习题课4 卫星变轨问题和双星问题
1.空间站在地球外层的稀薄大气中绕行，因气体阻力的影响，轨道高度会发生变化。空间站安装有发动机，可对轨道进行修正。图中给出了国际空间站在2020.02～2020.08期间离地高度随时间变化的曲线，则空间站（ ）
A.绕地运行速度约为2.0 km/s
B.绕地运行速度约为8.0 km/s
C.在4月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒
D.在5月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒
2.天文学发现一个由A、B两颗星球组成的双星系统，观测到双星A、B间的距离为l，A星的运动周期为T，已知引力常量为G，则可求出（ ）
A.B星的质量 B.A、B两星球的总质量
C.A星的轨道半径 D.B星的线速度
3.现对发射地球静止轨道卫星的过程进行分析，如图所示，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，P点是轨道Ⅰ上的近地点，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球静止轨道Ⅱ，则（ ）
A.卫星在静止轨道Ⅱ上的运行速度大于第一宇宙速度7.9 km/s
B.该卫星的发射速度必定大于第二宇宙速度11.2 km/s
C.在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于第一宇宙速度7.9 km/s
D.在轨道Ⅰ上，卫星在Q点的速度大于第一宇宙速度7.9 km/s
4.（2024·四川巴中期末）2023年10月26日，神舟十七号与天和核心舱完成自动交会对接。如图所示，天和核心舱绕地球做匀速圆周运动，神舟十七号绕地球做椭圆运动，且椭圆的远地点与圆轨道相切，下面说法正确的是（ ）
A.航天员在核心舱中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用
B.若两者在各自的轨道上稳定运行，则两者在切点处的加速度相同
C.若两者原来在同一圆轨道上，神舟十七号可以沿切向喷气加速追上核心舱
D.设轨道所处空间存在极其稀薄的空气，若不加干预，核心舱的轨道高度将缓慢升高
5.如图所示，我国发射“神舟十号”飞船时，先将飞船发送到一个椭圆轨道上，其近地点M距地面200 km，远地点N距地面340 km。进入该轨道正常运行时，通过M、N点时的速率分别是v1和v2，加速度大小分别为a1和a2。当某次飞船通过N点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km的圆形轨道，开始绕地球做匀速圆周运动，这时飞船的速率为v3，加速度大小为a3，比较飞船在M、N、P三点正常运行时（不包括点火加速阶段）的速率和加速度大小，下列结论正确的是（ ）
A.v1＞v3＞v2，a1＞a3＞a2 B.v1＞v2＞v3，a1＞a2＝a3
C.v1＞v2＝v3，a1＞a2＞a3 D.v1＞v3＞v2，a1＞a2＝a3
6.我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站。如图所示，关闭发动机的航天飞机仅在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球靠近，并将在椭圆的近月点B处与空间站对接。已知空间站C绕月轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，月球的半径为R，忽略月球自转。那么以下选项正确的是（ ）
A.月球的质量为
B.航天飞机到达B处由椭圆轨道进入空间站圆轨道时必须加速
C.航天飞机从A处到B处做减速运动
D.月球表面的重力加速度为
7.双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做匀速圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时匀速圆周运动的周期为（ ）
A.T B.T C.T D.T
8.人们在距地球约4.8亿光年处观测到一个双星系统，它由黑洞和恒星围绕它们连线上的某点做圆周运动构成，在双星绕行过程中质量较大的黑洞在不断吞噬质量较小的恒星，且它们的间距在逐渐减小。若短时间内双星的运动均可视为匀速圆周运动，忽略该双星系统的质量损失，下列说法中正确的是（ ）
A.恒星的轨迹半径小于黑洞的轨迹半径
B.恒星的线速度小于黑洞的线速度
C.双星系统的角速度逐渐减小
D.双星系统的周期逐渐减小
9.天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动。已知引力常量为G，不计其他星体影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是（ ）
A.三颗星的质量可能不相等
B.某颗星的质量为
C.它们的线速度大小均为
D.它们两两之间的万有引力大小为
10.如图所示，两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，它们的质量分别为m1和m2，两者中心之间距离为L。已知星球A、B的中心和O三点始终共线，星球A和B分别在O的两侧。引力常量为G。
（1）求两星球做圆周运动的周期；
（2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg。求T2与T1两者平方之比。（计算结果保留4位有效数字）
习题课4 卫星变轨问题和双星问题
1.D 根据题意可知轨道半径在变化，则运行速度在变化，由公式v＝，当r＝R＝6.4×106 m时，v＝7.9 km/s，当r＝R＋h＝6.8×106 m时，v＝7.7 km/s，故A、B错误；在4月份轨道半径出现明显的变大，则可知，机械能不守恒，故C错误；在5月份轨道半径基本不变，则可视为机械能守恒，故D正确。
2.B 双星系统运行过程，两颗星球的运动周期相等、角速度相同，由两颗星球间的万有引力作为向心力，设A、B的轨道半径分别为r1、r2，由向心力公式可得G＝m1r1ω2＝m2r2ω2，整理可得m1r1＝m2r2，m1＝，m2＝，又ω＝，故A、B两星球的总质量可表示为M＝m1＋m2＝，可以求出A、B两星球的总质量，由题意无法求出两星球的轨道半径，故两星球各自的质量无法求出，A、C错误，B正确；B星球的线速度可表示为v＝，由于r2未知，故B星球的线速度无法求出，D错误。
3.C 第一宇宙速度是卫星在近地轨道运行的线速度，根据＝m可知v＝，故轨道半径越大，线速度越小，所以静止轨道卫星的运行速度小于第一宇宙速度，A错误；该卫星为地球的卫星，所以发射速度小于第二宇宙速度，B错误；P点为近地圆轨道上的一点，但要从近地圆轨道变轨到Ⅰ轨道，则需要在P点加速，所以在Ⅰ轨道上，卫星在P点的速度大于第一宇宙速度，C正确；在Q点要从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，则需要在Q点加速，即卫星在轨道Ⅱ上经过Q点的速度大于在轨道Ⅰ上经过Q点的速度，而轨道Ⅱ上的速度小于第一宇宙速度，故在轨道Ⅰ上，卫星在Q点的速度小于第一宇宙速度，D错误。
4.B 航天员在核心舱中处于失重状态，但航天员仍受地球引力作用，故A错误；若两者在各自的轨道上稳定运行，则两者在切点处时，根据牛顿第二定律可得＝ma，可得a＝，可知两者在切点处的加速度相同，故B正确；若两者原来在同一圆轨道上，若神舟十七号沿切向喷气加速，则万有引力不足以提供向心力，神舟十七号将做离心运动，不可能追上核心舱，故C错误；设轨道所处空间存在极其稀薄的空气，若不加干预，核心舱的速度将减小，则万有引力大于所需的向心力，核心舱的轨道高度将缓慢降低，故D错误。
5.D 根据万有引力提供向心力，有＝ma，得a＝，由题图可知r1＜r2＝r3，所以a1＞a2＝a3；当某次飞船通过N点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km的圆形轨道，所以v3＞v2，假设飞船在半径为r1的圆轨道上做匀速圆周运动，经过M点时的速率为v1'，根据＝得v＝，又因为r1＜r3，所以v1'＞v3，飞船在圆轨道M点时需加速才能进入椭圆轨道，则v1＞v1'，所以v1＞v3＞v2，故选D。
6.A 设空间站质量为m，在圆轨道上，由G＝m，得m月＝，A正确；要使航天飞机在椭圆轨道的近月点B处与空间站C对接，必须在B点时减速，否则航天飞机将继续做椭圆运动，B错误；航天飞机飞向B处，根据开普勒第二定律可知，向近月点靠近做加速运动，C错误；月球表面物体重力等于月球对物体的引力，则有mg月＝G，可得g月＝＝，D错误。
7.B 设两恒星的质量分别为m1、m2，距离为L，双星靠彼此的引力提供向心力，则有G＝m1r1，G＝m2r2，并且r1＋r2＝L，解得T＝2π，当两星总质量变为原来的k倍，两星之间距离变为原来的n倍时T'＝2π＝T，故选项B正确。
8.D 设黑洞质量为M，恒星质量为m，由万有引力提供向心力有＝mω2r1＝Mω2r2。其中r＝r1＋r2，有mr1＝Mr2，由M＞m得r1＞r2，故恒星的轨迹半径大于黑洞的轨迹半径，故A错误；角速度相等时，线速度与轨迹半径成正比，则恒星的线速度大于黑洞的线速度，故B错误；根据T2＝＝，随r减小，周期T减小，角速度ω增大，故C错误，D正确。
9.D 三星系统在外接于等边三角形的圆形轨道上做匀速圆周运动，可知每颗星受另外两颗星的引力相等，可得三颗星的质量相等，故A错误；由几何关系可知该三星系统中星体做圆周运动的轨迹半径R＝＝l，则F向＝＝mR＝，F向＝2F万·cos 30°＝，联立解得m＝，v＝，F万＝，故B、C错误，D正确。
10.（1）2π （2）1.012
解析：（1）两星球围绕同一点O做匀速圆周运动，其角速度相同，周期也相同，其所需向心力由两者间的万有引力提供，设A、B的轨道半径分别为r1、r2，由牛顿第二定律知：
对B，有G＝m2r2
对A，有G＝m1r1
又r1＋r2＝L
联立解得T＝2π。
（2）若认为地球和月球都围绕中心连线某点O做匀速圆周运动，根据题意可知m地＝5.98×1024 kg，m月＝7.35×1022 kg，地月距离设为L'，由（1）可知地球和月球绕其轨道中心的运行周期为T1＝2π
若认为月球围绕地心做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛顿第二定律得
＝m月L'
解得T2＝2π
则＝
故＝≈1.012。
3 / 3习题课4 卫星变轨问题和双星问题
核心 素养 目标 1.会比较静止轨道卫星、近地卫星、赤道上的物体做匀速圆周运动的线速度、角速度和向心加速度的不同。 2.掌握变轨和航天器的对接原理。 3.掌握双星或多星问题的处理方法。
要点一 静止轨道卫星、近地卫星、赤道上的物体的比较
【探究】
（1）静止轨道卫星和赤道上物体的运动有什么相同点和不同点？
（2）静止轨道卫星和近地卫星的运动有什么相同点和不同点？
（3）若已知地球半径为R，静止轨道卫星离地高度为h，静止轨道卫星的线速度大小为v1、向心加速度大小为a1，地球赤道上物体的线速度大小为v2，向心加速度大小为a2，求v1与v2及a1与a2的比值。
（4）若近地卫星的线速度大小为v3，向心加速度大小为a3，求v1与v3及a1与a3的比值。
【归纳】
近地卫星、静止轨道卫星、赤道上的物体的比较
近地卫星（r1、ω1、v1、a1） 静止轨道卫星（r2、ω2、v2、a2） 赤道上随地球自转的物体（r3、ω3、v3、a3）
向心力 万有引力 万有引力 万有引力减去支持力
轨道半径 r2＞r3＝r1
角速度 由＝mω2r，得ω＝ ，故ω1＞ω2 静止轨道卫星的角速度与地球自转的角速度相同，故ω2＝ω3
ω1＞ω2＝ω3
线速度 由＝，得v＝ ，故v1＞v2 由v＝rω，得v2＞v3
v1＞v2＞v3
向心加速度 由＝man，得an＝，故a1＞a2 由an＝ω2r，得a2＞a3
a1＞a2＞a3
【典例1】 （多选）如图所示，赤道上随地球自转的物体A、赤道上空的近地卫星B、静止轨道卫星C，它们的运动都可视为匀速圆周运动，比较三个物体的运动情况，以下判断正确的是（ ）
A.三者的周期关系为TA＜TB＜TC B.三者向心加速度大小关系为aA＞aB＞aC
C.三者角速度的大小关系为ωA＝ωC＜ωB D.三者线速度的大小关系为vA＜vC＜vB
尝试解答
1.（多选）地球静止轨道卫星离地心的距离为r，运行速率为v1，加速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，地球的半径为R，第一宇宙速度为v2，则下列比例关系正确的是（ ）
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
2.有a、b、c、d四颗人造地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，b处于地面附近的近地轨道上正常运动，c是地球静止轨道卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示，则有（ ）
A.a的向心加速度等于重力加速度g
B.b在相同时间内转过的弧长最长
C.c在4 h内转过的圆心角是
D.d的运行周期有可能是20 h
要点二 卫星变轨问题与航天器的对接问题
1.卫星发射及变轨过程概述
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。
（1）为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。
（2）在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
（3）在B点（远地点）再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
2.三个运行物理量的大小比较
（1）速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA＞v1，在B点加速，则v3＞vB，又因v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞vB。
（2）加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，经过B点加速度也相同。
（3）周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行的周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2（半长轴）、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1＜T2＜T3。
3.航天器的对接问题
若使航天器在同一轨道上运行，航天器加速会进入较高的轨道，减速会进入较低的轨道，都不能实现对接，故要想实现对接，可使航天器在半径较小的轨道上加速，然后进入较高的空间轨道，逐渐靠近其他航天器，两者速度接近时实现对接。【典例2】 宇宙星辰浩瀚璀璨，中国航天风正帆悬。我国首个火星巡视器“祝融”号已成功登陆火星。如图所示为“祝融”号经过多次变轨后登陆火星的轨迹图，轨道Ⅰ为圆形轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，两轨道相切于P点，下列说法正确的是（ ）
A.“祝融”号在轨道Ⅰ运行的周期小于在轨道Ⅱ运行的周期
B.若已知“祝融”号在轨道Ⅰ运行的半径、运行周期和引力常量，可算出火星的密度
C.“祝融”号减速下降登陆火星的过程中处于超重状态
D.“祝融”号在轨道Ⅰ上P点运行的速度一定小于在轨道Ⅱ上P点运行的速度
尝试解答
规律方法
判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路
（1）判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越慢”的规律判断。
（2）判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小。
（3）判断卫星为实现变轨在某点需要加速还是减速时，可根据离心运动或近心运动的条件进行分析。
（4）判断卫星的加速度大小时，可根据a＝＝G判断。
1.（多选）发射静止轨道卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1。然后经点火，使卫星沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入静止圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的是（ ）
A.卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B.卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
C.卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度
D.卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度
2.如图所示，我国发射的“神舟十三号”飞船和空间站实验室于2021年10月16日自动交会对接成功。假设对接前空间站与“神舟十三号”飞船都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室的对接，下列措施可行的是（ ）
A.使飞船与空间站在同一轨道上运行，然后飞船加速追上空间站实现对接
B.使飞船与空间站在同一轨道上运行，然后空间站减速等待飞船实现对接
C.飞船先在比空间站半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间站，两者速度接近时实现对接
D.飞船先在比空间站半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间站，两者速度接近时实现对接
要点三 双星或多星问题
1.双星模型
（1）如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”。
（2）特点
①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同。
②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。
③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L，两星轨道半径之比等于两星质量的反比，即＝。
（3）处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即＝m1ω2r1，G＝m2ω2r2。
2.多星系统
在宇宙中存在“三星”“四星”等多星系统，在多星系统中：
（1）各个星体做圆周运动的周期、角速度相同。
（2）某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它万有引力的合力提供的。
【典例3】 两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图所示。已知双星的质量分别为m1和m2，它们之间的距离为L，引力常量为G，求双星的运行轨道半径r1和r2及运行周期T。
尝试解答
宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用而互相绕转，称之为双星系统。设某双星系统中的A、B两星球绕其连线上的某固定点O做匀速圆周运动，如图所示，现测得两星球球心之间的距离为L，运动周期为T，已知引力常量为G，若AO＞OB，则（ ）
A.两星球的总质量等于
B.星球A的向心力大于星球B的向心力
C.星球A的线速度一定小于星球B的线速度
D.双星的质量一定，双星之间的距离减小，其转动周期减小
1.如图所示，A是地球赤道上随地球自转的物体，其向心加速度大小为a1，线速度大小为v1；B是绕地球做匀速圆周运动的近地卫星，其向心加速度大小为a2，线速度大小为v2；C是地球静止轨道卫星，其轨道半径为r。已知地球半径为R，下列关于A、B的向心加速度和线速度的大小关系正确的是（ ）
A.＝ B.＝
C.＝ D.v1＝v2
2.2020年6月23日，我国北斗三号最后一颗全球组网卫星发射成功，这颗卫星是地球静止轨道卫星。关于该卫星，下列说法正确的是（已知静止轨道卫星轨道半径约为地球半径的6.6倍，赤道上地面线速度大小约为465 m/s）（ ）
A.该卫星相对地面是运动的 B.该卫星发射速度大于11.2 km/s
C.该卫星运行速度小于7.9 km/s D.如果需要该卫星可以定点在北京上空
3.某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互作用的万有引力作用下绕二者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1到S2的距离为r，万有引力常量为G，由此可求出S2的质量为（ ）
A. B.
C. D.
4.（多选）（2024·四川攀枝花调研考试）宇宙中两颗相距较近、相互绕转的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，不至于因为万有引力的作用而吸引到一起。如图所示，某双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比rA∶rB＝1∶2，则两颗天体的（ ）
A.质量之比mA∶mB＝2∶1
B.角速度大小之比ωA∶ωB＝1∶1
C.线速度大小之比vA∶vB＝2∶1
D.向心力大小之比FA∶FB＝2∶1
5.2021年2月10日，“天问一号”火星探测器被火星捕获，成功实现火星环绕，经过系列变轨后从调相轨道进入停泊轨道，为着陆火星做准备，如图所示。下列说法正确的是（ ）
A.“天问一号”从调相轨道进入停泊轨道时需在P点处加速
B.“天问一号”在停泊轨道上P点的加速度比在N点小
C.“天问一号”在停泊轨道上运动过程中，经过P点时的线速度比N点小
D.“天问一号”在停泊轨道上运行的周期比在调相轨道上的小
习题课4 卫星变轨问题和双星问题
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【探究】 提示：（1）相同点：周期和角速度相同
不同点：向心力来源不同
对于静止轨道卫星，有＝ma＝mω2r
对于赤道上物体，有＝mg＋mω2r，
通过v＝ωr，a＝ω2r比较两者的线速度和向心加速度的大小。
（2）相同点：都是万有引力提供向心力，即都满足
＝m＝mω2r＝mr＝ma。
不同点：轨道半径不同。近地卫星的轨道半径约等于地球的半径，静止轨道卫星的轨道半径约等于地球半径的7倍。
（3）＝；＝。
（4）＝；＝。
【典例1】 CD 因为静止轨道卫星转动周期与地球自转周期相同，故TA＝TC，A错误；因为静止轨道卫星的周期和地球自转的周期相同，故ωA＝ωC，根据a＝rω2知，A和C的向心加速度大小关系为aA＜aC，B错误；因为A、C的角速度相同，对于B、C，根据万有引力提供卫星做圆周运动所需的向心力，有G＝mrω2，可得角速度ω＝ ，由C的轨道半径大知ωC＜ωB，故ωA＝ωC＜ωB，C正确；由G＝m得线速度v＝ ，知vC＜vB，由v＝rω，知C的轨道半径大，则线速度大，故有vA＜vC＜vB，D正确。
素养训练
1.AD 设地球质量为m地，静止轨道卫星的质量为m1，在地球赤道表面随地球做匀速圆周运动的物体的质量为m2，根据向心加速度和角速度的关系，有a1＝r，a2＝R，又ω1＝ω2，故＝，选项A正确，B错误；由万有引力提供向心力，得G＝m1，G＝m2，解得＝，选项C错误，D正确。
2.B 对a，有G－N＝ma，对b，有G＝mg，故有a＜g，A错误；由G＝m得v＝，可知b、c、d中b的线速度最大，又因为a、c角速度相同，c的运行半径大，则c的线速度大于a的线速度，故四颗卫星中b的线速度最大，相同时间内转过的弧长最长，B正确；c为静止轨道卫星，周期为24 h，故4 h内转过的角度为×4＝，C错误；由T＝2π 知d的运行周期一定大于c的运行周期，故d的运行周期一定大于24 h，D错误。
要点二
【典例2】 C “祝融”号在轨道Ⅰ运行的轨道半径大于在轨道Ⅱ运行的轨道半长轴，根据开普勒第三定律＝k可知，“祝融”号在轨道Ⅰ运行的周期大于在轨道Ⅱ运行的周期，故A错误；由牛顿第二定律和万有引力定律得G＝mr，解得m火＝，若已知“祝融”号在轨道Ⅰ运行的半径、运行周期和引力常量，可以得出火星的质量m火，但由于不知道火星的半径R，不能得出火星的密度，故B错误；“祝融”号减速下降登陆火星的过程中具有向上的加速度，处于超重状态，故C正确；从高轨道变轨到低轨道时，需要点火减速，做近心运动到低轨道，所以在轨道Ⅰ上P点运行的速度大于在轨道Ⅱ上P点运行的速度，故D错误。
素养训练
1.BD 卫星绕地球做圆周运动的向心力由地球对卫星的万有引力提供，由G＝m＝mω2r，可得v＝，ω＝ ，则轨道半径越大，线速度与角速度越小，A错误，B正确；根据万有引力定律和牛顿第二定律，可得a＝，此处r为卫星到地心的距离，所以，在轨道1、2上卫星经过Q点时的加速度相同，在轨道2、3上卫星经过P点时的加速度也相同，故C错误，D正确。
2.C 飞船在同一轨道上加速追赶空间站时，速度增大，所需向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间站的对接，选项A错误；空间站在同一轨道上减速等待飞船时，速度减小，所需向心力小于万有引力，空间站将做近心运动，也不能实现对接，选项B错误；当飞船在比空间站半径小的轨道上加速时，飞船将做离心运动，逐渐靠近空间站，可在两者速度接近时实现对接，选项C正确；当飞船在比空间站半径小的轨道上减速时，飞船将做近心运动，远离空间站，不能实现对接，选项D错误。
要点三
【典例3】 见解析
解析：双星间的万有引力提供了各自做匀速圆周运动的向心力，对m1：＝m1r1ω2
对m2：＝m2r2ω2，且r1＋r2＝L
解得r1＝，r2＝
由G＝m1r1及r1＝得
周期T＝2πL。
素养训练
D 由题意可知，双星的角速度相等，根据v＝ωr，且AO＞OB，则vA＞vB，C错误；双星靠相互间的万有引力提供向心力，根据牛顿第三定律知它们的向心力大小相等，B错误；根据万有引力提供向心力，对A，有G＝MARA，对B，有G＝MBRB。其中L＝RA＋RB，解得
T＝，MA＋MB＝，故当双星的质量一定，双星之间的距离减小时，其转动周期减小，D正确，A错误。
【教学效果·勤检测】
1.B 设静止轨道卫星C的向心加速度大小为a3，线速度大小为v3。赤道上的物体A和静止轨道卫星C的运行周期相同。根据a＝可知＝，根据v＝可知＝；对于近地卫星B和静止轨道卫星C，根据万有引力提供向心力有G＝ma＝m，可得a＝，v＝，则有＝，＝，所以＝，＝，故B正确，A、C、D错误。
2.C 该卫星相对地面是静止的，故A错误；所有的地球卫星的发射速度均小于11.2 km/s，故B错误；第一宇宙速度为7.9 km/s，是最大的环绕速度，所以该卫星的运行速度小于7.9 km/s，故C正确；该卫星是地球静止轨道卫星，应该定位在赤道上空，故D错误。
3.D 取S1为研究对象，S1做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得G＝m1r1，解得m2＝，故选D。
4.AB 双星都绕O点做匀速圆周运动，由两者之间的万有引力提供向心力，角速度相等，设为ω，根据牛顿第二定律，对A星有G＝mAω2rA
对B星有G＝mBω2rB
故mA∶mB＝rB∶rA＝2∶1
双星运动的角速度大小之比为ωA∶ωB＝1∶1，向心力大小之比为FA∶FB＝1∶1，由v＝ωr
可得线速度大小之比为vA∶vB＝rA∶rB＝1∶2，故选A、B。
5.D “天问一号”从调相轨道进入停泊轨道，需要做近心运动，因此在P点处应减速，A错误；根据G＝ma可知，“天问一号”在P点的加速度比在N点大，B错误；“天问一号”在停泊轨道上运动过程中，P点是离火星最近的点，N点是离火星最远的点，所以经过P点时的线速度比N点大，C错误；根据开普勒第三定律知“天问一号”在停泊轨道上运行的周期比在调相轨道上的小，D正确。
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习题课4 卫星变轨问题和双星问题
核心 素养 目标 1.会比较静止轨道卫星、近地卫星、赤道上的物体做匀速圆周运动的线速度、角速度和向心加速度的不同。
2.掌握变轨和航天器的对接原理。
3.掌握双星或多星问题的处理方法。
目 录
01.
核心要点·快突破
02.
教学效果·勤检测
03.
课时训练·提素能
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
01
要点一 静止轨道卫星、近地卫星、赤道上的物体的比较
【探究】
（1）静止轨道卫星和赤道上物体的运动有什么相同点和不同点？
提示：相同点：周期和角速度相同
不同点：向心力来源不同
对于静止轨道卫星，有＝ma＝mω2r
对于赤道上物体，有＝mg＋mω2r，
通过v＝ωr，a＝ω2r比较两者的线速度和向心加速度的大小。
（2）静止轨道卫星和近地卫星的运动有什么相同点和不同点？
提示：相同点：都是万有引力提供向心
力，即都满足
＝m＝mω2r＝mr＝ma。
不同点：轨道半径不同。近地卫星的轨道半径
约等于地球的半径，静止轨道卫星的轨道半径
约等于地球半径的7倍。
（3）若已知地球半径为R，静止轨道卫星离地高度为h，静止轨道
卫星的线速度大小为v1、向心加速度大小为a1，地球赤道上
物体的线速度大小为v2，向心加速度大小为a2，求v1与v2及a1
与a2的比值。
提示： ＝；＝。
（4）若近地卫星的线速度大小为v3，向心加速度大小为a3，求v1与v3
及a1与a3的比值。
提示：＝；＝。
【归纳】
近地卫星、静止轨道卫星、赤道上的物体的比较
近地卫星
（r1、ω1、
v1、a1） 静止轨道卫星
（r2、ω2、v2、a2） 赤道上随地球自转的物体（r3、ω3、v3、a3）
向心力 万有引力 万有引力 万有引力减去支持力
轨道半径 r2＞r3＝r1
角速度 由＝mω2r，得ω＝ ，故ω1＞ω2 静止轨道卫星的角速
度与地球自转的角速
度相同，故ω2＝ω3
ω1＞ω2＝ω3
近地卫星（r1、ω1、v1、a1） 静止轨道卫星
（r2、ω2、v2、a2） 赤道上随地球自转的物体（r3、ω3、v3、a3）
线速度 由＝，得v＝ ，故
v1＞v2 由v＝rω，得v2＞v3
v1＞v2＞v3
向心加速度 由＝man，得an＝，故a1
＞a2 由an＝ω2r，得a2＞a3
a1＞a2＞a3
【典例1】 （多选）如图所示，赤道上随地球自转的物体A、赤道上
空的近地卫星B、静止轨道卫星C，它们的运动都可视为匀速圆周运
动，比较三个物体的运动情况，以下判断正确的是（ ）
A. 三者的周期关系为TA＜TB＜TC
B. 三者向心加速度大小关系为aA＞aB＞aC
C. 三者角速度的大小关系为ωA＝ωC＜ωB
D. 三者线速度的大小关系为vA＜vC＜vB
解析：因为静止轨道卫星转动周期与地球自转周期相同，故TA＝TC，
A错误；因为静止轨道卫星的周期和地球自转的周期相同，故ωA＝
ωC，根据a＝rω2知，A和C的向心加速度大小关系为aA＜aC，B错误；
因为A、C的角速度相同，对于B、C，根据万有引力提供卫星做圆周
运动所需的向心力，有G＝mrω2，可得角速度ω＝ ，由C的
轨道半径大知ωC＜ωB，故ωA＝ωC＜ωB，C正确；
由G＝m得线速度v＝ ，知vC＜vB，由v＝rω，知C的轨道
半径大，则线速度大，故有vA＜vC＜vB，D正确。
1. （多选）地球静止轨道卫星离地心的距离为r，运行速率为v1，加
速度为a1，地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a2，地球
的半径为R，第一宇宙速度为v2，则下列比例关系正确的是
（ ）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
解析： 设地球质量为m地，静止轨道卫星的质量为m1，在地球
赤道表面随地球做匀速圆周运动的物体的质量为m2，根据向心加
速度和角速度的关系，有a1＝r，a2＝R，又ω1＝ω2，故＝
，选项A正确，B错误；由万有引力提供向心力，得G＝
m1，G＝m2，解得＝，选项C错误，D正确。
2. 有a、b、c、d四颗人造地球卫星，a还未发射，在地球赤道上随地
球表面一起转动，b处于地面附近的近地轨道上正常运动，c是地球
静止轨道卫星，d是高空探测卫星，各卫星排列位置如图所示，则
有（ ）
A. a的向心加速度等于重力加速度g
B. b在相同时间内转过的弧长最长
C. c在4 h内转过的圆心角是
D. d的运行周期有可能是20 h
解析： 对a，有G－N＝ma，对b，有G＝mg，故有a＜
g，A错误；由G＝m得v＝，可知b、c、d中b的线速度
最大，又因为a、c角速度相同，c的运行半径大，则c的线速度大于
a的线速度，故四颗卫星中b的线速度最大，相同时间内转过的弧长
最长，B正确；c为静止轨道卫星，周期为24 h，故4 h内转过的角
度为×4＝，C错误；由T＝2π 知d的运行周期一定大于c的
运行周期，故d的运行周期一定大于24 h，D错误。
要点二 卫星变轨问题与航天器的对接问题
1. 卫星发射及变轨过程概述
人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道，如图所示。
（1）为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上。
（2）在A点点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供向心
力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ。
（3）在B点（远地点）再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ。
2. 三个运行物理量的大小比较
（1）速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，
在轨道Ⅱ上过A点和B点速率分别为vA、vB。在A点加速，则vA
＞v1，在B点加速，则v3＞vB，又因v1＞v3，故有vA＞v1＞v3＞
vB。
（2）加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从
轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，
经过B点加速度也相同。
（3）周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行的周期分别为T1、T2、
T3，轨道半径分别为r1、r2（半长轴）、r3，由开普勒第三定
律＝k可知T1＜T2＜T3。
3. 航天器的对接问题
若使航天器在同一轨道上运行，航天器加速会进入较高的轨道，减
速会进入较低的轨道，都不能实现对接，故要想实现对接，可使航
天器在半径较小的轨道上加速，然后进入较高的空间轨道，逐渐靠
近其他航天器，两者速度接近时实现对接。
【典例2】 宇宙星辰浩瀚璀璨，中国航天风正帆悬。我国首个火星
巡视器“祝融”号已成功登陆火星。如图所示为“祝融”号经过多次
变轨后登陆火星的轨迹图，轨道Ⅰ为圆形轨道，轨道Ⅱ为椭圆轨道，两
轨道相切于P点，下列说法正确的是（ ）
A. “祝融”号在轨道Ⅰ运行的周期小于在轨道Ⅱ运行的周期
B. 若已知“祝融”号在轨道Ⅰ运行的半径、运行周期
和引力常量，可算出火星的密度
C. “祝融”号减速下降登陆火星的过程中处于超重状态
D. “祝融”号在轨道Ⅰ上P点运行的速度一定小于在轨道Ⅱ上P点运行
的速度
解析：“祝融”号在轨道Ⅰ运行的轨道半径大于在轨道Ⅱ运行的轨道半
长轴，根据开普勒第三定律＝k可知，“祝融”号在轨道Ⅰ运行的周
期大于在轨道Ⅱ运行的周期，故A错误；由牛顿第二定律和万有引力
定律得G＝mr，解得m火＝，若已知“祝融”号在轨道Ⅰ运
行的半径、运行周期和引力常量，可以得出火星的质量m火，但由于
不知道火星的半径R，不能得出火星的密度，故B错误；“祝融”号减
速下降登陆火星的过程中具有向上的加速度，处于超重状态，故C正
确；从高轨道变轨到低轨道时，需要点火减速，做近心运动到低轨道，所以在轨道Ⅰ上P点运行的速度大于在轨道Ⅱ上P点运行的速度，故D错误。
规律方法
判断卫星变轨时速度、加速度变化情况的思路
（1）判断卫星在不同圆轨道的运行速度大小时，可根据“越远越
慢”的规律判断。
（2）判断卫星在同一椭圆轨道上不同点的速度大小时，可根据开普
勒第二定律判断，即离中心天体越远，速度越小。
（3）判断卫星为实现变轨在某点需要加速还是减速时，可根据离心
运动或近心运动的条件进行分析。
（4）判断卫星的加速度大小时，可根据a＝＝G判断。
1. （多选）发射静止轨道卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1。然
后经点火，使卫星沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入
静止圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所
示，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确的
是（ ）
A. 卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率
B. 卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度
C. 卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道
2上经过Q点时的加速度
D. 卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度
解析： 卫星绕地球做圆周运动的向心力由地球对卫星的万有
引力提供，由G＝m＝mω2r，可得v＝，ω＝ ，
则轨道半径越大，线速度与角速度越小，A错误，B正确；根据万
有引力定律和牛顿第二定律，可得a＝，此处r为卫星到地心的
距离，所以，在轨道1、2上卫星经过Q点时的加速度相同，在轨道
2、3上卫星经过P点时的加速度也相同，故C错误，D正确。
2. 如图所示，我国发射的“神舟十三号”飞船和空间站实验室于2021
年10月16日自动交会对接成功。假设对接前空间站与“神舟十三
号”飞船都围绕地球做匀速圆周运动，为了实现飞船与空间实验室
的对接，下列措施可行的是（ ）
A. 使飞船与空间站在同一轨道上运行，然后飞船
加速追上空间站实现对接
B. 使飞船与空间站在同一轨道上运行，然后空间
站减速等待飞船实现对接
C. 飞船先在比空间站半径小的轨道上加速，加速后飞船逐渐靠近空间站，两者速度接近时实现对接
D. 飞船先在比空间站半径小的轨道上减速，减速后飞船逐渐靠近空间站，两者速度接近时实现对接
解析： 飞船在同一轨道上加速追赶空间站时，速度增大，所需
向心力大于万有引力，飞船将做离心运动，不能实现与空间站的对
接，选项A错误；空间站在同一轨道上减速等待飞船时，速度减
小，所需向心力小于万有引力，空间站将做近心运动，也不能实现
对接，选项B错误；当飞船在比空间站半径小的轨道上加速时，飞
船将做离心运动，逐渐靠近空间站，可在两者速度接近时实现对
接，选项C正确；当飞船在比空间站半径小的轨道上减速时，飞船
将做近心运动，远离空间站，不能实现对接，选项D错误。
要点三 双星或多星问题
1. 双星模型
（1）如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球
称为“双星”。
（2）特点
①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星
的运行周期、角速度相同。
②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。
③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L，
两星轨道半径之比等于两星质量的反比，即＝。
（3）处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心
力，即＝m1ω2r1，G＝m2ω2r2。
2. 多星系统
在宇宙中存在“三星”“四星”等多星系统，在多星系统中：
（1）各个星体做圆周运动的周期、角速度相同。
（2）某一星体做圆周运动的向心力是由其他星体对它万有引力的
合力提供的。
【典例3】 两个靠得很近的天体，离其他天体非常遥远，它们以其
连线上某一点O为圆心各自做匀速圆周运动，两者的距离保持不变，
科学家把这样的两个天体称为“双星”，如图所示。已知双星的质量
分别为m1和m2，它们之间的距离为L，引力常量为G，求双星的运行
轨道半径r1和r2及运行周期T。
答案：见解析
解析：双星间的万有引力提供了各自做匀速圆周运动的向心力，对
m1：＝m1r1ω2
对m2：＝m2r2ω2，且r1＋r2＝L
解得r1＝，r2＝
由G＝m1r1及r1＝得
周期T＝2πL。
宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用而互
相绕转，称之为双星系统。设某双星系统中的A、B两星球绕其连线上
的某固定点O做匀速圆周运动，如图所示，现测得两星球球心之间的
距离为L，运动周期为T，已知引力常量为G，若AO＞OB，则（ ）
A. 两星球的总质量等于
B. 星球A的向心力大于星球B的向心力
C. 星球A的线速度一定小于星球B的线速度
D. 双星的质量一定，双星之间的距离减小，其转动周期减小
解析： 由题意可知，双星的角速度相等，根据v＝ωr，且AO＞
OB，则vA＞vB，C错误；双星靠相互间的万有引力提供向心力，根据
牛顿第三定律知它们的向心力大小相等，B错误；根据万有引力提供
向心力，对A，有G＝MARA，对B，有G＝
MBRB。其中L＝RA＋RB，解得T＝，MA＋MB＝
，故当双星的质量一定，双星之间的距离减小时，其转动周期减
小，D正确，A错误。
02
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
1. 如图所示，A是地球赤道上随地球自转的物体，其向心加速度大小
为a1，线速度大小为v1；B是绕地球做匀速圆周运动的近地卫星，
其向心加速度大小为a2，线速度大小为v2；C是地球静止轨道卫
星，其轨道半径为r。已知地球半径为R，下列关于A、B的向心加
速度和线速度的大小关系正确的是（ ）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. v1＝v2
解析： 设静止轨道卫星C的向心加速度大小为a3，线速度大小
为v3。赤道上的物体A和静止轨道卫星C的运行周期相同。根据a＝
可知＝，根据v＝可知＝；对于近地卫星B和静止轨道
卫星C，根据万有引力提供向心力有G＝ma＝m，可得a＝
，v＝，则有＝，＝，所以＝，＝，故
B正确，A、C、D错误。
2. 2020年6月23日，我国北斗三号最后一颗全球组网卫星发射成功，
这颗卫星是地球静止轨道卫星。关于该卫星，下列说法正确的是
（已知静止轨道卫星轨道半径约为地球半径的6.6倍，赤道上地面
线速度大小约为465 m/s）（ ）
A. 该卫星相对地面是运动的
B. 该卫星发射速度大于11.2 km/s
C. 该卫星运行速度小于7.9 km/s
D. 如果需要该卫星可以定点在北京上空
解析： 该卫星相对地面是静止的，故A错误；所有的地球卫星
的发射速度均小于11.2 km/s，故B错误；第一宇宙速度为7.9
km/s，是最大的环绕速度，所以该卫星的运行速度小于7.9 km/s，
故C正确；该卫星是地球静止轨道卫星，应该定位在赤道上空，故
D错误。
3. 某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互作用的万有引力
作用下绕二者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由天文观察测得
其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1到S2的距离为r，万有引力
常量为G，由此可求出S2的质量为（ ）
A. B.
C. D.
解析： 取S1为研究对象，S1做匀速圆周运动，由牛顿第二定律
得G＝m1r1，解得m2＝，故选D。
4. （多选）（2024·四川攀枝花调研考试）宇宙中两颗相距较近、相
互绕转的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做
匀速圆周运动，不至于因为万有引力的作用而吸引到一起。如图所
示，某双星系统中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动，它们的轨
道半径之比rA∶rB＝1∶2，则两颗天体的（ ）
A. 质量之比mA∶mB＝2∶1
B. 角速度大小之比ωA∶ωB＝1∶1
C. 线速度大小之比vA∶vB＝2∶1
D. 向心力大小之比FA∶FB＝2∶1
解析： 双星都绕O点做匀速圆周运动，由两者之间的万有引
力提供向心力，角速度相等，设为ω，根据牛顿第二定律，对A星
有G＝mAω2rA
对B星有G＝mBω2rB
故mA∶mB＝rB∶rA＝2∶1
双星运动的角速度大小之比为ωA∶ωB＝1∶1，向心力大小之比为
FA∶FB＝1∶1，由v＝ωr
可得线速度大小之比为vA∶vB＝rA∶rB＝1∶2，故选A、B。
5. 2021年2月10日，“天问一号”火星探测器被火星捕获，成功实现火星环绕，经过系列变轨后从调相轨道进入停泊轨道，为着陆火星做准备，如图所示。下列说法正确的是（ ）
A. “天问一号”从调相轨道进入停泊轨道时需在P点处加速
B. “天问一号”在停泊轨道上P点的加速度比在N点小
C. “天问一号”在停泊轨道上运动过程中，经过P点时的线速度比N
点小
D. “天问一号”在停泊轨道上运行的周期比在调相轨道上的小
解析： “天问一号”从调相轨道进入停泊轨道，需要做近心运
动，因此在P点处应减速，A错误；根据G＝ma可知，“天问
一号”在P点的加速度比在N点大，B错误；“天问一号”在停泊轨
道上运动过程中，P点是离火星最近的点，N点是离火星最远的
点，所以经过P点时的线速度比N点大，C错误；根据开普勒第三定
律知“天问一号”在停泊轨道上运行的周期比在调相轨道上的小，
D正确。
03
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
1. 空间站在地球外层的稀薄大气中绕行，因气体阻力的影响，轨道高
度会发生变化。空间站安装有发动机，可对轨道进行修正。图中给
出了国际空间站在2020.02～2020.08期间离地高度随时间变化的曲
线，则空间站（ ）
A. 绕地运行速度约为2.0 km/s
B. 绕地运行速度约为8.0 km/s
C. 在4月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒
D. 在5月份绕行的任意两小时内机械能可视为守恒
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解析： 根据题意可知轨道半径在变化，则运行速度在变化，由
公式v＝，当r＝R＝6.4×106 m时，v＝7.9 km/s，当r＝R＋h
＝6.8×106 m时，v＝7.7 km/s，故A、B错误；在4月份轨道半径出
现明显的变大，则可知，机械能不守恒，故C错误；在5月份轨道
半径基本不变，则可视为机械能守恒，故D正确。
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2. 天文学发现一个由A、B两颗星球组成的双星系统，观测到双星A、
B间的距离为l，A星的运动周期为T，已知引力常量为G，则可求出
（ ）
A. B星的质量 B. A、B两星球的总质量
C. A星的轨道半径 D. B星的线速度
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解析： 双星系统运行过程，两颗星球的运动周期相等、角速度
相同，由两颗星球间的万有引力作为向心力，设A、B的轨道半径
分别为r1、r2，由向心力公式可得G＝m1r1ω2＝m2r2ω2，整理可
得m1r1＝m2r2，m1＝，m2＝，又ω＝，故A、B两星球
的总质量可表示为M＝m1＋m2＝，可以求出A、B两星球的总
质量，由题意无法求出两星球的轨道半径，故两星球各自的质量无
法求出，A、C错误，B正确；B星球的线速度可表示为v＝，由
于r2未知，故B星球的线速度无法求出，D错误。
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3. 现对发射地球静止轨道卫星的过程进行分析，如图所示，卫星首先
进入椭圆轨道Ⅰ，P点是轨道Ⅰ上的近地点，然后在Q点通过改变卫星
速度，让卫星进入地球静止轨道Ⅱ，则（ ）
A. 卫星在静止轨道Ⅱ上的运行速度大于第一宇宙
速度7.9 km/s
B. 该卫星的发射速度必定大于第二宇宙速度
11.2 km/s
C. 在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于第一宇宙速度7.9 km/s
D. 在轨道Ⅰ上，卫星在Q点的速度大于第一宇宙速度7.9 km/s
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解析：第一宇宙速度是卫星在近地轨道运行的线速度，根据＝m可知v＝，故轨道半径越大，线速度越小，所以静止轨道卫星的运行速度小于第一宇宙速度，A错误；该卫星为地球的卫星，所以发射速度小于第二宇宙速度，B错误；P点为近地圆轨道上的一点，但要从近地圆轨道变轨到Ⅰ轨道，则需要在P点加速，所以在Ⅰ轨道上，卫星在P点的速度大于第一宇宙速度，C正确；在Q点要从轨道Ⅰ变轨到轨道Ⅱ，则需要在Q点加速，即卫星在轨道Ⅱ上经过Q点的速度大于在轨道Ⅰ上经过Q点的速度，而轨道Ⅱ上的速度小于第一宇宙速度，故在轨道Ⅰ上，卫星在Q点的速度小于第一宇宙速度，D错误。
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4. （2024·四川巴中期末）2023年10月26日，神舟十七号与天和核心舱完成自动交会对接。如图所示，天和核心舱绕地球做匀速圆周运动，神舟十七号绕地球做椭圆运动，且椭圆的远地点与圆轨道相切，下面说法正确的是（ ）
A. 航天员在核心舱中处于失重状态，说明航天员不受地球引力作用
B. 若两者在各自的轨道上稳定运行，则两者在切点处的加速度相同
C. 若两者原来在同一圆轨道上，神舟十七号可以沿
切向喷气加速追上核心舱
D. 设轨道所处空间存在极其稀薄的空气，若不加干
预，核心舱的轨道高度将缓慢升高
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解析： 航天员在核心舱中处于失重状态，但航天员仍受地球引
力作用，故A错误；若两者在各自的轨道上稳定运行，则两者在切
点处时，根据牛顿第二定律可得＝ma，可得a＝，可知
两者在切点处的加速度相同，故B正确；若两者原来在同一圆轨道
上，若神舟十七号沿切向喷气加速，则万有引力不足以提供向心
力，神舟十七号将做离心运动，不可能追上核心舱，故C错误；设
轨道所处空间存在极其稀薄的空气，若不加干预，核心舱的速度将
减小，则万有引力大于所需的向心力，核心舱的轨道高度将缓慢降
低，故D错误。
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5. 如图所示，我国发射“神舟十号”飞船时，先将飞船发送到一个椭圆轨道上，其近地点M距地面200 km，远地点N距地面340 km。进入该轨道正常运行时，通过M、N点时的速率分别是v1和v2，加速度大小分别为a1和a2。当某次飞船通过N点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km的圆形轨道，开始绕地球做匀速圆周运动，这时飞船的速率为v3，加速度大小为a3，比较飞船在M、N、P三点正常运行时（不包括点火加速阶段）的速率和加速度大小，下列结论正确的是（ ）
A. v1＞v3＞v2，a1＞a3＞a2
B. v1＞v2＞v3，a1＞a2＝a3
C. v1＞v2＝v3，a1＞a2＞a3
D. v1＞v3＞v2，a1＞a2＝a3
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解析：根据万有引力提供向心力，有＝ma，得a＝，由题图可知r1＜r2＝r3，所以a1＞a2＝a3；当某次飞船通过N点时，地面指挥部发出指令，点燃飞船上的发动机，使飞船在短时间内加速后进入离地面340 km的圆形轨道，所以v3＞v2，假设飞船在半径为r1的圆轨道上做匀速圆周运动，经过M点时的速率为v1'，根据＝得v＝，又因为r1＜r3，所以v1'＞v3，飞船在圆轨道M点时需加速才能进入椭圆轨道，则v1＞v1'，所以v1＞v3＞v2，故选D。
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6. 我国未来将建立月球基地，并在绕月轨道上建造空间站。如图所
示，关闭发动机的航天飞机仅在月球引力作用下沿椭圆轨道向月球
靠近，并将在椭圆的近月点B处与空间站对接。已知空间站C绕月
轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，月球的半径为R，忽略月
球自转。那么以下选项正确的是（ ）
A. 月球的质量为
B. 航天飞机到达B处由椭圆轨道进入空间
站圆轨道时必须加速
C. 航天飞机从A处到B处做减速运动
D. 月球表面的重力加速度为
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解析： 设空间站质量为m，在圆轨道上，由G＝m，得
m月＝，A正确；要使航天飞机在椭圆轨道的近月点B处与空间
站C对接，必须在B点时减速，否则航天飞机将继续做椭圆运动，B
错误；航天飞机飞向B处，根据开普勒第二定律可知，向近月点靠
近做加速运动，C错误；月球表面物体重力等于月球对物体的引
力，则有mg月＝G，可得g月＝＝，D错误。
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7. 双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕
其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系
统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某
双星系统中两星做匀速圆周运动的周期为T，经过一段时间演化
后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，
则此时匀速圆周运动的周期为（ ）
A. T B. T
C. T D. T
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解析： 设两恒星的质量分别为m1、m2，距离为L，双星靠彼此
的引力提供向心力，则有G＝m1r1，G＝m2r2，并且
r1＋r2＝L，解得T＝2π，当两星总质量变为原来的k
倍，两星之间距离变为原来的n倍时T'＝2π＝
T，故选项B正确。
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8. 人们在距地球约4.8亿光年处观测到一个双星系统，它由黑洞和恒
星围绕它们连线上的某点做圆周运动构成，在双星绕行过程中质量
较大的黑洞在不断吞噬质量较小的恒星，且它们的间距在逐渐减
小。若短时间内双星的运动均可视为匀速圆周运动，忽略该双星系
统的质量损失，下列说法中正确的是（ ）
A. 恒星的轨迹半径小于黑洞的轨迹半径
B. 恒星的线速度小于黑洞的线速度
C. 双星系统的角速度逐渐减小
D. 双星系统的周期逐渐减小
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解析： 设黑洞质量为M，恒星质量为m，由万有引力提供向心
力有＝mω2r1＝Mω2r2。其中r＝r1＋r2，有mr1＝Mr2，由M＞m
得r1＞r2，故恒星的轨迹半径大于黑洞的轨迹半径，故A错误；角
速度相等时，线速度与轨迹半径成正比，则恒星的线速度大于黑洞
的线速度，故B错误；根据T2＝＝，随r减小，周期T
减小，角速度ω增大，故C错误，D正确。
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9. 天文观测中观测到有三颗星位于边长为l的等边三角形三个顶点
上，并沿等边三角形的外接圆做周期为T的匀速圆周运动。已知引
力常量为G，不计其他星体影响，关于这个三星系统，下列说法正
确的是（ ）
A. 三颗星的质量可能不相等
B. 某颗星的质量为
C. 它们的线速度大小均为
D. 它们两两之间的万有引力大小为
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解析： 三星系统在外接于等边三角形的圆形轨道上做匀速圆周
运动，可知每颗星受另外两颗星的引力相等，可得三颗星的质量相
等，故A错误；由几何关系可知该三星系统中星体做圆周运动的轨
迹半径R＝＝l，则F向＝＝mR＝，F向＝2F
万·cos 30°＝，联立解得m＝，v＝，F万＝，故
B、C错误，D正确。
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10. 如图所示，两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运
动，它们的质量分别为m1和m2，两者中心之间距离为L。已知星
球A、B的中心和O三点始终共线，星球A和B分别在O的两侧。引
力常量为G。
（1）求两星球做圆周运动的周期；
答案：2π
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解析：两星球围绕同一点O做匀速圆周运动，其角速
度相同，周期也相同，其所需向心力由两者间的万有引力提
供，设A、B的轨道半径分别为r1、r2，由牛顿第二定律知：
对B，有G＝m2r2
对A，有G＝m1r1
又r1＋r2＝L
联立解得T＝2π。
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（2）在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球
看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为
T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运
动的，这样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量
分别为5.98×1024 kg和7.35×1022 kg。求T2与T1两者平方之
比。（计算结果保留4位有效数字）
答案：1.012
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解析： 若认为地球和月球都围绕中心连线某点O做匀速圆周
运动，根据题意可知m地＝5.98×1024 kg，m月＝7.35×1022
kg，地月距离设为L'，由（1）可知地球和月球绕其轨道中
心的运行周期为T1＝2π
若认为月球围绕地心做匀速圆周运动，由万有引力定律和牛
顿第二定律得＝m月L'
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解得T2＝2π
则＝
故＝≈1.012。
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谢谢观看!
