直线与圆的方程复习
班级 学号 姓名
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过点(1，2)且方向向量为(－1，2)的直线的方程为( )
A．2x＋y－4＝0 B．x＋y－3＝0
C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋3＝0
2．过点作圆的切线，记其中一个切点为，则（ ）
A．16 B．4 C．21 D．
3．已知直线l1：ax＋2y＋a＝0，l2：3x＋(2a－1)y＋a＋1＝0，则“a＝－”是“l1∥l2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，则下列说法中错误的是( )
A．当B＝0时，直线l总与x轴相交
B．当C＝0时，直线l经过坐标原点O
C．当A＝C＝0时，直线l是x轴所在直线
D．当AB≠0时，直线l不可能与两坐标轴同时相交
6．已知A(－1,0)，B(2,0)，若动点M满足|MB|＝2|MA|，直线l：x＋y－2＝0与x轴、y轴分别交于两点P，Q，则△MPQ的面积的最小值为( D )
A．4＋2 B．4
C．2 D．4－2
7．已知△ABC的顶点A(4，3)，AC边上的中线所在直线的方程为4x＋13y－10＝0，∠ABC的平分线所在直线的方程为x＋2y－5＝0，则AC边所在直线的方程为( )
A．2x－3y＋1＝0 B．x－8y＋20＝0
C．3x－5y＋3＝0 D．x－y＋1＝0
8．过直线上一点P作圆的切线，，切点为A，B，当最小时，直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是( )
A．截距相等的直线都可以用方程＋＝1表示
B．方程mx＋y－2m＋1＝0(m∈R)能表示平行于x轴的直线
C．经过点P(1，1)，且倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tanθ·(x－1)
D．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0
10．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，△ABC满足|AC|＝|BC|，顶点A(1,0)、B(－1,2)，且其“欧拉线”与圆M：(x－3)2＋y2＝r2相切，则下列结论正确的是( BD )
A．△ABC的“欧拉线”方程为y＝x－1
B．圆M上存在三个点到直线x－y－1＝0的距离为
C．若点(x，y)在圆M上，则的最小值是－
D．若圆M与圆x2＋(y－a)2＝2有公共点，则a∈[－3,3]
11．已知圆，直线与圆交于，两点，点为圆上异于，的任意一点，若，，则（ ）
A．
B．面积的最大值为
C．直线的方程为
D．满足到直线的距离为的点有且仅有3个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．直线l的斜率为k，且k∈，则直线l的倾斜角的取值范围是________．
13．设点A(－2，0)，B(0，3)，在直线l：x－y＋1＝0上找一点P，使|PA|＋|PB|取到最小值，则这个最小值为________．
14．写出一个与圆x2＋y2＝1外切，并与直线y＝x及y轴都相切的圆的方程 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
求经过直线和直线的交点C，并且满足下列条件的直线方程.
(1)与直线平行；
(2)到原点的距离等于1.
16．（15分）
已知圆，直线过点.
(1)当直线与圆相切时，求直线的斜率；
(2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
17．（15分）
已知圆，直线恒过定点．
(1)求点的坐标；
(2)若过的直线与圆交于，两点，且为正三角形，求直线的方程．
18. （15分）
(1)在平面直角坐标系中,定义d=+为A,B两点之间的“折线距离”.已知点Q,若动点P满足d=,求点P的轨迹所围成图形的面积.
(2)已知正三角形ABC的边长为a,在平面ABC上求一点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求此最小值.
19．（15分）
已知圆C过点M(0，－1)且与圆C1：x2＋y2－2x－2y＋3＝0相切于点N，直线l：kx－y－k＋3＝0与圆C交于不同的两点A、B.
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与x轴的正半轴交于点P，直线PA、PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2是定值．直线与圆的方程复习
班级 学号 姓名
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．过点(1，2)且方向向量为(－1，2)的直线的方程为( )
A．2x＋y－4＝0 B．x＋y－3＝0
C．x－2y＋3＝0 D．x－2y＋3＝0
【答案】A
【详解】由题意可知，直线的斜率k＝＝－2，由点斜式，得所求直线的方程为y－2＝－2(x－1)，
即2x＋y－4＝0．故选A．
2．过点作圆的切线，记其中一个切点为，则（ ）
A．16 B．4 C．21 D．
【答案】B
【详解】圆的圆心，半径，则，
所以.故选：B
3．已知直线l1：ax＋2y＋a＝0，l2：3x＋(2a－1)y＋a＋1＝0，则“a＝－”是“l1∥l2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】当l1∥l2时，a(2a－1)＝6，解得a＝2或a＝－．当a＝2时，l1与l2重合，不符合l1∥l2；
当a＝－时，l1：－x＋2y－＝0，l2：3x－4y－＝0，l1与l2不重合，符合l1∥l2．
故“a＝－”是“l1∥l2”的充要条件．故选C．
4．圆与圆的公切线条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】圆的方程等价于，所以圆是以为圆心，为半径的圆，圆 是以为圆心，为半径的圆，所以圆，圆的圆心距为，
圆，圆半径之和为，即圆心距等于两半径之和，因此两圆外切，
所以圆，圆有3条公切线．故选：C
5．已知直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)，则下列说法中错误的是( )
A．当B＝0时，直线l总与x轴相交
B．当C＝0时，直线l经过坐标原点O
C．当A＝C＝0时，直线l是x轴所在直线
D．当AB≠0时，直线l不可能与两坐标轴同时相交
【答案】D
【详解】依题意，直线l：Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)．对于A，当B＝0时，A≠0，直线方程可化为x＝－，此时直线l总与x轴有交点，A正确；
对于B，当C＝0时，直线方程为Ax＋By＝0，此时直线l经过坐标原点O，B正确；
对于C，当A＝C＝0时，B≠0，直线方程可化为y＝0，此时直线l是x轴所在直线，C正确；
对于D，当AB≠0时，如x－y＋1＝0，直线l过点(－1，0)，(0，1)，即直线l与两坐标轴同时相交，D错误．
故选D．
6．已知A(－1,0)，B(2,0)，若动点M满足|MB|＝2|MA|，直线l：x＋y－2＝0与x轴、y轴分别交于两点P，Q，则△MPQ的面积的最小值为( D )
A．4＋2 B．4
C．2 D．4－2
【答案】D
【详解】设M(x，y)，由|MB|＝2|MA|可得(x－2)2＋y2＝4(x＋1)2＋4y2，
化简可得(x＋2)2＋y2＝4，故动点M的轨迹为圆心为(－2,0)，半径为r＝2的圆，
圆心(－2,0)到l：x＋y－2＝0的距离为＝2，
故圆上的点到直线l：x＋y－2＝0的最小距离为2－r＝2－2，
由于P(2,0)，Q(0,2)，所以|PQ|＝2，
故△MPQ的面积的最小值为×2×(2－2)＝4－2，故选D.
7．已知△ABC的顶点A(4，3)，AC边上的中线所在直线的方程为4x＋13y－10＝0，∠ABC的平分线所在直线的方程为x＋2y－5＝0，则AC边所在直线的方程为( )
A．2x－3y＋1＝0 B．x－8y＋20＝0
C．3x－5y＋3＝0 D．x－y＋1＝0
【答案】B
【详解】由得所以点B的坐标为(9，－2)，
设点A(4，3)关于直线x＋2y－5＝0的对称点为A′(x0，y0)，则解得
所以A′(2，－1)，因为点A′(2，－1)在直线BC上，
所以直线BC的方程为y－(－1)＝×(x－2)，即x＋7y＋5＝0，
设点C的坐标为C(x1，y1)，则AC的中点坐标为，所以解得所以点C的坐标为(－12，1)，所以kAC＝＝，
所以AC边所在直线的方程为y－3＝(x－4)，即x－8y＋20＝0．故选B．
8．过直线上一点P作圆的切线，，切点为A，B，当最小时，直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】先利用圆切线的性质推得、、、四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解.
【详解】圆的圆心，半径
∵，是圆的两条切线，
则，且、、、四点共圆，
∴，即，
∵，所以，
当最小，即直线时，取得最小值，
此时直线方程为，即，
联立，解得，即，
则以为直径的圆的方程为，
即，
∵圆，两圆相交，
两圆方程相减即为的方程.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法正确的是( )
A．截距相等的直线都可以用方程＋＝1表示
B．方程mx＋y－2m＋1＝0(m∈R)能表示平行于x轴的直线
C．经过点P(1，1)，且倾斜角为θ的直线方程为y－1＝tanθ·(x－1)
D．经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0
【答案】BD
【详解】对于A，当截距相等且为0时，不可以用方程＋＝1表示，A错误；
对于B，方程mx＋y－2m＋1＝0(m∈R)中，当m＝0时，变为y＋1＝0，此时与x轴平行，B正确；
对于C，当倾斜角θ＝90°时，tanθ无意义，不能用y－1＝tanθ·(x－1)表示，C错误；
对于D，设点P(x，y)是经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线上任意一点，则∥，
其中＝(x2－x1，y2－y1)，＝(x－x1，y－y1)，所以(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，
故经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线方程为(y2－y1)(x－x1)－(x2－x1)(y－y1)＝0，D正确．
故选BD．
10．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中，△ABC满足|AC|＝|BC|，顶点A(1,0)、B(－1,2)，且其“欧拉线”与圆M：(x－3)2＋y2＝r2相切，则下列结论正确的是( BD )
A．△ABC的“欧拉线”方程为y＝x－1
B．圆M上存在三个点到直线x－y－1＝0的距离为
C．若点(x，y)在圆M上，则的最小值是－
D．若圆M与圆x2＋(y－a)2＝2有公共点，则a∈[－3,3]
【答案】BD
【详解】因为|AC|＝|BC|，所以△ABC是等腰三角形，由三线合一得：△ABC的外心、重心、垂心均在底边上的中线或高线上，设△ABC的欧拉线为l，则l过AB的中点，且与直线AB垂直，
由A(1,0)、B(－1,2)可得：AB的中点C，即C(0,1)，kAB＝＝－1，
所以kl＝1，故l的方程为：y－1＝x，即y＝x＋1，A选项错误；
因为l与圆M：(x－3)2＋y2＝r2相切，故r＝＝2，
又圆心到x－y－1＝0的距离d1＝＝，
所以圆M上存在三个点到直线x－y－1＝0的距离为，B选项正确；
点(x，y)在圆M上，表示圆上的点与(－1,0)的连线的斜率，
当连线与圆相切且位于圆的下方时(如图)，此时k<0，最小，
设直线m：y＝k(x＋1)，由＝2，解得k＝±1，因为k<0，所以k＝－1，
即的最小值是－1，C选项错误；
圆x2＋(y－a)2＝2的圆心坐标为(0，a)，半径r1＝，则≤≤3，解得a∈[－3,3]，D选项正确．故选BD.
11．已知圆，直线与圆交于，两点，点为圆上异于，的任意一点，若，，则（ ）
A．
B．面积的最大值为
C．直线的方程为
D．满足到直线的距离为的点有且仅有3个
【答案】BD
【详解】对于A，依题意，，则，而，解得，A错误；
对于B，，圆心到直线距离，因此点到直线距离的最大值为，面积的最大值为，B正确；
对于C，由，得，直线的斜率，
设直线的方程为，则，解得，由，得，即，因此，直线的方程为，C错误；
对于D，由圆半径为，圆心到直线距离为，得圆上到直线距离为的点有且仅有3个，因此符合条件的点有且仅有3个，D正确.
故选：BD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．直线l的斜率为k，且k∈，则直线l的倾斜角的取值范围是________．
【答案】∪
【详解】如图，当直线l的斜率k∈时，直线l的倾斜角的取值范围为∪．
13．设点A(－2，0)，B(0，3)，在直线l：x－y＋1＝0上找一点P，使|PA|＋|PB|取到最小值，则这个最小值为________．
【答案】
【详解】设点B关于直线l：x－y＋1＝0的对称点为C(m，n)，
线段BC的中点在x－y＋1＝0上，则－＋1＝0，
又kl·kBC＝－1，×1＝－1，解得m＝2，n＝1，即C(2，1)，
|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PC|≥|AC|＝＝，即|PA|＋|PB|的最小值为．
14．写出一个与圆x2＋y2＝1外切，并与直线y＝x及y轴都相切的圆的方程 .
【答案】(x－1)2＋(y－)2＝1或(x＋1)2＋(y＋)2＝1或(x－2－3)2＋(y＋2＋)2＝21＋12
或(x＋2＋3)2＋(y－2－)2＝21＋12(写出其中一个即可)
【详解】设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
因为与圆x2＋y2＝1外切，所以＝1＋r，
又因为与直线y＝x及y轴都相切，所以圆心在y＝x上或y＝－x上，
当圆心在y＝x上，所以b＝a，r＝|a|，
联立得3a2＝2|a|＋1，解得或r＝1.
所以求得圆的方程为(x－1)2＋(y－)2＝1或(x＋1)2＋(y＋)2＝1.
当圆心在y＝－x上，所以b＝－a，r＝|a|，
联立得a2＝2|a|＋1，解得
或r＝3＋2，
所以求得圆的方程为
(x－2－3)2＋(y＋2＋)2＝21＋12或(x＋2＋3)2＋(y－2－)2＝21＋12.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
求经过直线和直线的交点C，并且满足下列条件的直线方程.
(1)与直线平行；
(2)到原点的距离等于1.
【答案】(1)
(2)或
【详解】（1）设所求直线为，即，
因为此直线与平行，
所以，解得，
故所求直线为.
（2）由于原点到直线的距离为，
设所求直线为，即，
所以，解得或，
故所求直线方程为或.
16．（15分）
已知圆，直线过点.
(1)当直线与圆相切时，求直线的斜率；
(2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【解析】（1）已知的圆心是，半径是，
设直线斜率为则直线方程是，即，
则圆心到直线距离为，解得直线的斜率.
（2）设点则，
由点是的中点得，所以①
因为在圆上运动，所以②
代入②得，
化简得点的轨迹方程是.
17．（15分）
已知圆，直线恒过定点．
(1)求点的坐标；
(2)若过的直线与圆交于，两点，且为正三角形，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）依题意可得，令，解得即可求出定点坐标；
（2）首先得到圆心坐标与半径，依题意可得圆心到直线的距离，分直线的斜率不存在与存在两种情况讨论，当斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出，即可得解.
【详解】（1）直线，
即，令，解得，
所以直线恒过定点；
（2）圆的圆心，半径，
因为为正三角形，所以圆心到直线的距离；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离，符合题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则，解得，
此时直线的方程为，即；
综上可得直线的方程为或.
18. （15分）
(1)在平面直角坐标系中,定义d=+为A,B两点之间的“折线距离”.已知点Q,若动点P满足d=,求点P的轨迹所围成图形的面积.
(2)已知正三角形ABC的边长为a,在平面ABC上求一点P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求此最小值.
【答案】(1)
(2)或
【详解】 (1)设P,则d=+=,
当x≥1,y≥0时,x-1+y=,即x+y-=0,
当x≥1,y<0时,x-1-y=,即x-y-=0,
当x<1,y<0时,1-x-y=,即x+y-=0,
当x<1,y≥0时,1-x+y=,即x-y-=0.
联立解得同理可得其他交点的坐标,
如图,点P的轨迹所围成图形为正方形ABCD,
则S=×1××2=..
(2)记AB的中点为O,以O为原点,AB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示,
则A,B,C.
设P(x,y),则|PA|2+|PB|2+|PC|2=+y2++y2+x2+
=3x2+3y2-ay+a2=3x2+3+a2,
所以当x=0,y=a时,|PA|2+|PB|2+|PC|2有最小值a2,此时P.
19．（15分）
已知圆C过点M(0，－1)且与圆C1：x2＋y2－2x－2y＋3＝0相切于点N，直线l：kx－y－k＋3＝0与圆C交于不同的两点A、B.
(1)求圆C的方程；
(2)若圆C与x轴的正半轴交于点P，直线PA、PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1＋k2是定值．
【答案】(1) x2＋y2＝1
(2) k1＋k2=－.
【详解】(1)由圆C1：(x－)2＋(y－)2＝1，
∴圆C1的圆心C1(，)，半径r1＝1，
∵圆C与圆C1相切于点N，
∴点C、C1、N三点共线，即圆C的圆心在直线C1N上，
∴直线C1N的方程为＝，即y＝x，
又∵点M(0，－1)、N均在圆C上，
∴弦MN的垂直平分线过圆C的圆心，
kMN＝＝1＋，
则弦MN的垂直平分线的斜率k＝－＝1－，
则弦MN的垂直平分线的方程为y－＝(1－)，即y＝(1－)x，
∴解得圆C的圆心C(0,0)，
圆C的半径r＝|CM|＝＝1，
∴圆C的方程为x2＋y2＝1.
(2)证明：由已知，求得P(1,0)，
直线l：kx－y－k＋3＝0即y＝k(x－1)＋3，
由化简得
(1＋k2)x2＋(6k－2k2)x＋k2－6k＋8＝0，
Δ＝(6k－2k2)2－4(1＋k2)(k2－6k＋8)＝24k－32>0，
∴k>.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
∴k1＝＝＝k＋，
k2＝＝＝k＋，
∴k1＋k2＝2k＋＋＝2k＋
＝2k＋＝2k＋
＝2k＋
＝2k＋＝2k－2k－＝－，
∴k1＋k2是定值－.
