24.4 弧长和扇形面积（第1课时） 课时练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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24.4 弧长和扇形面积（第1课时） 课时练
2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．如图（1）是博物馆屋顶的图片，屋顶由图（2）中的瓦片构成，瓦片横截面如图（3）所示，是以点为圆心， 为半径的弧，弦的长为，则的长是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，如果从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．
3．一个圆锥的底面半径为5cm，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的母线长为（ ）
A．8cm B．12cm C．16cm D．24cm
4．如图，为的直径，，劣弧的长，则弦的长为（　　）
A．2 B．4 C．4 D．6
5．如图，半径为2个单位长度的半圆，从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点，则点所对应的数是（π取3）（ ）
A．7 B．10 C．9 D．11
6．如图所示，边长为1的正方形网格中，、、、、是网格线交点，若与所在圆的圆心都为点，那么阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，，将绕着点A逆时针旋转得到，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．中，，以直线为轴旋转一周所得圆锥的底面圆的周长是 ，这个圆锥的侧面积是 ，圆锥的侧面展开图的圆心角是 ．
9．如图，方老师用一张半径为的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计）．如果圆锥形帽子的半径是，那么这张扇形纸板的面积是 （结果用含的式子表示）．
10．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，该圆锥的母线长，则扇形的圆心角度数为 ．
11．如图，圆锥的底面圆直径为，母线长为，若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，则小虫爬行的最短距离为 ．
三、解答题
12．如图，为的直径，C是上一点，为的切线，过点B作于点D，连接，．
(1)求证：是的平分线；
(2)若，，求的长．
13．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为．
(1)将平移得到，且的对应点，点的对应点分别是，画出平移后的；
(2)画出绕点顺时针旋转后得到；
(3)在（2）的条件下，直接写出点旋转到点的过程中所经过的路径长（结果保留）．
14．如图，在一个圆形零件的设计图纸中，，是过圆心O的两条支撑杆，连接边缘的金属杆垂直支撑杆于点F，为加固扇形区域，强化杆与金属杆交于点G．
(1)若金属杆，，求该圆形零件的直径；
(2)若调整参数使，记该圆形零件的面积为S，求的值．
15．如图，是的直径，点是上的一点，点是的中点，连接并延长至点，交于点，连接，．
(1)证明：为的切线；
(2)若，．
①求的长；
②求阴影部分的面积．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 D B B C B C C
1．D
【分析】本题考查了等边三角形的判定，求弧长，根据已知可得，则是等边三角形，进而根据弧长公式，即可求解．
【详解】解：依题意，，
∴是等边三角形．
∴．
∴的长为．
故选：D．
2．B
【分析】本题考查了弧长公式、求圆锥的底面半径、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
先求出剩下的扇形的角度，再由弧长公式计算可得剩下的扇形的弧长，从而求出圆锥的底面半径，最后由勾股定理计算即可得解．
【详解】解：∵从半径为的圆形纸片剪去圆周的一个扇形，
∴剩下的扇形的角度为，
∴剩下的扇形的弧长为，
∴圆锥的底面半径为，
∴圆锥的高为，
故选：B．
3．B
【分析】设圆锥的母线长为，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到，然后解方程即可．
【详解】解：设圆锥的母线长为，
根据题意得：，
解得．即圆锥的母线长为.
故选：B．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
4．C
【分析】本题考查了弧长公式，勾股定理；
先利用弧长公式求出，再根据勾股定理计算即可．
【详解】解：连接，
设的度数为，
∵，
∴半径，
则，
∴，
∴弦，
故选：C．
5．B
【分析】本题考查了圆的周长公式以及数轴的认识，关键是理解半圆滚动一周的长度等于半圆的周长．半圆从原点滚动一周，圆心走过的距离是半圆的弧长，等于圆周长的一半，根据圆的周长公式先求出半圆的弧长，除了半圆的弧长，点还经过了一段等于半圆直径的距离，此时半圆的直径为4，所以点对应的数是半圆弧长加上直径即为所求．
【详解】解：由题意知，的长度为半圆的弧长与半圆直径之和，
此时，
∵π取3，
∴，
即点所对应的数是10．
故选：B．
6．C
【分析】本题主要考查了勾股定理，求扇形的面积，等腰直角三角形的性质，
根据阴影部分的面积解答即可.
【详解】解：∵，
∴，
同理：.
根据勾股定理，得.
阴影部分的面积
.
故选：C.
7．C
【分析】本题主要考查了扇形面积计算，勾股定理，先利用勾股定理求出的长，再根据进行求解即可．
【详解】解：∵在中，，
∴，
由旋转的性质可得
∴
，
故选：C．
8．
【分析】由题意可得底面圆的半径为4，从而周长可求；圆锥展开图为扇形，由题意可得扇形的半径为5，弧长为底面圆的周长，由侧面积公式可求圆锥的侧面积；由可求圆锥的侧面展开图的圆心角．
【详解】解：∵中，，
圆锥是以直线为轴旋转一周所得，
∴圆锥的底面半径为，
∴圆锥的底面圆的周长是，
圆锥的侧面积是，
设圆锥的侧面展开图的圆心角是，
则，即
解得，
∴圆锥的侧面展开图的圆心角是．
故答案为：；；．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、圆锥底面圆的周长公式、圆锥的侧面积公式、圆锥的侧面展开图的弧长公式，解题的关键是准确找出公式中各个字母所表示的数．
9．
【分析】由题意易得该扇形的弧长为，然后根据扇形面积计算公式可求解．
【详解】解：由题意得：
该扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长，即为，
∴该扇形的面积为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查扇形面积计算公式及圆锥的侧面展开图，熟练掌握扇形面积计算公式及圆锥的侧面展开图是解题的关键．
10．150°
【分析】根据扇形的弧长公式解题．
【详解】圆锥的底面周长即是侧面展开图扇形的弧长，
，解得
故答案为：150°．
【点睛】本题考查圆锥侧面展开图的圆心角，涉及扇形的弧长公式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
11．
【分析】将圆锥的侧面展开，是一个扇形，AC就是小虫爬行的最短路程，利用弧长与圆心角的公式，求展开图的圆心角，R=4，l=2πr=2π,可求出n的大小，由于n=90 ，利用勾股定理可求AC的长即可．
【详解】把圆锥的侧面展开，弧长是2πr=2π，母线AS=4，
侧面展开的圆心角，n=90 即∠ASC=90 ，
C为SD的中点SD=4，
线段AC是小虫爬行的最短距离，
在Rt△SAC中，由勾股定理的AC=，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆锥侧面的最短路径问题，掌握弧长公式，会利用弧长与圆锥底面圆的关系确定侧面展开图的圆心角，会用勾股定理求出最短路径是解题关键．
12．(1)见解析
(2)
【分析】（1）根据切线的性质和，得到，由两直线平行内错角相等得到，结合，由等边对等角可得，进而证明结论；
（2）根据直角三角形的性质和（1）的结论得到，结合，得到为等边三角形，可得，最后利用弧长公式计算即可．
【详解】（1）证明：∵与相切于点C，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的平分线；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴的长度为．
【点睛】本题考查了圆的基本概念，切线的性质，平行线的判定与性质，等边对等角，角平分线的定义，直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，弧长公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
13．(1)图象见解析
(2)图象见解析
(3)
【分析】（1）根据平移变换的性质找出对应点即可得出平移后的三角形；
（2）根据旋转变换的性质找出对应点画出图形即可得出结果；
（3）点旋转到点的过程中所经过的路径为以为圆心，为半径的圆的，根据圆的周长公式即可计算．
本题是三角形的综合题，考查了作图--平移变换，旋转变换，弧长的计算，熟记平移变换、旋转变换的性质是解题的关键．
【详解】（1）向右平移1个单位，再向下平移3个单位得到；
按同样的平移方法，得到的点分别为；
如图：
（2）找到绕点顺时针旋转后得到点，连接三点即可得到：
（3），
点旋转到点的过程中所经过的路径为以为圆心，为半径的圆的，
∴其长度为．
14．(1)20
(2)
【分析】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、扇形面积、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是解答的关键．
（1）先根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理列方程求得r值即可求解；
（2）先根据等腰三角形的性质的带，再根据圆周角定理得，然后根据三角形的内角和定理求得，进而得，则有．
【详解】（1）解：设圆形零件的半径为r，
∵，为直径，
∴，，
在中，，
∴，解得，
∴，
则该圆形零件的直径为20；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
则．
15．(1)见解析
(2)①；②
【分析】本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，扇形的面积的计算，熟练掌握切线的判定和性质是解题的关键．
（1）根据三角形中位线定理得到，根据垂直的定义得到，于是得到，根据切线的判定得到为的切线；
（2）①设的半径为，由，得到，根据，由（1）知，根据直角三角形的性质得到，，根据勾股定理得到；
②由①知，，根据直角三角形的性质得到，，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：点是的中点，点是的中点，
，
，
，
，，
，
，
为的切线；
（2）解：①设的半径为，
，
，
由（1）知，
，
，
，，
，
；
②由①知，，
，，
阴影部分的面积的面积扇形的面积．
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