2025—2026学年九年级上学期期中模拟卷（金华专用）
数 学
（测试范围：九年级上册浙教版，第1-3章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C D C B C C B B
1．C
本题主要考查列表法求概率，熟练掌握列表法列出所有等可能结果并运用概率公式计算是解题的关键．通过列表法列出从两名男生（记为男、男）和两名女生（记为女、女）中任选两人的所有可能结果，再找出恰好为一男一女的结果数，最后根据概率公式计算概率．
解：列表如下：
男 男 女 女
男 - （男，男） （男，女） （男，女）
男 （男，男） - （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，男） - （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女） -
总共有种等可能的结果，其中恰好为一男一女的结果有种．
所以恰好为一男一女的概率．
故选：C．
2．B
此题考查了求二次函数的应用．
根据球弹起后又回到地面时，得到，解方程即可得到回到地面所花的时间（秒）．化为顶点式可求出弹起的最高高度（米）．
解：球弹起后又回到地面时，即，
解得（不合题意，舍去），，
∴球弹起后又回到地面所花的时间（秒）是2．
∵，
∴弹起的最高高度（米）是5．
故选：B．
3．C
本题考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握二次函数的一般形式、、为常数，且，并能据此判断函数类型．
根据二次函数的定义，逐一分析每个选项的函数形式，判断是否符合（，整式函数）的特征．
解：A、，未明确．若，函数变为一次函数（或常函数），因此不一定是二次函数；
B、，右边是分式，不是整式，不符合二次函数“整式函数”的要求，不是二次函数；
C、，展开得，符合二次函数的一般形式（其中，是二次函数；
D、，展开并化简得，是一次函数，不是二次函数．
故选：C．
4．D
本题考查了正多边形与圆、等边三角形的判定与性质、勾股定理和菱形面积的计算，连接，令与交于点，则，，，，有为等边三角形，即可求得，和，结合面积公式即可求得四边形的面积．
解：如图，连接，令与交于点，
则，，，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
则四边形为菱形，
∴四边形的面积是，
故选：D．
5．C
本题主要考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握圆内接四边形对角的对角互补成为解题的关键．
根据圆内接四边形对角互补以及圆周角定理逐项判断即可．
解：根据图形发现：，故A、B项错误；
∵四边形内接于，
∴，故项正确；
∵，，
∴，故D项错误．
故选：C．
6．B
本题主要考查了垂径定理，勾股定理，圆周角定理，中位线的性质和判定，
设，可表示出，再说明是的中位线，可得，然后根据勾股定理得，接下来代入计算可得答案．
解：设，
∵，
∴，
∴．
∵是的直径，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴是的中位线，
∴．
在中，，
即，
解得，
∴．
故选：B．
7．C
本题考查了圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，垂径定理，熟练掌握垂径定理是解题的关键．
先根据垂径定理和点C是弧的中点得，从而得出，再利用勾股定理进行求解即可．
解：为的直径，于点F，如图，连接，设的半径为r，
∴，，
∵点C是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：，
∴的半径长是5，
故选：C．
8．C
本题主要考查了利用频率估计概率，直接利用白球个数÷总数=0.4，进而得出答案，正确掌握频率求法是解题关键．
解：设红球x个，根据题意可得：，
解得：，
故选：C．
9．B
本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据开口方向和与y轴的交点位置可得，再由对称轴计算公式可得，据此可判断①；根据当时，可判断②；函数开口向上，离对称轴越远函数值越大，求出三个点到对称轴的距离即可判断③；函数的最小值为顶点的纵坐标，据此可判断④．
解：∵函数图象开口向上，与y轴交于负半轴，
∴，
∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①错误；
∵当时，，
∴，故②错误；
∵函数图象开口向上，
∴离对称轴越远函数值越大，
∵点均在函数图象上，且，
∴，故③正确；
当时，，
∵函数图象开口向上，对称轴为直线，
∴函数的最小值为，
∴对于任意不等于1的实数m，都有，
∴，即，故④正确；
∴正确的有③④，
故选：B．
10．B
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键，根据二次函数性质可得出点 的坐标， 求得直线 为 ，联立方程求得 的坐标，即可求得 的坐标，同理求得 的坐标，即可求得 的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点 的坐标．
解：∵A点坐标为，
∴直线为，
∵，
∴直线为，
解得或，
∴，
∴，
∵，
∴直线为，
解得或，
∴，
∴
…，
故选：B．
11． 公平
此题考查游戏的公平性，列表法或树状图法求概率，解题的关键是：列举出所有情况，找到符合条件的情况数，再利用概率公式计算即可．
解：列表如下：
小 明 小 亮 石头 剪刀 布
石头 （石头，石头） （石头，剪刀） （石头，布）
剪刀 （剪刀，石头） （剪刀，剪刀） （剪刀，布）
布 （布，石头） （布，剪刀） （布，布）
共有9种等可能的结果，
其中，小明胜的情况有3种，小亮胜的情况有3种，
（小明胜）（小亮胜），
∴此游戏公平，
其中，两人一起做同样手势的有3种，
∴两人一起做同样手势的概率为，
故答案为：公平，．
12．6个
本题考查用频率估计概率．
用频率估计概率，可得红色小球的数量，从而可得黄色小球的数量．
解：根据题意，估计摸到红色小球的概率为，
∴红色小球的个数约为（个），
∴袋子中黄色小球的个数可能是（个）．
故答案为：个．
13．
此题考查的是正三角形、正方形、正六边形面积的求法．根据题意得：正三角形的边长为，正方形的边长为，正六边形的边长为，分别求出正三角形，正方形，正六边形的面积，即可求解．
解：根据题意得：正三角形的边长为，正方形的边长为，正六边形的边长为，
如图，在正中，边长为，于点D，
∴，
∴，
∴正的面积为；
∵正方形的边长为，
∴正方形的面积为；
如图，在正六边形中，边长为，点O为中心，连接，于点G，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴的面积为，
∴正六边形的面积为；
∴．
故答案为：
14．
本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，三角形内角和定理，由垂径定理可推出，则由圆周角定理和平角的定义可得的度数，再由三角形内角和定理可得答案．
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
15．①②③
本题考查了二次函数的图象和性质，轴对称的性质，由图象及二次函数的对称性可得抛物线与轴的另一个交点坐标为，即可判断①；进而由函数图象可知，当时，图象位于轴下方，即可判断②；把代入函数解析式求出的值即可判断③；作点关于对称轴的对称点，连接，与对称轴相交于点，可得△周长，此时△周长的最小，利用勾股定理求出得到△周长的最小值，即可判断④，掌握以上知识点是解题的关键．
解：∵由函数图象可得，抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点坐标为，
∴抛物线与轴的另一个交点坐标为，
∴关于的方程的解是，，故①正确；
由函数图象可知，当时，图象位于轴下方，
∴当时，，故②正确；
把代入得，，
解得，
∴，
当时，，
∴点的坐标为，故③正确；
作点关于对称轴的对称点，连接，与对称轴相交于点，则，，
∴△周长，此时△周长的最小，
∵，，
∴，
∴△周长的最小值，故④错误；
综上，正确的有①②③，
故答案为：①②③．
16．或
本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质．
根据二次函数的性质求出，，设，根据平行四边形的性可知，即，即可求出点P的坐标．
解：当时，，则，
当时，，
解得：，
∴，
设，
∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
即或．
故答案为：或．
17．(1)
(2)
（1）连接，，根据正六边形的性质可得，再根据圆的半径都相等可得是等边三角形，进而可求解．
（2）连接，，由为的直径，得，利用勾股定理及中点的性质即可求解．
（1）解：连接，，如图：
六边形是正六边形，
，
又，是的半径，且半径为，
，
是等边三角形，
．
（2）连接，，如图：
则为的直径，
，，
由（1）得：，
在中，，
，
G为的中点，
，
在中，，
．
本题考查了正多边形的性质、等边三角形的判定及性质、勾股定理及圆周角，熟练掌握基础知识，借助适当的辅助线解决问题是解题的关键．
18．(1)该抛物线的对称轴为直线；
(2)
本题主要考查了二次函数的图象和性质：
（1）把解析式化为顶点式，即可求解；
（2）根据二次函数的性质，即可求解．
（1）解：，
∴该抛物线的对称轴为直线；
（2）解：∵抛物线的对称轴为直线，，
∴抛物线开口向上，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴．
19．(1)
(2)成本为10元每件，时月销售总利润最大，最大利润是4500元
(3)
本题主要考查了二次函数、一次函数、一元一次方程的实际应用，正确理解题意是解题的关键．
（1）设y关于x的函数解析式为，用待定系数法求解即可；
（2）设成本为m元，根据每件利润数量总利润列方程求解；根据每件利润数量总利润建立二次函数关系式，再由二次函数的性质求解最值；
（3）根据题意得到，再转化为利用二次函数图象解一元二次不等式．
（1）解：设y关于x的函数解析式为，则，
，解得，
∴关于的函数解析式为；
（2）解：设成本为m元，
由题意可得：，
解得（元），
则，
∵，
∴当时，W有最大值，为4500元；
（3）解：由题意得，，
即，
解方程得
令，
由得抛物线开口向上
∴当时，．
20．(1)证明见解析
(2)，证明见解析
（1）在上截取，连接，先证出是等边三角形，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可得；
（2）过点作，且，连接，，利用勾股定理可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，证出，然后利用勾股定理可得，由此即可得．
（1）证明：如图，在上截取，连接，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
由圆周角定理得：，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，证明如下：
如图，过点作，且，连接，，
∵，且，
∴，，
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
由圆周角定理得：，
∵和关于直线的对称，
∴，
∴，
∴在中，，
∴，
即．
本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．
21．
本题主要考查了等腰三角形性质，圆周角定理推论，三角形内角和定理，圆的内接四边形性质等，作出合适的辅助线是解决本题的关键。
设与相交于点，连接，利用条件求出的度数，再利用圆周角定理求出的度数，用圆内接四边形性质计算的度数，最后用三角形外角性质求即可。
解：如图，设与相交于点，连接．
，
，
．
是的直径，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
．
22．不公平，设计一个公平的规则见解析，理由见解析
本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，则可得用所指的两个数字作乘积的所有等可能的结果，再找出所得的积是偶数的结果、所得的积是奇数的结果，然后利用概率公式求出甲胜、乙胜的概率，由此即可得这样的规则不公平．设计一个公平的规则：（1）同时转动转盘与；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字求和，如果所得的和是偶数，那么甲胜；如果所得的和是奇数，那么乙胜．同样的方法求出甲胜、乙胜的概率，由此即可得．
解：由题意，画出树状图如下：
由图可知，用所指的两个数字作乘积，共有24种等可能的结果，其中，所得的积是偶数的结果有18种，所得的积是奇数的结果有6种，
则甲胜的概率是，乙胜的概率是，
因为，
所以这样的规则不公平．
设计一个公平的规则：（1）同时转动转盘与；（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字求和，如果所得的和是偶数，那么甲胜；如果所得的和是奇数，那么乙胜．
这样的规则是公平的，理由如下：
由题意，画出树状图如下：
由图可知，用所指的两个数字求和，共有24种等可能的结果，其中，所得的和是偶数的结果有12种，所得的和是奇数的结果有12种，
则甲胜的概率是，乙胜的概率是，
因为，
所以这样的规则公平．
23．(1)点的坐标为
(2)，最大值
本题主要考查了二次函数的性质，二次函数解析式的求法，解答此题的关键是熟知二次函数的解析式为，顶点坐标公式为，．
（1）根据、两点的坐标及点在轴正半轴上，且，求出点的坐标即可；
（2）设二次函数的解析式为，把、、三点的坐标代入解析式，可求出、、的值，然后利用二次函数的性质求其最大值即可，也可通过两点式求出函数解析式，再求最值．
（1），，
，，
，
，即点的坐标为；
（2）解法：设图象经过、、三点的二次函数的解析式为，
由于这个函数图象过点，可以得到，
又由于该图象过点，，
则，
解方程组，得，
所求的函数解析式为．
，
当时，有最大值；
解法：设图象经过、、三点的二次函数的解析式为，
点在图象上，
把坐标代入得：，解得：，
所求的二次函数解析式为，
点，的坐标分别是点，，
线段的中点坐标为，即抛物线的对称轴为直线，
，
当时，有最大值，为．
24．(1)
(2)的值为
(3)①；②当时，点P有1个；当时，点P有2个；当时，点P有3个
本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与面积的综合问题等知识点．
（1）由待定系数法求解即可；
（2）先求出平移后的点，再将点代入，解一元二次方程即可；
（3）①先求出直线表达式为，设，则，再分两种情况，根据割补法表示面积，建立函数关系式；
②先画出函数的图象，然后利用数形结合的思想求解即可．
（1）解：∵抛物线经过点，
∴,
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：∵点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，
∴，
∵恰好落在抛物线 上，
∴，
解得或（舍），
∴的值为；
（3）解：①过点作轴于交直线于点，
对于，当，
∴，
设直线表达式为，
则，
解得，
∴直线表达式为，
设，则
当时，；
当时，
∴，
综上：；
②画出函数的图象，
对于，
当时，取得最大值；
∴当对应的值只有1个，故点P有1个；
当时，对应的值有2个，故点P有2个；
当时，对应的值有3个，故点P有3个．
综上：当时，点P有1个；当时，点P有2个；当时，点P有3个．(共5张PPT)
浙教版 九年级上册
九年级数学上学期期中模拟卷
【金华专用】试卷分析
二、知识点分布
题号 难度系数 详细知识点
一、单选题 1 0.85 列表法或树状图法求概率
2 0.85 其他问题(实际问题与二次函数)
3 0.75 二次函数的识别
4 0.75 正多边形和圆的综合；用勾股定理解三角形；正多边形的内角问题
5 0.74 圆周角定理；已知圆内接四边形求角度
6 0.74 用勾股定理解三角形；利用垂径定理求值；与三角形中位线有关的求解问题；半圆（直径）所对的圆周角是直角
7 0.65 利用弧、弦、圆心角的关系求解；用勾股定理解三角形；利用垂径定理求值
8 0.65 由频率估计概率
9 0.60 y=ax +bx+c的图象与性质；根据二次函数的图象判断式子符号
10 0.55 点坐标规律探索；y=ax 的图象和性质
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 列表法或树状图法求概率；游戏的公平性
12 0.85 已知概率求数量；由频率估计概率
13 0.75 正多边形和圆的综合
14 0.75 利用垂径定理求值；圆周角定理；三角形内角和定理的应用
15 0.65 y=a（x-h） +k的图象和性质；线段问题(轴对称综合题)；用勾股定理解三角形
16 0.64 利用平行四边形的性质求解；特殊四边形(二次函数综合)
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 用勾股定理解三角形；正多边形和圆的综合；线段中点的有关计算；等边三角形的判定和性质
18 0.75 把y=ax +bx+c化成顶点式；y=ax +bx+c的图象与性质
19 0.75 销售问题(实际问题与二次函数)；销售盈亏(一元一次方程的应用)；其他问题(一次函数的实际应用)
20 0.64 圆周角定理；全等的性质和SAS综合（SAS）；等边三角形的判定和性质；根据成轴对称图形的特征进行求解
21 0.75 半圆（直径）所对的圆周角是直角；已知圆内接四边形求角度；三角形内角和定理的应用；等边对等角
22 0.65 列表法或树状图法求概率；游戏的公平性
23 0.55 y=ax +bx+c的图象与性质；待定系数法求二次函数解析式；写出直角坐标系中点的坐标
24 0.4 面积问题(二次函数综合)；其他问题(二次函数综合)；y=ax +bx+c的图象与性质；待定系数法求二次函数解析式2025—2026学年九年级上学期期中模拟卷（金华专用）
数 学
（测试范围：九年级上册浙教版，第1-3章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．从两名男生和两名女生中任选两人担任节目主持人，恰好为一男一女的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．一个小球从地面竖直向上弹起时的速度为10米/秒，经过（秒）时球距离地面的高度（米）适用公式，那么球弹起后又回到地面所花的时间（秒）和弹起的最高高度（米）分别是（ ）
A．1，4 B．2，5 C．5，10 D．10，20
3．下列函数中，y关于x的二次函数是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，将两个全等的正六边形一边重合放置在一起，中心分别为，，公共边为，其中一个正六边形的外接圆与交于点A，若，则四边形的面积是（ ）
A．4 B． C． D．
5．如图，四边形内接于，连接，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，是的直径，垂直于弦于点，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，为的直径，点C是的中点，过点C作于点F，交于点D，若，，则的半径长是（ ）
A． B．4 C．5 D．
8．在一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球共20个，这些小球除了颜色不同外其它特质均相同．现在进行摸球试验，每次摸出一个小球记下颜色，然后放回袋中搅拌均匀，再从中摸出一个…如此重复，经大量的试验发现摸到白球的频率稳定在0.40左右，由此可以估计袋中红球的个数为（ ）个．
A．8 B．10 C．12 D．14
9．如图，二次函数的图象与x轴负半轴交于，对称轴为直线，以下结论：①；②；③若点均在函数图象上，则；④对于任意不等于1的实数m，都有．其中结论正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．在平面直角坐标系中，抛物线的图象如图所示．已知A点坐标为，过点A作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，过点作轴交抛物线于点，过点作交抛物线于点，依次进行下去，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．小明和小亮在玩“石头、剪子、布”的游戏，假设每次出这三种手势的可能性相同，若手势相同，则平局，否则按“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头”的规则，此游戏 （填“公平”或“不公平”）；两人一起做同样手势的概率是 ．
12．不透明的袋子中装有红、黄两种颜色的球共10个，它们除颜色外完全相同，小明多次摸球后记录并放回小球，在大量重复实验中，发现摸到红色小球的频率稳定在0.4左右，由此可知袋子中黄色小球的个数可能是 ．
13．用长的篱笆围成正三角形或正方形或正六边形的绿地，其面积分别为，，，用“”号把，，连接起来为 ．
14．如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是 ．
15．如图，已知二次函数的图象，点是坐标系的原点，点是图象对称轴上的点，图象与轴交于点，则下面结论：①关于的方程的解是，；②当时，；③点的坐标为；④△周长的最小值是．正确的有 ．
16．如图，已知二次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，写出此时点P的坐标 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．如图，正六边形内接于，半径为．
(1)求的长度；
(2)若G为的中点，连接，求的长度．
18．已知抛物线．
(1)求该抛物线的对称轴；
(2)若点和在该抛物线上，试比较和的大小．
19．某商场主营玩具销售，经市场调查发现某种玩具的月销量y（件）是售价x（元/件）的一次函数，该玩具的月销售总利润W=（售价成本）月销量，三者有如下数据
售价x（元/件） 15 20 30
月销量y（件） 500 400 200
销售总利润W（元） 2500 4000 4000
(1)试求y关于x的函数关系式（x的取值范围不必写出）；
(2)玩具的成本多少元？当x是多少时，月销售总利润最大？最大利润是多少？
(3)如果月销售总利润不低于2500元，请确定销售单价x的取值范围．
20．如图1所示，的外接圆的半径为2，，P为圆O中弧上一点，连接，，．
(1)若，求证：；
(2)如图2，若，若关于直线的对称图形为，连接，试探究，，三者之间满足的数量关系，并证明你的结论．
21．如图，线段上有一点，以为圆心，为半径作圆，A是上一点，连接交于点，连接，若，且，求的度数．
22．如图，有两个可以自由转动的转盘A、B，转盘A被均匀分成4等份，每份标上1、2、3、4四个数字；转盘B被均匀分成6等份，每份标上1、2、3、4、5、6六个数字．有人为甲、乙两人设计了一个游戏，其规则如下：
（1）同时转动转盘A与B．
（2）转盘停止后，指针各指向一个数字（如果指针恰好指在分割线上，那么重转一次，直到指针指向一个数字为止），用所指的两个数字作乘积，如果所得的积是偶数，那么甲胜；如果所得的积是奇数，那么乙胜．你认为这样的规则是否公平？请你说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由．
23．二次函数图象过、、三点，点的坐标为，点的坐标为，点在轴正半轴上，且．
(1)求的坐标；
(2)求二次函数的解析式，并求出函数最大值．
24．已知抛物线经过点，与y 轴交于点C．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点向上平移2个单位长度，向左平移m（）个单位长度后，恰好落在抛物线上，求m 的值；
(3)P是抛物线上在x 轴上方的一个动点（不与点 C 重合），记的面积为S，点P的横坐标为n．
①求S关于n的函数关系式；
②根据S的不同取值范围，求对应点P的个数．
