俯角为18°.求A，B两点的距离.（结果精确到1m）解：由题意可知∠ABC=18 °在直角三角形ABC中，所以A，B两点的距离约为4854 m.练习2.如图，在山坡上种植树时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为5m.现测得斜坡的坡角为21°.求相邻两树间的坡面距离.（结果精确到0.1m）解：由题意可知∠BAC=18 °在直角三角形ABC中，所以A，B两点的距离约为5.4 m.小结：1、将实际问题经提炼数学知识，建立数学模
型转化为数学问题.2、设法寻找或构造可解的直角三角形，尤其
是对于一些非直角三角形图形，必须添加
适当的辅助线，才能转化为直角三角形的
问题来解决.作业：
如图，有一位同学用一个有30°角的直角三角板估测他们学校的旗杆AB的高度，他将30°角的直角边水平放在1.3米高的支架CD上，三角板的斜边与旗杆的顶点在同一直线上，他又量得D、B的距离为15米.
（1）试求旗杆AB的高度（精确到0.1米）；
（2）请你设计出一种更简便的估测方法. 如图，客轮沿折线A—B—C，从A出发经B再到C匀速直线航行，将一批物品送达客轮.两船同时起航，并同时到达折线A—B—C上的某点E处，已知AB=BC=200海里，∠ABC=90°，客轮速度是货轮速度的2倍.
⑴ 选择：两船相遇之处E点（ ）
（A）在线段AB上 （B）在线段BC上
⑵ 求货轮从出发到两船相遇共航行了多少海里？(结果保留根号)祝同学们学习进步！
再见！课件3张PPT。如图，某水库大坝的横断面积是四边形ABCD，DC//AB，坝顶宽CD=3m，斜坡AD=16m，坝高8m，斜坡BC的坡度为 ，求斜坡AD的坡角α和坝底宽AD和斜坡AB的长.(精确到0.1m)解：
过D和C向AB作垂线，分别交AD于点E、点F
在直角三角形ADE中，∴ α=30 °在直角三角形BCF中
∵斜坡BC的坡度为
∴BF=24m
在直角三角形ADE中，
AE=ADcosα= m
AB=AE+EF+BF=27+ m. 课件1张PPT。如图，Rt△ABC中，∠C=90°，（1）若∠A=30°，BC=3，则AC=（2）若∠B=60°，AC=3，则BC=（3）若∠A=α°，AC=3，则BC=（4）若∠A=α°，BC=m，则AC=课件2张PPT。如图，在梯形ABCD中，AD=6m，CD=8m，BC=30m，∠ADC=135°.求∠ABC的大小.解：过点D作DE⊥BC于点E，过点A作AF⊥BC于点F.则课件2张PPT。1.如图，一艘游船在离开码头A后，以和河岸成30°角的方向行驶了500m到达B处，求B处与河岸的距离BC.2.如图，某厂家新开发的一种电动车的大灯A射出的光线AB，AC与地面MN所形成的夹角∠ABN，∠ACN分别为8°和15°，大灯A与地面的距离为1m，求该车大灯照亮地面的宽度BC（不考虑其他因素，结果精确到0.1m）.D过A点作直线MN的垂线，垂足为D课件2张PPT。1.一种坡屋顶的设计图如图所示.已知屋顶的宽度l为10m，坡屋顶的高度h为3.5m，求斜面AB的长度和坡角α（长度精确到0.1m，角度精确到1°）.2.某次军事演习中，有三艘船在同一时刻向指挥所报告：A船说B船在它的正东方向，C船在它的北偏东55°方向；B船说C船在它的北偏西35°方向；C船说它到A船的距离比它到B船的距离远40km.求A，B两船的距离（结果精确到0.1km）.解：设A,B两船距离为x km
由题意易得∠C=90°
解得x≈162.9km，所以A,B两船距离为162.9km.
