24.2.2 直线和圆的位置关系（第1课时） 课时练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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24.2.2 直线和圆的位置关系（第1课时） 课时练 2025-2026学年
上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．如图用的是“日晷饮水计时，晷头红照雨衡前”这一景，图中的江面和太阳可看成直线和圆，则它们的位置关系为（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．平行
2．如图，已知点到直线的距离为5，如果在以点为圆心的圆上有且只有两个点到直线的距离为2，那么这个圆的半径长的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．在平面直角坐标系中，以点为圆心，以R为半径作圆A与x轴相切，则圆A的半径R是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．
4．如图，在平面直角坐标系中，半径为2的的圆心P的坐标为，将沿x轴正方向平移，使与y轴相切，则平移的距离为（ ）
A．1 B．1或5 C．3 D．3或5
5．如图中的数轴可以度量直径，则圆形图片的直径是（　　）
A．5﹣1 B．5﹣(﹣1) C．﹣5﹣1 D．﹣5﹣(﹣1)
6．如图，过外一点P画的切线，图中画法的根据是（ ）

A．直径所对的圆周角是直角 B．切线长定理
C．切线的性质定理 D．切线的判定定理
7．如图，是的直径，C是上一点，D是外一点，过点A作，垂足为E，连接．若使切于点C，添加的下列条件中，不正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
8．若的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与的位置关系是 ．
9．设的半径为4，点O到直线a的距离为d，若与直线a至多只有一个公共点，则d的取值范围是 ．
10．如图，长为8的线段的两个端点分别在轴和轴上滑动，设线段的中点的运动轨迹为，当的图象与只有1个交点时， ．
11．如图，在等腰直角三角形中，，为的中点，以O为圆心作半圆，使它与，都相切，切点分别为D，E，则的半径为 ．
12．已知：如图，二次函数的顶点为M，最大值为，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C．以为直径作圆，记作，下列结论：
①抛物线的对称轴是直线；
②点C在上；
③在抛物线上存在一点E，能使四边形为平行四边形；
④直线与相切．
正确的结论是 ．
三、解答题
13．如图，已知直线y＝x﹣6与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P是以C（0，3）为圆心，3为半径的圆上一动点，连结PA、PB．
（1）求圆心C到直线AB的距离；
（2）求△PAB面积的最大值．
14．如图，是的直径，点在的延长线上，是上的两点，是的切线，连接，，延长交的延长线于点．
(1)求证：；
(2)求证：；
(3)若，，求弦的长．
15．已知锐角内接于，点是的内心，连接交于点，过点作的平行线．
(1)求证：直线与相切；
(2)若半径为，．连接，求证：
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 C D A B B D D
1．C
【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握直线与圆的位置关系是解题关键．根据直线与圆有两个交点，则直线与圆相交，由此即可得．
【详解】解：由图可知，图中的江面和太阳的位置关系为相交，
故选：C．
2．D
【分析】此题主要考查了圆与直线的位置关系．要掌握直线与圆的三种位置关系中各自的特点，并根据特殊的位置关系求出相对应的半径的长度是解题的关键．已知点O到直线l的距离为5，要使圆上有且只有两个点到直线l的距离为2．过点O作直线l的垂线，垂足为A．当圆与直线l的位置关系满足： 以O为圆心的圆与直线l相交，且在直线l两侧到直线l距离为2的点中，只有两个在圆上．从距离角度看，圆的半径r要满足：，即，得出答案．
【详解】解：已知点O到直线l的距离为5，要使圆上有且只有两个点到直线l的距离为2．
过点O作直线l的垂线，垂足为A．
当圆与直线l的位置关系满足： 以O为圆心的圆与直线l相交，且在直线l两侧到直线l距离为2的点中，只有两个在圆上．
从距离角度看，圆的半径r要满足：，即．
故选：D
3．A
【分析】由圆A与x轴相切可知圆的半径即为圆心A到x轴的距离．本题重点考查坐标与图形性质、切线的性质等知识，正确地画出图形及辅助线是解题的关键．
【详解】解：设以R为半径作圆A与x轴相切于点B，连接AB，则轴，
，
，
圆A的半径R是3，
故选：A．
4．B
【分析】本题考查了平移的性质，直线与圆的位置关系，解题关键是掌握当圆与直线相切时，点到圆心的距离等于圆的半径．分两种情况讨论：位于轴左侧和位于轴右侧，根据平移的性质和圆的切线的性质分别求解，即可得到答案．
【详解】解：的圆心P的坐标为，
，
的半径为2，
，
，，
当位于轴左侧且与轴相切时，平移的距离为1，
当位于轴右侧且与轴相切时，平移的距离为5，
平移的距离为或，
故选：B．
5．B
【分析】根据图形，过和垂直于数轴的直线与圆相切，结合圆的切线性质，两个切点间的距离就是圆形图片的直径，根据数轴上两点之间的距离直接求解即可．
【详解】解：结合数轴，圆形图片的直径是5﹣（﹣1），
故选：B．
【点睛】本题考查圆的概念、切线性质及数轴上两点之间的距离求法，掌握数轴的基本性质是解决问题的关键．
6．D
【分析】根据切线的判定定理解答即可．
本题考查了切线的判定定理，熟练掌握定理是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
由为直径，
故，
根据切线的判定定理，可知为的切线，
故选：D．

7．D
【分析】根据圆的切线的判定、平行线的判定与性质，逐项判定即可得到答案．
【详解】解：A、∵，
∴，
当时，则，即，
∴切于点C，该选项正确，不符合题意；
B、∵，
∴，则，
∵，
∴，
当时，则，即，
∴切于点C，该选项正确，不符合题意；
C、当时，，
∵，
∴，
∴，即，
∴切于点C，该选项正确，不符合题意；
D、当时，由得到，
∴是等腰三角形，无法确定，
∴不能得到切于点C，该选项不正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查切线的判定，平行线的判定与性质，熟记圆的切线的判定是解决问题的关键．
8．相交
【分析】根据圆心距，半径之间的关系判断解答即可．
本题考查了直线与圆的位置关系，熟练掌握判定法则是解题的关键．
【详解】解：的半径R为3，圆心O到直线l的距离d为2，
故，
故直线l与的位置关系是相交，
故答案为：相交．
9．
【分析】本题主要考查了直线与圆的位置关系．根据题意可得与直线a相离或相切，即可求解．
【详解】解：∵与直线a至多只有一个公共点，
∴与直线a相离或相切，
∵的半径为4，
∴．
故答案为：
10．
【分析】该题考查了切线的性质，一次函数与几何综合，得出点的运动轨迹是解题的关键．
根据题意得出点的运动轨迹为以4为半径的，得出当的图象与只有1个交点时，即与的图象相切，根据等面积法求解即可．
【详解】解：设，
则，
∵，
∴，
∴，且，
故点的运动轨迹为以4为半径的，
在中，令，则，即，
令，则，即，
则，
当的图象与只有1个交点时，
即与的图象相切，
此时，
如图，则，即，
解得：，
故答案为：．
11．4
【分析】连接，，得到是等腰直角三角形，求出，由切线的性质得到，得到，然后利用直角三角形斜边中线的性质求解即可．
【详解】解：连接，，

∵在等腰直角三角形中，，为的中点，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵与相切，
∴，
∴，
，
∴的半径为4．
故答案为：4．
【点睛】本题考查了切线的性质，等腰直角三角形性质，三线合一和直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点．
12．①②④
【分析】过点C作，交抛物线于点E，连接，，根据抛物线的解析式即可判定①；求得的半径、的长进行比较即可判定②；根据一组等边平行且相等的四边形是平行四边形即可判定③；求得为直角三角形即可进行判定④；
【详解】解：如图，过点C作，交抛物线于点E，连接，，，
∵，
∴抛物线的对称轴是直线，故①正确；
∵二次函数的最大值为，
∴当时，，
∴，解得：，
∴二次函数的解析式为，
当时，，
解得：，
∴点，
∴，
∵点D为的中点，
∴的半径为5，，
∵当时，，
∴点，
∴，
∴点C在上，故②正确；
∵点，，
∴点C，E关于直线对称，
∴点，
∴，
∴，
∴四边形不是平行四边形，故③错误；
根据题意得：点，
∵，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且，即，
∵是的半径，
∴直线与相切，故④正确．
故答案为：①②④
【点睛】本题主要考查了抛物线的图象和性质，平行四边形的判定，勾股定理及逆定理，切线的判定，点与圆的位置关系等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键．
13．（1）；（2）51．
【分析】（1）求出A、B的坐标，根据勾股定理求出AB．过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，则由三角形面积面积法求高，可知圆心C到直线AB的距离；
（2）由（1）中的数据即可求出圆C上点到AB的最大距离，根据面积公式求出即可．
【详解】解：解：（1）如图1，过C作于M，连接AC，MC的延长线交于N，
由题意：，，
，，．
，
则由三角形面积公式得，，
，
，
圆心C到直线AB的距离是；
（2）由（1）知，圆心C到直线AB的距离是．
则圆C上点到直线的最大距离是，
故面积的最大值是：．
【点睛】本题综合考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的面积，直线与圆的位置关系，解此题的关键是由三角形面积法求高得出圆心C到直线AB的距离，难度不是很大．
14．(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)．
【分析】（）连接，如图，根据切线的性质得到，再根据圆周角定理得到 ，然后利用等角的余角相等和等腰三角形的性质得到，所以；
（）根据圆周角定理得到，再证明，接着根据圆内接四边形的性质得到，所以，从而得到；
（）设的半径为，利用勾股定理得到，解得，再利用面积法求出，在中利用勾股定理计算出，然后在中利用勾股定理计算出．
【详解】（1）证明：连接，如图，
∵是的切线，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图，过作于点，则，
设的半径为，
在中，
∵，，，
∴，
解得，
∴，，
∵，
∴，
在中，，
在中，．
【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，同角的补角相等，圆内接四边形，弧、弦、圆心角的关系，等腰三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）要证明直线l与相切，需依据切线的判定定理（经过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线），通过连接，利用内心性质、弧与角的关系及平行线性质推导；
（2）要证明，需连接，结合内心角平分线性质、弧与角的对应关系，通过角的等量代换证明，进而利用等腰三角形判定得出结论．
【详解】（1）解：连接，
∵点是的内心，
∴平分，
∴，
∴，
∴点是的中点，
∴，
∵直线，
∴，
∴直线与相切．
（2）连接，
由（1）得，，
∵所对的圆周角为，，
∴，
∴，
∵点是的内心，
∴平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了切线的判定定理，三角形的内心、圆周角定理，等腰三角形的判定，灵活运用圆的性质（弧、角、弦的关系）、三角形内心性质及切线判定定理是解题关键
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