4.4数学归纳法 同步练习（含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 4.4数学归纳法 同步练习（含解析）2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 44.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-30 10:14:56 | ||
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文档简介
4.4* 数学归纳法
基础巩固
1.用数学归纳法证明3n≥n3（n≥3，n∈N*），第一步应验证（ ）
A.n＝1 B.n＝2 C.n＝3 D.n＝4
2.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2（＋＋…＋）时，若已假设n＝k（k≥2，k为偶数）时，命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）
A.n＝k＋1时，等式成立 B.n＝k＋2时，等式成立
C.n＝2k＋2时，等式成立 D.n＝2（k＋2）时，等式成立
3.用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取（ ）
A.2 B.3 C.5 D.6
4.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上（ ）
A.k2＋1
B.（k＋1）2
C.
D.（k2＋1）＋（k2＋2）＋…＋（k＋1）2
5.已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，那么数列{bn}＝{}前n项的和为（ ）
A.4（1－） B.4（－） C.1－ D.－
6.在数列{an}中，an＝1－＋－＋…＋－，则ak＋1＝（ ）
A.ak＋ B.ak＋－
C.ak＋ D.ak＋－
7.证明1＋＋＋＋…＋＞（n∈N*），假设当n＝k时成立，当n＝k＋1时，左端增加的项数是（ ）
A.1 B.k－1 C.k D.2k
8.用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子（k＋1）3＋5（k＋1）应变形为 .
9.证明：＋＋＋…＋＋＝1－（n∈N*）.
10.求证：＋＋…＋＞（n≥2，n∈N*）.
综合运用
11.观察下列不等式：1＞，1＋＋＞1，1＋＋＋…＋＞，1＋＋＋…＋＞2，1＋＋＋…＋＞，…，由此猜测第n个不等式为 （n∈N*）.
12.已知等比数列{an}的公比q≠1，且a1＝1，3a3＝2a2＋a4，则数列{}的前4项和为 .
13.已知数列{an}的前n项和Sn＝10n－n2，数列{bn}的每一项都有bn＝｜an｜，设数列{bn}的前n项和为Tn，则T4＝ ，T30＝ .
拔高拓展
14.求和：Sn＝1＋（1＋）＋（1＋＋）＋（1＋＋＋）＋…＋（1＋＋＋…＋）＝ .
15.用数学归纳法证明“＋＋…＋≥”的过程中，从n＝k（k∈N*）到n＝k＋1，不等式的左边增加了（ ）
A. B.＋－
C. D.＋＋
基础巩固
1.用数学归纳法证明3n≥n3（n≥3，n∈N*），第一步应验证（ C ）
A.n＝1 B.n＝2 C.n＝3 D.n＝4
2.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2（＋＋…＋）时，若已假设n＝k（k≥2，k为偶数）时，命题为真，则还需要用归纳假设再证（ B ）
A.n＝k＋1时，等式成立
B.n＝k＋2时，等式成立
C.n＝2k＋2时，等式成立
D.n＝2（k＋2）时，等式成立
3.用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取（ C ）
A.2 B.3 C.5 D.6
4.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上（ D ）
A.k2＋1 B.（k＋1）2
C. D.（k2＋1）＋（k2＋2）＋…＋（k＋1）2
解析：当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋（k2＋1）＋（k2＋2）＋…＋（k＋1）2，
故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上（k2＋1）＋（k2＋2）＋…＋（k＋1）2.
5.已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，那么数列{bn}＝{}前n项的和为（ A ）
A.4（1－） B.4（－）
C.1－ D.－
解析：∵an＝＝＝，
∴bn＝＝＝4（－）.
∴数列{bn}的前n项的和为4［（1－）＋（－）＋（－）＋…＋（－）］＝4（1－）.
6.在数列{an}中，an＝1－＋－＋…＋－，则ak＋1＝（ D ）
A.ak＋ B.ak＋－
C.ak＋ D.ak＋－
解析：ak＝1－＋－＋…＋－，
ak＋1＝1－＋－＋…＋－＋－，
所以ak＋1＝ak＋－.
7.证明1＋＋＋＋…＋＞（n∈N*），假设当n＝k时成立，当n＝k＋1时，左端增加的项数是（ D ）
A.1 B.k－1 C.k D.2k
解析：当n＝k时，不等式左端为1＋＋＋＋…＋；
当n＝k＋1时，不等式左端为1＋＋＋…＋＋＋…＋增加了＋…＋，共（2k＋1－1）－2k＋1＝2k（项）.
8.用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子（k＋1）3＋5（k＋1）应变形为 （k3＋5k）＋3k（k＋1）＋6 .
解析：采取配凑法，凑出归纳假设k3＋5k，（k＋1）3＋5（k＋1）＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝（k3＋5k）＋3k（k＋1）＋6.
9.证明：＋＋＋…＋＋＝1－（n∈N*）.
证明：①当n＝1时，左边＝，
右边＝1－＝，等式成立.
②假设当n＝k（k≥1，k∈N*）时，
等式成立，即＋＋＋…＋＋＝1－，
那么当n＝k＋1时，
左边＝＋＋＋…＋＋＋＝1－＋＝1－＝1－，
所以当n＝k＋1时，等式也成立.
根据①和②，可知等式对任意n∈N*都成立.
10.求证：＋＋…＋＞（n≥2，n∈N*）.
证明：①当n＝2时，
左边＝＋＋＋＝＞，不等式成立.
②假设当n＝k（k≥2，k∈N*）时，不等式成立，即＋＋…＋＞，
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋（＋＋－）
＞＋（＋＋－）
＞＋（3×－）＝，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立.
由①②可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*都成立.
综合运用
11.观察下列不等式：1＞，1＋＋＞1，1＋＋＋…＋＞，1＋＋＋…＋＞2，1＋＋＋…＋＞，…，由此猜测第n个不等式为 1＋＋＋…＋＞ （n∈N*）.
12.已知等比数列{an}的公比q≠1，且a1＝1，3a3＝2a2＋a4，则数列{}的前4项和为 .
解析：∵等比数列{an}中，a1＝1，3a3＝2a2＋a4，
∴3q2＝2q＋q3，又∵q≠1且q≠0，∴q＝2，
∴an＝2n－1，∴＝（）2n－1，
即{}是首项为，公比为的等比数列，
∴数列{}的前4项和为＝.
13.已知数列{an}的前n项和Sn＝10n－n2，数列{bn}的每一项都有bn＝｜an｜，设数列{bn}的前n项和为Tn，则T4＝ 24 ，T30＝ 650 .
解析：当n＝1时，a1＝S1＝9，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝10n－n2－[10（n－1）－（n－1）2]＝－2n＋11，当n＝1时也满足，所以an＝－2n＋11（n∈N*），所以当n≤5时，an＞0，bn＝an，当n＞5时，an＜0，bn＝－an，所以T4＝S4＝10×4－42＝24，T30＝S5－a6－a7－…－a30＝2S5－S30＝2×（10×5－52）－（10×30－302）＝650.
拔高拓展
14.求和：Sn＝1＋（1＋）＋（1＋＋）＋（1＋＋＋）＋…＋（1＋＋＋…＋）＝ 2n＋－2 .
解析：被求和的第k项为ak＝1＋＋＋…＋＝＝2（1－），
所以Sn＝2［（1－）＋（1－）＋…＋（1－）］＝2［n－（＋＋＋…＋）］
＝2［n－］
＝2［n－（1－）］
＝2n＋－2.
15.用数学归纳法证明“＋＋…＋≥”的过程中，从n＝k（k∈N*）到n＝k＋1，不等式的左边增加了（ B ）
A. B.＋－
C. D.＋＋
解析：用数学归纳法证明不等式＋＋…＋≥的过程中，
假设n＝k（k∈N*）时不等式成立，
左边＝＋＋…＋，
则当n＝k＋1时，
左边＝＋…＋＋＋＋，
∴从n＝k（k∈N*）到n＝k＋1，
不等式的左边增加了
＋＋－
＝＋－.
基础巩固
1.用数学归纳法证明3n≥n3（n≥3，n∈N*），第一步应验证（ ）
A.n＝1 B.n＝2 C.n＝3 D.n＝4
2.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2（＋＋…＋）时，若已假设n＝k（k≥2，k为偶数）时，命题为真，则还需要用归纳假设再证（ ）
A.n＝k＋1时，等式成立 B.n＝k＋2时，等式成立
C.n＝2k＋2时，等式成立 D.n＝2（k＋2）时，等式成立
3.用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取（ ）
A.2 B.3 C.5 D.6
4.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上（ ）
A.k2＋1
B.（k＋1）2
C.
D.（k2＋1）＋（k2＋2）＋…＋（k＋1）2
5.已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，那么数列{bn}＝{}前n项的和为（ ）
A.4（1－） B.4（－） C.1－ D.－
6.在数列{an}中，an＝1－＋－＋…＋－，则ak＋1＝（ ）
A.ak＋ B.ak＋－
C.ak＋ D.ak＋－
7.证明1＋＋＋＋…＋＞（n∈N*），假设当n＝k时成立，当n＝k＋1时，左端增加的项数是（ ）
A.1 B.k－1 C.k D.2k
8.用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子（k＋1）3＋5（k＋1）应变形为 .
9.证明：＋＋＋…＋＋＝1－（n∈N*）.
10.求证：＋＋…＋＞（n≥2，n∈N*）.
综合运用
11.观察下列不等式：1＞，1＋＋＞1，1＋＋＋…＋＞，1＋＋＋…＋＞2，1＋＋＋…＋＞，…，由此猜测第n个不等式为 （n∈N*）.
12.已知等比数列{an}的公比q≠1，且a1＝1，3a3＝2a2＋a4，则数列{}的前4项和为 .
13.已知数列{an}的前n项和Sn＝10n－n2，数列{bn}的每一项都有bn＝｜an｜，设数列{bn}的前n项和为Tn，则T4＝ ，T30＝ .
拔高拓展
14.求和：Sn＝1＋（1＋）＋（1＋＋）＋（1＋＋＋）＋…＋（1＋＋＋…＋）＝ .
15.用数学归纳法证明“＋＋…＋≥”的过程中，从n＝k（k∈N*）到n＝k＋1，不等式的左边增加了（ ）
A. B.＋－
C. D.＋＋
基础巩固
1.用数学归纳法证明3n≥n3（n≥3，n∈N*），第一步应验证（ C ）
A.n＝1 B.n＝2 C.n＝3 D.n＝4
2.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－＋－＋…＋－＝2（＋＋…＋）时，若已假设n＝k（k≥2，k为偶数）时，命题为真，则还需要用归纳假设再证（ B ）
A.n＝k＋1时，等式成立
B.n＝k＋2时，等式成立
C.n＝2k＋2时，等式成立
D.n＝2（k＋2）时，等式成立
3.用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取（ C ）
A.2 B.3 C.5 D.6
4.用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n2＝，则当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上（ D ）
A.k2＋1 B.（k＋1）2
C. D.（k2＋1）＋（k2＋2）＋…＋（k＋1）2
解析：当n＝k时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2，当n＝k＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋（k2＋1）＋（k2＋2）＋…＋（k＋1）2，
故当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上（k2＋1）＋（k2＋2）＋…＋（k＋1）2.
5.已知数列{an}：，＋，＋＋，＋＋＋，…，那么数列{bn}＝{}前n项的和为（ A ）
A.4（1－） B.4（－）
C.1－ D.－
解析：∵an＝＝＝，
∴bn＝＝＝4（－）.
∴数列{bn}的前n项的和为4［（1－）＋（－）＋（－）＋…＋（－）］＝4（1－）.
6.在数列{an}中，an＝1－＋－＋…＋－，则ak＋1＝（ D ）
A.ak＋ B.ak＋－
C.ak＋ D.ak＋－
解析：ak＝1－＋－＋…＋－，
ak＋1＝1－＋－＋…＋－＋－，
所以ak＋1＝ak＋－.
7.证明1＋＋＋＋…＋＞（n∈N*），假设当n＝k时成立，当n＝k＋1时，左端增加的项数是（ D ）
A.1 B.k－1 C.k D.2k
解析：当n＝k时，不等式左端为1＋＋＋＋…＋；
当n＝k＋1时，不等式左端为1＋＋＋…＋＋＋…＋增加了＋…＋，共（2k＋1－1）－2k＋1＝2k（项）.
8.用数学归纳法证明“n3＋5n能被6整除”的过程中，当n＝k＋1时，对式子（k＋1）3＋5（k＋1）应变形为 （k3＋5k）＋3k（k＋1）＋6 .
解析：采取配凑法，凑出归纳假设k3＋5k，（k＋1）3＋5（k＋1）＝k3＋3k2＋3k＋1＋5k＋5＝（k3＋5k）＋3k（k＋1）＋6.
9.证明：＋＋＋…＋＋＝1－（n∈N*）.
证明：①当n＝1时，左边＝，
右边＝1－＝，等式成立.
②假设当n＝k（k≥1，k∈N*）时，
等式成立，即＋＋＋…＋＋＝1－，
那么当n＝k＋1时，
左边＝＋＋＋…＋＋＋＝1－＋＝1－＝1－，
所以当n＝k＋1时，等式也成立.
根据①和②，可知等式对任意n∈N*都成立.
10.求证：＋＋…＋＞（n≥2，n∈N*）.
证明：①当n＝2时，
左边＝＋＋＋＝＞，不等式成立.
②假设当n＝k（k≥2，k∈N*）时，不等式成立，即＋＋…＋＞，
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋＋（＋＋－）
＞＋（＋＋－）
＞＋（3×－）＝，
所以当n＝k＋1时，不等式也成立.
由①②可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*都成立.
综合运用
11.观察下列不等式：1＞，1＋＋＞1，1＋＋＋…＋＞，1＋＋＋…＋＞2，1＋＋＋…＋＞，…，由此猜测第n个不等式为 1＋＋＋…＋＞ （n∈N*）.
12.已知等比数列{an}的公比q≠1，且a1＝1，3a3＝2a2＋a4，则数列{}的前4项和为 .
解析：∵等比数列{an}中，a1＝1，3a3＝2a2＋a4，
∴3q2＝2q＋q3，又∵q≠1且q≠0，∴q＝2，
∴an＝2n－1，∴＝（）2n－1，
即{}是首项为，公比为的等比数列，
∴数列{}的前4项和为＝.
13.已知数列{an}的前n项和Sn＝10n－n2，数列{bn}的每一项都有bn＝｜an｜，设数列{bn}的前n项和为Tn，则T4＝ 24 ，T30＝ 650 .
解析：当n＝1时，a1＝S1＝9，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝10n－n2－[10（n－1）－（n－1）2]＝－2n＋11，当n＝1时也满足，所以an＝－2n＋11（n∈N*），所以当n≤5时，an＞0，bn＝an，当n＞5时，an＜0，bn＝－an，所以T4＝S4＝10×4－42＝24，T30＝S5－a6－a7－…－a30＝2S5－S30＝2×（10×5－52）－（10×30－302）＝650.
拔高拓展
14.求和：Sn＝1＋（1＋）＋（1＋＋）＋（1＋＋＋）＋…＋（1＋＋＋…＋）＝ 2n＋－2 .
解析：被求和的第k项为ak＝1＋＋＋…＋＝＝2（1－），
所以Sn＝2［（1－）＋（1－）＋…＋（1－）］＝2［n－（＋＋＋…＋）］
＝2［n－］
＝2［n－（1－）］
＝2n＋－2.
15.用数学归纳法证明“＋＋…＋≥”的过程中，从n＝k（k∈N*）到n＝k＋1，不等式的左边增加了（ B ）
A. B.＋－
C. D.＋＋
解析：用数学归纳法证明不等式＋＋…＋≥的过程中，
假设n＝k（k∈N*）时不等式成立，
左边＝＋＋…＋，
则当n＝k＋1时，
左边＝＋…＋＋＋＋，
∴从n＝k（k∈N*）到n＝k＋1，
不等式的左边增加了
＋＋－
＝＋－.