3.2.2奇偶性（含解析）2025-2026学年高一数学（人教A版2019必修第一册）

3.2.2奇偶性
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
基础巩固
题型一：函数奇偶性概念
1．下列关于奇函数与偶函数的叙述中：
①奇函数的图象必通过原点；
②偶函数的图象必与y轴相交；
③奇函数或偶函数的定义域必关于原点对称；
④既是奇函数又是偶函数的函数必是.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．是定义在上的奇函数，下列结论中，不正确的是（ ）
A． B．
C． D．
题型二：函数奇偶性的判断
3．下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列函数中，不是偶函数的是（ ）
A． B．
C． D．
5．已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为R，则（ ）
A．是奇函数 B．是奇函数
C．是奇函数 D．是偶函数
6．函数的奇偶性是 （从“奇函数”、“偶函数”、“既奇又偶”、“非奇非偶”中选一个恰当答案填入）．
题型三：函数奇偶性的应用
7．已知是定义在上的奇函数，当时，，则在上的解析式是（ ）．
A． B．
C． D．
8．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A．的定义域为 B．的值域为
C．在区间上单调递减 D．的解集为
10．已知定义在上的偶函数，且当时，单调递减，则关于的不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数是定义在上的奇函数，则（ ）
A．
B．函数为奇函数
C．函数为偶函数
D．当时，若，则不等式的解集为
12．已知函数是定义在上的奇函数，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．若在上有最小值－1，则在上有最大值1
C．若x＞0时，，则x＜0时，
D．若在上为增函数，则在上为减函数
13．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
14．已知定义在区间上的偶函数，当时，单调递增，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．已知，其中为常数，若，则 .
16．已知函数且经过两点．
(1)求函数的解析式；
(2)利用单调性的定义证明：在上单调递增；
(3)当是定义在上的函数时，解不等式．
二 能力提升
17．设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A． B．
C． D．
18．函数的大致图象为（ ）
A． B．
C． D．
19．已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，且，在单调递增，则（ ）
A． B．
C． D．
20．已知函数的定义域为，，则（ ）
A．
B．为偶函数
C．若，则
D．若时，单调递减，则当时，不等式的解集是
21．已知函数的定义域为，，且对任意实数m，n，有，当时，．则下列结论正确的是（ ）
A． B．是上的单调递减函数
C．为偶函数 D．为奇函数
22．已知是定义在上的奇函数，当且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
23．已知是奇函数，是偶函数，且，则 ， ．
24．若函数在区间[－2023，2023]上的最大值为4，则最小值为 ．
25．已知函数对任意实数恒有，当时，，且.
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)求在区间上的最大值；
(3)若对所有的，恒成立，求实数m的取值范围.
试卷第4页，共5页
试卷第5页，共5页
《2025年10月28日高中数学作业》参考答案
题号 1 2 3 4 5 7 8 9 10 11
答案 B C B C BCD D D D C AB
题号 12 13 14 17 18 19 20 21 22
答案 ABC B C C B BC ACD AD B
1．B
（分析）根据奇偶性的定义，举反例判断即可.
【解答过程】奇函数的图象关于原点对称，但不一定过原点，如，故①错；
偶函数的图象关于y轴对称，但不一定与轴相交，如，故②错；
根据奇函数或偶函数的定义，其定义域必关于原点对称，故③对；
既是奇函数又是偶函数的函数不一定是，如，故④错；
故选：B
2．C
（分析）根据函数是奇函数的定义计算判断即可.
【解答过程】由题可知：是定义在上的奇函数，所以，
对A，成立，故正确；
对B，成立，故正确；
对C，令，则，不成立，故错误；
对D，，
由，所以成立，故正确；
故选：C
3．B
（分析）由奇函数定义及选项单调性可得正确答案.
【解答过程】对于A，定义域为，，则函数为奇函数，又函数在递减，在上单调递增，则A错误；
对于B，定义域为，，则函数为奇函数，又函数在上单调递增，故B正确；
对于C，定义域为，，则函数为偶函数，故C错误；
对于D，定义域为，定义域不关于原点对称，为函数非奇非偶函数，故D错误.
故选：B
4．C
（分析）根据偶函数的定义，对选项逐一判断.
【解答过程】对选项A，函数的定义域为，解得的定义域为，定义域关于原点对称，且，故是偶函数.
B选项，函数的定义域为，解得，定义域关于原点对称，则，，所以函数是偶函数.
C选项，当，，所以不是偶函数.
D选项，，的定义为，
当，，
当，
所以函数为偶函数.
故选：C
5．BCD
（分析）本题根据奇偶性的定义逐项判断即可得出结果.
【解答过程】对A，因为，所以不是奇函数，故A错误；
对B，因为，所以是奇函数，故B正确；
对C，因为，所以是奇函数，故C正确；
对D，因为，所以是偶函数，故D正确．
故选：BCD．
6．奇函数
（分析）根据题意，利用函数奇偶性的定义及判定方法，即可求解.
【解答过程】由不等式，可得，
所以的定义域为，关于原点对称，
又由，
可得，所以函数为奇函数．
故答案为：奇函数．
7．D
（分析）由函数奇偶性求解析式即可.
【解答过程】解析 因为当时，，为奇函数，
所以当时，，
所以，即，
故选：D．
8．D
（分析）首先求出函数的定义域，即可判断函数的奇偶性，再根据时函数值的特征判断即可.
【解答过程】函数的定义域为，
且，所以为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A、C；
当时，故排除B.
故选：D
9．D
（分析）根据解析式和图像直接判断AB；对于C：结合奇函数性质分析判断；对于D：利用单调性解不等式即可.
【解答过程】对于选项A：显然函数的定义域为，故A错误；
对于选项B：由图象可知可以为负值，所以的值域不为，故B错误；
因为，可知为奇函数.
对于选项C：由图象可知：在区间上单调递增，
则在区间上单调递增，故C错误；
对于选项D：因为在区间上单调递增，
且，此时的解集为；
又因为在区间上单调递增，
且，此时的解集为；
综上所述：的解集为，故D正确；
故选：D.
10．C
（分析）根据偶函数的定义域关于原点对称求出的值，利用是偶函数可得，将不等式转化为，利用当时，单调递减，将转化为，解出此不等式；的定义域为，得到，解出此不等式组，从而得解.
【解答过程】定义在上的偶函数，，，
当时，单调递减，当时，单调递减，
定义在上的偶函数，
，，，
当时，单调递减，
，，即，
解得或，
的定义域为，
，，
，
或和要同时成立，
，
关于的不等式的解集为.
故选：C.
11．AB
（分析）由奇函数的性质可得A，B正确，C错误；由函数的单调性和奇函数的性质解抽象函数不等式可得D错误；
【解答过程】对于A，由函数是定义在上的奇函数，所以，故A正确；
对于B，由可得函数为奇函数，故B正确；
对于C，由，又函数是定义在上的奇函数，可得函数为奇函数，故C错误；
对于D，由题意可得单调递增，不等式可化为不等式，
所以，解得，故D错误；
故选：AB.
12．ABC
（分析）根据函数的性质逐项分析.
【解答过程】对于A， ，正确；
对于B，由于是在R上的奇函数，若则，由且，所以，即上最大值为1，正确；
对于C，当 时， ，正确；
对于D，根据函数图像关于原点对称，当在上是增函数，则在也是增函数，错误；
故选：ABC.
13．B
（分析）由时，恒成立，可得函数在区间上单调递增，再根据函数是偶函数，可得函数图象关于直线对称，根据函数的单调性与对称性即可得解.
【解答过程】解：因为当时，恒成立，
所以函数在区间上单调递增，
由于函数是偶函数，故函数图象关于y轴对称，
所以函数图象关于直线对称，
所以，，
由，函数在区间上单调递增，
所以．
故选：B.
14．C
（分析）由偶函数知，时；当时，故，结合区间单调性和定义域列不等式求参数范围.
【解答过程】因为是上的偶函数，所以，
又在上单调递增，结合，所以，
解得或，
故实数的取值范围为．
故选：C
15．2
（分析）利用函数的解析式特征，推出，再代值计算即得.
【解答过程】，
.
故答案为：2.
16．(1)
(2)证明过程见解析
(3)
（分析）（1）代入，得到方程组，求出，得到解析式；
（2）定义法证明函数单调性步骤：取点，作差，变形判号，下结论；
（3）判断出函数的奇偶性，结合单调性和定义域得到不等式组，求出不等式解集.
【解答过程】（1）将代入解析式得，
解得，故；
（2）证明：任取，
则
，
因为，所以，
故，
故，所以在上单调递增；
（3），
又定义域为，故为奇函数，
由（2）知，在上单调递增，
故，
故，解得，
故不等式解集为.
17．C
（分析）先求函数定义域，看是否关于原点对称，不对称则不是奇函数，定义域关于原点对称再看是否满足定义即可得解.
【解答过程】令，则函数的定义域为不关于原点对称，
所以该函数不是奇函数，A错；
令，则函数的定义域为不关于原点对称，
所以该函数不是奇函数，B错；
令，则函数的定义域为关于原点对称，
且，所以该函数是奇函数，C正确；
令，则函数的定义域为关于原点对称，
但，所以该函数不是奇函数，D错.
故选：C
18．B
（分析）利用排除法可得结论.
【解答过程】因为的定义域为，关于原点对称，
且，所以是奇函数，排除D.
当时，，排除C.
当时，0，排除A.
故选：B.
19．BC
（分析）根据题意得到在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，得到，，结合函数的单调性，逐项判定，即可求解.
【解答过程】因为是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，
且两函数在上单调递增，
所以在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递增，
所以，，
所以，，，
所以B、C正确，A错误；
若，则，D错误.
故选：BC
20．ACD
（分析）利用赋值法，分别代数检验，可判断A、B、C的正误，根据函数的奇偶性和单调性，化简整理，即可判断D的正误.
【解答过程】选项A：令，可得，解得，故A正确；
选项B：令，可得，解得，
再令，可得，
所以为奇函数，故B错误；
选项C：令，可得，
解得，故C正确；
选项D：因为为奇函数，所以，
由，可得，
因为，
所以，
所以，
因为时，单调递减，且，
所以，解得，即解集是，故D正确；
故选：ACD
21．AD
（分析）根据已知条件，通过赋值法，结合函数单调性、奇偶性定义，对各选项进行逐一判断．
【解答过程】选项A：函数的定义域为，对任意实数满足，
令，得，，又，
令，得，
，解得，故A正确；
选项B：当时，，
设，则，则，
，，即，
，则在上单调递增，故B错误；
选项C：若为偶函数，则，与，矛盾，故C错误；
选项D：令，则，即，
，即函数为奇函数，故D正确．
故选：．
22．B
（分析）构造函数，其中，分析该函数的单调性与奇偶性，结合已知条件得出，然后将所求不等式转化为、，解之即可.
【解答过程】构造函数，其中，则，
故函数为偶函数，
当且时，都有成立，
不妨设，则，
则，即，
故函数在上为增函数，即该函数在上为减函数，
因为，则，
当时，由得，即，解得；
当时，由得，即，解得.
综上所述，不等式的解集为.
故选：B
23． ．
（分析）根据奇偶性构造出新的关系式，结合题干表达式，列方程组求解.
【解答过程】由题意得，
则有
两式相减得，所以
故答案为：，
24．0
（分析）先展开整理函数解析式成，构造奇函数，利用奇函数图象关于原点对称的特征得到，可求得，即得答案.
【解答过程】因为，
令，则，
因为，所以函数为奇函数．
因为奇函数的图象关于原点对称，所以在上的最大值和最小值之和为0，
即，则，
因，故.
故答案为：
25．(1)奇函数，证明见解析；
(2)；
(3).
（分析）（1）通过对进行赋值，结合奇函数定义即可证明；
（2）根据函数单调性的定义，可证明函数在上为减函数，即函数的最大值为，再通过赋值结合函数的奇偶性，即可求解；
（3）由题意，对所有的，恒成立，即，根据函数单调性，可得恒成立，再结合一次函数的图像性质即可求解.
【解答过程】（1）取，则，所以，
取，则，
所以对任意恒成立，
所以为奇函数．
（2）任取且，则，
所以，所以，
又为奇函数，所以，所以．
故为上的减函数．
所以在上的最大值为，
因为，
所以，
故在上的最大值为6．
（3）因为在上是减函数，所以，
因为，对所有，恒成立．
所以，对所有恒成立，
即，对所有恒成立，
令，则，
即，解得：或．
所以实数的取值范围为．
答案第6页，共14页
答案第5页，共14页