广东省东莞市五校2024-2025学年高一上学期第二次联考数学试卷
1．（2024高一上·东莞期中）是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
2．（2024高一上·东莞期中）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024高一上·东莞期中）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一上·东莞期中）已知是函数的一个零点，则（ ）
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
5．（2024高一上·东莞期中）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一上·东莞期中）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
7．（2024高一上·东莞期中）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高一上·东莞期中）某市政府为了增加农民收入，决定对该市特色农副产品的科研创新和广开销售渠道加大投入，计划逐年加大研发和宣传资金投入.若该政府2024年全年投入资金120万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该政府全年投入的资金翻两番（即为2024年的四倍）的年份是（ ）（参考数据：，）
A．2029年 B．2030年 C．2031年 D．2032年
9．（2024高一上·东莞期中）下列说法，正确的是（ ）
A．
B．若角与角的终边在同一条直线上，则
C．若角的终边经过点，则
D．若扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为
10．（2024高一上·东莞期中）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024高一上·东莞期中）已知，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则的最小值为5
B．若，则的最大值为1
C．若，则的最小值为8
D．若，则的最小值为
12．（2024高一上·东莞期中）已知函数为幂函数，且在上单调递增，则实数的值是 .
13．（2024高一上·东莞期中）已知函数（为常数），且，则 .
14．（2024高一上·东莞期中）已知函数（其中，且）.
（1）若，则实数的值是 ；
（2）若的值域为，则实数的取值范围为 .
15．（2024高一上·东莞期中）（1）计算.
（2）已知，求的值.
16．（2024高一上·东莞期中）已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
17．（2024高一上·东莞期中）已知二次函数满足，且，为上的奇函数，且当时，.
（1）求函数在上的解析式，在给定的坐标系中画出的图象，并根据图象写出函数的单调增区间；
（2）讨论关于的方程的根的个数.
18．（2024高一上·东莞期中）东莞广播电视台旗下的电商平台—“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势，主要销售东莞制造的优质产品及东莞对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云南野苹果”等农特产品在东莞热销.通过对过去的一个月（以30天计）的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现：每千克的销售价格（单位：元/千克）关于第天的函数关系近似满足（，且为常数），日销售量（单位：千克）关于第天的部分数据如下表所示：
9 14 18 22 29
54 59 63 59 52
已知第9的日销售收入为552元.
（1）求的值；
（2）给出以下四种函数模型：
①；②；③；④.
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式；
（3）设该工艺品的日销售收入为函数（单位：元）；求函数的最小值.
19．（2024高一上·东莞期中）已知函数为奇函数，其中为自然对数的底数.
（1）求实数的值，并用定义证明函数的单调性；
（2）解不等式；
（3）已知函数与的图象关于点对称，设函数，若对，总，使得成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】象限角、轴线角
【解析】【解答】 因为，可知的终边与的终边相同，
而为第二象限角，所以是第二象限角.
故答案为：B.
【分析】要判断是第几象限角，需利用终边相同的角的关系，将转化为（，）的形式，再根据所在象限确定所在象限.
2．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：当时，若，则，即“”不是“”充分条件；
当时，，即“”是“”必要条件，
综上所述，“”是“”的必要不充分条件，
故答案为：B.
【分析】若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件；若结论能推出条件，则条件为结论的必要条件.由不等式性质可知，若，则；若，则（ 两边同时乘以一个正数不会改变不等式的方向 ），因此条件为结论的必要不充分条件.
3．【答案】C
【知识点】指数函数单调性的应用；幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解： 幂函数，因为指数，所以在上单调递增.
又因为，所以，即.对数函数，
因为底数，所以在上单调递增.而，
所以，即.
综上，.
故答案为：C
【分析】要比较、、的大小，需分别分析三个数的取值范围.对于幂函数，根据其单调性比较和；对于对数函数，根据其单调性确定的范围，最后综合得出三者大小关系.
4．【答案】C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；函数零点存在定理
【解析】【解答】 因为函数，均在上单调递减，
所以函数在上单调递减，
又，，
故零点所在区间为，所以.
故答案为：C.
【分析】要确定函数的零点所在区间，先分析函数的单调性，再计算区间端点的函数值，根据函数零点存在性定理（若函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且，则函数在区间内有零点）来判断.
5．【答案】A
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，所以，
所以，
又因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】由已知条件可得，再根据完全平方差公式得出，进而得出的值.
6．【答案】D
【知识点】命题的否定；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：因为命题：“”为假命题，
所以其否定命题：“”为真命题.
当时，不等式变为，对于任意都成立.
当时，函数是一元二次函数，要使对任意恒成立，
则需满足：.
综合以上两种情况，的取值范围是.
故答案为：D
【分析】已知命题为假命题，根据特称命题与全称命题的否定关系，先写出的否定命题，且为真命题.然后分和两种情况，结合一元二次不等式恒成立的条件来确定实数的取值范围.
7．【答案】C
【知识点】对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对于二次函数，其图象开口向下，对称轴为.
因为在上单调递减，所以对称轴需满足.
因为在上单调递减，所以在上的最小值在处取得.
计算，要使恒成立，即，解得.
综合以上两个条件，.
故答案为：C.
【分析】要确定函数在区间上单调递减时的取值范围，需利用复合函数单调性“同增异减”的原则.外层函数是增函数，所以内层函数需在上单调递减，同时还要保证在上恒成立.
8．【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】 设第年该政府全年投入的资金翻两番，
依题意得：
，
因此该政府全年投入的资金翻两番（即为2024年的四倍）的年份是2032年，
故答案为：D
【分析】每年投入资金的增长构成等比数列，公比为要找到资金翻两番（变为2024年的4倍）的年份，需先根据等比数列通项公式列出方程，再通过对数运算求解所需年数，进而确定年份.
9．【答案】A,C,D
【知识点】扇形的弧长与面积；任意角三角函数的定义；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】 对于A，，故A正确；
对于B，因为角与角的终边在同一条直线上，所以角与角的终边可能重合，此时，故B错误；
对于C，因为角的终边经过点，所以且，
所以，故C正确；
对于D，设扇形的半径为，又扇形的弧长为2，圆心角为，
所以，解得，所以该扇形的面积为，故D正确.故答案为：ACD.
【分析】本题综合考查三角恒等式、终边相同角、三角函数定义以及扇形的弧长和面积公式.对于每个选项，分别利用相应的知识点进行分析判断.
10．【答案】B,C
【知识点】函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解： 对于A，由于导致，故不是偶函数，故A错误；
对于B，由，解得，所以的定义域为，关于原点对称.
又，所以是偶函数.
而，所以是偶函数又存在零点，故B正确；
对于C，由，解得，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以是偶函数.
而，所以存在零点.
所以是偶函数又存在零点，故C正确；
对于D，由，解得，所以的定义域为.
所以定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】本题需根据偶函数的定义（定义域关于原点对称，且）和函数零点的定义（使的实数），对每个选项逐一分析.
11．【答案】B,C,D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 A：当时，显然满足，而，所以本选项不正确；
B：，，，
当且仅当时取等号，即当时取等号，故本选项正确；
C：，
当且仅当时取等号，即当时取等号，故本选项正确；
D：由，得，且，，
则
，
当且仅当，即当时取等号，故本选项正确，故答案为：BCD.
【分析】本题主要运用基本不等式来求解代数式的最值，同时结合对数运算、指数运算等知识，对每个选项逐一分析，判断其正确性.
12．【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解： 由题意可知，解之得或，
当时，，此时函数在上单调递减，不符题意；
当时，，此时函数在上单调递增，满足题意.
所以实数的值是.
故答案为：.
【分析】本题需根据幂函数的定义（形如（为常数）的函数，其系数为）先求出的可能值，再结合幂函数在上的单调性（当时单调递增，时单调递减）确定最终的.
13．【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解： 因为，
所以有，
于是有
故答案为：
【分析】首先观察到，所以可以考虑将转化为，然后结合已知条件，通过对函数表达式的变形来计算.
14．【答案】；
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的值；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 （1）由解析式可得：，
所以，
所以，
（2）当时，的值域为，
，函数在单调递增，值域为： ，
显然不符合函数的值域为；
当时，的值域为，
，函数在单调递增，值域为： ，
若函数的值域为，则需满足，解得：，
故实数的取值范围为；
当时，显然不符合题意；
当时，的值域为，
，函数在单调递减，值域为： ，显然不符合函数的值域为；
综上实数的取值范围为；
故答案为：；
【分析】对于第一问，根据分段函数的表达式逐步代入计算；对于第二问，需要分情况讨论指数函数和一次函数的单调性，结合值域为的条件确定实数的取值范围.
15．【答案】解：（1）
；
（2）因为，所以
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）对于对数和指数的混合运算，需要运用对数的运算性质（如，）以及指数的运算性质（如，）来逐步计算.
（2）对于分式的化简求值，先利用立方差公式和平方差公式对分子分母进行因式分解，再结合已知条件，通过完全平方公式等变形来计算.
16．【答案】（1）解：由，得，解得，所以，
当时，，
所以或x>3}，
所以或3（2）解：由（1）可得，因为，所以，
因为，所以或，解得或，
所以实数的取值范围为或 }.
【知识点】并集及其运算；交、并、补集的混合运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）先求解集合和当时的集合，再求出的补集，最后求与的交集；
（2）根据的条件，结合集合和的范围，确定实数的取值范围.
（1）由，得，解得，所以，
当时，，所以或，
所以或；
（2）由（1）可得，因为，所以，
因为，所以或，解得或，
所以实数的取值范围为或.
17．【答案】（1）解：设二次函数，则，
因为，
故，所以，解得，则，
所以；
当时，，
当时，，则，为上的奇函数，
故，，故，
综上，，
画出函数图象如下：
函数的单调增区间为.
（2）解：由图可知，，，方程，即，
当，即时，或当，即时，方程有一个根；
当，即或时，方程有两个根；
当，即时，方程有三个根.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先通过设二次函数的一般式，利用已知条件求出的解析式，再根据奇函数的性质求出在和时的解析式，进而画出图象并确定单调增区间；
（2）将方程变形，结合（1）中的图象，分析直线与图象的交点个数，从而确定方程根的个数.
（1）设二次函数，则，
因为，
故，
所以，解得，则，
所以；
当时，，
当时，，则，
为上的奇函数，故，，
故，
综上，，
画出函数图象如下：
函数的单调增区间为.
（2）由图可知，，，
方程，即，
当，即时，或当，即时，方程有一个根；
当，即或时，方程有两个根；
当，即时，方程有三个根.
18．【答案】（1）解：因为第9的日销售收入为552元，所以有；
（2）解：由函数、、 的解析式可知：这三个函数的单调性要么在定义域内递增，要么递减，要么是常值函数，不会出现在定义域内，即有单调递减又有递增的情况，
而函数在时，在时是单调递增，在上单调递减，
由列表可知：的单调性是先增后减，因此合适，把代入，
得，
显然也满足函数的解析式；
（3）解：由题意可知：，
当时，，
当且仅当时取等号，即当时，取等号，此时；
当时，，显然此时函数单调递减，
此时，
综上所述：函数的最小值元.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；“直线上升”模型；“对数增长”模型；“指数爆炸”模型
【解析】【分析】（1）根据日销售收入的计算公式，结合已知的第9天日销售收入数据，求出常数的值；
（2）分析表格中数据的单调性，从给定的四种函数模型中选择合适的模型，再代入数据求出其解析式；
（3）将日销售收入函数根据的范围进行分段，分别讨论每一段函数的最小值，最后得出整个函数的最小值.
（1）因为第9的日销售收入为552元，
所以有；
（2）由函数、、 的解析式可知：这三个函数的单调性要么在定义域内递增，要么递减，要么是常值函数，不会出现在定义域内，即有单调递减又有递增的情况，
而函数在时，在时是单调递增，在上单调递减，
由列表可知：的单调性是先增后减，因此合适，
把代入，得，
显然也满足函数的解析式；
（3）由题意可知：，
当时，，
当且仅当时取等号，即当时，取等号，此时；
当时，，
显然此时函数单调递减，此时，
综上所述：函数的最小值元.
19．【答案】（1）解：因为的定义域为R且函数为奇函数，
所以，
因为，
所以是奇函数，符合题意，故成立；
，该函数是实数集上的增函数，
理由如下：
设是任意两个实数，且，
则有，
因为，所以，所以，
所以函数是实数集上的增函数；
（2）解：因为函数是实数集上的增函数又是奇函数，
所以由，
，
所以不等式的解集为；
（3）解：因为函数与的图象关于点对称，所以，
显然，所以有，
，
令，当时，，
设，所以，
于是当时，，对，总，使得成立，
所以有，
即实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；指数函数单调性的应用
【解析】【分析】（1）利用奇函数在处的特殊性质求出的值，再通过函数单调性的定义，结合指数函数的单调性，证明函数的单调性.
（2）结合函数的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，再通过换元法求解不等式.
（3） 根据函数图象的对称性求出的表达式，分析其值域；对进行化简，通过换元法转化为二次函数，求出其值域；最后根据存在性与任意性的关系，确定实数的取值范围.
（1）因为的定义域为R且函数为奇函数，
所以，
因为，
所以是奇函数，符合题意，故成立；
，该函数是实数集上的增函数，理由如下：
设是任意两个实数，且，
则有，
因为，所以，所以，
所以函数是实数集上的增函数；
（2）因为函数是实数集上的增函数又是奇函数，
所以由
，
所以不等式的解集为；
（3）因为函数与的图象关于点对称，
所以，
显然，所以有，
，
令，当时，，
设，
所以，
于是当时，，
对，总，使得成立，
所以有，即实数的取值范围为.
1 / 1广东省东莞市五校2024-2025学年高一上学期第二次联考数学试卷
1．（2024高一上·东莞期中）是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】B
【知识点】象限角、轴线角
【解析】【解答】 因为，可知的终边与的终边相同，
而为第二象限角，所以是第二象限角.
故答案为：B.
【分析】要判断是第几象限角，需利用终边相同的角的关系，将转化为（，）的形式，再根据所在象限确定所在象限.
2．（2024高一上·东莞期中）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：当时，若，则，即“”不是“”充分条件；
当时，，即“”是“”必要条件，
综上所述，“”是“”的必要不充分条件，
故答案为：B.
【分析】若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件；若结论能推出条件，则条件为结论的必要条件.由不等式性质可知，若，则；若，则（ 两边同时乘以一个正数不会改变不等式的方向 ），因此条件为结论的必要不充分条件.
3．（2024高一上·东莞期中）已知，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数单调性的应用；幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解： 幂函数，因为指数，所以在上单调递增.
又因为，所以，即.对数函数，
因为底数，所以在上单调递增.而，
所以，即.
综上，.
故答案为：C
【分析】要比较、、的大小，需分别分析三个数的取值范围.对于幂函数，根据其单调性比较和；对于对数函数，根据其单调性确定的范围，最后综合得出三者大小关系.
4．（2024高一上·东莞期中）已知是函数的一个零点，则（ ）
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4)
【答案】C
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；函数零点存在定理
【解析】【解答】 因为函数，均在上单调递减，
所以函数在上单调递减，
又，，
故零点所在区间为，所以.
故答案为：C.
【分析】要确定函数的零点所在区间，先分析函数的单调性，再计算区间端点的函数值，根据函数零点存在性定理（若函数在区间上的图象是连续不断的一条曲线，且，则函数在区间内有零点）来判断.
5．（2024高一上·东莞期中）已知，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，所以，
又因为，所以，
所以，
又因为，
所以.
故答案为：A.
【分析】由已知条件可得，再根据完全平方差公式得出，进而得出的值.
6．（2024高一上·东莞期中）已知命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】D
【知识点】命题的否定；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：因为命题：“”为假命题，
所以其否定命题：“”为真命题.
当时，不等式变为，对于任意都成立.
当时，函数是一元二次函数，要使对任意恒成立，
则需满足：.
综合以上两种情况，的取值范围是.
故答案为：D
【分析】已知命题为假命题，根据特称命题与全称命题的否定关系，先写出的否定命题，且为真命题.然后分和两种情况，结合一元二次不等式恒成立的条件来确定实数的取值范围.
7．（2024高一上·东莞期中）已知函数在区间上单调递减，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对于二次函数，其图象开口向下，对称轴为.
因为在上单调递减，所以对称轴需满足.
因为在上单调递减，所以在上的最小值在处取得.
计算，要使恒成立，即，解得.
综合以上两个条件，.
故答案为：C.
【分析】要确定函数在区间上单调递减时的取值范围，需利用复合函数单调性“同增异减”的原则.外层函数是增函数，所以内层函数需在上单调递减，同时还要保证在上恒成立.
8．（2024高一上·东莞期中）某市政府为了增加农民收入，决定对该市特色农副产品的科研创新和广开销售渠道加大投入，计划逐年加大研发和宣传资金投入.若该政府2024年全年投入资金120万元，在此基础上，每年投入的资金比上一年增长20%，则该政府全年投入的资金翻两番（即为2024年的四倍）的年份是（ ）（参考数据：，）
A．2029年 B．2030年 C．2031年 D．2032年
【答案】D
【知识点】对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】 设第年该政府全年投入的资金翻两番，
依题意得：
，
因此该政府全年投入的资金翻两番（即为2024年的四倍）的年份是2032年，
故答案为：D
【分析】每年投入资金的增长构成等比数列，公比为要找到资金翻两番（变为2024年的4倍）的年份，需先根据等比数列通项公式列出方程，再通过对数运算求解所需年数，进而确定年份.
9．（2024高一上·东莞期中）下列说法，正确的是（ ）
A．
B．若角与角的终边在同一条直线上，则
C．若角的终边经过点，则
D．若扇形的弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为
【答案】A,C,D
【知识点】扇形的弧长与面积；任意角三角函数的定义；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】 对于A，，故A正确；
对于B，因为角与角的终边在同一条直线上，所以角与角的终边可能重合，此时，故B错误；
对于C，因为角的终边经过点，所以且，
所以，故C正确；
对于D，设扇形的半径为，又扇形的弧长为2，圆心角为，
所以，解得，所以该扇形的面积为，故D正确.故答案为：ACD.
【分析】本题综合考查三角恒等式、终边相同角、三角函数定义以及扇形的弧长和面积公式.对于每个选项，分别利用相应的知识点进行分析判断.
10．（2024高一上·东莞期中）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C
【知识点】函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解： 对于A，由于导致，故不是偶函数，故A错误；
对于B，由，解得，所以的定义域为，关于原点对称.
又，所以是偶函数.
而，所以是偶函数又存在零点，故B正确；
对于C，由，解得，
所以函数的定义域为，关于原点对称，
又，所以是偶函数.
而，所以存在零点.
所以是偶函数又存在零点，故C正确；
对于D，由，解得，所以的定义域为.
所以定义域不关于原点对称，所以不是偶函数，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】本题需根据偶函数的定义（定义域关于原点对称，且）和函数零点的定义（使的实数），对每个选项逐一分析.
11．（2024高一上·东莞期中）已知，，下列说法正确的是（ ）
A．若，则的最小值为5
B．若，则的最大值为1
C．若，则的最小值为8
D．若，则的最小值为
【答案】B,C,D
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】 A：当时，显然满足，而，所以本选项不正确；
B：，，，
当且仅当时取等号，即当时取等号，故本选项正确；
C：，
当且仅当时取等号，即当时取等号，故本选项正确；
D：由，得，且，，
则
，
当且仅当，即当时取等号，故本选项正确，故答案为：BCD.
【分析】本题主要运用基本不等式来求解代数式的最值，同时结合对数运算、指数运算等知识，对每个选项逐一分析，判断其正确性.
12．（2024高一上·东莞期中）已知函数为幂函数，且在上单调递增，则实数的值是 .
【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解： 由题意可知，解之得或，
当时，，此时函数在上单调递减，不符题意；
当时，，此时函数在上单调递增，满足题意.
所以实数的值是.
故答案为：.
【分析】本题需根据幂函数的定义（形如（为常数）的函数，其系数为）先求出的可能值，再结合幂函数在上的单调性（当时单调递增，时单调递减）确定最终的.
13．（2024高一上·东莞期中）已知函数（为常数），且，则 .
【答案】
【知识点】对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解： 因为，
所以有，
于是有
故答案为：
【分析】首先观察到，所以可以考虑将转化为，然后结合已知条件，通过对函数表达式的变形来计算.
14．（2024高一上·东莞期中）已知函数（其中，且）.
（1）若，则实数的值是 ；
（2）若的值域为，则实数的取值范围为 .
【答案】；
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的值；指数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】 （1）由解析式可得：，
所以，
所以，
（2）当时，的值域为，
，函数在单调递增，值域为： ，
显然不符合函数的值域为；
当时，的值域为，
，函数在单调递增，值域为： ，
若函数的值域为，则需满足，解得：，
故实数的取值范围为；
当时，显然不符合题意；
当时，的值域为，
，函数在单调递减，值域为： ，显然不符合函数的值域为；
综上实数的取值范围为；
故答案为：；
【分析】对于第一问，根据分段函数的表达式逐步代入计算；对于第二问，需要分情况讨论指数函数和一次函数的单调性，结合值域为的条件确定实数的取值范围.
15．（2024高一上·东莞期中）（1）计算.
（2）已知，求的值.
【答案】解：（1）
；
（2）因为，所以
.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）对于对数和指数的混合运算，需要运用对数的运算性质（如，）以及指数的运算性质（如，）来逐步计算.
（2）对于分式的化简求值，先利用立方差公式和平方差公式对分子分母进行因式分解，再结合已知条件，通过完全平方公式等变形来计算.
16．（2024高一上·东莞期中）已知集合，.
（1）当时，求；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由，得，解得，所以，
当时，，
所以或x>3}，
所以或3（2）解：由（1）可得，因为，所以，
因为，所以或，解得或，
所以实数的取值范围为或 }.
【知识点】并集及其运算；交、并、补集的混合运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）先求解集合和当时的集合，再求出的补集，最后求与的交集；
（2）根据的条件，结合集合和的范围，确定实数的取值范围.
（1）由，得，解得，所以，
当时，，所以或，
所以或；
（2）由（1）可得，因为，所以，
因为，所以或，解得或，
所以实数的取值范围为或.
17．（2024高一上·东莞期中）已知二次函数满足，且，为上的奇函数，且当时，.
（1）求函数在上的解析式，在给定的坐标系中画出的图象，并根据图象写出函数的单调增区间；
（2）讨论关于的方程的根的个数.
【答案】（1）解：设二次函数，则，
因为，
故，所以，解得，则，
所以；
当时，，
当时，，则，为上的奇函数，
故，，故，
综上，，
画出函数图象如下：
函数的单调增区间为.
（2）解：由图可知，，，方程，即，
当，即时，或当，即时，方程有一个根；
当，即或时，方程有两个根；
当，即时，方程有三个根.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先通过设二次函数的一般式，利用已知条件求出的解析式，再根据奇函数的性质求出在和时的解析式，进而画出图象并确定单调增区间；
（2）将方程变形，结合（1）中的图象，分析直线与图象的交点个数，从而确定方程根的个数.
（1）设二次函数，则，
因为，
故，
所以，解得，则，
所以；
当时，，
当时，，则，
为上的奇函数，故，，
故，
综上，，
画出函数图象如下：
函数的单调增区间为.
（2）由图可知，，，
方程，即，
当，即时，或当，即时，方程有一个根；
当，即或时，方程有两个根；
当，即时，方程有三个根.
18．（2024高一上·东莞期中）东莞广播电视台旗下的电商平台—“家乡好物商城”依托广播、电视与互联网平台优势，主要销售东莞制造的优质产品及东莞对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云南野苹果”等农特产品在东莞热销.通过对过去的一个月（以30天计）的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现：每千克的销售价格（单位：元/千克）关于第天的函数关系近似满足（，且为常数），日销售量（单位：千克）关于第天的部分数据如下表所示：
9 14 18 22 29
54 59 63 59 52
已知第9的日销售收入为552元.
（1）求的值；
（2）给出以下四种函数模型：
①；②；③；④.
请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量关于第天的变化关系，并求出该函数的解析式；
（3）设该工艺品的日销售收入为函数（单位：元）；求函数的最小值.
【答案】（1）解：因为第9的日销售收入为552元，所以有；
（2）解：由函数、、 的解析式可知：这三个函数的单调性要么在定义域内递增，要么递减，要么是常值函数，不会出现在定义域内，即有单调递减又有递增的情况，
而函数在时，在时是单调递增，在上单调递减，
由列表可知：的单调性是先增后减，因此合适，把代入，
得，
显然也满足函数的解析式；
（3）解：由题意可知：，
当时，，
当且仅当时取等号，即当时，取等号，此时；
当时，，显然此时函数单调递减，
此时，
综上所述：函数的最小值元.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；“直线上升”模型；“对数增长”模型；“指数爆炸”模型
【解析】【分析】（1）根据日销售收入的计算公式，结合已知的第9天日销售收入数据，求出常数的值；
（2）分析表格中数据的单调性，从给定的四种函数模型中选择合适的模型，再代入数据求出其解析式；
（3）将日销售收入函数根据的范围进行分段，分别讨论每一段函数的最小值，最后得出整个函数的最小值.
（1）因为第9的日销售收入为552元，
所以有；
（2）由函数、、 的解析式可知：这三个函数的单调性要么在定义域内递增，要么递减，要么是常值函数，不会出现在定义域内，即有单调递减又有递增的情况，
而函数在时，在时是单调递增，在上单调递减，
由列表可知：的单调性是先增后减，因此合适，
把代入，得，
显然也满足函数的解析式；
（3）由题意可知：，
当时，，
当且仅当时取等号，即当时，取等号，此时；
当时，，
显然此时函数单调递减，此时，
综上所述：函数的最小值元.
19．（2024高一上·东莞期中）已知函数为奇函数，其中为自然对数的底数.
（1）求实数的值，并用定义证明函数的单调性；
（2）解不等式；
（3）已知函数与的图象关于点对称，设函数，若对，总，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为的定义域为R且函数为奇函数，
所以，
因为，
所以是奇函数，符合题意，故成立；
，该函数是实数集上的增函数，
理由如下：
设是任意两个实数，且，
则有，
因为，所以，所以，
所以函数是实数集上的增函数；
（2）解：因为函数是实数集上的增函数又是奇函数，
所以由，
，
所以不等式的解集为；
（3）解：因为函数与的图象关于点对称，所以，
显然，所以有，
，
令，当时，，
设，所以，
于是当时，，对，总，使得成立，
所以有，
即实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；指数函数单调性的应用
【解析】【分析】（1）利用奇函数在处的特殊性质求出的值，再通过函数单调性的定义，结合指数函数的单调性，证明函数的单调性.
（2）结合函数的奇偶性和单调性，将不等式进行转化，再通过换元法求解不等式.
（3） 根据函数图象的对称性求出的表达式，分析其值域；对进行化简，通过换元法转化为二次函数，求出其值域；最后根据存在性与任意性的关系，确定实数的取值范围.
（1）因为的定义域为R且函数为奇函数，
所以，
因为，
所以是奇函数，符合题意，故成立；
，该函数是实数集上的增函数，理由如下：
设是任意两个实数，且，
则有，
因为，所以，所以，
所以函数是实数集上的增函数；
（2）因为函数是实数集上的增函数又是奇函数，
所以由
，
所以不等式的解集为；
（3）因为函数与的图象关于点对称，
所以，
显然，所以有，
，
令，当时，，
设，
所以，
于是当时，，
对，总，使得成立，
所以有，即实数的取值范围为.
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