24.1 圆的有关性质 巩固练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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24.1 圆的有关性质 巩固练 2025-2026学年
上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．下列说法不正确的是（ ）
A．圆是轴对称图形，它有无数条对称轴
B．圆的半径、弦长的一半、弦上的弦心距能组成一直角三角形，且圆的半径是此直角三角形的斜边
C．弦长相等，则弦所对的弦心距也相等
D．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧
2．如图所示，已知△ACD和△ABE都内接于同一个圆，则∠ADC+∠AEB+∠BAC=【 】
A．90° B．180° C．270° D．360°
3．如图，AB是⊙O的直径，∠BAD=70°，则∠ACD的度数是（）
A．20° B．15° C．35° D．70°
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP=2，BP=6，∠APC=30°，则CD的长为（　　）

A． B．2 C．2 D．8
5．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠C＝30°，AB＝2 cm，则⊙O的半径为（ ）
A．5 cm B．4 cm C．3 cm D．2 cm
6．如图，的半径为5，为弦，半径，垂足为点，若，则的长是（　　）
A．4 B．6 C．8 D．10
7．如图，点在上，为的直径，，，是的中点，与相交于点，则的长为（　　）

A． B． C． D．
8．如图，在中，，，，以点为圆心、为半径的圆交于点，求弦的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm．
10．如图，已知四边形是圆的内接四边形，，则 ．
11．如图，是的直径，，，则 ．
12．如图，，，为的弦，，，则的半径为 ．

13．如图，且，则的大小是 度．
14．我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知其大小．用锯去锯这木材，锯口深寸，锯道长尺（1尺寸）．问这根圆形木材的直径是 寸．

15．如图，在边长为2的正方形中，动点，分别以相同的速度从，两点同时出发向和运动(任何一个点到达停止)，在运动过程中，则线段的最小值为 ．
三、解答题
16．如图，△ABC中，∠BAC＝45°，AC，BC交以AB为直径的半⊙O于D，E．连接AE，BD，交点为F．
(1)证明：AF＝BC；
(2)当点F是BD中点时，求BE：EC值．
17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．

(1)若∠BAC＝40°，则∠ADC＝　　°；∠DAC＝　　°
(2)求证：∠BAC＝2∠DAC；
(3)若AB＝10，CD＝5，求BC的值．
18．如图，在中，，点P在边上运动，，交于点E，以4为半径的交边于点Q，延长交于点F，，交延长线于点G．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
19．如图，圆内接四边形ABDC中，AB＝AC＝4，AD＝5，E为的中点，AE交CD于点F，M为AD上一点，且AM＝4．
(1)求证：∠DBM＝∠DAF；
(2)求BD DC的值．
20．如图，在中，是的角平分线，以为直径的交于点E，交的延长线于点F，连接．
(1)求证：．
(2)若，求的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C B A C D C B B
1．C
【分析】根据垂径定理以及圆的相关知识进行解答．
【详解】A. 圆是轴对称图形，过圆心的每条直线都是圆的对称轴，故A正确；
B. 若圆的半径、弦长的一半、弦上的弦心距能组成一直角三角形，则此弦一定不是直径，由垂径定理知，B正确；
C. 在同圆或等圆中，弦长相等，则弦所对的弦心距才相等；故C错误；
D. 此结论是垂径定理，故D正确；
故选C.
2．B
【详解】∵∠ADC，∠AEB，∠BAC所对圆弧正好是一个圆周，
∴∠ADC+∠AEB+∠BAC=180°．故选B．
3．A
【详解】连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠BAD=70°，∴∠B=90°–∠BAD=20°，∴∠ACD=∠B=20°．故选A．
4．C
【分析】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC=HD，再利用AP=2，BP=6可计算出半径OA=4，则OP=OA－AP=2，接着在Rt△OPH中根据含30°的直角三角形的性质计算出OH=OP=1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH=，所以CD=2CH=2．
【详解】作OH⊥CD于H，连结OC，如图，

∵OH⊥CD，
∴HC=HD，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，
∴OP=OA﹣AP=2，
在Rt△OPH中，∵∠APC=30°，
∴∠OPH=30°，∴OH=OP=1，
在Rt△OHC中，∵OC=4，OH=1，
∴CH=，
∴CD=2CH=2．
故选C．
【点睛】本题主要考查圆中的计算问题，熟练掌握垂径定理、含30°的直角三角形的性质以及勾股定理等知识点，掌握数形结合的思想是解答的关键
5．D
【分析】连接OA、OB，根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，可知△OAB是等边三角形，即可求得⊙O的半径OA=OB=AB=2．
【详解】解：如图：连接OA、OB，则OA、OB即为半径，
∵∠C＝30°，
∴∠AOB=60°，
又∵OA=OB，
∴△OAB为等边三角形，且AB＝2 cm，
∴OA=OB= AB=2 cm．
故选D．
【点睛】本题考查圆周角与三角形的综合运用，熟练掌握圆周角定理，作出辅助线是解题的关键．
6．C
【分析】本题考查的是垂径定理．连接，根据勾股定理求出的长，进而可得出结论．
【详解】解：连接，
，，，
，
．
故选：C．
7．B
【分析】本题考查圆周角定理、勾股定理、圆心角、弧、弦的关系、角平分线的性质定理等知识．过点作于．首先证明，设，根据勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】解：如图，过点作于．
，
，
是直径，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
，
解得，
，
，
故选：B．
8．B
【分析】过C作CF⊥AB于F，根据垂径定理得出AD=2AF，根据勾股定理求BC，根据三角形面积公式求出CF，根据勾股定理求出AF即可．
【详解】过C作CF⊥AB于F，
∵CF⊥AB，CF过圆心C，
∴AD=2AF．
∵△ABC中，∠ACB是直角，AC=4，AB=7，
∴由勾股定理得：BC=，
由三角形的面积公式得：AC×BC=AB×CF，即4×=7CF，
∴CF=，
在△AFC中，由勾股定理得：AF=，
∴AD=2AF=．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理，垂径定理，三角形的面积等知识点的应用，关键是求出AF的长．
9．7或1．
【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O同一侧时，当两条弦位于圆心O两侧时；利用垂径定理和勾股定理分别求出OE和OF的长度，即可得到答案．
【详解】解：分两种情况考虑：
当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，

过O作OE⊥CD，交CD于点E，交AB于点F，连接OC，OA，
∵AB∥CD，∴OE⊥AB，
∴E、F分别为CD、AB的中点，
∴CE=DE=CD=3cm，AF=BF=AB=4cm，
在Rt△AOF中，OA=5cm，AF=4cm，
根据勾股定理得：OF=3cm，
在Rt△COE中，OC=5cm，CE=3cm，
根据勾股定理得：OE═4cm，
则EF=OEOF=4cm3cm=1cm；
当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，
同理可得EF=4cm+3cm=7cm，
综上，弦AB与CD的距离为7cm或1cm．
故答案为：7或1．
【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
10．140°
【分析】先根据圆周角定理求出∠A的度数，再由圆内接四边形的性质求出∠BCD的度数即可．
【详解】∵∠BOD=80°，
∴∠A=40°．
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD=180°-∠A=180°-40°=140°．
故答案为140°．
【点睛】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解答此题的关键．
11．/度
【分析】本题考查了同弧所对的圆周角相等，等边三角形的性质与的判定；根据同弧所对的圆周角相等，可得，得出，进而判断是等边三角形，即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∴
∴
∵
∴是等边三角形，
∴，
故答案为：．
12．2
【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理、解直角三角形等知识，连接，由圆周角定理得到，过点O作于点H，由是等腰三角形的性质得到，，则，即可得答案．
【详解】解：连接，

∵，
∴，
过点O作于点H，
∵，
∴是等腰三角形，
∴，，
∴，
即的半径为2.
故答案为：2
13．．
【分析】设∠OAC=x，∠CAB=y，根据等腰三角形的性质，则∠OCA=x，∠OBA=x+y，∠OBC=x+30°，利用三角形内角和定理计算即可．
【详解】解：设∠OAC=x，∠CAB=y，
∵OA=OC，
∴∠OCA=x，
∵OA=OB，
∴∠OBA=x+y，
∵OC=OB，
∴∠OBC=x+30°，
∵，
∴∠CAB+∠OBA+∠OBC=150°，
∴y+x+y+ x+30°=150°，
∴2(x+y)=120°，
∵∠AOB=180°-2∠OBA
=180°-2(x+y)，
∴∠AOB=180°-120°=60°，
故答案为：60．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练应用性质，合理引进未知数，采用设而不求的思想计算是解题的关键．
14．26
【分析】根据题意可得，由垂径定理可得尺寸，设半径，则，在中，根据勾股定理可得：，解方程可得出木材半径，即可得出木材直径.
【详解】解：由题可知，
为半径，
尺寸，
设半径，
，
在中，根据勾股定理可得：
解得：,
木材直径为26寸；
故答案为：26.
【点睛】本题考查垂径定理结合勾股定理计算半径长度.如果题干中出现弦的垂线或者弦的中点，则可验证是否满足垂径定理；与圆有关的题目中如果求弦长或者求半径直径，也可以从题中寻找是否有垂径定理，然后构造直角三角形，用勾股定理求解.
15．
【分析】如图（见解析），先根据正方形的性质、三角形的判定定理与性质得出，再根据正方形的性质、角的和差得出，从而得出点P的运动轨迹，然后根据圆的性质确认CP取最小值时点P的位置，最后利用勾股定理、线段的和差求解即可．
【详解】由题意得：
由正方形的性质得：
，即
在和中，
，即
点P的运动轨迹在以AB为直径的圆弧上
如图，设AB的中点为点O，则点P在以点O为圆心，OA为半径的圆上
连接OC，交弧AB于点Q
由圆的性质可知，当点P与点Q重合时，CP取得最小值，最小值为CQ
，即CP的最小值为
故答案为：．
【点睛】本题是一道较难的综合题，考查了三角形全等的判定定理与性质、圆的性质（圆周角定理）、勾股定理等知识点，利用圆的性质正确判断出点P的运动轨迹以及CP最小时点P的位置是解题关键．
16．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由圆周角定理推论可得∠ADB＝∠AEB＝90°，根据等腰直角三角形的性质可得AD＝BD，根据∠DAF+∠AFD＝∠BFE+∠FEB＝90°，且∠AFD＝∠BFE，即可得出∠DAF＝∠FBE，则可证明△ADF≌△BDC，即可得出答案；
（2）设DF＝a，则DF＝BF＝a，可得AD＝BD＝2a，根据勾股定理可得AFa，由（1）中结论可得AF＝BC，由∠ADF＝∠BEF＝90°，∠AFD＝∠BFE，可证明△ADF∽△BEF，则，可得BEa，由CE＝BC﹣BE可得出CE的长度，计算即可得出答案．
【详解】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BAC=∠DBA，
∴AD＝BD，
∵∠DAF+∠AFD＝∠BFE+∠FEB＝90°，∠AFD＝∠BFE，
∴∠DAF＝∠FBE，
在△ADF和△BDC中，
，
∴△ADF≌△BDC（ASA），
∴AF＝BC；
（2）∵点F是BD中点，
∴DF＝BF，
设DF＝a，则DF＝BF＝a，
∴AD＝BD＝2a，
在Rt△ADF中，
AFa，
∴AF＝BC，
∵∠ADF＝∠BEF＝90°，∠AFD＝∠BFE，
∴△ADF∽△BEF，
∴，
∴，
∴BEa，
∴CE＝BC﹣BEaaa，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理及相似三角形的性质，熟练掌握圆周角定理及相似三角形的性质进行求解是解题的关键．
17．(1)；；
(2)见解析；
(3)
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和圆内接四边形的性质即可求∠ADC，根据圆周角定理和三角形内角和定理即可求∠DAC；
（2）根据等腰三角形的性质和圆周角定理及三角形内角和定理即可求解；
（3）过A作AH⊥BC于H，根据等腰三角形的性质得到，
CH＝BH，过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，根据全等三角形的性质得到CG＝CH，根据相似三角形的性质得到，设BH＝k，AH＝2k，由勾股定理即可求解．
【详解】（1）∵AB＝AC，∠BAC＝40°，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝110°，
∵BD⊥AC，
∴∠AED＝90°，
∴∠ADB＝∠ACB＝70°，
∴∠DAC＝180°﹣∠ADB﹣∠AED＝20°，
故答案为：110；20
（2）证明：∵BD⊥AC，
∴∠AEB＝∠BEC＝90°，
∴∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝90°﹣∠CBD，
∴∠BAC＝180°﹣2∠ABC＝2∠CBD，
∵∠DAC＝∠CBD，
∴∠BAC＝2∠DAC；
（3）过A作AH⊥BC于H，过C作CG⊥AD交AD的延长线于G，
∵AB＝AC，
∴，
CH＝BH，
∵∠BAC＝2∠DAC，
∴∠CAG＝∠CAH，
∴∠G＝∠AHC＝90°，AC＝AC，
∴△AGC≌△AHC（AAS），
∴CG＝CH，
∵∠CDG＝∠ABC，
∴△CDG∽△ABH，
∴，
∴，
设BH＝k，AH＝2k，
∴
∴k＝，
∴BC＝2k＝．

【点睛】本题考查圆内接四边形、全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定及其性质，勾股定理，正确作辅助线构造全等三角形是解题的关键．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查勾股定理逆定理，解直角三角形，圆的基本性质：
（1）勾股定理逆定理，得到，平行线的性质得到，三角形的外角，推出，即可得到；
（2）连接，过点作，根据，得到，勾股定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，进而求出的长，再利用正切值，求出的长即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∴；
（2）连接，过点作，则：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即：，
设，，则：，
∴，
∴，
在中，由勾股定理，得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．(1)证明见解析
(2)9
【分析】（1）设∠DAE＝α，∠ADC＝β，根据圆周角定理得到∠DAE＝∠EAC＝α，∠ADC＝∠ADB＝β，再利用圆内接四边形的性质得到∠BDC+∠BAC＝180°，则∠BAM＝180﹣2α﹣2β，接着利用等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠BMA＝α+β，然后根据三角形外角性质得到∠DBM＝α，从而得到结论；
（2）证明△BDM∽△ADF，利用相似比得到BD DF＝5，再根据角平分线的性质得到，则DF＝CF，所以DF＝DC，于是可计算出BD DC＝9．
【详解】（1）证明：设∠DAE＝α，∠ADC＝β，
∵E为的中点，
∴∠DAE＝∠EAC＝α，
∵AB＝AC，
∴，
∴∠ADC＝∠ADB＝β，
∵∠BDC+∠BAC＝180°，
∴∠BAM＝180﹣2α﹣2β，
∵AB＝AM，
∴∠BMA＝（180°﹣∠BAM）＝α+β，
而∠BMA＝∠DBM+∠ADB，
∴∠DBM＝α，
∴∠DBM＝∠DAF；
（2）解：∵∠DBM＝∠DAF，∠ADC＝∠ADB，
∴△BDM∽△ADF，
∴，
∴BD DF＝DM DA＝1×5＝5，
∵AE平分∠DAC，
∴
∴CF＝DF，
∴DC=DF+CF=DF，
∴DF＝DC，
∴BD DF＝BD DC＝5，
∴BD DC＝9．
【点睛】本题主要考查了圆内接四边形，圆周角，等腰三角形，三角形外角，相似三角形，三角形角平分线．解决问题的关键是熟练掌握圆周角定理，圆内接四边形的性质，等腰三角形性质，三角形外角性质，相似三角形的判定和性质，三角形角平分线性质．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查圆周角定理，圆内接四边形的性质，解直角三角形：
（1）连接，根据圆内接四边形的对角互补，以及平角的定义，推出，证明，得到，进而推出，即可得证；
（2）设，得到，勾股定理求出的长，根据，求出的值，进而求出的值，根据，列出比例式，进行求解即可．
【详解】（1）证明：连接，则四边形为圆内角四边形，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∴，
∴．
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