8.3.2球的表面积和体积 课件(共17张PPT)高一下学期数学人教A版必修第二册

(共17张PPT)
8.3.2球的表面积和体积
新知探究
问题1： 球的表面积怎么算？
S球 = 4πR2
如图, 把球O的表面分成n个小网格, 连接球心O和每个小网格的顶点, 整个球体就被分割成n个“小锥体”.
当n越大，每个小网格越小，每个“小锥体”的底面越平，“小锥体”就越接近似于棱锥，其高越近似于球的半径R. 设O-ABCD是其中一个“小锥体”，那么它的体积就为
由于球的体积就是这n个“小锥体”的体积之和，而这n个“小锥体”的底面积这个就是球的表面积. 因此，球的体积为
新知探究
O
A
B
C
D
问题2： 球的体积怎么算？
典例解析:公式基本应用
例1 如右图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成, 半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m. 如果在 浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5 kg 涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料 (π取3.14)
解：一个浮标的表面积为
S表= 2π×0.15×0.6 + 4π×0.152 =0.8478 (m2)
所以给1000个这样的浮标涂防水漆所需涂料约为
0.8478×0.5×1000 = 423.9 (kg).
例2 如图示，圆柱的底面直径和高都等于球的直径， 求球与圆柱的体积之比.
O
R
解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径也为R，高为2R.
即球与圆柱的体积之比为2:3.
典例解析:公式基本应用
一个长、宽、高分别为80cm，60cm，55cm的水槽中装有200000cm3的水，现放入一个直径为50cm的木球. 如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中溢出.
解：
由题意知
∴水槽在水面以上的体积为
又木球浸在水中的体积为
∴水不会从水槽中溢出.
巩固练习
课本P119
将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球零件，求可能制作的最大零件的体积.
解：
由题意知2R=6，即R=3.
∴最大球零件的体积为
巩固练习
课本P119
用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质：
①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；
②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系d=.
新知学习:截面圆问题
一平面α截球O所得截面圆的半径为1，球心O到平面α的距离为， 则此球的体积为
A.π B.4π C.4π D.6π
典型例题:截面圆问题
如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当水面恰好接触球面时测得水深为6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为
A. cm3 B. cm3
C. cm3 D. cm3
典型例题:截面圆问题
1.正方体的内切球
球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1= (a为正方体棱长)，过在一个平面上的四个切点作截面如图1.
2.球与正方体的各条棱相切
球与正方体的各条棱相切于各棱的中点，若正方体的棱长为a，此时球的半径为r2=a，过球心作正方体的对角面，如图2.
新知学习:内切、外接球
3.长方体、正方体的外接球
长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，过球心作长方体的体对角线，则球的半径为r3=， 如图3.
当a=b=c，即几何体为正方体时，可得正方体外接球半径为a.
新知学习:内切、外接球
（1）如果一个球的外切圆锥的高是这个球的半径的3倍，则圆锥的侧面积S1和球的表面积S2之比为
A.4∶3 B.3∶1 C.3∶2 D.9∶4
典例解析:内切、外接球
(2)设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的体积为
A.3πa3 B.πa3 C.2πa3 D.2πa3
典例解析:内切、外接球
　 将本例中的长方体改为棱长为a的正四面体，求球的体积.
拓展练习:内切、外接球
方法一　如图，过A作底面BCD的垂线，垂足为E，则E为△BCD的重心，连接BE.
∵正四面体的棱长为a，∴BE=a×=a.
∴在Rt△ABE中，AE==a.
设球心为O，半径为R，连接OB，
则(AE-R)2+BE2=R2，∴R=a，∴V球=πR3=πa3.
方法二　如图，将正四面体放入正方体中，
∵正四面体的棱长为a，
∴正方体的棱长为a，体对角线长为a，
∴球的直径2R=a，
∴R=a.
∴V球=πR3=πa3.
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