24.1.3 弧、弦、圆心角 课时练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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24.1.3 弧、弦、圆心角 课时练 2025-2026学年
上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．下列图形中的角，是圆心角的为（ ）
A． B． C． D．
2．下列语句，错误的是（ ）
A．直径是弦 B．过圆心的弦是直径
C．平分弧的直径垂直于弧所对的弦 D．相等的圆心角所对的弧相等
3．中的一段劣弧的度数为，则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，，则度数是（　　）
A． B． C． D．
5．在同圆中，圆心角，则两条弧与关系是（ ）
A．
B．
C．
D．不能确定
6．如图，在⊙O中，弦AB与直径CD垂直，垂足为E，则下列结论中错误的是（ ）
A．AE=BE B．CE=DE C．AC=BC D．AD=BD
二、填空题
7．已知的直径为10，是的弦，，那么在中弦所对的圆心角度数为 ．
8．如图，在中，已知，则弦所对的圆心角的度数是 ．
9．如图，在中，，连接，，则 （填“”，“ ”或“” ．
10．如图，是的直径，C、D是的三等分点，，则 ．
11．如图，在条件：①∠COA＝∠AOD＝60°；②AC＝AD＝OA；③点E分别是AO、CD的中点；④OA⊥CD且∠ACO＝60°中，能推出四边形OCAD是菱形的条件有 个．
三、解答题
12．如图，在中，D、E分别为半径、上的点，，C为弧的中点，连接、、，求证：．
13．如图，、是⊙O的直径，弦，弧的度数为，求的度数．
14．如图，为的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长交于点F．若，求的长．
15．如图所示，是圆O的一条弦，是圆O直径，垂足为．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求圆O的半径长．
16．如图，是的半径，

(1)如果，那么_____，_____ =_____，∠AOC_____∠BOD；
(2)如果，那么_____=_____，_____；
(3)如果=，那么_____，_____，_____．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 C D B B A B
1．C
【分析】根据圆心角的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
B、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
C、是圆心角，故本选项符合题意；
D、顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了圆心角的定义，能熟记圆心角的定义（顶点在圆心上，并且两边与圆相交的角，叫圆心角）是解此题的关键．
2．D
【分析】考查了圆周角定理、垂径定理以及弦弧的概念等知识．根据弦的定义、垂径定理的推论、圆周角定理，即可求得答案．
【详解】A. 直径是弦，故该选项正确，不符合题意；
B. 过圆心的弦是直径，故该选项正确，不符合题意；
C. 平分弧的直径垂直于弧所对的弦，故该选项正确，不符合题意；
D. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故该选项不正确，符合题意；
故选：D．
3．B
【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出答案即可．
【详解】解：中的一段劣弧的度数为，
，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，注意：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦，其中有一对相等，那么对应的其余两对也分别相等．
4．B
【分析】根据圆心角的度数得出即可．
【详解】解：圆心角，
圆心角对的弧的度数是，
故选：B．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，注意：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．
5．A
【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角相等，那么它们所对应的弧相等．在同圆中，圆心角，则．
【详解】解：∵在同圆中，圆心角，
∴．
故选A．
6．B
【分析】回顾一下垂径定理的内容，根据定理得出AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC，即可得出选项．
【详解】∵CD⊥AB，CD为直径，
∴AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC，CE＞DE，
AD=BD,AC=BC,
故选:B．
【点睛】本题考查了垂径定理的应用，解此题的关键是能正确理解定理的内容，注意：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的每一条弧．
7．/60度
【分析】本题考查了圆心角，等边三角形的判定与性质， 连接、，证明为等边三角形得到即可，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键．
【详解】解：如图，连接、，

直径为，
，
而，
，
为等边三角形，
，
即弦所对的圆心角是．
故答案为：．
8．
【分析】本题考查了圆心角，圆的性质，等腰三角形的性质，解题的关键掌握相关知识．由，可得，再根据三角形的内角和定理求出，即可求解．
【详解】解：，，
，
，
即弦所对的圆心角的度数是，
故答案为：．
9．
【分析】根据推出AB=BC=CD，利用三角形三边关系得到答案
【详解】解：∵，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了三角形三边的关系．
10．#40度
【分析】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，掌握在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等是解题的关键．根据邻补角的概念求出，根据圆心角、弧、弦的关系解答．
【详解】解：，
∵C、D是的三等分点，
∴，
∴，
故答案为：．
11．4．
【分析】根据菱形的判定方法即可得出答案.
【详解】解：①中，可以发现两个等边三角形，然后证明出其四边都相等；
②中，同①的证明方法；
③中，根据垂径定理的推论证明垂直，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形即可证明；
④中，发现一个等边三角形，再根据等腰三角形的三线合一，证明对角线互相垂直平分．
故有4个．
【点睛】本题考查的是菱形的判定，菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．据此判断即可．
12．见解析
【分析】本题考查弧与圆心角的关系、全等三角形的判定与性质，根据等弧所对的圆心角相等得到，进而证明，利用全等三角形的对应边相等可证得结论．
【详解】证明：∵D、E分别为半径、上的点，，
∴，则，
∵C为弧的中点，
∴，
∴，
在和中，
∴，
∴．
13．
【分析】连接，由弧的度数为，得到，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出，再由，即可得到．
【详解】解：连接，如图，
∵弧的度数为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵弦，
∴．
【点睛】本题考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及平行线的性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．
14．
【分析】本题考查了垂径定理及其推论，弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键．根据点是弧的中点，得到；根据为的直径，，得到，从而得到，得到，得到
【详解】解：∵，
∴．
∵点D是的中点，
∴．
∴．
∴．
∴．
15．(1)的度数是；
(2)圆的半径长为．
【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
（1）根据垂径定理可得，从而可得，即可解答；
（2）根据垂径定理可得，然后设圆的半径长为，再在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
【详解】（1）解：是圆的一条弦，，
，
，
的度数是；
（2）解：是圆的一条弦，，
，
设圆的半径长为，
在中，，
，
，
∴圆的半径长为．
16．(1)，，，=
(2)，，
(3)，，=
【分析】根据在同圆或等圆中，①圆心角相等，②所对的弧相等，③所对的弦相等，三项“知一推二”，一项相等，其余二项皆相等进行解答．
【详解】（1）解：∵，
∴，，；
故答案为：，，，=
（2）解：∵，
∴，；
故答案为：，，；
（3）解：∵，
∴，，．
故答案为：，，=．
【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，掌握相关性质的解题的关键．
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