数学：2.1《合情推理与演绎推理》测试（1）（新人教b版选修2-2）

合情推理与演绎推理
一、归纳推理
例1．（1）观察圆周上n个点之间所连的弦，发现两个点可以连一条弦，3个点可以连3条弦，4个点可以连6条弦，5个点可以连10条弦，你由此可以归纳出什么规律？
变式1.设平面内有条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这条直线交点的个数，则=____________；当时， ．（用表示）
变式2.在圆内画一条线段,将圆分成两部分;画两条线段,彼此最多分割成4条线段,同时将圆分割成4部分;画三条线段,彼此最多分割成9条线段,同时将圆分割成7部分.那么
(1)在圆内画四条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成 部分?
(2)猜想:圆内两两相交的n(n≥2)条线段,彼此最多分割成 条线段?同时将圆分割成 部分?
强化训练
1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是 .
2.由＞,＞,＞,…若a＞b＞0,m＞0，则与之间的大小关系为 .
3.下列推理是归纳推理的是 （填序号）.
①A，B为定点，动点P满足|PA|+|PB|=2a＞|AB|，得P的轨迹为椭圆
②由a1=1，an=3n-1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
③由圆x2+y2=r2的面积r2，猜想出椭圆=1的面积S=ab
④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
4.已知整数的数对列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),…则第60个数对是 .
二、类比推理
（一）数列中的类比
例1.在等差数列中，若，则有等式
成立，类比上述性质，相应地：在等比数列中，若，则有等式 成立.
强化练习
1.定义“等和数列”，在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列｛a｝等和数列，且，公和为5。那么的值为_______________，这个数列前n项和的计算公式为_______________。
2.若数列是等差数列，则有数列
类比上述性质，相应地：若数列是等比数列，且，则有数列
（二）几何中的类比
例1.如图1，若射线OM，ON上分别存在点M1，M2与点N1，N2，则=·；如图2，若不在同一平面内的射线OP，OQ和OR上分别存在点P1，P2，点Q1，Q2和点R1，R2，则类似的结论是什么？
例2 . 已知O是△ABC内任意一点，连结AO、BO、CO并延长交对边于A′,B′,C′,则++=1,这是一道平面几何题,其证明常采用“面积法”.
++=++==1，
请运用类比思想，对于空间中的四面体V—BCD，存在什么类似的结论？并用体积法证明.
强化练习
1.在平面几何中，有勾股定理：“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则 .”
2.在平面几何中，△ABC的内角平分线CE分AB所成线段的比=，把这个结论类比到空间：在三棱锥A—BCD中（如图所示），而DEC平分二面角A—CD—B且与AB相交于E，则得到的类比的结论是 .

3.现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 .

(三)解析几何中的类比
例1.已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲线写出具有类似特性的性质，并加以证明.
强化训练
1.已知两个圆：， ①与 ② 则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 .
2．如图,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当时,其离心率为,此类椭圆被称为“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可推算出”黄金双曲线”的离心率e等于 （ ）
A. B. C. D.
（四）定义、运算中的类比　
例1.电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表：
十进制
1
2
3
4
5
6
…….
二进制
1
10
11
100
101
110
……..
观察二进制1位数，2位数，3位数时，对应的十进制的数，当二进制为6位数能表示十进制中最大的数是
强化训练
1.由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn=nm”类比得到“a·b=b·a”；②“（m+n）t=mt+nt”类比得到“(a+b)·c=a·c+b·c”；③“(m·n)t=m(n·t)”类比得到“（a·b）·c=a·（b·c）”；④“t≠0,mt=xtm=x”类比得到“p≠0,a·p=x·pa=x”;⑤“|m·n|=|m|·|n|”类比得到“|a·b|=|a|·|b|”；⑥“=”类比得到“=”.
以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是 .
2.下面使用类比推理恰当的是 .
①“若a·3=b·3,则a=b”类推出“若a·0=b·0，则a=b”
②“(a+b)c=ac+bc”类推出“=+”
③“(a+b）c=ac+bc”类推出“=+(c≠0)”
④“（ab）n=anbn”类推出“(a+b)n=an+bn”
3.下面给出了关于复数的四种类比推理：
①复数的加减法运算可以类比多项式的加减法运算法则；
②由向量a的性质|a|2=a2类比得到复数z的性质|z|2=z2；
③方程有两个不同实数根的条件是可以类比得到：方程有两个不同复数根的条件是；
④由向量加法的几何意义可以类比得到复数加法的几何意义.
其中类比错误的是 ( )
A.①③ B. ②④ C. ①④ D. ②③
4.定义的运算分别对应下图中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的（A）、（B）所对应的运算结果可能是 ( )
（1） （2） （3） （4） （A） （B）
A. B. C. D.
三、演绎推理
例1.一切奇数都不能被2整除，2100+1是奇数，所以2100+1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为 .
例2．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线
平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误
例3．“AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是 。
例4．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据 “三段论”推理出一个结论，则这个结论是 。
合情推理与演绎推理（答案）
一、归纳推理
例1．解析：（1）设为n个点可连的弦的条数，则
变式1.【答案】5，
解：由图B可得，
由，，，
，可推得∵n每增加1，则交点增加个，
∴．
变式2.（1）16，11（2）
强化训练
1.答案 白色2.答案 ＞3.答案 ②4.答案 (5,7)
二、类比推理
（一）数列中的类比
例1.分析 本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是：
等差数列 用减法定义 性质用加法表述（若且
则）；
等比数列 用除法定义 性质用乘法表述（若且
则）.
由此，猜测本题的答案为：
事实上，对等差数列，如果，则
. 所以有：
）（）.从而对等比数列，如果，则有等式：成立.
强化练习
1.分析：此题类比等差数列定义给出“等和数列”定义，解决此类问题要认真理解所给出的定义，结合所学知识寻求正确解决方法。
解：∵｛a｝是等和数列，，公和为5，
∴，则，，…知，（n∈N*）。
∴＝3，数列｛a｝形如：2，3，2，3，2，3，……。
∴。
2.解析：由已知“等差数列前n项的算术平均值是等差数列”可类比联想“等比数列前n项的几何平均值也应该是等比数列”不难得到
（二）几何中的类比
例1.解 类似的结论为：=··.
这个结论是正确的，证明如下：
如图，过R2作R2M2⊥平面P2OQ2于M2，连OM2.
过R1在平面OR2M2作R1M1∥R2M2交OM2于M1，
则R1M1⊥平面P2OQ2.
由=·R1M1
=·OP1·OQ1·sin∠P1OQ1·R1M1
=OP1·OQ1·R1M1·sin∠P1OQ1，
同理，=OP2·OQ2·R2M2·sin∠P2OQ2.
所以=.
由平面几何知识可得=.
所以=.所以结论正确.
例2 . 证明 在四面体V—BCD中，任取一点O，连结VO、DO、BO、CO并延长分别交四个面于E、F、G、H点.则+++=1.
在四面体O—BCD与V—BCD中：
===.
同理有：=；=；=，
∴+++
===1.
强化练习
1.分析 关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：
多面体 多边形； 面 边
体 积 面 积 ； 二面角 平面角
面 积 线段长； … …
由此，可类比猜测本题的答案：
（证明略）.
2.答案 =3.答案
(三)解析几何中的类比
例1.分析 类似的性质为：若M、N是双曲线上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为、时，那么与之积是与点P的位置无关的定值.
证明：设点M、P的坐标为（）、（），则N（）.
因为点M（）在已知双曲线上，所以，同理.
则（定值）.
强化训练
1.分析 将题设中所给出的特殊方程①、②推广归纳到一般情况：
设圆的方程为， ③
与 ④
其中或，则由③式减去④式可得两圆的对称轴方程.
评注 本题通过类比推广，可以由特殊型命题直接归纳概括出一般型命题。
2． 答案：A。解析： 猜想出“黄金双曲线”的离心率等于.事实上对直角△应用勾股定理,得,即有,
注意到,,变形得.
（四）定义、运算中的类比　
例1.解：通过阅读，不难发现：
于是知二进制为6位数能表示十进制中最大的数是。
强化训练
1.答案 2 2.答案 ③3.答案：D 。解析：由复数的性质可知。4.答案：B。
三、演绎推理
例1.一切奇数都不能被2整除，2100+1是奇数，所以2100+1不能被2整除，其演绎推理的“三段论”的形式为 .
答案 一切奇数都不能被2整除， 大前提
2100+1是奇数， 小前提
所以2100+1不能被2整除. 结论
例2．有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线
平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为 （ ）
A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误
答案：A。解析：直线平行于平面,并不平行于平面内所有直线。
例3．“AC,BD是菱形ABCD的对角线，AC,BD互相垂直且平分。”补充以上推理的大前提是 。答案：菱形对角线互相垂直且平分。
例4．由①正方形的对角线相等；②平行四边形的对角线相等；③正方形是平行四边形，根据 “三段论”推理出一个结论，则这个结论是 。
答案：②③①。解析：②是大前提，③是小前提，①是结论。
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