24.2.1 点和圆的位置关系（第2课时） 课时练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
文档属性
| 名称 | 24.2.1 点和圆的位置关系（第2课时） 课时练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 683.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-10-28 18:02:43 | ||
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文档简介
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24.2.1 点和圆的位置关系（第2课时） 课时练 2025-2026学年
上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．下列语句中正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形 B．相等的圆心角所对的弦相等
C．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 D．三点确定一个圆
2．小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．都不能
3．如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（ ）
A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断
4．如图，外接圆的圆心坐标是（ ）
A．(5，2) B．(2，3) C．(1，4) D．(0，0)
5．下面是李老师编辑的一份文档，由于粗心，作法的步骤被打乱了：
已知：如图，是的一个内角． 求作：． 作法： ①以点为圆心，为半径作的外接圆； ②在弧上取一点，连接，．所以． ③分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；与直线交于点；
正确的作图步骤应该是（ ）
A．①③② B．③②① C．③①② D．②①③
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．有一个角是的三角形是等边三角形
B．若，则
C．用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设
D．在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
7．如图，在等边三角形中，、分别在、上，连接、交于，连接交于点．有下列两个命题：
①如果，那么为中点；
②如果，那么．
对于这两个命题判断正确的是（ ）
A．①②都是真命题； B．①是真命题，②是假命题；
C．①是假命题，②是真命题； D．①②都是假命题．
二、填空题
8．阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题．
证明：假设是有理数，
那么存在两个互质的正整数，，使得，则___________．
是2的倍数，
____________________，
可设（为正整数），则，
_____________，即，
__________________，
，都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．
因此假设不成立，即不是有理数．
将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是 ．（填上序号）
①； ②； ③是2的倍数； ④是2的倍数．
9．用反证法证明“三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角”，应该先假设 ．
10．已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是 ．（填序号）
11．已知：，求作的外接圆，作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画弧，如图⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据是 ．
三、解答题
12．已知实数a、b、c、m、n满足，．
(1)当时，求证：；
(2)若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数．
13．当直接证明一个命题为真命题有困难时，我们可以先假设求证的结论不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的结论正确，这种证明方法称为反证法．反证法是数学中一种常用的证明方法，它的一般证明思路是：第一步：假设求证的结论不成立；
第二步：基于假设进行逻辑推理，
第三步：推导出与条件、公理、定理等相矛盾的结果，
第四步：从而假设不成立，求证的结论正确．
(1)阅读正文并解答下列问题：
如图1，已知在中，，求证：．
证明：假设，
①若，
如图2，在内部作，交于点D．
∵，
∴；
∴，
∵
即：，
这与已知相矛盾，
∴假设不成立：
②若，
···
综上，．
请你补充②中所缺失的部分
(2)用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于．”第一步应先假设______．
(3)如图，在中，均不相等，点D、E、F分别是的中点．求证：用反证法证明：线段与不垂直．
14．已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上．
（1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？
（2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？
（3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？
15．求证：如果实数a、b满足，那么且．（用反证法证明）
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C B B A C D A
1．C
【分析】根据正多边形的定义，圆的有关知识进行分析，从而得到答案．
【详解】解：A、各边相等，各个内角也相等的多边形是正多边形，故本选项不符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故本选项不符合题意；
C、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，故本选项符合题意；
D、不共线的三点确定一个圆，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形的定义和圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．
2．B
【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小．
【详解】解：第②块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．
3．B
【分析】根据三点确定一个圆，圆心的确定方法：任意两点中垂线的交点为圆心即可判断．
【详解】解；如图，分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点就是圆心．
故选：B．
【点睛】本题考查已知圆上三点求圆心，取任意两条线段中垂线交点确定圆心是解题关键．
4．A
【分析】根据三角形各边的中垂线的交点为三角形外接圆的圆心，作出外接圆的圆心，进而即可得到坐标．
【详解】如图，作AB，BC的中垂线，交于点D，点D即为外接圆的圆心，坐标为（5，2）．
故选A．
【点睛】
本题主要考查三角形外接圆的圆心，熟练掌握三角形外接圆的圆心是各边中垂线的交点，是解题的关键．
5．C
【分析】根据同弧所对的圆周角相等，因此要画出的外接圆，即要确定外接圆的圆心，根据外心，是三角形，三边的中垂线的交点，因此要先做的中垂线，利用交点确定圆心，再画出的外接圆，进行判断即可．
【详解】解：根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，
∴画出的外接圆，在弧上取一点，连接，．即可得到，
∵外心是三角形三边的中垂线的交点，
∴先作的中垂线，利用交点确定圆心，再点为圆心，为半径作的外接圆，然后在弧上取一点，连接，，即可．
∴作图的顺序为：③①②；
故选C．
【点睛】本题考查作图—复杂作图．熟练掌握三角形的外接圆的圆心是三边中垂线的交点，以及同弧所对的圆周角相等，是解题的关键．
6．D
【分析】本题主要考查真假命题，掌握等边三角形的判定、有理数的乘方、角平分线的判定、反证法的应用是解题的关键．
根据等边三角形的判定、有理数的乘方、角平分线的判定、反证法的应用依次判断即可．
【详解】解：A、有一个角是的三角形是等边三角形，是假命题，例如三个角分别为、、的三角形不是等边三角形，故本选项说法错误，不符合题意；
B、若，则，是假命题，例如，而，故本选项说法错误，不符合题意；
C、用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设，故本选项说法错误，不符合题意；
D、在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，本选项说法正确，符合题意；
故选：D．
7．A
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定，证明，得到，再证明，得到，进而得到垂直平分，判断①，反证法判断②．
【详解】解析：①三角形为等边三角形，
∴，
，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
，
∵，，
，
，
为中垂线上的点，
∵，
∴为中垂线上的点，
∴垂直平分，
为中点；
所以①为真命题；
假设与不平行，作，与交于点，作，则：，，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，即：，与矛盾，
∴假设不成立，
∴；故②为真命题．
故选A．
8．②④①③
【分析】根据反证法的证明步骤以及立方根的定义补全证明过程即可求解．
【详解】证明：假设是有理数，
那么存在两个互质的正整数，，使得，则．
是2的倍数，
是2的倍数，
可设（为正整数），则，
，即，
是2的倍数，
，都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．
因此假设不成立，即不是有理数．
故答案为：．②④①③
【点睛】本题考查了立方根的定义，反证法，熟练掌握反证法证明方法是解题的关键．
9．三角形的一个外角小于或等于其中一个与它不相邻的内角
【分析】本题考查三角形的外角，解题的关键是掌握三角形的外角和的性质．
使用反证法应先假设结论的反面成立；然后利用已知条件、假设以及已有定理进行推理，得到新结论与原有条件或者已有定理、定义等矛盾，究其矛盾原因，由于假设造成，故假设不成立，原结论成立．
【详解】使用反证法应先假设结论的反面成立，即“三角形的一个外角小于或等于其中一个与它不相邻的内角”．
故答案为：三角形的一个外角小于或等于其中一个与它不相邻的内角.
10．③
【分析】根据过直线外一点作这条直线的垂线，及线段中垂线的做法，圆周角定理，分别作出直角三角形斜边上的垂线，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；即可作出判断.
【详解】①、在角∠BAC内作作∠CAD=∠B,交BC于点D,根据余角的定义及等量代换得出∠B＋∠BAD=90°,进而得出AD⊥BC,根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；
②、以点A为圆心，略小于AB的长为半径，画弧，交线段BC两点，再分别以这两点为圆心，大于两交点间的距离为半径画弧，两弧相交于一点，过这一点与A点作直线，该直线是BC的垂线；根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形是彼此相似的；
③、以点B为圆心BA的长为半径画弧，交BC于点E，再以E点为圆心，AB的长为半径画弧，在BC的另一侧交前弧于一点，过这一点及A点作直线，该直线不一定是BE的垂线；从而就不能保证两个小三角形相似;
④、以AB为直径作圆，该圆交BC于点D，根据圆周角定理，过AD两点作直线该直线垂直于BC，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；
故答案为:③.
【点睛】此题主要考查了相似变换以及相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
11．线段的垂直平分线的性质
【分析】利用线段垂直平分线的性质得到OA=OC=OB，然后根据点与圆的位置关系可判断点A、C在⊙O上．
【详解】解：如图，连接，
∵点O为AC和BC的垂直平分线的交点，
∴OA=OC=OB，
∴⊙O为的外接圆．
故答案为：线段的垂直平分线的性质．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．考查线段的垂直平分线的性质，确定圆的条件，掌握作图的原理是解题的关键．
12．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力．
（1）先得出，，求出，再根据证明结论；
（2）假设m，n没有一个奇数，则，都为偶数，所以为偶数，找出矛盾进而证明结论．
【详解】（1）解：因为，，
所以，，
所以，
因为，，
所以，
所以，即．
（2）解：假设m，n没有一个奇数，即m，n都为偶数，
所以，都为偶数，即，都为偶数，
所以为偶数，
这与为奇数矛盾，
所以假设不成立，
所以m，n至少有一个为奇数．
13．(1)见解析
(2)三角形的三个内角中，三个内角都大于
(3)见解析
【分析】本题主要考查了反证法，菱形的性质与判定，三角形中位线定理等等，熟知反证法是解题的关键．
（1）若，则，这与已知相矛盾，据此证明即可；
（2）反证法第一步应假设结论不成立，即应假设三角形的三个内角中，三个内角都大于；
（3）假设线段与垂直，根据三角形中位线定理得到，则四边形是平行四边形，线段与垂直，则四边形是菱形，可得，进而得到，这与均不相等矛盾，据此可证明结论．
【详解】（1）解：若，则，这与已知相矛盾，
∴假设不成立：
综上，．
（2）解：用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于．”第一步应先假设三角形的三个内角中，三个内角都大于；
（3）证明：假设线段与垂直，
∵点D、E、F分别是的中点，
∴都是的中位线，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵线段与垂直，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，这与均不相等矛盾，
∴假设不成立，
∴线段与不垂直．
14．（1）1个；（2）0个；（3）无数个．
【分析】（1）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点，据此可得答案；
（2）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点；
（3）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心．
【详解】解：（1）如图1，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点，
∴当直线l与直线AB不垂直时，只能作1个圆；
（2）如图2，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点，
∴当直线l与直线AB垂直但不经过AB的中点时，不能作圆；
（3）如图3，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心，
∴当直线l是线段AB的垂直平分线时，能作无数个圆．
【点睛】本题主要考查确定圆的条件，不在同一直线上的三点确定一个圆．即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
15．见解析
【分析】此题考查了反证法的应用，假设或，然后根据题意证明出，即可证明．
【详解】证明：假设或，
则且或且或且．
当且时，，
，
这与矛盾．
同理可得当且或且时，，
这与矛盾，
假设不成立，因此且．
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24.2.1 点和圆的位置关系（第2课时） 课时练 2025-2026学年
上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．下列语句中正确的是（ ）
A．各边相等的多边形是正多边形 B．相等的圆心角所对的弦相等
C．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 D．三点确定一个圆
2．小王不慎把一面圆形镜子打碎了，其中三块如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（ ）
A．① B．② C．③ D．都不能
3．如图，A，B，C是正方形网格中的三个格点，则是（ ）
A．优弧 B．劣弧 C．半圆 D．无法判断
4．如图，外接圆的圆心坐标是（ ）
A．(5，2) B．(2，3) C．(1，4) D．(0，0)
5．下面是李老师编辑的一份文档，由于粗心，作法的步骤被打乱了：
已知：如图，是的一个内角． 求作：． 作法： ①以点为圆心，为半径作的外接圆； ②在弧上取一点，连接，．所以． ③分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线；与直线交于点；
正确的作图步骤应该是（ ）
A．①③② B．③②① C．③①② D．②①③
6．下列命题是真命题的是（ ）
A．有一个角是的三角形是等边三角形
B．若，则
C．用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设
D．在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上
7．如图，在等边三角形中，、分别在、上，连接、交于，连接交于点．有下列两个命题：
①如果，那么为中点；
②如果，那么．
对于这两个命题判断正确的是（ ）
A．①②都是真命题； B．①是真命题，②是假命题；
C．①是假命题，②是真命题； D．①②都是假命题．
二、填空题
8．阅读下列材料：“为什么不是有理数”，完成问题．
证明：假设是有理数，
那么存在两个互质的正整数，，使得，则___________．
是2的倍数，
____________________，
可设（为正整数），则，
_____________，即，
__________________，
，都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．
因此假设不成立，即不是有理数．
将下列选项依次填入材料中的画线处，正确的顺序是 ．（填上序号）
①； ②； ③是2的倍数； ④是2的倍数．
9．用反证法证明“三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角”，应该先假设 ．
10．已知△ABC中，∠BAC=90°，用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成两个相似的三角形，其作法不正确的是 ．（填序号）
11．已知：，求作的外接圆，作法：①分别作线段BC，AC的垂直平分线EF和MN，它们交于点O；②以点O为圆心，OB的长为半径画弧，如图⊙O即为所求，以上作图用到的数学依据是 ．
三、解答题
12．已知实数a、b、c、m、n满足，．
(1)当时，求证：；
(2)若m，n为正整数，且为奇数，请用反证法证明：m，n至少有一个为奇数．
13．当直接证明一个命题为真命题有困难时，我们可以先假设求证的结论不成立，然后利用命题的条件或有关的结论，通过推理导出矛盾，从而得出假设不成立，即所证明的结论正确，这种证明方法称为反证法．反证法是数学中一种常用的证明方法，它的一般证明思路是：第一步：假设求证的结论不成立；
第二步：基于假设进行逻辑推理，
第三步：推导出与条件、公理、定理等相矛盾的结果，
第四步：从而假设不成立，求证的结论正确．
(1)阅读正文并解答下列问题：
如图1，已知在中，，求证：．
证明：假设，
①若，
如图2，在内部作，交于点D．
∵，
∴；
∴，
∵
即：，
这与已知相矛盾，
∴假设不成立：
②若，
···
综上，．
请你补充②中所缺失的部分
(2)用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于．”第一步应先假设______．
(3)如图，在中，均不相等，点D、E、F分别是的中点．求证：用反证法证明：线段与不垂直．
14．已知点A，B和直线l，作一个圆，使它经过点A和点B，并且圆心在直线l上．
（1）当直线l与直线不垂直时，可作几个圆？
（2）当直线l与直线垂直但不经过的中点时，可作几个圆？
（3）当直线l是线段的垂直平分线时，可作几个圆？
15．求证：如果实数a、b满足，那么且．（用反证法证明）
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C B B A C D A
1．C
【分析】根据正多边形的定义，圆的有关知识进行分析，从而得到答案．
【详解】解：A、各边相等，各个内角也相等的多边形是正多边形，故本选项不符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，故本选项不符合题意；
C、经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴，故本选项符合题意；
D、不共线的三点确定一个圆，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了正多边形的定义和圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了垂径定理和圆心角、弧、弦的关系．
2．B
【分析】要确定圆的大小需知道其半径．根据垂径定理知第②块可确定半径的大小．
【详解】解：第②块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．
故选：B．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．
3．B
【分析】根据三点确定一个圆，圆心的确定方法：任意两点中垂线的交点为圆心即可判断．
【详解】解；如图，分别连接AB、AC、BC，取任意两条线段的中垂线相交，交点就是圆心．
故选：B．
【点睛】本题考查已知圆上三点求圆心，取任意两条线段中垂线交点确定圆心是解题关键．
4．A
【分析】根据三角形各边的中垂线的交点为三角形外接圆的圆心，作出外接圆的圆心，进而即可得到坐标．
【详解】如图，作AB，BC的中垂线，交于点D，点D即为外接圆的圆心，坐标为（5，2）．
故选A．
【点睛】
本题主要考查三角形外接圆的圆心，熟练掌握三角形外接圆的圆心是各边中垂线的交点，是解题的关键．
5．C
【分析】根据同弧所对的圆周角相等，因此要画出的外接圆，即要确定外接圆的圆心，根据外心，是三角形，三边的中垂线的交点，因此要先做的中垂线，利用交点确定圆心，再画出的外接圆，进行判断即可．
【详解】解：根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，
∴画出的外接圆，在弧上取一点，连接，．即可得到，
∵外心是三角形三边的中垂线的交点，
∴先作的中垂线，利用交点确定圆心，再点为圆心，为半径作的外接圆，然后在弧上取一点，连接，，即可．
∴作图的顺序为：③①②；
故选C．
【点睛】本题考查作图—复杂作图．熟练掌握三角形的外接圆的圆心是三边中垂线的交点，以及同弧所对的圆周角相等，是解题的关键．
6．D
【分析】本题主要考查真假命题，掌握等边三角形的判定、有理数的乘方、角平分线的判定、反证法的应用是解题的关键．
根据等边三角形的判定、有理数的乘方、角平分线的判定、反证法的应用依次判断即可．
【详解】解：A、有一个角是的三角形是等边三角形，是假命题，例如三个角分别为、、的三角形不是等边三角形，故本选项说法错误，不符合题意；
B、若，则，是假命题，例如，而，故本选项说法错误，不符合题意；
C、用反证法证明：“已知，，求证：．”第一步应先假设，故本选项说法错误，不符合题意；
D、在角的内部，到角的两边距离相等的点一定在这个角的平分线上，本选项说法正确，符合题意；
故选：D．
7．A
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，中垂线的判定，证明，得到，再证明，得到，进而得到垂直平分，判断①，反证法判断②．
【详解】解析：①三角形为等边三角形，
∴，
，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
，
∵，，
，
，
为中垂线上的点，
∵，
∴为中垂线上的点，
∴垂直平分，
为中点；
所以①为真命题；
假设与不平行，作，与交于点，作，则：，，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴，即：，与矛盾，
∴假设不成立，
∴；故②为真命题．
故选A．
8．②④①③
【分析】根据反证法的证明步骤以及立方根的定义补全证明过程即可求解．
【详解】证明：假设是有理数，
那么存在两个互质的正整数，，使得，则．
是2的倍数，
是2的倍数，
可设（为正整数），则，
，即，
是2的倍数，
，都是2的倍数，不互质，与假设矛盾．
因此假设不成立，即不是有理数．
故答案为：．②④①③
【点睛】本题考查了立方根的定义，反证法，熟练掌握反证法证明方法是解题的关键．
9．三角形的一个外角小于或等于其中一个与它不相邻的内角
【分析】本题考查三角形的外角，解题的关键是掌握三角形的外角和的性质．
使用反证法应先假设结论的反面成立；然后利用已知条件、假设以及已有定理进行推理，得到新结论与原有条件或者已有定理、定义等矛盾，究其矛盾原因，由于假设造成，故假设不成立，原结论成立．
【详解】使用反证法应先假设结论的反面成立，即“三角形的一个外角小于或等于其中一个与它不相邻的内角”．
故答案为：三角形的一个外角小于或等于其中一个与它不相邻的内角.
10．③
【分析】根据过直线外一点作这条直线的垂线，及线段中垂线的做法，圆周角定理，分别作出直角三角形斜边上的垂线，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；即可作出判断.
【详解】①、在角∠BAC内作作∠CAD=∠B,交BC于点D,根据余角的定义及等量代换得出∠B＋∠BAD=90°,进而得出AD⊥BC,根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；
②、以点A为圆心，略小于AB的长为半径，画弧，交线段BC两点，再分别以这两点为圆心，大于两交点间的距离为半径画弧，两弧相交于一点，过这一点与A点作直线，该直线是BC的垂线；根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形是彼此相似的；
③、以点B为圆心BA的长为半径画弧，交BC于点E，再以E点为圆心，AB的长为半径画弧，在BC的另一侧交前弧于一点，过这一点及A点作直线，该直线不一定是BE的垂线；从而就不能保证两个小三角形相似;
④、以AB为直径作圆，该圆交BC于点D，根据圆周角定理，过AD两点作直线该直线垂直于BC，根据直角三角形斜边上的垂线，把原直角三角形分成了两个小直角三角形，图中的三个直角三角形式彼此相似的；
故答案为:③.
【点睛】此题主要考查了相似变换以及相似三角形的判定，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
11．线段的垂直平分线的性质
【分析】利用线段垂直平分线的性质得到OA=OC=OB，然后根据点与圆的位置关系可判断点A、C在⊙O上．
【详解】解：如图，连接，
∵点O为AC和BC的垂直平分线的交点，
∴OA=OC=OB，
∴⊙O为的外接圆．
故答案为：线段的垂直平分线的性质．
【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．考查线段的垂直平分线的性质，确定圆的条件，掌握作图的原理是解题的关键．
12．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等，以及综合应用所学知识分析、解决问题的能力．
（1）先得出，，求出，再根据证明结论；
（2）假设m，n没有一个奇数，则，都为偶数，所以为偶数，找出矛盾进而证明结论．
【详解】（1）解：因为，，
所以，，
所以，
因为，，
所以，
所以，即．
（2）解：假设m，n没有一个奇数，即m，n都为偶数，
所以，都为偶数，即，都为偶数，
所以为偶数，
这与为奇数矛盾，
所以假设不成立，
所以m，n至少有一个为奇数．
13．(1)见解析
(2)三角形的三个内角中，三个内角都大于
(3)见解析
【分析】本题主要考查了反证法，菱形的性质与判定，三角形中位线定理等等，熟知反证法是解题的关键．
（1）若，则，这与已知相矛盾，据此证明即可；
（2）反证法第一步应假设结论不成立，即应假设三角形的三个内角中，三个内角都大于；
（3）假设线段与垂直，根据三角形中位线定理得到，则四边形是平行四边形，线段与垂直，则四边形是菱形，可得，进而得到，这与均不相等矛盾，据此可证明结论．
【详解】（1）解：若，则，这与已知相矛盾，
∴假设不成立：
综上，．
（2）解：用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角小于或等于．”第一步应先假设三角形的三个内角中，三个内角都大于；
（3）证明：假设线段与垂直，
∵点D、E、F分别是的中点，
∴都是的中位线，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵线段与垂直，
∴四边形是菱形，
∴，
∴，这与均不相等矛盾，
∴假设不成立，
∴线段与不垂直．
14．（1）1个；（2）0个；（3）无数个．
【分析】（1）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点，据此可得答案；
（2）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点；
（3）过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心．
【详解】解：（1）如图1，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l只有1个交点，
∴当直线l与直线AB不垂直时，只能作1个圆；
（2）如图2，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l没有个交点，
∴当直线l与直线AB垂直但不经过AB的中点时，不能作圆；
（3）如图3，过A、B的圆的圆心在线段AB垂直平分线m上，而直线m与直线l重合，即直线l上所有点均可作为经过A，B的圆的圆心，
∴当直线l是线段AB的垂直平分线时，能作无数个圆．
【点睛】本题主要考查确定圆的条件，不在同一直线上的三点确定一个圆．即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．
15．见解析
【分析】此题考查了反证法的应用，假设或，然后根据题意证明出，即可证明．
【详解】证明：假设或，
则且或且或且．
当且时，，
，
这与矛盾．
同理可得当且或且时，，
这与矛盾，
假设不成立，因此且．
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