河南省2025-2026学年高一上学期第二次联考数学试卷（含解析）

河南省2025-2026学年高一上学期第二次联考数学试题
一、单选题
1．命题“”的否定是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列说法错误的是（　　）
A． B． C． D．
3．若集合，则（　　）
A． B． C． D．
4．已知函数则（　　）
A． B． C．0 D．1
5．若四边形是平行四边形，则“是等边三角形”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数，则函数的定义域为（　　）
A． B． C． D．
8．若不等式有且只有两个整数解，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列四个图形中，是函数图象的是（　　）
A． B．
C． D．
10．已知，且，则（　　）
A． B．
C．的最小值为 D．的最小值为8
11．已知非空数集T满足：对任意的，都有，且集合T中的元素个数不超过4．下列说法正确的是（ ）
A．T可能为双元素集合 B．T中元素不可能都大于0
C．T中所有元素之积为 D．T中所有元素之和可能为
三、填空题
12．某校举办运动会时，高一（1）班共有23名同学参加田径或球类比赛，有15人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，则同时参加田径和球类比赛的有 人．
13．若，则的取值范围为 ．
14．对于实数，我们用符号表示两数中较大的数，如．若函数在上有最小值，则的取值范围为 ．
四、解答题
15．（1）已知，求函数的解析式；
（2）已知函数对于任意的，都有，求的解析式．
16．已知集合．
(1)当时，求；
(2)若，求的取值范围．
17．不等式对一切实数恒成立的的取值集合为，集合．
(1)求集合；
(2)若“”是“”的充分条件，求的取值范围．
18．（1）若的解集为，求的值；
（2）当时，恒成立，求的取值范围；
（3）求关于的不等式的解集．
19．有限集合，若，则称集合为“完美集合”．
(1)判断集合是否为“完美集合”，并说明理由；
(2)已知集合为“完美集合”，求的取值范围；
(3)已知均大于0，且，证明：集合为“完美集合”．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D D B A A C D BD ABD
题号 11
答案 BCD
1．B
根据全称命题的否定为存在量词命题写出即可.
【详解】全称量词命题的否定为存在量词命题，
命题“”的否定是“”．
故选：B
2．D
由几个数集的含义逐个判断即可.
【详解】对于A，表示实数集，所以，故A正确；
对于B，表示有理数集，为无理数，所以，故B正确；
对于C，表示有理数集，则，所以C正确；
对于D，表示空集，而表示该集合有一个元素，所以，故D错误；
故选：D
3．D
根据集合的补集、并集的定义进行求解.
【详解】由题可知，，
则，又，
则．
故选：D.
4．B
根据给定的分段函数，分段判断代入求值.
【详解】依题意，.
故选：B
5．A
根据充分条件与必要条件的概念判断即可；
【详解】解：若是等边三角形，则四边形是菱形，所以；
若，则四边形是菱形，只能推出是等腰三角形，无法得到其为等边三角形，
故“是等边三角形”是“”的充分不必要条件．
故选：A
6．A
通过分子有理化可判断a和b的大小关系，再由不等式性质可判断a和c大小关系可得.
【详解】因为，，
因为，所以，故，
所以．因为，，所以．综上，．
故选：A.
7．C
先求出的定义域，进而求出的定义域.
【详解】令，则，即
解得，即的定义域为．
所以对于函数，应有，解得，
故的定义域为．
故选：C.
8．D
设，则，由题意可得不等式的解集中的两个整数为，0，则求解即可.
【详解】设，则，
所以不等式的解集中的两个整数为，0，
则
所以
解得．
故选：D
9．BD
根据函数的定义进行判断即可.
【详解】由函数的定义可知，一个自变量值对应唯一一个函数值，或者多个自变量值对应唯一一个函数值，
对于A：同一值可有两个值，所以该图象不是函数图象；
对于B：同一值有唯一一个值，所以该图象是函数图象；
对于C：同一值可有两个值，所以该图象不是函数图象；
对于D：同一值有唯一一个值，所以该图象是函数图象；
故选：BD．
10．ABD
运用乘的方法以及基本不等式即可逐项判断.
【详解】因为，所以，
当且仅当时，等号成立，所以，则A正确．
，
当且仅当时，等号成立，则B正确．
，
当且仅当时，等号成立，则C错误．
由，可得，所以，
则，所以的最小值为8，则D正确．
故选：ABD
11．BCD
根据题意得，，得， 逐项判断即可.
【详解】由，，得，，
要使得T为双元素集合，则x，，中必有两个相等，另外一个和它们不相等．
因为，，，所以T不可能是双元素集合，所以A错误．
由上知，T中必有三个元素，所以，则，所以B正确，C正确．
当时，，，所以D正确．
故选：BCD
12．5
根据15人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，再结合总人数即可求得同时参加田径和球类比赛的人数．
【详解】15人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，
共有23名同学参加田径或球类比赛，
所以同时参加田径和球类比赛的有．
故答案为：5
13．
由于，利用不等式的形式求范围.
【详解】由，
得，
而，
则，
所以的取值范围为．
故答案为：
14．
根据二次函数和绝对值函数画出图象，求出特殊交点的坐标，进而求得结果.
【详解】令，
当时，化简方程为，解得；
当时，化简方程为，解得，作出函数的图象，如图所示，
所以．又函数的图象关于直线对称，
所以，即．
若函数在上有最小值，则的取值范围为．
故答案为：.

15．（1）；（2）.
(1)利用换元法即可求解；(2)利用方程法即可求解.
【详解】（1）令，则，
所以，
故的解析式为.
（2）因为对于任意的，都有．
所以用替换，得，
用替换，得.
由
消去，可得.
16．(1)或.
(2)或.
（1）先求出集合的不等式的解集，然后根据补集、交集的运算法则进行求解即可.
（2）根据集合的包含关系和子集的定义进行求解即可.
【详解】（1），
当时，，因为，
所以或，
所以或.
（2）因为，所以.
当时，，解得；
当时，，解得．
由，得解得.
综上，的取值范围为或.
17．(1)
(2)
（1）分两种情况进行讨论，进而求得集合.
（2）根据充分条件的定义和集合的包含关系求出的范围.
【详解】（1）当时，显然恒成立；
当时，不等式对一切实数都成立，
则解得.
综上，.
（2）因为“”是“”的充分条件，所以.
又，所以在上恒成立．
令，
则
即
解得，所以的取值范围为.
18．（1），；
（2）；
（3）答案见解析
【详解】解：（1）若的解集为，
则是方程的唯一根，
所以，解得，
所以.
（2）由，得，
因为，则，
所以.
因为，要使得不等式恒成立，所以，即的取值范围为.
（3），即．
①当时，即，解得，不等式的解集为.
②当时，令，解得.
若，则不等式的解集为；
若，则不等式的解集为或；
若，则不等式的解集为或；
若，则不等式的解集为或．
综上所述，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或.
19．(1)集合是“完美集合”，理由见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）是“完美集合”．
理由如下：
因为，
所以集合是“完美集合”.
（2）因为集合为“完美集合”，
所以，
即.
，
解得或.
又因为，所以的取值范围为.
（3）因为，所以.
因为，
当且仅当时，等号成立，
所以，
即，
根据集合元素的互异性，不全相等，则，
所以集合为“完美集合”.