3.3.1抛物线及其标准方程 教学设计（表格式）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

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教学设计
课程基本信息
课题 §3.3.1抛物线及其标准方程 课型 新授课
学科 数学 年级 高一
学段 高中 版本章节 人教A版（2019） 选择性必修第一册第三章
教学目标 (一)教学内容与目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念； 2.掌握抛物线的标准方程及其推导； 3.明确抛物线标准方程中p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题. (二)学科核心素养 1.通过比较，会选择合适的坐标系建立抛物线的方程，进一步熟悉坐标法的应用，达到逻辑推理核心素养学业质量水平一的层次； 2.通过探究，掌握抛物线的定义及其标准方程，并会求其标准方程，达到数学抽象与数学运算核心素状学业质量水平二的层次； 3.结合抛物线及其方程，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想，达到直观想象核心素养学业质量水平二的层次.
教学重难点 (1)重点：抛物线的定义及焦点、准线的概念，抛物线的标准方程, 并能解决简单的求抛物线标准方程的问题. (2)难点：运用定义推导抛物线的标准方程, 抛物线几何特征的发现，明确p的几何意义.
学情分析 抛物线是圆锥曲线中的一种，也是日常生活中常见一种曲线，学生很早就认识了抛物线，知道抛物体的轨迹是抛物线，一些拱桥的桥拱形状是抛物线，一元二次函数的图象就是抛物线等等，可以说学生对抛物线的几何图形已经有了直观认识．这节课的授课对象是我校高二学生，他们的数学基础知识较扎实，具有一定的空间想象能力、抽象概括能力和推理运算技能，有较好的学习习惯和方法.本节课之前，学生已经学习了椭圆和双曲线，对圆锥曲线的研究过程和研究方法有了一定的了解和认识，这对于圆锥曲线的后续学习有借鉴、迁移作用． 学生已经初步尝试过坐标法在解析几何中的应用，对于简单的问题可以用坐标法求解，但对于坐标系的选取、式子的变形与化简等方面经验不足，需要进一步的指导和强化练习．同时缺乏主动归纳、类比知识的能力，缺乏分析、抽象和概括等逻辑思维能力；理论型思维能力需进一步培养．另外，态度上学生对解析几何中数形结合的思想存在一定的畏难情绪，不愿在画图、运算等方面进行尝试，需要一定的成功经验激励学生.
教学准备 课件制作、导学案编写、几何画板安装调试、希沃白板安装.
教学过程
教学任务 教学内容 设计意图 创新设计
创设情景引出课题 （一）观看某篮球赛事，动画演示球体运动，引出抛物线 （二）生活中存在着各种形式的抛物线 通过展示生活中与抛物线有关的实例，一方面是为了引出课题，另一方面可激发学生的学习兴趣和积极性. “跨学科联结” 任务：结合物理课 “抛体运动” 知识，让学生分析篮球运动轨迹中 “上升段与下降段的对称性”，并思考 “为何轨迹是抛物线而非圆弧”，激发探究数学本质的兴趣。
问题探究构建概念 探究一、抛物线的定义 问题1：在初中，我们学习了二次函数，知道二次函数的图象是一条抛物线，例如：（1），（2）的图象： 思考：到底什么是抛物线呢？有没有一个类似于椭圆或双曲线的定义呢？动点满足什么条件时，动点运动的轨迹是抛物线？ 问题2：通过前面的学习可以发现，如果动点M到定点F的距离与M到定直线l(不过点F)的距离之比为k,当01时，点M的轨迹为双曲线.一个自然的问题是：当k=1时，点M的轨迹会是什么形状？下面我们就来研究这个问题. 当0类比建系求解方程 探究二、探求抛物线的标准方程 问题3：求曲线方程的基本步骤是怎样的？ 建系→设点→列式→化简→检验 问题4：比较椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何建立适当的直角坐标系可以使所求抛物线的标准方程形式简单？ 活动4：学生自主建系，探求抛物线方程 【课堂预设】 学生1 学生2 学生3 其中第3个方程，最简单，就是抛物线的标准方程，下面是推导过程： 第一步 建立直角坐标系 设F在直线l上的垂足为K，以FK的中点为坐标原点，以KF为x轴，建立直角坐标系． 第二步 设点 设|KF|=p(p>0)，那么焦点F的坐标为 准线l上的方程为 设M(x, y)点M到l的距离为d 第三步 列式 由定义可得 第四步 代坐标 即 第五步 化简 化简得（其中p表示焦点到准线的距离）． 问题5:在建立椭圆、双曲线的标准方程时，选择不同的坐标系我们得到了不同形式的标准方程.那么，抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请你完成下面的表格. 问题6:根据上表中抛物线的标准方程的不同形式与图形，焦点坐标、准线方程对应关系，如何判断抛物线的焦点位置和开口方向 理解新知：（1）左边是二次式，系数为化为1； （2）右边是一次式，决定了焦点的位置； （3）系数正负决定开口方向，正值朝正向，负值朝负向. 通过复习前面学过的有关知识，唤起学生的记忆，为探求抛物线标准方程的方法作好铺垫.同时激发他们探求实际问题的兴趣，使他们主动、积极地参与到教学中来. 放手让学生去尝试，将自己想到的建立的坐标系下推导出的抛物线方程与教材中的建系方法下得出的抛物线方程进行比较，充分分析坐标系选择的合理性，通过自主尝试、小组交流等形式，锻炼学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的直观想象、数学运算与逻辑推理核心素养. 设计 “建系方案辩论赛”：将学生提出的不同建系方案分为不同阵营，各阵营阐述建系理由、推导过程及方程简洁性，教师引导总结 “对称建系（原点在 FK 中点）” 的优势，培养逻辑表达与对比分析能力。
知识应用形成技能 (一)趣味竞赛，引爆思维 (1)若点P到点F(1,0)的距离和到直线x=-2的距离相等，则点P的轨迹是抛物线.( √ ) (2)若点P到点F(1,0)的距离和到直线x+y-1=0的距离相等，则点P的轨迹是抛物线. (Ⅹ ) (3)若点P到点F(1,0)的距离比到直线x=-2的距离小1，则点P的轨迹是抛物线. (√) (4)准线方程为x=1的抛物线的标准方程为y2=-4x. (√ ) (5)抛物线x2+20y=0的焦点坐标是(0,5). ( Ⅹ ) 【希沃白板5】课堂活动-判断对错 (二)抛物线标准方程、相关量的求解 例1：（1）已知抛物线的标准方程是，则它的焦点坐标和准线方程是______． （2）若直线经过抛物线的焦点,则实数__________. 【解析】(1)焦点坐标，准线方程； (2) 的焦点代入直线可得 例2．求满足下列条件的抛物线的标准方程 （1）焦点是 （2）点 （3）焦点在上 【解析】（1）因为抛物线的焦点在轴的负半轴，且 所以，所求的抛物线的标准方程为； （2）①当抛物线的焦点在轴上时，可设抛物线方程为， 把点代入得 ，∴，∴所求抛物线方程为. ②当抛物线的焦点在轴上时，可设抛物线方程为， 把代入得，∴， ∴所求抛物线方程为. 综上，所求抛物线的方程为或. （3）直线x－2y－4＝0与x轴的交点为(4,0)，与y轴的交点为(0，－2)，故抛物线焦点为(4,0)或(0，－2)， ①当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)， ∵＝4，∴p＝8，∴抛物线方程为y2＝16x； ②当焦点为(0，－2)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)， ∵－＝－2，∴p＝4，∴抛物线方程为x2＝－8y. 综上，所求抛物线方程为y2＝16x或x2＝－8y. (三)抛物线的实际应用问题 例3：一种卫星接收天线如下图(1)所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，如下图(2).已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为1m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标. 【解析】如图，建立直角坐标系， 设抛物线的标准方程是y2=2px(p>0).易知A (1,2.4)，代入方程得2.42=2p×1 p=2.88所以，所求抛物线为y2=5.76x, 焦点坐标(1.44,0). 利用希沃白板5课堂活动中的知识配对、对错判断等趣味游戏，让信息技术更好服务于教学，增强课堂互动性,激发学生的学习兴趣．在有趣的探究活动中学习新知，建构自己的知识体系． 数学概念是要在运用中得以巩固的，通过该课堂练习使学生进一步理解抛物线的定义，掌握标准方程，使知识内化为素养，并在解题过程中感受“数形结合”思想.
小结归纳内化知识 1、基础知识：抛物线的定义、抛物线的标准方程 2、思想方法：类比、归纳、数形结合 3、基本技能：观察类比、逻辑推理、直观想象、数学运算 归纳小结由师生共同完成，引导学生积极发言，通过填写表格对本节内容进行反思、归纳、总结，从而达到深化知识理解，构建知识网络，领悟思想方法的目的． 采用 “思维导图共创法”，学生以小组为单位，用便利贴写下关键知识点，粘贴到对应模块并讲解，共同完成思维导图构建。
作业设计 (1)教材P133 练习 1、2、3； (2)拓展探究（教材P133探究与思考）：为什么二次函数y=ax2+bx+c(a ≠ 0)的图象是抛物线； (3)课外作业：预习抛物线的简单几何性质． 【设计意图】作业由易到难，分必做题和选做题，体现分层教学的思想，提高学生的学习积极性，使各层次的学生都找到各自的发展空间，进一步促进教学目标的实现.
板书设计/课堂小结
教学反思 让学生通过椭圆与双曲线第二定义的对比，总结出抛物线的定义；通过抛物线的定义推导出（焦点在x 轴上，开口向右）抛物线的标准方程，进而通过对比写出（不用推导）焦点在x 轴开口向左、焦点在y 轴开口向上、焦点在y 轴开口向下三种情况抛物线的标准方程；对上述四种形式抛物线标准方程进行列表总结，加深印象、帮助理解；会直接运用定义解决一些简单的抛物线问题，进而会从生活实例中抽象出抛物线问题解决；培养学生的观察、联想、对比的能力，渗透类比、数形结合、建模的数学思想，进而提高学生建模和解决实际问题的能力. 上完这节课后，我的预期目标基本完成.我认为此教案设计的优点有： 1、课前，我认真备课做了充分的准备：制作了课件，运用多媒体教 学，这样既节省了作图时间图形又很规范；教学流程循序渐进、学生更容易接受； 2、对比椭圆与双曲线第二定义的异同引入新课，符合逻辑，引入抛物线的定义、推导抛物线的标准方程、列表总结抛物线四种形式的标准方程、最后是抛物线标准方程些简单应用，循序渐进的教学流程、井然有序的教学过程，让学生对抛物线的理解更为深刻； 3、在教学过程中，充分体现了学生的主体性和教师的主导性，引导学生主动思考、发现问题并解决问题，如引导学生发现离心率的范围的问题引出抛物线的定义，进而推导出抛物线的标准方程及其它三种形式的标准方程； 4、列表总结，抛物线四种形式的标准方程及相应的图形、焦点、准线，学生自己总结，帮助理解并加深印象； 5、在教学过程中，渗透类比、数形结合、建模的数学思想，培养学生观察、类比、对知识的迁移能力和归纳总结能力.使学生感受到数学不是纯理论的“纸上谈兵”，而是可以并且也就是为了解决实际问题的存在，体现了数学是基础学科的不可撼动的地位！