24.4 弧长和扇形面积（第2课时） 课时练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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24.4 弧长和扇形面积（第2课时） 课时练
2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．如图是将一个圆锥的侧面展开得到的扇形纸片，已知该扇形的半径是，弧长是，则这个圆锥的高是（　　）

A． B． C． D．
2．如图，圆锥的底面半径，高．则这个圆锥的侧面展开后扇形的圆心角是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，圆锥体的高，底面圆半径，则该圆锥体的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
4．第十二届全国少数民族传统体育运动会于2024年11月22日在海南省三亚市正式开幕，其中陀螺比赛吸引了无数观众观看，陀螺的底部是一个圆锥的造型．如图，圆锥的母线长为，高h为，则此圆锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角是的扇形，则此扇形围成的圆锥底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，从一圆形纸片上剪出一个半径为R、圆心角为90°的扇形；和一半径为的圆，使之恰好围成如图所示的圆锥，则R与的关系为（ ）
　
A．R=2 B．R=4 C．R=2 D．R=6
7．已知O为圆锥顶点,OA、OB为圆锥的母线,C为OB中点, 一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A, 另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示. 若沿OA剪开, 则得到的圆锥侧面展开图为 ( )
A． B．
C． D．
二、填空题
8．中，，以直线为轴旋转一周所得圆锥的底面圆的周长是 ，这个圆锥的侧面积是 ，圆锥的侧面展开图的圆心角是 ．
9．如图，方老师用一张半径为的扇形纸板，做了一个圆锥形帽子（接缝忽略不计）．如果圆锥形帽子的半径是，那么这张扇形纸板的面积是 （结果用含的式子表示）．
10．如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，该圆锥的母线长，则扇形的圆心角度数为 ．
11．如图，圆锥的底面圆直径为，母线长为，若小虫从点开始绕着圆锥表面爬行一圈到的中点，则小虫爬行的最短距离为 ．
12．在学习“圆锥”时，小明同学进行了研究性学习：
如图，圆锥的母线，底面半径，扇形是圆锥的侧面展开图，．
依据上述条件，小明得到如下结论：
①；
②；
③若，则．
正确的结论是 ．（填写序号）
三、解答题
13．如图1所示，有一种单层绒布料子的台灯灯罩，灯罩的下面是空的．把这个灯罩抽象成一个几何体时，我们称之为圆台，它可以理解为把大的圆锥沿着平行于底面的圆面裁切掉上面的小圆锥得到的．如图2所示，现在要制作这种灯罩，若已知的直径，的直径，点、、共线，与、都垂直，，，请问制作一个这样的台灯的灯罩需要多少平方厘米的绒布？（接缝处的布料忽略不计，，结果保留整数）
14．如图，圆锥母线的长l等于底面半径r的4倍，
（1）求它的侧面展开图的圆心角．
（2）当圆锥的底面半径r＝4cm时，求从B点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短路径的长
15．综合与实践
问题情境：如图1，将一个圆心角为、半径为R 的扇形，可制作成圆锥（如图2），圆锥的底面半径为r，点A与点重合，工人在制作圆锥形物品时，通常要先确定扇形圆心角度数，再度量裁剪材料．
(1)探索尝试：图1中，圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长_____（填“相等”或“不相等”）．
(2)解决问题：为操作简便，工人希望能简洁求 n的值，请用含 r， R的式子表示 n；
(3)拓展延伸： 图 3是一种纸质圆锥形生日帽，，C是中点，现要从点A到点 C再到点A之间拉一装饰彩带（如图4），求彩带长度的最小值．
16．如图，在平面直角坐标系中，点，，，过这三个点作一条圆弧．
(1)用无刻度直尺画出该圆弧的圆心M（保留作图痕迹）．
(2)的半径长为___________．
(3)点在___________（填“内”“外”“上”）．
(4)若用扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆半径是___________．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7
答案 A D C B D B C
1．A
【分析】设圆锥的底面圆的半径为，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长得到，解方程得到，然后利用勾股定理计算圆锥的高．
【详解】解：设圆锥的底面圆的半径为，
根据题意得，
解得，
即圆锥的底面圆的半径为，
所以这个圆锥的高为．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长公式．
2．D
【分析】首先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再利用底面周长=展开图的弧长，圆锥的母线长=展开图的扇形的半径，即可求解．
【详解】解：∵圆锥的底面半径，高，
∴圆锥的母线长，
设圆锥的侧面展开后扇形的圆心角为，则
，
解得：，
故选：D．
【点睛】此题主要考查了圆锥的有关计算，解答本题的关键是确定底面周长=展开图的弧长这个等量关系，然后设圆锥的侧面展开后扇形的圆心角为，由扇形的弧长公式和圆的周长公式列方程求值．
3．C
【分析】本题考查了勾股定理，圆锥的侧面积，根据圆锥的底面半径和高求出圆锥的母线长，再根据圆锥的计算方法计算方法求得侧面积．
【详解】解：∵圆锥的母线长是 ，
∴底面周长是
∴圆锥体的侧面积是：
故选C．
4．B
【分析】本题主要考查了圆锥和扇形的计算、勾股定理等知识点，掌握扇形的面积公式、弧长公式是解题的关键．
由勾股定理可得圆锥的底面半径为，根据圆的周长公式可得圆锥的底面周长为：，即圆锥侧面扇形的弧长为，再根据扇形的弧长公式求得扇形的圆心角，最后运用扇形的面积公式求解即可．
【详解】解：如图，圆锥的母线长为，高h为，
∴圆锥的底面半径为：，
∴圆锥的底面周长为：，即圆锥侧面扇形的弧长为，
∴圆锥侧面扇形的圆周角为：，
∴圆锥的侧面积为．
故选B．
5．D
【分析】连接，并作于点D．由圆周角定理可求出，从而求出，且．再根据含角的直角三角形的性质，可求出，从而求出．由题意易证是等边三角形，即，最后由弧长公式即可求出的长，最后根据圆锥的性质即可求出此扇形围成的圆锥底面圆的半径的大小．
【详解】解：如图，连接，并作于点D．
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴．
∴．
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴设此扇形围成的圆锥底面圆的半径为r，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查圆的基本性质，圆周角定理，垂径定理，含角的直角三角形的性质，弧长公式以及圆锥的底面半径．作出辅助线并利用数形结合的思想是解答本题的关键．
6．B
【分析】根据圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，根据弧长公式计算即可得答案．
【详解】扇形的弧长是：=，
圆的半径为r，则底面圆的周长是，
∵恰好围成如图所示的圆锥，
∴=，
∴R=4r，
故选：B．
【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键．
7．C
【详解】∵C为OB中点，一只小蚂蚁从点C开始沿圆锥侧面爬行到点A，
∴侧面展开图BO为扇形对称轴，连接AC即可是最短路线，
∵另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B，作出C关于OA的对称点，再利用扇形对称性得出关于BO的另一对称点，连接即可；
故选C．
8．
【分析】由题意可得底面圆的半径为4，从而周长可求；圆锥展开图为扇形，由题意可得扇形的半径为5，弧长为底面圆的周长，由侧面积公式可求圆锥的侧面积；由可求圆锥的侧面展开图的圆心角．
【详解】解：∵中，，
圆锥是以直线为轴旋转一周所得，
∴圆锥的底面半径为，
∴圆锥的底面圆的周长是，
圆锥的侧面积是，
设圆锥的侧面展开图的圆心角是，
则，即
解得，
∴圆锥的侧面展开图的圆心角是．
故答案为：；；．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、圆锥底面圆的周长公式、圆锥的侧面积公式、圆锥的侧面展开图的弧长公式，解题的关键是准确找出公式中各个字母所表示的数．
9．
【分析】由题意易得该扇形的弧长为，然后根据扇形面积计算公式可求解．
【详解】解：由题意得：
该扇形的弧长即为圆锥底面圆的周长，即为，
∴该扇形的面积为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查扇形面积计算公式及圆锥的侧面展开图，熟练掌握扇形面积计算公式及圆锥的侧面展开图是解题的关键．
10．150°
【分析】根据扇形的弧长公式解题．
【详解】圆锥的底面周长即是侧面展开图扇形的弧长，
，解得
故答案为：150°．
【点睛】本题考查圆锥侧面展开图的圆心角，涉及扇形的弧长公式，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
11．
【分析】将圆锥的侧面展开，是一个扇形，AC就是小虫爬行的最短路程，利用弧长与圆心角的公式，求展开图的圆心角，R=4，l=2πr=2π,可求出n的大小，由于n=90 ，利用勾股定理可求AC的长即可．
【详解】把圆锥的侧面展开，弧长是2πr=2π，母线AS=4，
侧面展开的圆心角，n=90 即∠ASC=90 ，
C为SD的中点SD=4，
线段AC是小虫爬行的最短距离，
在Rt△SAC中，由勾股定理的AC=，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆锥侧面的最短路径问题，掌握弧长公式，会利用弧长与圆锥底面圆的关系确定侧面展开图的圆心角，会用勾股定理求出最短路径是解题关键．
12．②③
【分析】由可得即可判断①；由化简可得；由和化简可得结果．
【详解】解：，
，
，
，
，
①错误，不符合题意；
，
②正确，符合题意；
，
，
，
，
③正确，符合题意；
综上所述，
故答案为：②③．
【点睛】本题考查了圆锥及圆锥的侧面展开图；解题的关键是熟练掌握圆锥和和展开图的关系．
13．制作一个这样的台灯的灯罩大约需要的绒布
【分析】本题主要考查了圆锥侧面积公式，圆的面积公式，勾股定理，熟练掌握圆锥侧面积公式是解题关键．先运用勾股定理分别求出两个圆锥的母线长，将两个圆锥的侧面积相减即可得到灯罩的侧面积，再运用圆的面积公式求出灯罩上底面的面积，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
又，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴制作一个这样的台灯的灯罩大约需要的绒布.
14．（1）它的侧面展开图的圆心角为90°；（2）BB′＝8．
【分析】（1）设它的侧面展开图的圆心角为n°，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝，然后求出n的值即可；
（2）连接BB′，如图，根据两点之间线段对短得到BB′为从B点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短路径，然后利用△ABB′为等腰直角三角形得到BB′的长．
【详解】解：（1）设它的侧面展开图的圆心角为n°，
根据题意得2πr＝，
而l＝2r，
所以2πr＝，解得n＝90，
所以它的侧面展开图的圆心角为90°；
（2）连接BB′，如图，
此时BB′为从B点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短路径，
∵r＝4，
∴l＝2r＝8，
∵∠BAB′＝90°，
∴△ABB′为等腰直角三角形，
∴BB′＝AB＝8．
【点睛】
本题考查了求圆锥侧面展开图的圆心角和在圆锥侧面求最短路径问题，解答关键是根据公式计算求出圆心角和将立体问题转化为平面问题加以解决．
15．(1)相等；
(2)；
(3)
【分析】本题主要考查了圆锥侧面展开图的圆心角的度数、勾股定理求最值等知识点，掌握圆锥的相关计算是解题的关键．
（1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等即可求解；
（2）根据求解即可；
（3）根据条件得出圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，进而根据勾股定理求解即可．
【详解】（1）解：由于圆锥的侧面的扇形的弧和底面圆的圆周重合，即圆锥侧面扇形的弧长与圆锥底面周长相等．
故答案为：相等．
（2）解：由圆锥的底面周长等于侧面扇形的弧长，可得：
则：，即：．
（3）解：如图：
∵，
∴，
∴，
∴圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为，
∴，
∵，C是中点，
∴，
∴在中，，
∴彩带长度的最小值为．
16．(1)见解析
(2)
(3)内
(4)
【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理、弧长公式、点与圆的位置关系等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据垂径定理，圆心是线段和垂直平分线的交点，作图即可；
（2）由图可得，再结合勾股定理计算即可得解；
（3）先求出，计算得出，再结合点与圆的位置关系即可得解；
（4）先判断出为直角三角形，即，再利用弧长公式得出弧的长为，由此即可得解．
【详解】（1）解：如图，点即为所求，
（2）解：由图可得，，
故由勾股定理可得：，
故的半径长为，
故答案为：；
（3）解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∴点在内，
故答案为：内；
（4）解：∵的半径长为，
∴，
∵,
∴，
∴为直角三角形，
∴，
∴弧的长为，
∴该圆锥的底面圆半径为，
故答案为：．
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