(共5张PPT)
浙教版 九年级上册
九年级数学上学期期中模拟卷
【温州专用】试卷分析
二、知识点分布
题号 难度系数 详细知识点
一、单选题 1 0.94 y=a（x-h） +k的图象和性质
2 0.94 根据旋转的性质求解
3 0.84 y=ax +bx+c的图象与性质；把y=ax +bx+c化成顶点式
4 0.65 圆周角定理；已知圆内接四边形求角度；等腰三角形的性质和判定
5 0.64 利用垂径定理求值；利用弧、弦、圆心角的关系求解
6 0.75 用勾股定理解三角形；根据矩形的性质求线段长；圆的基本概念辨析
7 0.75 由频率估计概率
8 0.64 列表法或树状图法求概率
9 0.65 图形运动问题(实际问题与二次函数)；动点问题的函数图象；用勾股定理解三角形
10 0.4 勾股定理逆定理的实际应用；圆周角定理；用勾股定理解三角形；斜边的中线等于斜边的一半
二、知识点分布
二、填空题 11 0.75 利用垂径定理求值；含30度角的直角三角形；用勾股定理解三角形；圆周角的概念辨析及简单运算
12 0.75 事件的分类
13 0.65 由频率估计概率；已知概率求数量
14 0.65 y=ax +bx+c的图象与性质；已知抛物线上对称的两点求对称轴；把y=ax +bx+c化成顶点式
15 0.64 y=ax 的图象和性质
16 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；求抛物线与x轴的交点坐标；坐标与旋转规律问题
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 销售问题(实际问题与二次函数)
18 0.75 已知圆内接四边形求角度；求弧长；等边对等角；圆周角定理
19 0.75 利用垂径定理求值；利用弧、弦、圆心角的关系求解；线段垂直平分线的判定；用勾股定理解三角形
20 0.65 由样本所占百分比估计总体的数量；求扇形统计图的圆心角；条形统计图和扇形统计图信息关联；列表法或树状图法求概率
21 0.65 求一次函数解析式；根据交点确定不等式的解集；求抛物线与x轴的交点坐标
22 0.64 y=ax +bx+c的图象与性质；利用不等式求自变量或函数值的范围；y=ax +bx+c的最值
23 0.64 y=ax +bx+c的图象与性质；抛物线与x轴的交点问题；待定系数法求二次函数解析式
24 0.4 已知圆内接四边形求角度；根据旋转的性质求解；全等三角形综合问题；等边三角形的判定和性质2025—2026学年九年级上学期期中模拟卷（温州专用）
数 学
（测试范围：九年级上册浙教版，第1-3章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．二次函数图象的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，将绕点按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
3．已知二次函数，当时，y的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，的半径4，直线l与相交于A，B两点，点M，N 在直线l的异侧，且是上的两个动点，且，则四边形的面积的最大值是（ ）
A．9 B． C．18 D．
5．如图，为的直径，点是的中点，过点作于点，延长交于点．若．，则的直径为（ ）．
A．4 B．8 C．13 D．15
6．如图，是的半径，B为上一点（且不与点O、A重合），过点 B作的垂线交圆O于点C，以为边作矩形，连接．若，则的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．1
7．一个不透明的口袋中装有10个红球和若干个黄球，这些球除颜色外都相同，从口袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，记为一次摸球试验，经过大量试验发现摸到红球的频率稳定在0.4附近，则口袋中黄球大约有（ ）个
A．15 B．8 C．16 D．18
8．物理课上，同学们做“让小灯泡亮起来”的实验．“智慧小组”的实验电路图如图所示，其中，，，表示电路的开关，L表示小灯泡．当随机闭合两个开关时，灯泡发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，中，，cm，cm，点从点出发，以的速度沿向点运动，同时点从点出发，以的速度沿向点运动，直到它们都到达点为止．若的面积为，点的运动时间为，则与的函数图象是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，中，，，，点为内一点，且满足．当的长度最小时，的面积是（ ）
B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图所示，为的直径，弦于点，，，则的半径是 ．
12．下列事件中是确定事件的是 （填序号）：
①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数；
②对于实数、，有；
③车辆随机经过一个路口，遇到红灯；
④14人中至少有2人在同一个月过生日．
13．在一个不透明的口袋中装有红球和白球共25个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅匀后，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程．若共摸了100次球，发现有72次摸到红球，则估计口袋中红球的个数为 个．
14．已知二次函数过点，，且与直线只有一个交点，则的值为 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，垂直于x轴的直线分别交抛物线和抛物线于点A和点B，过点A作轴交抛物线于点C，过点B作轴交抛物线于点D，则的值为 ．
16．如图，一段抛物线记为，它与x轴交于两点O，，将绕旋转得到，交x轴于，将绕旋转得到，交x轴于，照这样的规律进行下去，则抛物线的顶点坐标是
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．陕西的水果种类繁多，品质优良，成为了当地经济的重要支柱．随着苹果的大量上市，某水果销售商以每箱30元的价格购进了一批苹果进行销售，经过一段时间后，发现以每箱40元的价格销售这批苹果时，平均每天可以售出80箱，若每箱苹果的售价每提高1元，则平均每天少售出2箱．
(1)求销售这批苹果平均每天的利润元与每箱的售价（元）之间的函数关系式；
(2)当每箱苹果的售价为55元时，求销售这批苹果平均每天的利润．
18．如图，已知四边形内接于，连接，．
(1)求的度数；
(2)若的半径为4，求劣弧的长．（结果保留）
19．如图，内接于，，于点E，交于点D．连接并延长分别交，于点F，G．
(1)若，求的度数；
(2)若，，求的半径．
20．某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：A．音乐；B．体育；C．美术；D．阅读；E．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
(1)①此次调查一共随机抽取了 名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）；
③扇形统计图中圆心角 度；
(2)若该校有2800名学生，估计该校参加D组（阅读）的学生人数；
(3)学校计划从E组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率．
21．如图，抛物线交x轴于两点（点A在B左边），交y轴于点C；设直线解析式为：．
(1)求两点的坐标；
(2)求直线的函数关系式；
(3)请直接写出时的自变量x取值范围．
22．已知抛物线．
(1)当时，求函数值y的取值范围；
(2)若两点都在抛物线上，且 求m的取值范围．
23．如图，抛物线经过点，其对称轴为直线，抛物线与直线交于点和．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点与点的坐标．
24．【初步感知】
学习了图形的旋转后，老师让学生们研究一些特殊四边形．如图1，在四边形中，，．小明同学连接，将绕点C旋转至．若四边形的面积为10，求的面积；
【简单运用】
如图2，在四边形中，，，，连接，试探究线段，，的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
如图3，四边形是的内接四边形，是的直径，平分，且，求四边形的面积．2025—2026学年九年级上学期期中模拟卷（温州专用）
数 学
（测试范围：九年级上册浙教版，第1-3章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B D B C A A C A
1．C
本题考查了二次函数的性质，要熟悉顶点式的意义，并明确的顶点坐标为．
根据顶点式的意义直接解答即可．
解：二次函数的图象的顶点坐标为．
故选：C．
2．C
本题考查旋转的性质，根据旋转可得，再根据计算即可．
解：将绕点按逆时针方向旋转后得到，
∴，
∵，
∴，
故选：C．
3．B
本题考查了二次函数的性质，一般式化为顶点式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
先将二次函数化为顶点式，再根据二次函数的性质求得y的取值范围．
解：将二次函数化为顶点式，有，
可知该二次函数在顶点处有最小值，即时，有最小值，
当时，函数取得最小值的在此范围内，
当时，y随x的增大而减小，
当时，y随x的增大而增大，
则当时，函数值最大，最大值为2，
故y的取值范围为．
故选：B．
4．D
本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的性质，过点作于，交于点、两点，连接，，，，，，求出为等腰直角三角形，得出，结合得出当点到的距离最大时，的面积最大，当点到的距离最大时，的面积最大，即点运动到点，点运动到点，此时四边形的面积最大，由此即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
解：如图，过点作于，交于点、两点，连接，，，，，，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴当点到的距离最大时，的面积最大，当点到的距离最大时，的面积最大，即点运动到点，点运动到点，此时四边形的面积最大，为，
故选：D．
5．B
本题考查勾股定理，垂径定理，弧，弦之间的关系等知识，连接，首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．
解：如图，连接．
，
，，
点是弧的中点，
，
，
，
，
设，则，
在中，则有，
解得，
．
故选：B．
6．C
本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，线段的和差，解题的关键是熟练掌握以上性质．
连接，根据矩形的性质得出相等的边和直角，利用勾股定理和线段的和差进行求解即可．
解：如图，连接，
∵四边形为矩形，
∴，
由勾股定理得，
∴，
故选：C．
7．A
本题主要考查了用频率估计概率，已知概率求数量问题，熟知大量反复试验下频率的稳定值即概率值是解题的关键．设袋子中黄球约有x个，根据题意可知从袋子中随机摸出一个红球的概率为0.4，由此根据概率公式建立方程求解即可．
解：设袋子中黄球约有x个，
∵通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.4附近，
∴从袋子中随机摸出一个红球的概率为0.4，
∴，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴袋子中黄球约有15个，
故选：A．
8．A
列表得出共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种，再由概率公式求解即可．
此题考查了列表法求概率．列表法可以不重不漏地表示出所有等可能的情况，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
解：列表如下：
-
-
-
-
由表可知，共有12种等可能的结果，其中灯泡发光的结果有6种，
灯泡发光的概率为，
故选：A．
9．C
本题考查了二次函数的应用，相似三角形的判定与性质，勾股定理．需要根据点的不同位置分情况讨论的面积与时间的函数关系．先求出不同时间段内的长度，再通过相似三角形等知识求出相应的高，进而得到面积表达式，最后根据函数表达式判断函数图象。分两种情况讨论：当时，点在上，过作交于点，当时，点在上，两种情况求出函数解析式即可求解；
解：①当时，点在上，
∴，，
过作交于点，
∵中，，，，
∴，
∵，，
又∵
∴，
∴，即
∴，
，
此时 是关于的二次函数，且二次项系数，图象开口向上；
②当时，点在上，如图，
，
此时是关于的二次函数，二次项系数，图象开口向下，对称轴为
综上所述，正确的图象是C．
故选：C．
10．A
本题取的中点为圆心，以长为半径画圆，根据两点之间，线段最短，当、、三点共线时，的长度最小，利用线段中点的性质得到、，利用勾股定理算出，得到为的中点，根据直角三角形性质得到，利用勾股定理逆定理得到，结合勾股定理算出，最后根据面积公式求解即可．
解：取的中点为圆心，以长为半径画圆，当、、三点共线时，的长度最小，如图所示：
点P为内一点，且满足．
，
，，
，
，
，
，
为的中点，
，
，
的面积是，
故选：A．
本题考查勾股定理、勾股定理逆定理、直角三角形性质、两点之间，线段最短、圆周角定理，解题的关键在于利用圆周角定理结合勾股定理逆定理得到点的运动轨迹，并根据两点之间，线段最短确定的长度最小时，点所在位置，再根据相关性质定理求解，即可解题．
11．
本题考查了圆周角定理，垂径定理，含角的直角三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解决问题的关键．由圆周角定理可得，结合为的直径，弦于点，，可得，，推出，最后根据勾股定理即可求解．
解：，
，
为的直径，弦于点，，
，，
，
在中，由勾股定理得，即，
，即的半径是，
故答案为：．
12．②④/④②
本题主要考查了确定事件和随机事件的定义，掌握确定性事件包括不可能事件和必然事件成为解题的关键．
根据确定事件和随机事件的定义逐个判断即可．
解：①掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是奇数，是随机事件，不符合题意；
②对于实数、，有，是不可能事件，是确定性事件，符合题意；
③车辆随机经过一个路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意；
④14人中至少有2人在同一个月过生日是必然事件，是确定性事件，符合题意．
故答案为：②④．
13．18
本题考查了简单的概率计算、利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率的方法是解题关键．先利用频率估计概率可得从中随机摸出一个球是红球的概率为，再利用概率公式计算即可得．
解：设口袋中红球的个数为个，
由题意得：从中随机摸出一个球是红球的概率为，
则，
解得，
即估计口袋中红球的个数为18个，
故答案为：18．
14．675
本题考查了二次函数的图像和性质，轴对称的性质，正确理解二次函数的轴对称是解题的关键．先根据抛物线是轴对称图形，结合两点确定该抛物线对称轴方程为，然后根据抛物线与直线只有一个交点确定抛物线顶点的纵坐标为1，写出抛物线顶点式为，将点的坐标代入顶点式求出，最后代入所求代入式即可求解．
解：二次函数过点，，
抛物线的对称轴方程为，
抛物线与直线只有一个交点，
抛物线顶点纵坐标为1，即抛物线的顶点坐标为，
该抛物线的顶点式为，
将点代入顶点式，得，
，
．
故答案为：．
15．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，设，则，根据题意得出，，即可求得，，从而求得．
解：设，则，
∵轴交抛物线于点C，轴交抛物线于点D，
∴，，
∴，，
，
故答案为：．
16．
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数与几何变换．明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答是解题的关键．
先求出坐标，然后利用旋转的性质得出，的坐标，依此规律得到，的坐标，再根据抛物线开口向上，利用交点式求出的解析式，最后确定此抛物线的顶点坐标即可解答．
解：当时，，解得，，
∴
∵将绕旋转得到，交x轴于，将绕旋转得到，交x轴于，…，
∴，，
…
∴，，
即，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线的开口向上，
∴抛物线的解析式为，
当时，，
∴抛物线的顶点坐标为．
故答案为：
17．(1)
(2)销售这批苹果平均每天的利润为元
本题考查了二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键．
（1）根据题意列出与之间的函数关系式即可；
（2）把代入二次函数即可解答．
（1）解：；
（2）解：当时，，
所以销售这批苹果平均每天的利润为元．
18．(1)
(2)
本题主要考查了求弧长，圆内接四边形的性质，等边对等角，圆周角定理，熟知圆的相关知识是解题的关键．
（1）直接利用圆内接四边形的性质得出的度数，再利用等边对等角得到，则可求出答案；
（2）连接，，首先求出的度数，再由圆周角定理求出的度数，再根据弧长公式求解即可．
（1）解：∵四边形内接于，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：如图所示，连接，，
由（1）可得，
∴，
∴劣弧的长为．
19．(1)52°
(2)
本题考查了勾股定理，垂径定理，垂直平分线基本性质，能够正确做出辅助线是解题关键．
（1）连接，，先通过“到线段两端的距离相等的点在垂直平分线上”，得到垂直平分，再通过三角形的内角和定理计算即可；
（2）延长CG交于点H，连接，先证得，再通过勾股定理算出，再在中利用勾股定理计算即可．
（1）解：连接，．
∵，经过点，
∴，，且．
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：延长交于点H，连接．
∵，，
∴．
∵，
∴，．
∴．
∵，
∴．
在中
由勾股定理得：，
∵，
∴．
设的半径为r，
在中，，
∴．
解得：．
20．(1)①400；②见解析；③54°
(2)980人
(3)
本题考查的概率及其应用，掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．
（1）①由B组的人数除以所占百分比即可；
②求出A、C组的人数，可补全统计图；
③由乘以C组所占的比例即可；
（2）由该校共有学生人数乘以参加D组（阅读）的学生人数所占的比例即可；
（3）画树状图，共有12种等可能的结果，其中恰好抽中甲、乙两人的结果有2种，再由概率公式求解即可．
（1）解：①调查人数：（名），
故答案为：400；
②A组的人数：（名），
C组的人数：（名），
补全条形统计图如下：
③扇形统计图中圆心角，
故答案为：，
（2）解：（人），
答：参加D组（阅读）的学生人数为980人；
（3）解：树状图如下：
∵共有12种等可能的结果，其中恰好抽到甲、乙两人同时参赛的有两种，
∴P（恰好抽中甲、乙两人）．
21．(1)
(2)直线的函数关系式
(3)当时，或
本题考查了二次函数与一次函数的综合，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数与坐标轴的交点坐标，二次函数与不等式的关系，掌握相关知识的灵活运用是解题的关键．
（1）求出当时，自变量的值即可得到答案；
（2）先求出点C坐标，再利用待定系数法求解即可；
（3）根据函数图象找到二次函数图象在一次函数图象下方时自变量的取值范围即可．
（1）解：在中，当时，
解得或，
；
（2）当时，，
，
∴，
∴，
∴直线的函数关系式；
（3）由函数图象可知，当二次函数图象在一次函数图象下方时自变量的取值范围为或，
∴当时，或．
22．(1)函数值y的取值范围是
(2)m的取值范围为
此题考查了二次函数的图象及性质，求函数的最值，利用二次函数求不等式的取值范围，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据二次函数的性质求解即可；
（2）根据列出m的不等式即可．
（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，开口向下，
∴当时，抛物线的最大值为，
∵，
∴当时，，
∴当时，函数值y的取值范围是；
（2）解：
∴当时，；当时，，
∵，
∴，
解得．
23．(1)
(2)，．
本题考查了求二次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，解一元二次方程，利用数形结合的思想解决问题是关键．
（1）利用抛物线的对称轴求出，再利用抛物线经过点，求出，即可得到抛物线的解析式；
（2）联立抛物线和直线解析式，即可求出交点坐标．
（1）解：抛物线对称轴为直线，
，
解得，
抛物线经过点，
，
解得：，
抛物线的解析式；
（2）解：抛物线与直线交于点和，
联立，整理得：，
解得：或，
当时，；
当时，；
点在第三象限，点在第一象限，
，．
24．初步感知：；简单运用：，理由见解析；拓展延伸：四边形的面积为
初步感知：根据旋转的性质可得，则可得，再证明A，D，E三点在同一直线上，则可得的面积等于四边形的面积．
简单运用：将绕着A点逆时针旋转60°至，同（1）方法相同证明C、D、E三点共线，则可得是等边三角形，从而可得．
拓展延伸：由平分，可得，则．将绕着点C旋转90°至，再证A，D，E三点共线，进而可得为等腰直角三角形，由旋转得四边形的面积等于的面积，从而可求出四边形的面积．
解：初步感知：由旋转可知，
∴，
∵，
∴，
即，
∴A，D，E三点在同一直线上，
∴．
简单运用：
理由：将绕着A点逆时针旋转60°至，
则，，，，
∴，
∵，，
∴，即，
∴C、D、E三点共线．
∴是等边三角形，
∴．
拓展延伸：∵平分，
∴，
∴，
将绕着点C旋转90°至可得，，，
∵为直径，
∴，
∴，，
∴，
∴A，D，E三点共线，
∴为等腰直角三角形，
由旋转得四边形的面积等于的面积，
∴四边形的面积为．
本题考查了旋转的性质、全等三角形的性质、等边三角形的判定和性质、圆周角定理以及圆内接四边形的性质．熟练掌握以上知识是解题的关键．
