24.2.2 直线和圆的位置关系（第2课时） 课时练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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24.2.2 直线和圆的位置关系（第2课时） 课时练
2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．如图，分别是的切线，D，E为切点，切于F，交，于点B，C．若，则的周长是（ ）
A．6 B．12 C．8 D．16
2．如图，是的直径，，分别切于点B、C，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，与分别相切于点A，B，，，则的长度为（ ）
A． B．2 C．3 D．
4．如图，中，，，，其内切圆分别于、、相切于点、、，则弦的长为（ ）
A．1 B．2 C． D．
5．如图，点O为的外心，点I为的内心，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，把剪成三部分，边，，放在同一直线上，点都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．再将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕．若与的交点为，则点是（ ）
A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的中心
二、填空题
8．如图，是的两条切线，是切点，若，，则的半径等于 ．
9．如图，，分别切于点A，B，点C是上一点，过C作的切线，交，于点D，E，若，则的周长是 ．
10．如图，在中，，，点I为的内心，于点D，连接．
（1） ；
（2） ．
11．如图，圆O是四边形ABCD的内切圆，连接AO、BO、CO、DO，记△AOD、△AOB、△COB、△DOC的面积分别为S1、S2、S3、S4，则S1、S2、S3、S4的数量关系为 ．
三、解答题
12．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点．
(1)若，求的度数；
(2)求证．
13．如图内接于，，是的直径，点是延长线上一点，且，．

(1)求证：是的切线；
(2)求的直径；
(3)当点B在下方运动时，直接写出内心的运动路线长是 　　．
14．如图，是的内切圆，与分别相切于点，．
(1)求的三个内角的大小；
(2)设的直径为，证明：．
15．如图，为的直径，切于点C，与的延长线交于点D，交延长线于点E，连接，已知．

(1)求证：是的切线；
(2)求的半径．
(3)连接，求的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 B B B C A C B
1．B
【分析】先利用切线长定理，然后利用等线段代换得到的周长．本题考查了切线长定理：灵活运用切线长定理和等线段代换是解决问题的关键．
【详解】解：∵分别是的切线，
∴，
∵分别为的切线，
∴，
∵分别为的切线，
∴，
∴三角形的周长．
故选：B．
2．B
【分析】本题主要考查了切线长定理，等腰三角形的性质，圆周角定理，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．连接，由圆周角定理的推论得，再由切线长定理得，从而得，进而即可求解．
【详解】解：连接，
∵，分别切于点B、C，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
3．B
【分析】本题考查了切线长定理，等边三角形的判定与性质；由切线长定理得，由得是等边三角形，由等边三角形的性质即可求得结果．
【详解】解：∵与分别相切，
∴；
∵，
∴是等边三角形，
∴；
故选：B．
4．C
【分析】连接，，根据切线的性质得到，推出四边形是正方形，得到，根据勾股定理得到，进而根据切线长定理求得，进而根据勾股定理，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，，
∵内切圆分别于、、相切于点、、，
∴，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，
，，
在中，，，，
∴，
∵，
∴，
在中，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，切线的性质，切线长定理，正方形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
5．A
【分析】此题主要考查了三角形的内心和外心、圆周角定理、三角形的内角和定理．利用圆周角定理得出，进而得出利用内心的知识得出，即可得出答案．
【详解】解：点为的外心，，
，
，
点为的内心，
，
，
故选：A．
6．C
【分析】本题考查三角形内心，三角形内角和定理，读懂题意，熟练掌握三角形内心的判定及性质是解决问题的关键．
过点分别作于，于，于，如图所示，得到点是的内心，即点为三个内角平分线的交点，然后根据三角形内角和定理即可得到答案．
【详解】解：过点分别作于，于，于，如图所示：
∵直线，
∴，
∴点是的内心，即点为三个内角平分线的交点，
∵
∴
∴，
∴．
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了翻折变换以及角平分线的性质，三角形的内心的性质，根据折叠的性质可知点为角平分线的交点，根据角平分线的性质可知点到三边的距离相等．
【详解】解：如图：过点作，，，

由题意得：，，
为角平分线的交点，
，
点到三边的距离相等．
点是的内心．
故选：B．
8．
【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质和直角三角形的性质，根据切线的性质求得，平分，再由直角三角形的性质得，解题的关键是熟练掌握知识点的应用．
【详解】解：∵是的两条切线，
∴，平分，
∴，，
∴，即的半径等于，
故答案为：．
9．
【分析】本题考查了切线长定理；
根据切线长定理可得，，，求出的周长为即可．
【详解】解：∵，分别切于点A，B，
∴，
∵是的切线，
∴，，
∴的周长为：，
故答案为：．
10． 120 5
【分析】（1）根据三角形的内心性质可知，然后根据三角形内角和可进行求解；
（2）由（1）可知，由题意可得，则有，然后问题可求解．
【详解】解：（1）∵点I为的内心，且，，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为120；5．
【点睛】本题主要考查三角形的内心，熟练掌握三角形的内心性质是解题的关键．
11．S1+S3=S2+S4
【分析】设切点分别为E、F、G、H，由切线性质可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BC OH⊥AB，OE=OF=OG=OH=r，设DE=DF=a，AE=AH=b，BH=BG=c，CG=CF=d，推出S1+S3=r（a+b）r+ r（c+d）=r（a+b+c+d）=S2+S4．
【详解】解：如图设切点分别为E、F、G、H，
由切线性质可知，OE⊥AD，OF⊥CD，OG⊥BC OH⊥AB，OE=OF=OG=OH=r，
设DE=DF=a，AE=AH=b，BH=BG=c，CG=CF=d，
S1=r（a+b）r，S2=r （b+c） S3= r（c+d），S4=r（a+d），
∴S1+S3=r（a+b）r+ r（c+d）=r（a+b+c+d），
S2+S4=r（a+d）+r （b+c）=r（a+b+c+d），
∴S1+S3=S2+S4．
故答案为：S1+S3=S2+S4．
【点睛】本题考查了内切圆的性质，熟练运用切线的性质和三角形面积公式是解题的关键．
12．(1)
(2)证明见解析
【分析】本题考查了三角形的内心、圆周角定理、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握圆周角定理是解题关键．
（1）先根据三角形的内心可得，再根据圆周角定理求解即可得；
（2）先根据三角形的内心可得，则可得，再根据三角形的外角性质可得，然后根据等腰三角形的判定即可得证．
【详解】（1）解：∵点是的内心，，
∴，
由圆周角定理得：．
（2）证明：∵点是的内心，
∴，
由圆周角定理得：，
∴，
∴，
∴．
13．(1)见解析
(2)6
(3)
【分析】（1）分别求出，，即可得，从而证明是的切线；
（2）由（1）可知，，则，即可求圆的直径是6；
（3）设的内切圆圆心为，连接，，，根据内心的性质可得，因此可知点在以为弦，弦所对的圆周角为的圆上，作的外接圆，连接、，再由，可知点在圆上，连接，可得是等边三角形，则，当点与点重合时，，所以内心的运动路线长．
【详解】（1）解：证明：连接，，

是圆的直径，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
点在圆上，
是的切线；
（2）由（1）可知，，
，
，
，
，，
，
圆的直径是6；
（3）设的内切圆圆心为，连接，，，

，
，
是的平分线，是的平分线，
，
，
由（2）可知，，
点在以为弦，弦所对的圆周角为的圆上，
作的外接圆，连接、，
，
，
，
点在圆上，
连接，
，
，
是等边三角形，
，
当点与点重合时，，
内心的运动路线长，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练掌握三角形外接圆的性质，切线的判定及性质，三角形内切圆的性质，四点共圆的判定，等边三角形的性质，直角三角形的性质，圆的弧长公式是解题的关键．
14．(1)的度数分别为．
(2)证明见解析
【分析】（1）根据题意得，，所以 ．即可求出．
（2）由切线长定理得，则，由，得，由，得到四边形是矩形，则，结合的直径为d，为的半径，得到，即可求出．
此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、切线长定理、四边形的内角和、三角形内角和定理、矩形的判定等知识．
【详解】（1）解：∵ 是的内切圆，与分别相切于点
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的度数分别为．
（2）证明：由切线长定理得，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∵的直径为d，为的半径，
∴，
∴．
15．(1)见解析
(2)3
(3)
【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
（1）由已知角相等及直角三角形的性质得到为直角，即可得证；
（2）在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，由切线长定理得到，由求出的长，在直角三角形中，设，则有，利用勾股定理列出关于r的方程，求出方程的解得到r的值，即为圆的半径．
（3）延长相交于点F，证明，由全等三角形的性质得出，求出的长，则可得出答案．
【详解】（1）证明：，
，
，
，
，
为的切线；
（2）解：在中，，
根据勾股定理得：，
与都为的切线，
，
；
在中，设，则有，
根据勾股定理得：，
解得：，
则圆的半径为3.
（3）解：延长相交于点F，
与都为的切线，
平分，
，
，
，
又，
，
，
，
在中，，
∴．
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