24.1.2 垂直于弦的直径 课时练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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24.1.2 垂直于弦的直径 课时练
2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．如图，在半径为4的中，于，点为中点，弦的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，是的直径，是弦，，垂足为M，则下列结论中错误的是（ ）

A． B． C． D．
3．如图，圆O的弦GH，EF，CD，AB中最短的是（　　）
A．GH B．EF C．CD D．AB
4．在圆柱形油槽内装有一些油，油槽直径MN为10分米．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，当油面宽变为8分米，油面AB上升（　　）
A．1分米 B．4分米
C．3分米 D．1分米或7分米
5．下列说法正确的是（ ）
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的弦平分这条直径
D．过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧
6．下列说法中正确的个数有（）
①平分弦的直径一定垂直于弦；②圆是轴对称图形，每一条直径都是对称轴；③直径是弦；④长度相等的弧是等弧
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
7．已知⊙O的直径为20， AB， CD分别是⊙O的两条弦，且AB//CD，AB=16，CD=10，则AB，CD之间的距离是 ．
8．如图，一个圆柱形的玻璃水杯，将其水平放置，截面是个圆，为弦中点，点是弧的中点，，杯内水面宽，则圆的半径的长是 ．

9．如图，，，是半圆O的弦，过圆心O，过O作于点D．若，则 ．
10．如图，是的弦，是的中点，连接并延长交于点．已知，，则的半径为 ．

11．如图,CD为⊙O的直径,弦AB⊥CD,垂足为M,若AB=12,OM:MD=5:8,则⊙O的周长为 ．
三、解答题
12．如图，是的两条弦，且于M，于N．求证：．
13．如图，的两条弦（不是直径），点为中点，连接，．

(1)求证：直线；
(2)求证：．
14．如图，四边形内接于，是直径，点是劣弧的中点，求证：．
15．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆上的点，且OD⊥AC于点E，连接BE，BC，若AC=8，DE=2．
（1）求半圆的半径长；
（2）求BE的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C C A D D A
1．C
【分析】本题考查了垂径定理以及勾股定理，根据勾股定理求出的长度是解本题的关键．
【详解】连接，
∴，
又∵点为中点，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故选C．
2．C
【分析】垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧，根据垂径定理即可进行判断，熟练掌握垂径定理的内容是解题的关键．
【详解】解：∵是的直径，是弦，，垂足为M，
∴，，，
无法判断，
故选：C
3．A
【详解】分析:根据垂径定理可知，圆心到弦的距离是最长的，弦的长度反而是最短的.
详解：根据垂径定理可知，圆心到弦的距离是最长的，弦的长度反而是最短的.
故选A.
点睛：考查垂径定理，熟记垂径定理是解题的关键.
4．D
【分析】实质是求两条平行弦之间的距离．根据勾股定理求弦心距，作和或差分别求解．
【详解】
解：连接OA．作OG⊥AB于G，
则在直角△OAG中，AG＝3分米，
因为OA＝5分米，根据勾股定理得到：OG＝4分米，即弦AB的弦心距是4分米，
同理当油面宽AB为8分米时，弦心距是3分米，
当油面没超过圆心O时，油上升了1分米；当油面超过圆心O时，油上升了7分米．
因而油上升了1分米或7分米．
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理,灵活运用是本题解题关键,注意要分类讨论.
5．D
【分析】根据垂径定理及其推论，进行判断即可．
【详解】解：A、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，选项错误；
B、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，选项错误；
C、垂直于直径的弦被直径平分，选项错误；
D、过弦（不是直径）的中点的直径平分弦所对的两条弧，选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查垂径定理．熟练掌握垂径定理，是解题的关键．
6．A
【分析】根据垂径定理，等弧的定义，圆的性质一一判断即可．
【详解】解：①平分弦（不是直径）的直径一定垂直于弦，原说法错误；
②圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴，原说法错误；
③直径是弦，正确；
④长度相等弧是不一定是等弧，原说法错误；
综上，只有③的说法正确，
故选：A．
【点睛】本题考查垂径定理，等弧的定义，圆的有关性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
7．或
【分析】分两种情况考虑：当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，过O作，交CD于点E，交AB于点F，连接OA，OC，由，得到，利用垂径定理得到E与F分别为CD与AB的中点，在直角三角形AOF中，利用勾股定理求出OF的长，在三角形COE中，利用勾股定理求出OE的长，由即可求出EF的长；当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理由求出EF的长即可．
【详解】解：分两种情况考虑：
当两条弦位于圆心O一侧时，如图1所示，
过O作，交CD于点E，交AB于点F，连接OA，OC，
，，
∴F、分别为AB、CD的中点，
，，
在中，，，
根据勾股定理得：，
在中，，，
根据勾股定理得：，
则；

当两条弦位于圆心O两侧时，如图2所示，同理可得，
综上，弦AB与CD的距离为或，
故答案为：或．
【点睛】此题考查了垂径定理，勾股定理，利用了分类讨论的思想，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．
8．5
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理．设圆的半径为，利用垂径定理和勾股定理，列出方程进行求解即可．
【详解】解：连接并延长，交圆于点，，，

∵，C为弦中点，
∴，，
∴平分，
∵为的中点，
∴点，重合，
∴，，三点共线，
设圆的半径为，则：，
由勾股定理，得：，
∴，
解得：；
故答案为：5．
9．6
【分析】由圆的性质可得，再根据垂径定理可得，则是的中位线，然后根据中位线的性质即可解答．本题主要考查了垂径定理、三角形中位线的判定与性质等知识点，说明是的中位线成为解答本题的关键．
【详解】解：∵过圆心O，
∴，
∵，
∴，
∴是的中位线，
∴．
故答案为6．
10．5
【分析】连接，由垂径定理的推论得，设圆的半径为R，根据勾股定理得到方程，求解即可．
【详解】解：连接，如图所示：

∵是的中点，
∴，
∴
设的半径为，
∵
∴
在中，，即，
解得，，
即的半径为．
故答案为：5．
【点睛】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理的推论判断出是的垂直平分线是解答此题的关键．
11．13π
【分析】连接OA，根据垂径定理得到AM=AB=6，设OM=5x，DM=8x，得到OA=OD=13x，根据勾股定理得到OA=×13，于是得到结论．
【详解】连接OA，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，
∴AM=AB=6，
∵OM:MD=5:8，
∴设OM=5x，DM=8x，
∴OA=OD=13x，
∴AM=12x=6，
∴x=，
∴OA=×13，
∴⊙O的周长=2OA π=13π，
【点睛】本题考查垂径定理及其推论，解题的关键是掌握垂径定理及其推论.
12．见解析
【分析】本题主要考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键．
连接．由垂径定理结合可得，再证明，最后根据全等三角形的性质即可解答．
【详解】证明：如图：连接．
∵于M，于N．
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
13．(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）依据垂径定理的推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦可得结论；
（2）证明，由垂径定理可得结论．
【详解】（1）证明：如图，连接，
过点，为的中点，
．
（2）证明：延长交于．
，，
．
过点，
，
垂直平分，
．
【点睛】本题考查了垂径定理，灵活利用垂径定理及其推论是解题的关键．
14．证明见解析
【分析】本题考查垂径定理的推论及垂直平分线的性质，根据“是直径，点是劣弧的中点”可得垂直平分，再根据垂直平分线的性质即可得证．解题的关键是掌握：一条直线如果具有“．经过圆心，．垂直于弦，．平分弦（被平分的弦不是直径），．平分弦所对的优弧，．平分弦所对的劣弧”这五条中的任意两条，则必然具备其余的三条，简称“知二推三”．
【详解】证明：∵是直径，点是劣弧的中点，
∴垂直平分，
∴．
15．（1）5；（2）
【分析】（1）根据垂径的求得AE=4，设半径为r，则OE=r-2，根据勾股定理得到关于r的方程，解方程即可求得半径；
（2）根据勾股定理求得BC，进而根据勾股定理求得BE．
【详解】解：（1）于点且
，
设半径为，则
在中有
解得：
即半圆的半径为5
（2）为半圆的直径
则
在中有
【点睛】此题考查了垂径定理以及勾股定理．注意得到∠C=90°，应用垂径定理是关键．
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