3.2.1单调性与最大（小）值 讲义（含答案）2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的基本性质—单调性与最大（小）值
1、函数单调性的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2
当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
单调区间：如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
注：当函数f(x)有多个增或减区间时，不能用“U”连接，用“，”或“和”连接.
2、单调性的性质
（1）若f（x）在区间D上单调递增
（2）若f（x）在区间D上单调递减
总结：同号为增、异号为减
3、利用定义证明或判断 在区间D上单调性的一般步骤：
①取值：取；
②作差：；
③变形：通常采用通分、配方、因式分解、分子有理化、分母有理化等；
④定号：判断差与0的大小；
⑤下结论.
4、复合函数的单调性
对于复合函数，先将函数分解成和，然后分别讨论(或判断)这两个函数的单调性，再根据复合函数“同增异减”的规则进行判断，即：f(t)和t＝g(x)单调性相同时，f[g(x)]单调递增；f(t)和t＝g(x)单调性不同时，f[g(x)]单调递减。
5、函数的最值
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：
(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在，使得f()＝M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值．
(2)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；存在∈I，使得f()＝M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值．
题型练习
题型一：利用定义证明函数的单调性
1．（24-25高一上·天津滨海新·期中）已知定义在上的函数，且.
(1)求的值；
(2)利用定义证明函数在区间上单调递增；
(3)求函数在区间的最大值和最小值.
2．（24-25高一上·天津西青·期末）已知函数，不等式的解集为或.
(1)求函数的解析式；
(2)设，判断在区间上的单调性，并用定义法证明.
3．（25-26高一上·天津·阶段练习）已知函数的图象经过点
(1)求函数的解析式，并求的值；
(2)用定义证明函数在区间上单调递减．
4．（24-25高一上·广东东莞·阶段练习）已知函数，且.
(1)求；
(2)判断函数在上的单调性，并用定义法证明；
(3)求函数在区间上的最大值和最小值.
题型二：求函数的单调区间
1．（24-25高一上·天津河西·期中）下列函数中，在其定义域上是减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（24-25高一上·天津东丽·期中）下列函数在区间上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（23-24高一上·天津红桥·期中）下列函数在区间上为减函数的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2024高一上·福建·阶段测试）已知函数在上的图象如图，则函数单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高一上·山东德州·开学考试）若函数的图象如图所示，则其单调递增区间是（ ）
A． B．
C． D．
6．（24-25高一上·天津·阶段练习）设，则的单调递减区间为 ．
7．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的单调递减区间是 .
8．（23-24高一上·天津宝坻·阶段练习）已知函数，则的单调递增区间为 .
9．（24-25高一上·天津滨海新·期中）函数的单调减区间是 ．
题型三：复合函数的单调区间
1．（24-25高一上·天津·期中）函数的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
2．（23-24高一上·山东·阶段练习）函数的单调增区间为（ ）
A． B．
C．和 D．
3．（24-25高一上·安徽·期中）已知函数，则的单调递减区间为 ．
4．（24-25高一上·北京·期中）函数的值域是 ；单调递减区间是 ．
5．（23-24高一上·北京·期中）函数的定义域为 ，单调递减区间为 .
6．（24-25高一上·天津·期中）函数 的单调增区间为 .
7．（23-24高一下·陕西安康·阶段练习）设函数．
(1)求的定义域；
(2)求的单调区间；
(3)求在区间的最大值和最小值．
题型四：利用函数的最值求参数
1．（24-25高一上·广西河池·阶段练习）已知函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．（23-24高一上·江西吉安·期末）已知函数在区间上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（24-25高一上·天津滨海新·期中）函数 在区间上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24高一上·四川内江·期中）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高一·河北·阶段练习）若函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围是 .
6．（24-25高一上·天津武清·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是 .
7．（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）函数在区间上单调递减，则的取值范围为 .
题型五：利用函数单调性解不等式
1．（25-26高一上·全国·课后作业）已知为上的减函数，则满足的实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高二下·江西南昌·期末）已知函数是定义在R上的增函数，且，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数在R上单调递增，且，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（25-26高一上·广东·阶段练习）若函数在上单调递增，且，则满足的的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
题型六：不等式恒成立问题
1．（25-26高一上·江西景德镇·阶段练习）若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ．
2．（23-24高一上·天津滨海新·阶段练习）已知函数，若在上恒成立，则实数的取值范围是 ．
3．（25-26高一上·山东·阶段练习）若任意实数使不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
4．（23-24高一上·天津·期中）设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的最大值为 ．
5．（23-24高一上·天津和平·期中）设函数
(1)求的值；
(2)对任意，恒成立，求实数的取值范围.
题型七：分段函数单调性
1．（24-25高二下·上海·期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ．
2．（25-26高一上·全国·专题练习）已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高一上·广东·专题练习）已知在上满足，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
4．（24-25高一上·北京西城·期末）已知函数，则 ；的单调递增区间为 ．
5．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数则函数的最小值为 ；若函数满足，则的取值范围是 ．
6．（23-24高一上·天津河西·期中）已知函数，则 ；不等式的解集是 .
参考答案
题型一答案
1．(1)11
(2)证明见解析
(3)，
【详解】（1）由可得，
则，所以.
（2），且，
则，
∵，∴，
由∵，∴，
∴，∴，
∴函数在区间上单调递增；
（3）∵函数在区间上单调递增.
∴函数在区间上单调递增，
∴，.
2．(1)
(2)在区间上单调递增，证明见解析
【详解】（1）由题意得：是的两根，
故，解得，
；
（2）在上单调递增，证明如下：
，
任取，且，
，
又，，
，
，
，
在区间上单调递增.
3．(1)；
(2)证明见解析
【详解】（1）解：因为函数的图象经过点，
可得，解得，所以，
可得，所以.
（2）证明：由（1）知，函数，
任取，且，
则，
因为，可得，所以，
即，所以函数在区间上单调递减.
4．(1)
(2)函数在上单调递增，证明见解析
(3)最大值为，最小值为6.
【详解】（1）函数，因为，
所以，则.
（2）函数在上单调递增，
由（1）知，，
下面证明单调区间，
设，则，
由，则，
所以，即，
所以函数在上单调递增.
（3）由（2）可知在区间上单调递增，则在区间上单调递增，
所以，
则函数在上的最大值为，最小值为6．
题型二答案
1．D 2．C 3．C 4．B 5．D
6． 7． 8．， 9．
题型三答案
1．C 2．C 3． 4．
5． / 6．
7．(1) (2)的单调递增区间是；单调递减区间是 (3)；
【详解】（1）由，
所以的定义域
（2）由（1）知的定义域，
令，开口向下，对称轴，
根据复合函数的单调性可知，
的单调递增区间是；单调递减区间是
（3）由（2）知在单调递增，在单调递减，
在区间的最大值为，又
所以在区间的最小值为，
故在区间的最大值为，最小值为，
题型四答案
1．A 2．C 3．B 4．C 5． 6． 7．
题型五答案
1．B 2．C 3．A 4．B 5．D
题型六答案
1． 2． 3． 4．/4.5
5．(1)4 (2)
【详解】（1）.
（2），
设，且，
，
∵，且，
∴，则，
∴在上单调递增，
∴当时，取最小值，
因为对任意，恒成立，
所以，即实数的取值范围.
题型七答案
1． 2．C 3．B 4．
5．0 6．15