24.1.1 圆 课时练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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24.1.1 圆 课时练 2025-2026学年
上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折（　　）次．
A．1 B．2 C．4 D．8
2．一个半圆的周长10.28厘米，这个半圆的直径（ ）厘米
A．2 B．4 C．6 D．8
3．下列说法：①直径是弦；②半径相等的圆叫同心圆；③长度相等的两条弧是等弧．其中正确的是（　　）
A．②③ B．①② C．①③ D．①
4．如图，已知点A，D，C在上，连接，若四边形是菱形，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，是的弦，且，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，A，B，C三点在上，若，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．一个圆形花坛的周长是37.68米，它的直径是 米．（取π=3.14）
8．如图，A，B，C是上的三个点，若四边形为菱形，则 ．

9．已知，如图，是的弦，，点C在弦上，连结并延长交于点D，，则的度数是 ．
10．我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“圆中方形”问题：“今有圆田一段，中间有个方池．丈量田地待耕犁，恰好三分在记，池面至周有数，每边三步无疑．内方圆径若能知，堪作算中第一．”其大意为：有一块圆形的田，中间有一块正方形水池，测量出除水池外圆内可耕地的面积恰好36平方步，从水池边到圆周，每边相距3步远．如果你能求出正方形边长和圆的直径，那么你的计算水平就是第一了．如图，设正方形的边长是x步，则列出的方程是 ．
三、解答题
11．如图，在中，C，D分别是半径，的中点，求证：．
12．如图，某小区修缮了一个圆环的花坛，其内圆半径为，外圆面积为．
(1)求该圆环花坛的宽度；
(2)求该圆环花坛的面积．
13．从一块矩形铁皮余料中剪一个面积最大的半圆，半圆的半径为．
(1)当时，的值为 ．
(2)当，时，对于每一个确定的的值，都能剪出一个面积最大的半圆．请画出不同情形的示意图，并写出对应的的取值范围及的值．
14．课本再现
如图1，，，，垂足分别为，，与相等吗？为什么？
（1）完成上述课本习题．
知识应用
（2）如图2，的弦，的延长线相交于点，连接并延长．若，求证：为的平分线．
15．如图，已知是的直径，点在上，．
(1)求证：；
(2)求的度数．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B B D B D C
1．B
【分析】本题主要考查了找圆心，沿不同的折痕把圆对折两次，这两条折痕的交点即为圆心，据此可得答案．
【详解】解：∵圆的圆心一定在其直径上，
∴沿不同的折痕把圆对折两次，这两条折痕的交点即为圆心，
∴一张圆形的纸，要想找到它的圆心，至少要对折2次，
故选：B．
2．B
【分析】本题考查了圆的周长．半圆的周长等于圆的周长的一半再加直径，设圆的直径为d，由“一个半圆的周长是10.28厘米”即可求出圆的直径，从而问题得解．
【详解】解：设圆的直径为d厘米，
则，
，
，
；
答：这个半圆的直径是4厘米．
故选：B．
3．D
【分析】本题考查的是圆的认识．根据等圆、等弧的定义以及确定圆的条件，分别进行判断．
【详解】解：①直径是弦，说法正确；
②半径相等的圆是等圆，不是同心圆，原说法错误；
③同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，原说法错误．
综上，正确的只是①，
故选：D．
4．B
【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，先连接，结合半径相等以及菱形的性质得，故都是等边三角形，即可作答．
【详解】解：连接，如图所示：
依题意，，
∵四边形是菱形，
∴，
即，
∴都是等边三角形，
∴，
即，
故选：B
5．D
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，圆的相关定义，掌握相关知识点是解题关键．先证明，推出，再根据等边对等角的性质求解即可．
【详解】解：在和中，
，
，
，
，
，
，
，
故选：D．
6．C
【分析】本题考查了圆的基本性质，等边对等角，平行线的性质．利用半径相等结合等边对等角求得，，再根据平行线的性质列式计算即可求解．
【详解】解：连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
故选：C．
7．12
【分析】先依据圆的周长公式求出圆的直径．
【详解】解：d = = ．
故答案为：12．
【点睛】此题主要考查圆的周长和面积的计算方法，解题的关键是掌握圆周长的公式进行解题．
8．/度
【分析】本题主要考查了圆的基本性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
如图：连接，易得，再根据菱形的性质可得，即是等边三角形可得，同理可得，最后根据角的和差即可解答．
【详解】解：如图：连接，

∵A，B，C是上的三个点，
∴，
∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
同理可得：，
∴．
故答案为：．
9．/65度
【分析】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，解题的关键是构造出辅助线，本题属于基础题型．连接，根据圆的半径都相等即可求出答案．
【详解】解：连接，
，
，
，
，
，
故答案为：．
10．
【分析】本题考查了圆的面积，正方形的面积，种地的面积等于圆的面积减去正方形的面积，而圆的半径为，代入公式计算即可．
【详解】解：根据题意，得，
故答案为：．
11．见解析
【分析】本题考查了圆的基本概念，全等三角形的判定与性质，先判断出，然后根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证．
【详解】证明：∵C，D分别是半径，的中点，
∴，，
又，
∴，
又，
∴，
∴．
12．(1)圆环的宽度为
(2)圆环花坛的面积
【分析】本题考查二次根式的应用、圆的面积等知识点，明确圆的面积和半径的求法是解答本题的关键．
（1）先求出外圆的半径，然后用外圆半径内圆半径，即可得到该圆环花坛的宽度；
（2）先求出内圆的面价，然后用外圆面积内圆面积，即可得到该圆环花坛的面积．
【详解】（1）解：设外圆半径为，
根据题意得：，即：，
，
，
圆环的宽度为．
答：圆环的宽度为．
（2）解：
．
答：圆环花坛的面积．
13．(1)
(2)当时，；当时，；当时，．
【分析】本题主要考查了矩形的性质、正方形的判定与性质、圆的基本概念等知识点，掌握圆的基本知识点成为解题的关键．
（1）如图所示，以为直径的半圆与正方形相切于点E，F，连接并于延长交于点G，连接并于延长交于点H，得到是等腰直角三角形，求出，然后利用求解即可．
（2）分3种情况，分别根据矩形的性质和圆的基本概念画出图形即可解答．
【详解】（1）解：如图所示，以为直径的半圆与正方形相切于点E，F，连接并于延长交于点G，连接并于延长交于点H，
由题意得，是等腰直角三角形
∵
∴
∴是等腰直角三角形
∴
∵
∴
∴；
（2）解：①如图：当时，最大半圆的半径为：；
②如图：当时，
根据题意得，四边形，，是矩形，
∵，，
∴，
∴，
∴
∴
∴在中，
∴
整理得，
∴解得，或（舍）；
③如图：当时，最大半圆的半径为：；
综上，当时，；当时，；当时，．
14．（1），见解析；（2）见解析
【分析】本题主要考查了圆的基本概念，三角形全等的判定与性质、角平分线的判定．
（1）证明，根据于点，于点，即可证明；
（2）过点分别作，，垂足分别为，．同理（1）即可得出结论．
【详解】解：（1）．理由如下：
在和中，
，
．
又于点，于点，即分别是边上的高，
．
（2）证明：如图，过点分别作，，垂足分别为，．
，
同理可得：，
，，
为的平分线．
15．(1)详见解析
(2)
【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、三角形内角和以及等腰三角形等边对等角，熟练掌握相关性质是解题的关键．
（1）根据已知条件利用证明全等即可；
（2）根据，求出，再利用全等求出，最后利用等边对等角即可求．
【详解】（1）证明：的半径为，
，
，，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
．
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