直线和圆的方程单元练习
班级 学号 姓名
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下面选项中,两点确定的直线的斜率不存在的是 ( )
A．(4,2)与(-4,1) B．(0,3)与(3,0) C．(3,-1)与(2,-1) D．(-2,2)与(-2,5)
2．圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
3．已知直线l：，若轴，则下列结论正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
4．圆上的点到直线的最大距离是（ ）
A． B． C． D．
5．已知点A,B,斜率为k的直线l过点P,则满足下列条件的直线l与线段AB相交的是 ( )
A． B． C．或 D．
6．l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当l1,l2间的距离最大时,直线l1的方程为 ( )
A．x+2y-3=0 B．x-2y-3=0 C．2x-y-1=0 D．2x-y-3=0
7．已知直线与圆相交于，两点，当面积最大时，实数的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
8．已知圆，圆心为的圆分别与圆相切.圆的公切线（倾斜角为钝角）交圆于两点，则线段的长度为（ ）
A． B． C．3 D．6
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法中，正确的有（ ）
A．直线在轴上的截距为
B．直线必过定点
C．若过点的直线的截距相等，则该直线方程为或
D．若两直线平行，则或
10．已知圆是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ）
A．直线经过定点
B．的最小值为
C．点到直线的距离的最大值为
D．是锐角
11．已知曲线，则（ ）
A．曲线关于轴对称
B．曲线围成图形的面积为
C．曲线上的点到点的距离最大值为
D．若点是曲线上的点，则的最大值为1
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知是直线的一个方向向量，则的倾斜角为 .
13．若圆上恰有个点到直线的距离等于，则的取值范围是 .
14．已知实数，满足，则的取值范围是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）已知△ABC的三个顶点是A(4,0),B(6,7),C(0,3),求:
(1)边AB上的中线所在直线的方程.
(2)边AC上的垂直平分线所在直线的方程.
16．（15分）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，的平分线所在的直线方程为．
(1)求直线的方程和点C的坐标；
(2)求的面积．
17．（15分）已知圆和圆外一点
(1)求的取值范围
(2)若，过点作圆的切线，求切线方程
18．（15分）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切．
(1)求圆的标准方程；
(2)若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标．
19．（15分）已知一动点A在圆上移动，它与定点连线的中点为M．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)过定点的直线与点M的轨迹交于P，Q两点．
（Ⅰ）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（Ⅱ）若，求直线的方程．直线和圆的方程单元练习
参考答案
班级 学号 姓名
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下面选项中,两点确定的直线的斜率不存在的是 ( )
A．(4,2)与(-4,1) B．(0,3)与(3,0) C．(3,-1)与(2,-1) D．(-2,2)与(-2,5)
【答案】D
【详解】由斜率公式知，当两点的横坐标相同时，直线的斜率不存在，四个选项中，只有D中两点的横坐标相同，故选：D.
2．圆与圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
【答案】C
【详解】圆的圆心，半径，
圆，即，圆心，半径，
则，所以两圆外切.
故选：C.
3．已知直线l：，若轴，则下列结论正确的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】B
【解析】∵直线：平行于y轴，
∴，解得，，．
故选：B.
4．圆上的点到直线的最大距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】圆化为标准方程得，
圆心坐标为，半径为，圆心到直线的距离为
所以圆上的点到直线的最大距离为.
故选:C.
5．已知点A,B,斜率为k的直线l过点P,则满足下列条件的直线l与线段AB相交的是 ( )
A． B． C．或 D．
【答案】C
【解析】 根据题意,在平面直角坐标系中,作出A,B,P点,如图,
当直线l与线段AB相交时,k≥kPB==,k≤kPA==-4,
所以斜率k的取值范围是k≥或k≤-4. 故选：C
6．l1,l2是分别经过A(1,1),B(0,-1)两点的两条平行直线,当l1,l2间的距离最大时,直线l1的方程为 ( )
A．x+2y-3=0 B．x-2y-3=0 C．2x-y-1=0 D．2x-y-3=0
【答案】A
【解析】 当两条平行直线与AB垂直时,两条平行直线间的距离最大,又kAB==2,所以=-,
所以l1的方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0.
7．已知直线与圆相交于，两点，当面积最大时，实数的值为（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】B
【解答过程】依题意，如图所示
则，
，
∴即时，面积最大，
此时圆心到直线的距离为,
,解得，
又，
故选：B.
8．已知圆，圆心为的圆分别与圆相切.圆的公切线（倾斜角为钝角）交圆于两点，则线段的长度为（ ）
A． B． C．3 D．6
【答案】B
【解析】如图，由已知的圆心为，半径为，
设的半径为，
由题意知圆与需外切，否则圆无公切线或公切线（倾斜角为钝角）与圆无交点；
由题意知，即；
，即，
故圆，圆，
设圆的公切线方程为，
则，解得，即，
故到的距离为，
故，
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列说法中，正确的有（ ）
A．直线在轴上的截距为
B．直线必过定点
C．若过点的直线的截距相等，则该直线方程为或
D．若两直线平行，则或
【答案】BC
【详解】对于A，令，可得，所以直线在轴上的截距为，故A错误；
对于B，由，可得，所以直线过定点，故B正确；
对于C，当直线在轴和轴上截距都为时，
设直线方程为，将代入，可得，所以，
当直线在轴和轴上截距都不为时，
设方程为，代入，解得：，
故此时直线方程为，
综上，直线方程为或，故C正确；
对于D，由题可得，解得或，
当时，的方程为，的方程为，
重合，矛盾，
当时，的方程为，的方程为，满足条件，
，故D错误.
故选：BC.
10．已知圆是直线上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ）
A．直线经过定点
B．的最小值为
C．点到直线的距离的最大值为
D．是锐角
【答案】AB
【解析】设，则以为直径的圆的方程为
，
化简得，与联立，
可得所在直线方程：，即，
故可知恒过定点A正确；
到过定点的直线距离的最大值为：，
，故最小值为.B正确，
当点与定点的连线与直线垂直时，此时点到直线
的距离最大，且最大值为，故C错误；
圆心到的距离为，
由于,在直角三角形中，
当点运动到正好时，此时最小，的张角最大，
此时，
当点位于其它点时均为锐角，故，不恒为锐角，D错误.
故选：AB
11．已知曲线，则（ ）
A．曲线关于轴对称
B．曲线围成图形的面积为
C．曲线上的点到点的距离最大值为
D．若点是曲线上的点，则的最大值为1
【答案】AD
【详解】对于A，令是曲线上的任意一点，即，
则成立，即点在曲线上，因此曲线关于轴对称，A正确；
当时，，即，是以为圆心，
2为半径的圆在直线及上方的半圆，当时，，
即，是以为圆心，为半径的圆在直线及下方部分，
对于B，曲线在直线及上方的半圆面积为，B错误；
对于C，曲线在直线及下方部分上的点与点的距离最大值为
，C错误；
对于D，表示曲线上的点与点确定直线斜率的，
观察图形知，当过点的直线与曲线在轴下方部分相切时，直线斜率最大，
设此切线方程为，则，解得，所以的最大值为1，D正确.
故选：AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．已知是直线的一个方向向量，则的倾斜角为 .
【答案】
【详解】依题意，直线的斜率，其倾斜角为.
故答案为：
13．若圆上恰有个点到直线的距离等于，则的取值范围是 .
【答案】
【详解】圆心到直线的距离为，
若圆上恰有个点到直线的距离等于，
所以，则，解得。
所以的取值范围是.
故答案为：.
14．已知实数，满足，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】设为圆上一点，直线为，过点作，连接，再分别求出和，则，再根据条件求出范围即可.
【解析】设为圆上一点，直线为，过点作，连接，作出如下示意图：
则到直线的距离，由图可知圆在直线的上方，
所以，即，所以，，
所以，所以只需求出取值范围即可，
设直线与圆相切，所以，解得，
所以两条切线方程为：和，设两切点分别为，，分别过作，
垂足为，过作，垂足为，所以，
因为直线的斜率为：，所以，
所以，，又因为，
所以，所以，，
所以
所以，所以.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）已知△ABC的三个顶点是A(4,0),B(6,7),C(0,3),求:
(1)边AB上的中线所在直线的方程.
(2)边AC上的垂直平分线所在直线的方程.
【答案】(1)
(2) 8x-6y-7=0
【详解】 (1)设AB的中点为D,则D,
直线CD的斜率为k==,
所以边AB上的中线CD所在直线的方程为y-3=x,即x-10y+30=0.
(2)设AC的中点为E,则E,
直线AC的斜率为kAC==-,
则边AC上的垂直平分线的斜率为k==,
所以边AC上的垂直平分线所在直线的方程为y-=,即8x-6y-7=0.
16．（15分）已知的顶点，边上的高所在直线方程为，的平分线所在的直线方程为．
(1)求直线的方程和点C的坐标；
(2)求的面积．
【答案】(1)，
(2)7
【分析】（1）联立，得，因为的平分线所在的直线方程为，所以点关于直线的对称点在直线上，所以，由此可得直线的方程；根据垂直直线的直线系方程可设直线的方程为，代入点可求，进而联立直线和即可;
（2）求出点到直线的距离，利用两点间的距离公式求出，再利用三角形面积公式求解即可.
【详解】（1）因为边上的高所在直线方程为，
的平分线所在的直线方程为，
所以联立，得，
设点关于直线的对称点为，
所以解得，即，
所以，所以直线的方程为．
因为边上的高所在直线方程为，
所以设直线的方程为，代入，得
所以直线的方程为，
联立，解得．
（2）因为边所在直线方程为，
所以，点A到直线的距离，
，
所以．
17．（15分）已知圆和圆外一点
(1)求的取值范围
(2)若，过点作圆的切线，求切线方程
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据圆的一般方程表示圆及点在圆外，列不等式即可求解.
（2）根据条件求及圆的标准方程.讨论切线斜率是否存在两种情况，当斜率不存在时,可直接求得直线方程；当斜率存在时，由点斜式设出直线方程，结合点到直线的距离即可求解.
【详解】（1）根据题意：，
点在圆外，则，
所以实数的取值范围为.
（2）由（1）知，且，
所以.
则圆的方程为：
当不存在时，直线，满足题意，
当存在时，设切线方程为
因为，
所以，
所以切线方程为，
综上，切线方程为：或.
18．（15分）已知圆过点，圆心在直线上，且圆与直线相切．
(1)求圆的标准方程；
(2)若点为直线上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为、，求四边形面积的最小值，并求出此时点的坐标．
【答案】(1)
(2)四边形面积的最小值为，点的坐标为
【分析】（1）设圆心，根据题意列关于的方程，解方程，可求出圆的半径，进而可得出圆的标准方程；
（2）推导出，可得出四边形面积，分析可知，当时，取最小值，
求出方程，联立、的方程，求点的坐标，并求出的值，由此可得出四边形面积的最小值.
【详解】（1）因为圆的圆心在直线上，设圆心为，
根据题意可得，即，
解得，故圆心为，该圆的半径为，
因此，圆的标准方程为.
（2）因为、都与圆相切，由切线长定理可得，
又因为，，
则，且，，
所以，四边形面积，
当时，取最小值，则四边形面积最小，
因为直线的斜率为，则直线的斜率为，
所以，直线的方程为，即，
由得，即点的坐标为，
此时，则四边形面积的最小值为.
19．（15分）已知一动点A在圆上移动，它与定点连线的中点为M．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)过定点的直线与点M的轨迹交于P，Q两点．
（Ⅰ）试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由；
（Ⅱ）若，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)（Ⅰ）是，定值为12；（Ⅱ）
【分析】（1）设出点的坐标，根据中点坐标表示点的坐标并代入圆的方程计算即可；
（2）（Ⅰ）设出直线方程以及点的坐标，代入直线方程与圆的方程联立，根据向量可求得定值；（Ⅱ）设点的坐标，根据向量找到等式，即可求得结果.
【详解】（1）设点M的坐标是，点A的坐标是，由于点B的坐标是，
且M是线段的中点，所以，，
于是，①
因为点A在圆上上运动，
所以点A的坐标满足圆的方程，即②，
把①代入②，得，整理，得；
（2）（Ⅰ）依题意可知，直线的斜率k存在且不为零，设，
设，，将代入，
并整理，得，
∴，，
则，
，
∴
，
所以为定值，且定值为12；
（Ⅱ）依题意可知，直线的斜率k存在且不为零，设，
设，，将代入，
并整理，得，
∴，，
∴，
∴或，
经检验， 时，此时直线与圆没有两个交点，
即中，所以，
所以，直线的方程为．
