(共5张PPT)
浙教版 九年级上册
九年级数学上学期期中模拟卷
【宁波专用】试卷分析
二、知识点分布
题号 难度系数 详细知识点
一、单选题 1 0.94 根据二次函数的定义求参数
2 0.85 圆周角定理；求弧长；利用弧、弦、圆心角的关系求解
3 0.84 已知概率求数量；由频率估计概率
4 0.84 利用弧、弦、圆心角的关系求解；三角形三边关系的应用
5 0.65 半圆（直径）所对的圆周角是直角；等边对等角；含30度角的直角三角形；同弧或等弧所对的圆周角相等
6 0.75 利用弧、弦、圆心角的关系求解；圆周角定理；求正多边形的中心角
7 0.75 列表法或树状图法求概率
8 0.65 y=ax +bx+c的图象与性质；根据二次函数的图象判断式子符号；抛物线与x轴的交点问题
9 0.64 y=a（x-h） +k的图象和性质
10 0.4 线段周长问题(二次函数综合)
二、知识点分布
二、填空题 11 0.85 由频率估计概率；已知概率求数量
12 0.84 列表法或树状图法求概率
13 0.75 圆周角定理；已知圆内接四边形求角度；用勾股定理解三角形
14 0.74 用勾股定理解三角形；利用垂径定理求值；利用弧、弦、圆心角的关系求解
15 0.65 抛物线与x轴的交点问题；根据二次函数图象确定相应方程根的情况
16 0.55 y=a（x-h） 的图象和性质
二、知识点分布
三、解答题 17 0.85 y=a（x-h） +k的图象和性质
18 0.75 同弧或等弧所对的圆周角相等；已知圆内接四边形求角度；等腰三角形的性质和判定；半圆（直径）所对的圆周角是直角
19 0.75 y=ax 的图象和性质
20 0.65 垂径定理的推论；半圆（直径）所对的圆周角是直角；用勾股定理解三角形；利用垂径定理求值
21 0.64 条形统计图和扇形统计图信息关联；画条形统计图；求扇形统计图的圆心角；列表法或树状图法求概率
22 0.55 y=ax +bx+c的图象与性质；待定系数法求二次函数解析式；求一次函数解析式
23 0.4 圆周角定理；求扇形面积；等腰三角形的性质和判定；求其他不规则图形的面积
24 0.4 y=ax +bx+c的图象与性质；待定系数法求二次函数解析式2025—2026学年九年级上学期期中模拟卷（宁波专用）
数 学
（测试范围：九年级上册浙教版，第1-3章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．2，0， B．2，2， C．2，2，1 D．2，0，1
2．如图，点、、在上，，是的中点，若，则的长是（ ）
A． B． C． D．2
3．一个不透明的布袋中装有若干个白球和5个黑球，它们除颜色不同外其他都相同，将布袋中的小球搅匀后，从中随机摸出一球，记下其颜色，再放回口袋中，不断重复上述过程，共摸了次，其中有次摸到了黑球，估计口袋中白球的个数为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
4．如图，在中，如果弧是弧的二倍，则下列关于弦与弦之间关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，内接于，，，为的直径，，那么的值为（ ）
A． B．4 C． D．3
6．如图，正五边形内接于，点为的中点，则（ ）
A． B． C． D．
7．2024年央视春晚的主题为“龙行龘龘，欣欣家国”．“龙行龘龘”寓意中华儿女奋发有为、昂扬向上的精神风貌．将分别印有“龙”“行”“龘”“龘”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．若二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列四个结论中错误的是（ ）
A． B． C． D．
9．关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．其图象的开口向下 B．图象的顶点坐标为
C．图象的对称轴是直线 D．当时，随的增大而减小
10．如图，已知抛物线的对称轴为，过其顶点的一条直线与该抛物线的另一个交点为，要在坐标轴上找一点，使得的周长最小，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．一个不透明的袋子中装有8个白球和若干个黑球，从袋中任意摸出一球，记下颜色后放回袋中，摇匀后又摸出一球，再记下颜色，重复多次试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则袋中黑球有 个．
12．一年一度的校园“曦之声”即将拉开帷幕，九（1）班“明德”学习小组的小轩，小霖，小思，小熙4位同学准备任意推举2名同学参加初赛，则恰好小思和小轩被选中的概率是 ．
13．如图，四边形内接于，交的延长线于点E，若平分，，，则 ．
14．如图，是的直径，点D是的中点，过点D作于点E，延长交于点F，若，的直径为10，则长为 ．
15．二次函数的部分图象如图，对称轴为直线，与轴的一个交点为，与轴的另一交点为 ；方程的根为 ．
16．已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是 ．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．已知二次函数．
(1)求它的图象的开口方向、对称轴及顶点坐标；
(2)当取什么范围时，随的增大而增大？
18．如图，在圆内接四边形中，，，延长至点，使．延长至点，连接，使．
(1)求证：；
(2)如图2，若过圆心，平分，，．
①求证：；
②求的长．
19．如图，已知点在抛物线上，过点A且平行于x轴的直线交抛物线于点B．
(1)求a的值和点B的坐标；
(2)若点P是抛物线上一点，当以点A，B，P为顶点构成的的面积为2时，求点P的坐标．
20．图，是的直径，点，是上的点，且，分别与，相交于点，．
(1)求证：点为弧的中点；
(2)若，，求的直径．
21．我校开展“阳光体育活动”，决定开设足球、篮球、乒乓球、羽毛球、排球等球类活动，为了了解学生对这五项活动的喜爱情况，随机调查了一些学生（每名学生必选且只能选择这五项活动中的一种）．根据以下统计图提供的信息，请解答下列问题：
(1)本次被调查的学生有______名；补全条形统计图；
(2)扇形统计图中“排球”对应的扇形的圆心角度数是______；
(3)学校准备推荐甲、乙、丙、丁四名同学中的名参加全市中学生篮球比赛，请用列表法或画树状图法分析甲和乙同时被选中的概率．
22．如图，二次函数的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数的图象经过该二次函数图象上的点A及点B．
(1)求二次函数与一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出时x的取值范围．
23．定义：若圆内接三角形是等腰三角形，我们就称这样的三角形为“圆等三角形”．
(1)如图1，是的一条弦（非直径），用直尺和圆规在上找一个点，使得是“圆等三角形”．
(2)如图2，四边形是的内接四边形，连结对角线，和均为“圆等三角形”，且：
①当时，求的度数；
②如图3，当，时，求阴影部分的面积．
24．已知抛物线（b，c为常数，）的顶点为D，与x轴交于、B两点，与y轴交于点C．点E为第一象限内的抛物线上的点，过点E作轴，交于点F．
(1)若．
①求点D和点B的坐标．
②当取得最大值时，求点E的坐标．
(2)过点E作轴，交抛物线于点H，点H在点E的左侧．交线段于点P，若点E的坐标为，当时，求点E的坐标．2025—2026学年九年级上学期期中模拟卷（宁波专用）
数 学
（测试范围：九年级上册浙教版，第1-3章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A B B D B C A A D A
1．A
本题考查了二次函数的一般式，掌握二次函数的一般式是解题的关键．
根据二次函数的一般式（，为常数）即可求解．
解：二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2，0，，
答案：A．
2．B
本题考查了圆周角定理，弧，圆心角，弦之间的关系，弧长公式．连接，根据圆周角定理得出，根据同圆中，等弧所对的圆心角相等得出，求得，再利用弧长公式解答即可．
解：连接，如图：
∵，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∵，
故的长是．
故选：B．
3．B
本题考查了用频率估计概率．大量反复试验下频率的稳定值即概率，关键是得到关于黑球概率的等量关系．
先由频率＝频数数据总数，计算出频率，再由题意列出方程求解即可．
解：摸了次，其中有次摸到黑球，则摸到黑球的频率是，
由于大量反复试验下频率的稳定值即概率，故摸出黑球的概率为，
设口袋中有个白球，则黑球的概率为，
解得，
故白球的个数为15个．
故选：B．
4．D
本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系及三角形三边关系定理，准确作出辅助线是解题的关键．
取弧的中点D，连接，，则根据圆心角、弧、弦关系定理的推论得到，又在中，根据三角形三边关系定理得出，即可得解．
解：如图，取弧的中点D，连接，，
根据题意得，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，即,
故选D．
5．B
本题考查圆周角定理，等边对等角，含30度的直角三角形等知识，首先根据“等边对等角”的性质求出的度数，再结合圆周角定理得到，根据含30度角的直角三角形的性质，即可得出结果．
解：∵，，
∴，
∵内接于，为的直径，
∴，
∴；
故选B．
6．C
本题考查了正多边形的中心角、圆心角与弧的关系、圆周角定理，熟练掌握圆心角与弧的关系是解题关键．连接，先求出，再求出，然后根据圆周角定理即可得．
解：如图，连接，
∵正五边形内接于，
∴，
∴的度数为，
∵点为的中点，
∴的度数为，
∴，
由圆周角定理得：，
故选：C．
7．A
本题考查了用树状图或列表法求概率，正确画出树状图或列表是解题的关键；利用列表法，可求出所有可能的结果数，抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的结果数，由概率公式即可求解．
解：记“龙”“行”“龘”“龘”四张卡片分别为A、B、C、D，列表如下：
A B C D
A
B
C
D
所有可能结果12种，其中抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的结果有8种，
则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“龘”的概率为：，
故选：A．
8．A
本题考查了二次函数图象与系数的关系．关键是熟记二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．分别根据抛物线与y轴的交点位置、抛物线的对称轴及其变形、当时，图象所显示的函数值及抛物线与x轴的交点个数与对应的一元二次方程的判别式的关系来求解即可．
解：∵图象与y轴交于负半轴，
∴，故A选项错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，故选项B正确；
∵对称轴为直线，
∴，故C选项正确；
当时，，故D选项正确．
故选： A．
9．D
本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键．根据二次函数的图象与性质分别判断即可．
解：A、由于，故开口向上，选项A错误，不符合题意；
B、由二次函数 得顶点坐标为，选项B错误，不符合题意；
C、图象的对称轴是直线，选项C错误，不符合题意；
D、由于开口向上，对称轴是直线，则当时，随的增大而减小，故选项D正确，符合题意，
故选：D．
10．A
先由对称轴和点坐标求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M的坐标；欲使的周长最小，的长度一定，所以只需取最小值即可．然后，过点M作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P（如图1）；过点M作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点P（如图2）；分别计算两种情况下的周长再取最小值即可；
解：如图，∵抛物线的对称轴为，点是抛物线上的一点，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为，
，
的周长，且是定值，所以只需最小．
如图1，过点作关于y轴对称的点，连接，与y轴的交点即为所求的点P．
设直线的解析式为：，
由点和点可得：，
解得，
故该直线的解析式为，
当时，，即，
∵，，，
∴
此时三角形的周长；
同理，如图2，过点作关于x轴对称的点，连接，与x轴的交点即为所求的点，
设直线的解析式为：，
由点和点可得：，
解得，
故该直线的解析式为，
当时，，即，
∵，，，
∴，
此时三角形的周长；
∵，，
∴
∴点P在y轴上时，三角形的周长最小，即点P的坐标是．
故选：A．
本题考查了轴对称-最短路线问题，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平面直角坐标系中两点距离公式；在求点P的坐标时，一定要注意题目要求是“要在坐标轴上找一点P”，所以应该找轴和轴上符合条件的点P，不要漏解．
11．12
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．首先得到摸到白球的概率为0.4，然后求出球的总个数，进而得到黑球的个数．
∵重复多次试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，
∴估计摸到白球的概率为0.4，
∴袋中球的个数为（个），
∴袋中黑球的个数为（个）．
故答案为：12．
12．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．
四位同学分别用、、、表示，其中代表小思，代表小轩，画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出小思和小轩同时被选中的结果数，然后根据概率公式求解．
解：设四位同学分别用、、、表示，其中代表小思，代表小轩，
画树状图为：
共有12种等可能的结果，其中小思和小轩同时被选中的结果数为2，
∴小思和小轩同时被选中的概率．
故答案为：．
13．4
连接，根据平分，可得；根据四边形内接于，可得，进而可得，即有，则有，最后利用勾股定理即可作答，
解：连接，如图，
∵平分，
∴，
∵四边形内接于，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵， ，
∴在中，；
故答案为：4．
本题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定、圆周角定理、勾股定理、角平分线定义等知识；熟练掌握圆周角定理和圆内接四边形的性质是解题的关键．
14．8
本题考查了垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理；根据垂径定理求出，得到，证明，可得，利用勾股定理求出的长，再求出长，即可得到答案．
解：连接，如图：
，是的直径，
，，
为的中点，
，
，
，
的直径为10，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
故答案为：8．
15． ，
本题考查了二次函数图象的对称性，二次函数与相关一元二次方程的关系，根据二次函数图象的对称性可求出另一交点坐标为，再通过图象和对称轴即可得出方程的根，掌握二次函数图象关于其对称轴对称，二次函数图象与轴交点的横坐标即为其相关一元二次方程的解是解题关键．
解：∵对称轴为直线，与轴的一个交点为，
∴与轴的另一交点为，
∵当时，，
∴方程的一个根为，
∵对称轴为直线，
∴方程的另一个根为，
故答案为：；，．
16．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，熟练地运用二次函数的性质进行推理是解答本题的关键．
根据二次函数的图象上点的坐标特征得出结果即可．
解：∵二次函数的对称轴为直线，
∴抛物线开口向下，当时，函数值随自变量的增大而增大，
∵关于直线的对称点为，，，，
∴，
故答案为：．
17．(1)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标
(2)
本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．
（1）根据二次项系数可判断开口方向，再根据顶点式确定顶点坐标及对称轴即可；
（2）利用开口方向和对称轴即可解答．
（1）解：二次函数中，，
二次函数开口向下，
对称轴为直线，顶点坐标为；
（2）解：二次函数开口向下，
在对称轴的左侧随的增大而增大，
二次函数的对称轴为，
当时，随的增大而增大．
18．(1)见解析
(2)①见解析；②
（1）由四点共圆得，而，等量代换得到，故，即可作答；
（2）①连接并延长交圆与点G，证明得出即可证明结论成立；
②作于点M，作于点N，根据求解即可．
（1）证明：∵四边形是圆内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）①如图，连接并延长交圆与点G
∵
∴
∵
∴
∵过圆心，过圆心
∴
∵
∴
∴
∴
②作于点M，作于点N
∵，，
∴
∵平分，
∴
∴都是等腰直角三角形
∴，
∵
∴
∴都是等腰直角三角形
∴
∵
∴
∴
本题考查了圆周角定理，圆的内接四边形的性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
19．(1)，
(2)或或或
本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式，二次函数的对称性等等：
（1）先把点A坐标代入解析式中求出a的值，即求出抛物线解析式，再根据对称性即可求出点B的坐标；
（2）先求出，再根据题意可得，据此求出点P的纵坐标即可得到答案．
（1）解：把代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为，
∴抛物线的对称轴为y轴，
∵轴，且点B在抛物线上，
∴点A和点B关于抛物线对称轴对称，即关于y轴对称，
∴
（2）解：∵，，
∴，
∵的面积为2，轴，
∴，
∴，
∴或，
在中，当时，，当时，，
∴点P的坐标为或或或．
20．(1)证明见解析
(2)
本题考查圆周角定理，垂径定理，平行线的性质，勾股定理：
（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，由平行线的性质可得，从而可得，然后利用垂径定理即可解答；
（2）利用垂径定理可得，然后在中，利用勾股定理进行计算即可解答．
（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点为的中点；
（2）解：∵，，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴的直径为．
21．(1)；详见解析
(2)
(3)
此题考查了条形统计图和扇形统计图以及概率公式的综合运用，读懂统计图是解题的关键．
（1）根据条形统计图和扇形统计图，先用篮球的人数算出总人数再补全即可；
（2）根据“排球”人数占总人数的比例求出圆心角度数；
（3）通过树状图列出所有可能的组合，从而得到概率．
（1）被调查的学生有（名），
足球人数：（名），
补全条形统计图如下：
（2），
故答案为：．
（3）
共有种等可能的结果，甲和乙同时被选中的结果有种，
甲和乙同时被选中的概率．
22．(1)；
(2)或
本题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，熟练掌握函数图象上点的坐标特征以及通过图象比较函数值大小是解题的关键．
（1）对于二次函数，将点代入其表达式求出，进而得到二次函数解析式，再求出点坐标，根据对称轴求出点坐标，最后将、代入一次函数求出解析式．
（2）通过观察图象，找出二次函数图象在一次函数图象上方时的取值范围．
（1）解：把代入，可得
解得，
所以二次函数解析式为，展开得．
当时，，
所以．
二次函数的对称轴为直线，
因为点与关于对称轴对称，
所以．
把，代入，可得
解得，，
所以一次函数解析式为．
（2）解：∵，，
∴由图象可知，时的取值范围是或．
23．(1)见详解
(2)①的度数为或或；②
本题考查了圆周角的定理和等腰三角形的性质，求扇形面积，解题的关键是准确理解题意，熟练运用圆的有关知识、等腰三角形的性质进行解题．
（1）根据等腰三角形的画法画图即可；
（2）①求出的度数，再分类讨论，求出，即可解答；
②连接，得出是等边三角形，求出圆心角和半径，运用公式求出扇形面积和三角形面积即可．
（1）解：如图，作线段的垂直平分线，交于点C，此时可使得是“圆等三角形”；
（2）①四边形是的内接四边形，，，
，，
当时，，
；
当时，，
；
当时，，
；
综上所述，的度数为或或．
②连接，
四边形是的内接四边形，，
，
是圆等三角形，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
过点O作，
，
，，
，
，
扇形的面积为：，
阴影部分面积为：．
24．(1)①D坐标为，；②
(2)
本题主要考查二次函数的图象和性质；
（1）①采用待定系数法求出抛物线解析式，根据顶点式求出D，令求出点B即可；②设直线解析式为，采用待定系数法求出解析式，设点，表示出，求出最大值，解出的值即可求出；
（2）延长交于点 G，过点C作，交抛物线于点N．求出，得到，求出，令，表示出，过点P作，垂足为M，得到 结合，解得．根据，求得即可求出．
（1）解：①将代入，
得
∵
∴抛物线
∴点D坐标为，
当时，
解得
∴
②令，得
∴
设直线解析式为
将，代入
得，解得，
∴直线解析式为
设点
∵轴
∴
由题意知，E在F正上方
∴
在对称轴时取得最大值
∴
∴
解得
∴点
（2）解：如图，延长交于点 G，过点C作，交抛物线于点N．
由（1）①得
令，
解得，
∴．
令，得，
∴，
∴点N的纵坐标为
∵，
∴，
∴点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，
∴
∴轴，
∴轴，
∴，
∴．
∵轴，轴，
∴．
∴．
∵
∴
∴
∵点在第一象限内，，
点H在点E的左侧，交线段于点P，
∴点位于点N和点B之间的抛物线上．
令，则
∴
∴ ．
过点P作，垂足为M，
则
∵，
解得．
∵，
∴．
