直线与圆的方程 讲义（无答案）2026届高三数学一轮复习

直线与圆的方程
【课前练习】
1.直线和直线的位置关系为（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
2.已知直线l：与直线关于直线对称，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
3.已知直线，若关于对称的直线为，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4.过A (1,-2), B (-3,2)的直线的斜率k= , 倾斜角α= .
5.已知 的图象恒过定点A, 若直线l: mx+2y-1=0经过点A,则坐标原点O到直线l的距离为 .
6.定义在[1,+∞)上的函数f(x)满足: (1) f(2x)= cf(x) (c 为正常数); (2) 当 时，f(x)=1-|x-3|.若函数的所有极大值点均落在同一条直线上，则c= .
【知识梳理】
一、直线
1.倾斜角
当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0．由定义可知，直线的倾斜角的取值范围为，具体如下
直线 与轴平行或重合 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降
倾斜角
2.直线方程的几种形式
名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围
点斜式 是直线上一定点，k是斜率 不垂直于x轴
斜截式 k是斜率，b是直线在y轴上的截距 不垂直于x轴
两点式 ，是直线上两定点 不垂直于x轴和y轴
截距式 a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距 不垂直于x轴和y轴，且不过原点
一般式 A、B、C为系数 任何位置的直线
3.相关距离公式
（1）点到直线的距离
特别地，若直线为l：x=m，则点到l的距离；若直线为l：y=n，则点到l的距离
（2）已知是两条平行线，设，则与之间的距离
二、圆的方程
1.标准方程
，其中为圆心，为半径．
2.圆的一般方程
当时，方程叫做圆的一般方程．为圆心，为半径．
模块一：直线的相关基本量
【思路梳理】
1.（平行、垂直） ；
2.三点共线 ，存在 ；
3.P、Q在直线同侧： ,P、Q在直线异侧： ；
4.直线的平移、旋转、对称变换：转化为点或方程的运算；
5.直线与坐标轴问题的结论与思路：
若过某定点直线与x、y正半轴分别交于点A、B，则
（1）求三角形ABO最小值：设截距式用基本不等式求解；
（2）OA+OB取最小值：令，则，有，当且仅当时取等；
（3） ；
（4）（结合权方和不等式求解）；
6.分点弦问题：点差法；
7.直线系方程：若直线 与直线 相交于点 P，则它们的“线性组合” 且不全为0)表示过 P 点的线系.当参数λ，μ为一组确定的值时，直线系方程表示一条过 P 的直线；特别地，当λ=0时，直线系方程为 当 时，直线系方程为 对l ，l 以外的直线，我们往往只在直线系方程中保留一个参数，而使另一个为1.在两直线平行时，直线系方程表示所有与两直线平行的直线；
8.注意代数公式的几何意义（向量数量积、距离公式等）.
【典型例题】
1.已知直线，直线l2是直线l1绕点逆时针旋转45°得到的直线．则直线l2的方程是（ ）
A． B．
C． D．
2.点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ）
A．； B．；
C．； D．；
3.经过P(0,-1)作直线l，若直线l与连结A(1，-2)、B(2，1)的线段总有公共点，求直线l的斜率k和倾斜角α的范围.
3.已知直线l： (1)求证：直线恒过定点；(2)若直线 不经过第四象限，求k的取值范围；(3)求原点O到直线l距离的最大值.
4.过点P(2，1)作直线m交x轴、y轴正半轴分别于A、B，求：
最小 ； 最小； 时，m的方程.
5.已知过点P(2,-3)的直线l与 分别相交于点 A、B且 求1的方程.
6.已知正方形ABCD的中心在原点，四个顶点都在曲线 上，
(1)若正方形的一个顶点为 (2，1)，求a，b的值，并求出此时函数f(x)的单调增区间；
(2)若正方形ABCD 唯一确定，试求出 b 的值.
模块二：圆的方程
【思路梳理】
一、圆幂与根轴：圆幂与根轴
1.相交弦定理与切割线定理统称为圆幂定理.
2.在半径为r的圆O所在平面内任取一点E，定义圆幂为，记为.圆幂用来表示点与圆的位置关系，在解析几何中，若圆O：不难由定义得：
3.根轴：到两个圆的圆幂相等的点轨迹
①两圆外离时，根轴位于两圆之间，且为两圆四条公切线线段中点所在直线（易得四点对两圆的圆幂相等）；
②两圆外切时，根轴为其内公切线；
③两圆相交时，根轴为两圆的公共弦；
④两圆内切时，根轴为两圆外公切线；
⑤两圆内含时，根轴位于圆外；
⑥两圆同心且半径不等时，根轴为无穷远线（或不存在，根轴方程无解）；
⑦两圆半径相等时，根轴为圆心连线的中垂线，其中一个圆退化为点时，根轴的结论依然成立.
因此，当两圆相交时，方程相减即为公共弦；两圆相离时，相减所得直线方程为对两圆切线长相等的点的轨迹.
分析：引理定差幂线：到两个顶点距离平方差为定值的点的轨迹为一条与此两点连线垂直的直线（四边形ABCD中，AC与BD垂直的充要条件为
二、圆系方程
①若直线l: Ax+ By+C=0与圆C 相交于 A，B两点，则曲线系方程： (λ为参数)，表示过A，B的所有圆.
②圆 与 表示两个相交圆，则曲线系方程：=0(为参数),表示过C 、C 交点的所有圆(共轴圆, 或一条直线(根轴，
③若表示圆C: 上的任意一点，则曲线系方程：
0(λ为参数)，表示与C相切于点的所有圆.
三、一些圆问题的常见几何法
1.动点P的轨迹为圆的充要条件：
① ；② ；③ ；④ ；⑤ ；⑥满足圆的一般方程判别式；
2.过圆内一点P最长弦为直径AB，最短弦为AB的垂线CD；
3.过圆外一点P有：(A为圆上一点）；
4.求一般内切圆方程用点到直线距离公式.
【典型例题】
1.已知 P 为单位圆上一动点,且A(0,2),B(0,—1),则 的最大值为（ ）
C.6 D.8
2.已知点为圆上的一动点，点，，则的最大值为 ．
3.过点P(1,)作圆O:x2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则弦长|AB|=　　　　.
4.若直线与圆只有一个公共点，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．
5.由直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为( )
A． B． C． D．
6.直线与以点为圆心的圆相交于A，B两点，且，则圆C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
7.若直线与曲线恰有两个交点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8.圆：与圆：的内公切线长为（ ）
A．3 B．5 C． D．4
9.若一圆与圆 切于点 A(3,6),且过点 B(5,6)，则该圆的方程为 .
10.已知圆C: 问是否存在斜率为1 的直线l，使直线l被圆C截得的弦AB 为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.
11.求过两圆 和 的两交点的圆中，面积最小的圆的方程.
12.给定圆O以及内部一点P，设A，B是圆O上的两个动点，满足∠APB=90°，则AB的中点的轨迹为（ ）
A.一个圆 B.一个椭圆 C.一段双曲线 D.一段抛物线
【课后练习】
1．已知，分别为轴、轴上的动点，若以线段为直径的圆过点，则线段的中点的轨迹方程为（ ）.
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系中，，，点P满足，则点P到直线的最大值是（ ）
A．2 B． C． D．
3.（多选）已知圆与圆交于两点，则（ ）
A．圆与圆有两条公切线
B．直线的方程为
C．
D．线段的垂直平分线的方程为
4.已知圆C:关于直线对称，求圆心C坐标为 ．
5.点在圆上，且点关于直线对称，则该圆的半径是 .