24.1.4 圆周角 课时练 2025-2026学年上学期初中数学人教版九年级上册

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24.1.4 圆周角 课时练 2025-2026学年
上学期初中数学人教版九年级上册
一、单选题
1．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，∠ABC＝70°，则∠BAC＝（ ）
A．50° B．40° C．30° D．20°
2．如图，是的内接三角形，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，A，B，C是上的三个点，如果，那么的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，在中，直径垂直于弦，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，四边形是的内接四边形，连接，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，是直径，若，则的度数是（ ）
A．40° B．35° C．30° D．25°
二、填空题
7．如图，是的内接三角形，若，则 ．
8．如图，圆O的半径垂直弦于点C，连接并延长交圆O于点E，连接，若，，则长为 ．
9．如图，点、、、、在上，且为，则的度数为 ．
10．如图，点在上，若，则
11．如图，是⊙O的直径，弦交于点E，，，则的度数为 ．
12．如图，在中，，，则的度数为 ．
三、解答题
13．如图，是半圆的直径，、是半圆上的两点，且，与交于点．
(1)求证：为的中点．
(2)若＝，＝，求的长．
14．如图，在上有，，三点，，不使用圆规，只用无刻度的直尺作出符合下列要求的角，保留作图痕迹．
(1)请在图中作一个的圆周角，记为．
(2)请在图中作一个的圆心角，记为．
15．如图，在中，，以为直径的分别交，于点D，E．
(1)若，求的度数．
(2)若，求的度数．
16．如图，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上．
(1)若，求的度数；
(2)在（1）的条件下，的半径为2，求的长．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D A C A A D
1．D
【分析】根据圆的性质，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，则，在中，运用内角和定理，结合，可得．
【详解】解：∵AB为⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，
∴，
∵，
∴．
故选：D．
【点睛】本题考查了在圆中，直径所对的圆周角为直角，灵活运用该知识点是解题的关键．
2．A
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，根据圆周角定理求解，再结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴；
故选：A．
3．C
【分析】本题考查的是圆周角定理，直接根据圆周角定理即可得出结论．
【详解】解：∵与是同弧所对的圆心角与圆周角，，
∴．
故选：C．
4．A
【分析】由“等弧或等弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半”推知，得到答案．
【详解】解：∵在中，直径垂直于弦，
∴，
∴
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
5．A
【分析】本题考查圆周角定理、平行线的性质，熟知圆周角定理是解答的关键．先根据圆周角定理求得，然后根据平行线的性质求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
6．D
【分析】连接AD，求出∠BDA＝90°，∠CDA＝65°，即可求得∠BDC的度数．
【详解】解：连接AD，
∵AB是⊙O直径，∠AOC＝130°，
∴∠BDA＝90°，∠CDA＝65°，
∴∠BDC＝25°，
故选：D．
【点睛】本题考查圆周角定理，解答本题的关键是明确题意，通过连接弦构建直角解决问题．
7．/62度
【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理.
利用等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出的度数，然后利用圆周角定理求解即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
8．2
【分析】本题考查圆周角定理，垂径定理，圆周角定理得到，勾股定理求出的长，进而求出，的长，垂径定理求出的长，进而求出的长即可．
【详解】解：由题意，为圆O的直径，
∴，
∴，
∴，
∵圆O的半径垂直弦于点C，
∴，
∴，
∴；
故答案为：2
9．/160度
【分析】本题考查圆周角定理、弧度数与圆心角的关系，先根据圆周角定理得到，，再根据弧度数与圆心角关系得到，进而根据周角定义求得即可求解．
【详解】解：连接，，，则，，
∵为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
10．
【分析】取点，连接、，利用圆内接四边形的性质及圆周角定理求解即可．本题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
【详解】解：如图，取点，连接、，
∵，
∴，
∴ ，
故答案为：．
11．
【分析】连接BC，利用圆周角性质求出∠DCB，利用直径所对的圆周角为90°求出∠ACB，利用三角形内角和求出∠ABC，再利用外角的性质可求出；
【详解】解：连接BC，则∠DCB=
∵是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-40°-90°=50°
∴∠AEC=∠ABC+∠ECB=50°+30°=80°
故答案为：
【点睛】本题考查了圆周角的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，解题关键是灵活运用圆和三角形的性质解决问题．
12．
【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
先根据圆周角定理得到，再利用三角形内角和计算出，然后根据圆周角定理得到的度数．
【详解】解：
在中，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
13．(1)证明见解析
(2)
【分析】此题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理、三角形中位线定理以及等腰三角形的性质．熟练掌握圆周角定理、勾股定理、等腰三角形的性质以及三角形中位线的性质是解此题的关键．
（1）根据已知可得，根据垂径定理，即可求解；
（2）根据勾股定理求得，进而根据（1）的结论可得是的中位线，求得，进而求得，即可求解．
【详解】（1）证明：是半圆的直径，
＝，
，
，
，
是半圆的半径，
为的中点；
（2）解：由（1）可知，＝，
是半圆的直径，
＝＝＝＝，
由（）可知，为的中点，
是的中位线，
＝＝，
＝﹣＝﹣＝，
即的长为．
14．(1)作图见解析
(2)作图见解析
【分析】本题考查了圆的内接四边形的性质，圆周角定理，正确把握圆周角定理是解题的关键．
（1）在劣弧上任取一点，连接，，则，则，故即为所求；
（2）延长交于点，由圆周角定理得，则，故即为所求．
【详解】（1）解：如图，在劣弧上任取一点，连接，，
即为所求作；
（2）解：延长交于点，
即为所求作．
15．(1)
(2)
【分析】（1）连接，先根据圆周角定理的推论得到，进而可知是的垂直平分线，再根据垂直平分线的性质结合等边对等角即可求出的度数；
（2）由题意可知四边形是的内接四边形，可得，根据等边对等角结合三角形内角和求出，最后根据三角形外角的性质即可求出的度数．
【详解】（1）解：连接，
∵是的直径，
∴，
∵，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴；
（2）解：∵以为直径的分别交，于点D，E，
∴四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵是的一个外角，
∴．
【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，垂直平分线的判定和性质，等边对等角，内接四边形的判定和性质，三角形内角和，三角形外角的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】本题考查圆周角定理，含30度角的直角三角形，熟练掌握圆周角定理是解题的关键：
（1）三线合一，得到，圆周角定理，得到，即可得出结果；
（2）根据含30度角的直角三角形的性质结合勾股定理进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴平分，
∴，
∴；
（2）∵的半径为2，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
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