24.3 正多边形和圆 课时练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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24.3 正多边形和圆 课时练 2025-2026学年
上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．若正六边形的内切圆半径为2，则其外接圆半径为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（ ）
A．12 B．15 C．18 D．24
3．如图，是正六边形的中心．在平面直角坐标系中，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为（）
A． B． C． D．
4．如图，点、、、为一个正多边形的顶点，点为正多边形的中心，若，则这个正多边形的边数为（　　）
A．9 B．10 C．18 D．20
5．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图所示，其轮廓是一个正八边形，从窗户向外观看，景色宛如镶嵌于一个画框之中．若将八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是一个正多边形相邻的四个顶点，若，则这个多边形的边数为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
7．如图，与正六边形的边分别交于点F、G，则对的圆周角的大小为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．如果正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是 ．
9．如图，点O是正六边形的中心点，连接，则的度数为 ．
10．如图，是正五边形的外接圆，连接，则的度数为 ．
11．如图，正五边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，则的度数为 ．
三、解答题
12．如图，多边形是正五边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹）．
(1)如图1，作一个以为腰，顶角为的等腰三角形；
(2)如图2，作一个底角为的等腰三角形．
13．今年假期，你有没有和父母或者小伙伴一起走进影院去看一下国漫电影《哪吒2》呀？影片中，玉虚宫的镇宫之宝“天元鼎”大到超乎想象，存放它的建筑是一座“正八边形”的宫殿，你想知道这座建筑有多大吗？
问题一：要求出“正八边形”的面积，我们可以把一个“正八边形”均分成八个顶角为______度的等腰三角形；
问题二：中，，，，求的面积和的值分别是多少？（可以作的中垂线交于D，交于E，则为等腰三角形，）
问题三：若“正八边形”的边长为，求：正八边形的面积．
14．（1）如图1，用无刻度的直尺和圆规在图1中作出的内接正六边形，保留作图痕迹．
（2）如图2、图3是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．其中点A、点D为格点，经过点A、点D，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务．
①如图2，过点O作的垂线，交于；
②如图3，点B在上，过点B作弦．
15．综合与实践
某数学小组，在计算当周长为固定值时，围成正三角形、正方形、正六边形、圆的面积．

【探究发现】
当周长为时，计算回答下列问题：
（1）正方形的面积为________．
（2）如图，正，该正三角形的面积为多少？请写出计算过程．
（3）直接写出该周长下，正六边形和圆的面积．比较在同一周长下，、、、的大小关系．（参考数据：，）

【应用结论】
张强同学假期看望爷爷奶奶，发现爷爷准备在空地上围一个简易羊圈，用来给怀胎和产仔的的母羊单独喂食．爷爷买了的护栏网，若不计损耗，围成的简易羊圈场地面积，是否能达到，若能，该如何围？若不能，说明理由．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 A B C A C D C
1．A
【分析】本题主要考查正多边形的内切圆和外接圆，解答本题的关键在于熟练掌握内切圆与外接圆的性质以及正多边形的中心角，求出正六边形的中心角的度数，进行求解即可．
【详解】解：如图，连接、，过作，
，
又∵正六边形中心角，
∴为正三角形，
，
∴，
∴，
∴
∴．
故选：A．
2．B
【分析】连接，，根据正边形的性质知，得，则正边形中心角为，即可解决问题．本题主要考查了正边形和圆的知识，熟练掌握正边形的性质是解题的关键．
【详解】解：连接，，
多边形是正边形，
，
，
正边形中心角为，
，
故选：B．
3．C
【分析】此题考查了正六边形的性质，熟练掌握正六边形的有关性质是解题的关键．根据点的坐标求出的长，再根据正六边形的性质求出，进而求出的坐标即可．
【详解】解：如图，连接、，
∵点的坐标为，
∴，
∴，
∴，
故选:．
4．A
【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．根据圆周角定理得到，即可得到结论．
【详解】解：、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，
点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上，
，
，
这个正多边形的边数，
故选：A．
5．C
【分析】本题考查了正多边形与圆，正多边形的中心角，掌握知识点的应用是解题的关键．根据正八边形的中心角为，则旋转角至少为，从而求解．
【详解】解：由题意得，正八边形的中心角为，
∴八角形窗户进行旋转后能与自身重合，旋转角至少为，
故选：．
6．D
【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形与圆的综合，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
如图所示，设这个正边形内接于，连接，则，根据正多边形的每条边所对圆心角相等即可求解．
【详解】解：如图所示，设这个正边形内接于，连接，
∴，
∴，
∴，即这个多边形的边数为，
故选：D ．
7．C
【分析】本题考查了圆周角定理，正多边形内角与外角．首先求得正六边形的内角的度数，然后由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案．
【详解】解：∵六边形是正六边形，
∴，即，
∴．
故选：C．
8．10
【分析】本题考查了正多边形的计算，一个正多边形的中心角都相等，且所有中心角的和是360度，用360度除以中心角的度数，就得到中心角的个数，即多边形的边数．
【详解】解：由题意可得：
边数为，
则它的边数是10．
故答案为：10．
9．
【分析】本题考查正多边形的中心角，连接，根据中心角的计算方法，求出的度数，进而求出的度数即可．
【详解】解：连接，
∵点O是正六边形的中心点，
∴，
∴；
故答案为：
10．/72 度
【分析】本题主要考查了正多边形的性质，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握以上性质．
利用正五边形的性质求出的度数，然后再利用圆周角定理进行求解即可．
【详解】解：∵五边形为正五边形，
∴五边形的各边都相等，
∴的度数为，
∴，
故答案为：．
11．
【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，正多边形和圆，连接，由题意可知为等边三角形，得到，再根据五边形为正五边形，可得，进而根据角的和差关系即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：如图，连接，
由题意得，，
∴是等边三角形，
∴，
∵五边形是正五边形，
∴，
∴，
故答案为：．
12．(1)画图见解析
(2)画图见解析
【分析】（1）连接，，交于点，则即为所求作的三角形；
（2）连接，，交于点，连接并延长交于，则或即为所求；
【详解】（1）解：如图，连接，，交于点，则即为所求作的三角形；
理由：∵多边形是正五边形，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴即为所求作的三角形；
（2）解：如图，连接，，交于点，连接并延长交于，则或即为所求；
理由：由（1）可得：，，
∴，
∴，
同理：，
∴，，
∴是正五边形的对称轴，
同理：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴即为所求作的等腰三角形，
同理可得：即为所求作的等腰三角形．
【点睛】本题考查的是正多边形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的内角和定理的应用，全等三角形的判定与性质，熟练的画图是解本题的关键．
13．问题一：45；问题二：，；问题三：．
【分析】本题考查正多边形的有关运算，含的直角三角形性质，勾股定理，熟练掌握含的直角三角形性质和利用正方形的面积解决正八边形的面积是解决本题的关键．
问题一：根据正八边形分成的八个等腰三角形的顶角组成，可得等腰三角形每个顶角的度数；
问题二：根据及的长可得和的长度，进而可得的长度，的面积，，把相关数值代入计算即可；
问题三：延长正八边形的四条边相交成正方形，则补充的四个小三角形为等腰直角三角形，求得正方形的边长后，正八边形的面积正方形的面积4个等腰直角三角形的面积，把相关数值代入计算即可．
【详解】解：问题一：八个等腰三角形的顶角组成，
每个顶角的度数为：，
故答案为：45；
问题二：作的中垂线交于D，交于E，
，
，
，
，
，，
，
，
，
；
问题三：如图，延长正八边形的四条边相交成正方形，则补充的四个小三角形为全等的等腰直角三角形，
正八边形的边长为，
∴，
，
正方形的边长为，
正八边形的面积．
14．（1）画图见解析；（2）①画图见解析；②画图见解析
【分析】（1）先作直径，分别以为圆心，为半径画弧，与的交点分别为，再顺次连接即可得到正六边形；
（2）①取格点，连接交于，过作直线交于即可；
②取格点，连接交于，过作直线交于，连接交于，连接并延长交于，连接，则即为所求．
【详解】解：（1）如图，六边形即为所求；
理由：连接，
由作图可得：，
∴为等边三角形，
∴，
同理可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴六边形为的正六边形；
（2）①如图，即为所求；
理由：由格点图形可得：四边形为正方形，
∴，
∴，即；
②如图，即为所求；
理由：由（2）得：是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查的是作圆的内角正六边形，垂径定理的应用，线段的垂直平分线的性质，圆周角定理的应用，平行线的判定，熟练的作图是解本题的关键．
15．[探究发现]（1）；（2）或（3）；[应用结论]能，理由见解析
【分析】本题考查了正多边形与圆，勾股定理的应用；
【探究发现】（1）根据正方形的面积公式进行计算即可求解；
（2）根据等边三角形的性质，勾股定理求得高，进而根据面积公式，即可求解;
（3）根据圆的面积公式，以及正六边形的性质分别求解，进而比较大小，即可求解；
【应用结论】根据【探究发现】可得圆面积最大，进而计算周长为的圆的面积，即可求解．
【详解】解：（1）∵正方形的周长为，
∴正方形的边长为，
∴正方形的面积为，
故答案为：．
（2）解：作于点，
是等边三角形，周长为，则，
，
在中，由勾股定理得：，
；

（3）∵的周长为，
∴半径为，
∴面积为；
∵正六边形的周长为，则边长为，
∴正六边形的面积为；

∵、、、，
∴，
【应用结论】解：能，护栏网围成圆时，面积能达到；
根据【探究发现】可知，围成圆时，面积最大，
∵的周长为，
∴半径为，
∴面积为；
∴尽量围成圆时，简易羊圈场地面积能达到．
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